湘教新版九年級下冊《第1章 二次函數(shù)》單元測試卷（湖南省株洲外國語學校）

湘教新版九年級下冊《第1章二次函數(shù)》2021年單元測試卷（湖南省株洲外國語學校）一、選擇題1．圓環(huán)的內圓半徑是x，外圓半徑是R，圓環(huán)的面積是y，則y與x之間的函數(shù)關系式是（）A．y＝π（R2﹣x2） B．y＝π（R﹣x）2 C．y＝πR2﹣x2 D．y＝π（2πR﹣2πx）22．若y＝（m+2）是二次函數(shù)，則m的值是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能確定3．關于二次函數(shù)y＝﹣3的圖象，下列說法錯誤的是（）A．開口向上 B．對稱軸為x＝﹣1 C．當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小 D．當x＝﹣1時，有最大值y＝﹣34．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象與x軸交于點（3，0），對稱軸為直線x＝1，對于整個拋物線來說，當y≤0時，x的取值范圍是（）A．0＜x≤3 B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥35．拋物線y＝﹣（x﹣2）2+1經過平移后與拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2重合，那么平移的方法可以是（）A．向左平移3個單位再向下平移3個單位 B．向左平移3個單位再向上平移3個單位 C．向右平移3個單位再向下平移3個單位 D．向右平移3個單位再向上平移3個單位6．將二次函數(shù)y＝的圖象向左移1個單位，再向下移2個單位后所得函數(shù)的關系式為（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣2 C．y＝+2 D．y＝+27．把拋物線y＝x2﹣2x+4向左平移2個單位，再向下平移6個單位，所得拋物線的頂點坐標是（）A．（3，﹣3） B．（3，9） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，9）8．已知點E（2，1）在二次函數(shù)y＝x2﹣8x+m（m為常數(shù)）的圖象上，則點E關于圖象對稱軸的對稱點坐標是（）A．（4，1） B．（5，1） C．（6，1） D．（7，1）9．已知拋物線y＝﹣2（x﹣3）2+5，則此拋物線（）A．開口向下，對稱軸為直線x＝﹣3 B．頂點坐標為（﹣3，5） C．最小值為5 D．當x＞3時y隨x的增大而減小10．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x的圖象與x軸交于點A、O，在拋物線上有一點P，滿足S△AOP＝3，則點P的坐標是（）A．（﹣3，﹣3） B．（1，﹣3） C．（﹣3，﹣3）或（﹣3，1） D．（﹣3，﹣3）或（1，﹣3）11．如圖，已知二次函數(shù)y1＝x2﹣x的圖象與正比例函數(shù)y2＝x的圖象交于點A（3，2），與x軸交于點B（2，0），若y1＜y2，則x的取值范圍是（）A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜312．如圖是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），其頂點為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結論正確的是（）①若拋物線與x軸的另一個交點為（k，0），則﹣2＜k＜﹣1；②c﹣a＝n；③若x＜﹣m時，y隨x的增大而增大，則m＝﹣1；④若x＜0時，ax2+（b+2）x＜0．A．①②④ B．①③④ C．①② D．①②③④13．如圖，一條拋物線與x軸相交于M，N兩點（點M在點N的左側），其頂點P在線段AB上移動，點A，B的坐標分別為（﹣2，﹣3），（1，﹣3），點N的橫坐標的最大值為4，則點M的橫坐標的最小值為（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣714．二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣7，當x取值為t≤x≤t+2時，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，則t的取值范圍是（）A．t＝0 B．0≤t≤3 C．t≥3 D．以上都不對15．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，若M＝a+b﹣c，N＝4a﹣2b+c，P＝2a﹣b．則M，N，P中，值小于0的數(shù)有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個二、填空題16．若拋物線的頂點為（﹣2，3），且經過點（﹣1，5），則其表達式為．17．把函數(shù)y＝（2﹣3x）（6﹣x）化成y＝ax2+bx+c（a≠0）的形式是．18．已知拋物線y＝ax2+bx+c的系數(shù)有a﹣b+c＝0，則這條拋物線經過點．19．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，圖象經過點（﹣1，2）和（1，0），且與y軸相交于負半軸．給出四個結論：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＝0．其中正確結論的序號是．三、解答題20．已知二次函數(shù)．（1）在給定的直角坐標系中，畫出這個函數(shù)圖象的示意圖；（2）根據(jù)圖象，寫出當y＜0時x的取值范圍．21．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）過點A（﹣1，0），B（1，6）．（1）求拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的函數(shù)表達式；（2）用配方法求此拋物線的頂點坐標．22．為探究函數(shù)y＝x2+的圖象與性質，小明根據(jù)學習函數(shù)的經驗，對函數(shù)y＝x2+的圖象與性質進行了探究，下面是小明的探究過程，請補充完整：（1）函數(shù)y＝x2+的自變量x的取值范圍是；（2）下表是y與x的幾組對應值．x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y…﹣﹣﹣m…則m＝；（3）如圖，在平面直角坐標系中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點．根據(jù)描出的點，畫出該函數(shù)的圖象；（4）該函數(shù)（填“有”或“沒有”）最大值或最小值；（5）若經探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在第一象限內的最低點的坐標是（1，），請結合函數(shù)的圖象直接寫出不等式的解集．23．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c過A，B，C三點，點A的坐標是（3，0），點C的坐標是（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）求以點A、點C及點D圍成的△ACD的面積；（3）在拋物線上是否存在點P，使得∠PCA＝15°，若存在，請求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

湘教新版九年級下冊《第1章二次函數(shù)》2021年單元測試卷（湖南省株洲外國語學校）參考答案與試題解析一、選擇題1．【分析】圓環(huán)的面積＝外圓的面積﹣內圓的面積，整理即可．【解答】解：外圓的面積為πR2，內圓的面積為πx2，故y＝πR2﹣πx2＝π（R2﹣x2），故選：A．【點評】考查列二次函數(shù)關系式；得到圓環(huán)的關系式是解決本題的關鍵．2．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的式子是二次函數(shù)，計算即可．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得：m2﹣2＝2，解得：m＝±2，當x＝﹣2時，m+2＝0，∴m＝2．故選：B．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的定義，熟記二次函數(shù)的一般形式是解決此題的關鍵．3．【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣3，∴a＝＞0，函數(shù)的圖象開口向上，故選項A正確；對稱軸是直線x＝﹣1，故選項B正確；當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，故選項C正確；當x＝﹣1時，有最小值y＝﹣3，故選項D錯誤；故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象、性質、最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．4．【分析】根據(jù)圖象，已知拋物線的對稱軸x＝1，與x軸的一個交點（3，0），可求另一交點，觀察圖象得出y≤0時x的取值范圍．【解答】解：因為拋物線的對稱軸x＝1，與x軸的一個交點（3，0），根據(jù)拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的另一交點為（﹣1，0），因為拋物線開口向上，當y≤0時，﹣1≤x≤3．故選：C．【點評】利用了拋物線的對稱性以及拋物線與x軸交點坐標．5．【分析】根據(jù)平移前后的拋物線的頂點坐標確定平移方法即可得解．【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x﹣2）2+1的頂點坐標為（2，1），拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的頂點坐標為（﹣1，﹣2），∴頂點由（2，1）到（﹣1，﹣2）需要向左平移3個單位再向下平移3個單位．故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，此類題目，利用頂點的變化確定拋物線解析式更簡便．6．【分析】根據(jù)二次函數(shù)變化規(guī)律：左加右減，上加下減，進而得出變化后解析式．【解答】解：∵拋物線y＝x2向左移1個單位，再向下移2個單位長度，∴平移后的解析式為：y＝（x+1）2﹣2．故選：A．【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟記平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，是解題關鍵．7．【分析】先得到拋物線y＝x2﹣2x+4的頂點坐標為（1，3），則把點（1，3）4向左平移2個單位，再向下平移6個單位后得到（﹣1，﹣3）．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴頂點坐標為（1，3），∴把點（1，3）向左平移2個單位，再向下平移6個單位得到（﹣1，﹣3）．故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：把拋物線y＝a（x﹣k）2+h平移的問題轉化為拋物線的頂點（k，h）平移問題進行解決．8．【分析】求得對稱軸，即可求得對稱點．【解答】解：由二次函數(shù)y＝x2﹣8x+m可知對稱軸為x＝﹣＝﹣＝4，∵點E（2，1）與點（6，1）關于圖象對稱軸對稱，∴點E關于圖象對稱軸的對稱點坐標是（6，1），故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質，求得對稱軸是解題的關鍵．9．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，對稱軸解析式，頂點坐標，最值問題，以及增減性對拋物線解析式分析即可得解．【解答】解：拋物線y＝﹣2（x﹣3）2+5，A、∵a＝﹣2，∴開口向下，對稱軸為直線x＝3，故本選項錯誤；B、頂點坐標為（3，5），故本選項錯誤；C、a＜0，∴二次函數(shù)有最大值，最大值為5，故本選項錯誤；D、當x＞3時y隨x的增大而減小，正確．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，以及函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．10．【分析】根據(jù)拋物線的解析式，即可確定點A的坐標，由于OA是定長，根據(jù)△AOP的面積即可確定P點縱坐標的絕對值，將其代入拋物線的解析式中，即可求得P點的坐標．【解答】解：拋物線的解析式中，令y＝0，得：﹣x2﹣2x＝0，解得x＝0，x＝﹣2；∴A（﹣2，0），OA＝2；∵S△AOP＝OA?|yP|＝3，∴|yP|＝3；當P點縱坐標為3時，﹣x2﹣2x＝3，x2+2x+3＝0，△＝4﹣12＜0，方程無解，此種情況不成立；當P點縱坐標為﹣3時，﹣x2﹣2x＝﹣3，x2+2x﹣3＝0，解得x＝1，x＝﹣3；∴P（1，﹣3）或（﹣3，﹣3）；故選：D．【點評】能夠根據(jù)三角形面積來確定P點的坐標，是解答此題的關鍵．11．【分析】直接利用已知函數(shù)圖象得出y1在y2下方時，x的取值范圍即可．【解答】解：如圖所示：若y1＜y2，則二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的下面，此時x的取值范圍是：0＜x＜3．故選：D．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，正確利用數(shù)形結合求出是解題關鍵．12．【分析】①根據(jù)拋物線的對稱性得：AD＝BD，列不等式結論；②將頂點坐標（1，n）代入拋物線的解析式中，列兩式可得結論；③根據(jù)拋物線的對稱軸由此作判斷；④設y＝ax2+（b+2）x，把它看作另一個二次函數(shù)，此二次函數(shù)過原點，通過計算發(fā)現(xiàn)與x軸有兩個交點，且另一個交點在原點的右側，由此作判斷．【解答】解：①如圖1，設拋物線與x軸的交點為A和B（A在B的右側），則3﹣1＜AD＜4﹣1，2＜AD＜3，由對稱性得：AD＝BD，∴2＜BD＜3，∵B（k，0），∴BD＝1﹣k，∴2＜1﹣k＜3，∴﹣2＜k＜﹣1，所以選項①正確；②∵拋物線的頂點坐標為（1，n），∴﹣＝1，b＝﹣2a，a+b+c＝n，a﹣2a+c＝n，∴﹣a+c＝n，c﹣a＝n，所以選項②正確；③∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，∴若x＜1時，y隨x的增大而增大，則m≥﹣1；所以選項③錯誤；④∵由圖可知：拋物線y＝ax2+bx+c開口向下，∴a＜0，∴拋物線y＝ax2+（b+2）x也開口向下，且過原點，當y＝0時，ax2+（b+2）x＝0，x（ax+b+2）＝0，x1＝0，x2＝＝＝2﹣＞0，如圖2所示，∴當x＜0時，y＝ax2+（b+2）x＜0，即當x＜0時，ax2+（b+2）x＜0；所以選項④正確；其中正確結論是：①②④，3個，故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），明確以下幾點：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）．13．【分析】當圖象頂點在點B時，點N的橫坐標的最大值為4，求出a＝；當頂點在點A時，M點的橫坐標為最小，此時拋物線的表達式為：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【解答】解：當圖象頂點在點B時，點N的橫坐標的最大值為4，則此時拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）2﹣3，把點N的坐標代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝，當頂點在點A時，M點的橫坐標為最小，此時拋物線的表達式為：y＝（x+2）2﹣3，令y＝0，則x＝﹣5或1，即點M的橫坐標的最小值為﹣5，故選：C．【點評】本題考查的是二次函數(shù)與x軸的交點，涉及到函數(shù)基本性質和函數(shù)的最值，其中確定坐標取得最值時，圖象所處的位置是本題的關鍵．14．【分析】將標準式化為頂點式為y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，由t≤x≤t+2時，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，當x≥3時，y隨x的增大而減小，由此即可求出此題．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，當t≤3≤t+2時，即1≤t≤3時，函數(shù)為增函數(shù)，ymax＝f（3）＝2，與ymax＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．當3≥t+2時，即t≤1時，ymax＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，與ymax＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．當3≤t，即t≥3時，ymax＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2與題設相等，故t的取值范圍t≥3，故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，難度較大，關鍵是判斷出當x≥3時，y隨x的增大而減小，由此此解決這類題．15．【分析】根據(jù)圖象得到x＝﹣2時對應的函數(shù)值小于0，得到N＝4a﹣2b+c的值小于0，根據(jù)對稱軸在直線x＝﹣1右邊，利用對稱軸公式列出不等式，根據(jù)開口向下得到a小于0，變形即可對于P作出判斷，根據(jù)a，b，c的符號判斷得出a+b﹣c的符號．【解答】解：∵圖象開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸左側，∴a，b同號，∴a＜0，b＜0，∵圖象經過y軸正半軸，∴c＞0，∴M＝a+b﹣c＜0當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，∴N＝4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P＝2a﹣b＜0，則M，N，P中，值小于0的數(shù)有M，N，P．故選：A．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，根據(jù)圖象判斷出對稱軸以及a，b，c的符號是解題關鍵．二、填空題16．【分析】此題可設拋物線的頂點坐標式為y＝a（x+2）2+3，再代入（﹣1，5）求得a值即可．【解答】解：由題意可設拋物線的頂點坐標式為y＝a（x+2）2+3，由拋物線經過點（﹣1，5），則5＝a（﹣1+2）2+3，解得：a＝2．則拋物線的表達式為y＝2（x+2）2+3，整理得：y＝2x2+8x+11．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，在這里設出拋物線的頂點坐標式求解比較簡單．17．【分析】直接利用多項式乘以多項式運算法則求出即可．【解答】解：y＝（2﹣3x）（6﹣x）＝12﹣2x﹣18x+3x2＝3x2﹣20x+12．故答案為：y＝3x2﹣20x+12．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的三種形式，正確利用多項式乘以多項式運算法則是解題關鍵．18．【分析】當x＝﹣1時，y＝ax2+bx+c會得到a﹣b+c，對應的函數(shù)值為0，由此得出當拋物線y＝ax2+bx+c經過點（﹣1，0）時，會得到a﹣b+c＝0．【解答】解：把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c，得到y(tǒng)＝a﹣b+c＝0．∴拋物線y＝ax2+bx+c經過點（﹣1，0）系數(shù)有a﹣b+c＝0．故答案為：（﹣1，0）．【點評】此題考查二次函數(shù)特殊點的與系數(shù)的關系，掌握當x＝1、0、﹣1、2、﹣2這些特殊值所對應的系數(shù)關系是解決問題的關鍵．19．【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【解答】解：（1）①由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，正確；②因為對稱軸在y軸右側，對稱軸為x＝＞0，又因為a＞0，∴b＜0，錯誤；③由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c＜0，錯誤；④由圖象可知：當x＝1時y＝0，∴a+b+c＝0，正確．故答案為①④．【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，難度不大，做題的關鍵是畫出圖形，題圖結合認真分析出a，b，c的符號．三、解答題20．【分析】（1）利用公式法求出所給二次函數(shù)的頂點坐標以及對稱軸，設y＝0求出拋物線和x軸交點的橫坐標，設x＝0求出拋物線和y軸交點的縱坐標，即可畫出此函數(shù)的圖象；（2）利用函數(shù)的圖象即可得到y(tǒng)＜0時x的取值范圍．【解答】解：（1）二次函數(shù)的頂點坐標為：x＝＝﹣1，y＝＝2，當x＝0時，y＝，當y＝0時，x＝1或x＝﹣3，圖象如圖：（2）據(jù)圖可知：當y＜0時，x＜﹣3，或x＞1．【點評】本題主要考查了根據(jù)解析式畫函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象特點，難度適中．21．【分析】（1）把A點和B點坐標代入y＝ax2+bx+2中得到關于a、b的方程組，然后解方程組求出a、b即可；（2）把（1）中的一般式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質寫出頂點坐標．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，解得，所以二次函數(shù)解析式為y＝x2+3x+2；（2）y＝x2+3x+2＝x2+3x+（）2﹣（）2+2＝（x+）2﹣，所以拋物線的頂點坐標為（﹣，﹣）．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．22．【分析】（1）由y＝x2+可得，x≠0，（2）令x＝3，代入y＝x2+中，y＝，則m＝；（3）描點即可；（4）由圖象可得，函數(shù)沒有最大值和最小值；（5）由表格可知，當x＝﹣2時，x＝1時，y＝，再結合函數(shù)圖象可得，不等式的解集為x＞0或x≤﹣2．【解答】解：（1）由y＝x2+可得，x≠0，故答案為x≠0；（2）令x＝3，代入y＝x2+中，y＝，∴m＝，故答案為；（3）如圖：（4）由圖象可得，函數(shù)沒有最大值和最小值；（5）由表格可知，當x＝﹣2時，x＝1時，y＝，再結合函數(shù)圖象可得，不等式的解集為x＞0或x≤﹣2．【點評】本題考查函數(shù)的圖象及性質；熟練掌握探究函數(shù)性質的方法，能結合表格、圖象探究函數(shù)性質是關鍵．23．【分析】（1）將點A、C坐標代入即可求出拋物線解析式，再通過配方即可確定點D坐標；（2）過拋物線頂點D作x軸垂線交直線AC于點E，求出直線AC解析式再求出E點坐標，通過S△ACD＝xA即可求出△ACD