一-曲線的參數(shù)方程課件

第二講參數(shù)方程一曲線的參數(shù)方程1最新版整理ppt1、參數(shù)方程的概念：

如圖,一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時時機呢？提示：即求飛行員在離救援點的水平距離多遠時，開始投放物資？？救援點投放點2最新版整理ppt1、參數(shù)方程的概念：xy500o物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：（1）沿ox作初速為100m/s的勻速直線運動；（2）沿oy反方向作自由落體運動。

如圖,一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時機呢？3最新版整理pptxy500o1、參數(shù)方程的概念：

如圖,一架救援飛機在離災(zāi)區(qū)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面(不記空氣阻力),飛行員應(yīng)如何確定投放時機呢？4最新版整理ppt一、方程組有3個變量，其中的x,y表示點的坐標(biāo)，變量t叫做參變量，而且x,y分別是t的函數(shù)。二、由物理知識可知，物體的位置由時間t唯一決定，從數(shù)學(xué)角度看，這就是點M的坐標(biāo)x,y由t唯一確定，這樣當(dāng)t在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時，x,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描繪出點的軌跡。三、平拋物體運動軌跡上的點與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對（x,y）之間有一一對應(yīng)關(guān)系。5最新版整理ppt（2）并且對于t的每一個允許值,由方程組(2)所確定的點M(x,y)都在這條曲線上,那么方程(2)就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù).

相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。關(guān)于參數(shù)幾點說明：

參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁,參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義,幾何意義,也可以沒有明顯意義。2.同一曲線選取參數(shù)不同,曲線參數(shù)方程形式也不一樣3.在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍1、參數(shù)方程的概念：

一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)6最新版整理ppt例1:已知曲線C的參數(shù)方程是（1）判斷點M1(0,1)，M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系；（2）已知點M3(6,a)在曲線C上,求a的值。

一架救援飛機以100m/s的速度作水平直線飛行.在離災(zāi)區(qū)指定目標(biāo)1000m時投放救援物資（不計空氣阻力,重力加速g=10m/s）問此時飛機的飛行高度約是多少？（精確到1m）變式:7最新版整理ppt2、方程所表示的曲線上一點的坐標(biāo)是（

）練習(xí)1A、（2，7）；B、C、D、（1，0）1、曲線與x軸的交點坐標(biāo)是()A、（1，4）；B、C、D、B8最新版整理ppt

已知曲線C的參數(shù)方程是

點M(5,4)在該曲線上.（1）求常數(shù)a;

（2）求曲線C的普通方程.解:(1)由題意可知:1+2t=5at2=4解得:a=1t=2∴a=1(2)由已知及(1)可得,曲線C的方程為:x=1+2ty=t2由第一個方程得:代入第二個方程得:訓(xùn)練2：9最新版整理ppt思考題：動點M作等速直線運動,它在x軸和y軸方向的速度分別為5和12,運動開始時位于點P(1,2),求點M的軌跡參數(shù)方程。解：設(shè)動點M(x,y)運動時間為t，依題意，得所以，點M的軌跡參數(shù)方程為參數(shù)方程求法:（1）建立直角坐標(biāo)系,設(shè)曲線上任一點P坐標(biāo)為(x,y)（2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì),物理意義,

建立點P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式（4）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程10最新版整理ppt小結(jié)：

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)

（2）并且對于t的每一個允許值，由方程組（2）所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，

那么方程（2）就叫做這條曲線的參數(shù)方程，系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。11最新版整理ppt2、圓的參數(shù)方程12最新版整理pptyxorM(x,y)13最新版整理ppt14最新版整理ppt15最新版整理ppt圓的參數(shù)方程的一般形式16最新版整理ppt由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參數(shù)方程，一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式不同的參數(shù)方程，它們表示的曲線可以是相同的，另外，在建立曲線的參數(shù)參數(shù)時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。17最新版整理ppt例、已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0，將它化為參數(shù)方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))18最新版整理ppt例2如圖，圓O的半徑為2，P是圓上的動點，Q(6,0)是x軸上的定點，M是PQ的中點，當(dāng)點P繞O作勻速圓周運動時，求點M的軌跡的參數(shù)方程。yoxPMQ19最新版整理ppt20最新版整理ppt21最新版整理ppt（2，1）22最新版整理ppt參數(shù)方程和普通方程的互化

23最新版整理ppt例3：把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？1.將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型。2.曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。3.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x、y的取值范圍保持一致。代入(消參數(shù))法恒等式(消參數(shù))法24最新版整理ppt曲線C的普通方程和參數(shù)方程是曲線C的兩種不同代數(shù)形式，以本質(zhì)上講它們是互相聯(lián)系的，一般可以進行互化.通常使用代入消參，加減消參，使用三角公式消參。曲線的參數(shù)方程曲線的普通方程.消去參數(shù)引入?yún)?shù)25最新版整理ppt說明:把參數(shù)方程化為普通方程,常用方法有:(1)代入(消參數(shù))法(2)加減(消參數(shù))法(3)借用代數(shù)或三角恒等式(消參數(shù))法常見的代數(shù)恒等式:在消參過程中注意變量x、y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范圍。26最新版整理ppt如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t)，那么這就是曲線的參數(shù)方程。二、普通方程參數(shù)方程例4

27最新版整理ppt例4

還有其它方法嗎？28最新版整理ppt例4

法二：29最新版整理ppt思考：為什么(2)中的兩個參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？分別對應(yīng)了橢圓在y軸的右，左兩部分。30最新版整理ppt（1）判斷點P1（1，2），P2（0，1）與曲線C的位置關(guān)系（2）點Q(2,a)在曲線l上，求a的值.（3）化為普通方程，并作圖（4）若t≥0，化為普通方程，并作圖.補例1．已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）分析與解答:（1）若點P在曲線上，則可以用參數(shù)t表示出x,y，即可以求出相應(yīng)t值.所以，令∴t無解，∴點P1不在曲線C上.同理，令∴點P2在曲線C上.31最新版整理ppt（2）∵Q在曲線C上，（3）將代入y=3t2+1,如圖.（4）∵t≥0,∴x=2t≥0,y=3t2+1≥1,

消去t，得：∴t≥0時，曲線C的普通方程為(x≥0,y≥1).32最新版整理ppt點評:在（4）中，曲線C的普通方程的范圍也可以只寫出x≥0,但不能寫成y≥1，這是因為是以x為自變量，y為因變量的函數(shù)，由x的范圍可以確定y的取值范圍，但反過來不行.即:所得曲線方程為y=f(x)或x=g(y)形式時，可以只寫出自變量的范圍，但對于非函數(shù)形式的方程，即F(x,y)=0，一般來說，x,y的范圍都應(yīng)標(biāo)注出來.33最新版整理ppt（1）互化時，必須使坐標(biāo)x,y的取值范圍在互化前后保持不變，否則，互化就是不等價的.

如曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（）分析:在y=x2中，x∈R,y≥0，在A、B、C中，x,y的范圍都發(fā)生了變化，因而與y=x2不等價，而在D中，x,y范圍與y=x2中x,y的范圍相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后滿足該方程，從而D是曲線y=x2的一種參數(shù)方程.（2）在求x,y的取值范圍時，常常需用求函數(shù)值域的各種方法。如利用單調(diào)性求函數(shù)值域，二次函數(shù)在有限區(qū)間上求值域，三角函數(shù)求值域，判別式法求值域等。注意:34最新版整理ppt解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2∴應(yīng)選C.補例2方程所表示的曲線一個點的坐標(biāo)是()(θ為參數(shù))補例3.參數(shù)方程（θ為參數(shù)）化成普通方程為

.35最新版整理ppt補例4：下列參數(shù)方程(t為參數(shù))與普通方程x2-y=0表示同一曲線的方程是()解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中=ctg2t=即x2y=1，故排除C.∴應(yīng)選D.補例5.直線：3x-4y-9=0與圓：的位置關(guān)系是()A.相切B.相離C.直線過圓心D.相交但直線不過圓心36最新版整理pptA．線段 B．雙曲線一支C．圓弧 D．射線答案：A。分析由，將其代入，整理得：故該曲線是直線上的一條線段，故選A。補例6：曲線的參數(shù)方程為，則曲線是：37最新版整理ppt補例7：參數(shù)方程表示：B．拋物線一部分，這部分過點C．雙曲線一支，這支過點D．拋物線一部分，這部分過點分析因為

因此，參數(shù)方程表示拋物線的一部分，這部分過點，故選B。A．雙曲線一支，這支過點38最新版整理ppt補例8．已知直線l1:x-ky+k=0,l2:kx-y-1=0.其中k為參數(shù)，求l1,l2交點的軌跡方程.解法1:求出兩直線的交點坐標(biāo)，即解方程組:

當(dāng)k2≠1時，得到這就是所求軌跡的參數(shù)方程，但如果要求軌跡的普通方程，需消去參數(shù)k.（k為參數(shù)）39最新版整理ppt解法2：由kx-y-1=0，當(dāng)x≠0時，可得代入方程x-ky+k=0得:點評:①解法2中，方程兩邊同除以x，會丟x=0的解；方程兩邊同乘以x，會增x=0的根，所以最后得到軌跡方程后應(yīng)檢驗是否是同解變形.②兩種方法得到軌跡的不同形式的方程，只要把參數(shù)方程中的參數(shù)消去，便可得到同樣的普通方程.（不妨試試，可利用加減消元法消去k，但應(yīng)關(guān)注y≠1的限制條件。）去分母，化簡得:x2-y2+1=0(x≠0)

當(dāng)x=0時，存在k=0，使得y=-1.

所以，所求軌跡的普通方程為:x2-y2+1=0(y≠1).40最新版整理ppt補例9:在圓x2+y2-4x-2y-20=0上求兩點A和B，使它們到直線4x+3y+19=0的距離分別最短和最長.解：將圓的方程化為參數(shù)方程：（θ為參數(shù)）則圓上點P坐標(biāo)為(2+5cosθ，1+5sinθ)，它到所給直線之距離故當(dāng)cos(θ-φ)=1，即φ=θ時，d最長，這時，點A坐標(biāo)為(6，4)；當(dāng)cos(θ-φ)=-1,即θ-φ＝π時，d最短，這時，點B坐標(biāo)為(-2，2).41最新版整理ppt例10：等腰直角三角形ABC，三頂點A、B、C按順時針方向排列，∠A是直角，腰長為a，頂點A、B分別在x軸y軸上滑動，求頂點C的軌跡方程（要求把結(jié)果寫成直角坐標(biāo)系的普通方程）分析設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,y)，不易直接建立x,y之間的關(guān)系，所以可考慮建立x,y之間的間接關(guān)系式.∠CAX完全確定了頂點C的位置，即頂點C的位置是∠CAX的函數(shù)，所以可選∠CAX為參數(shù)解：如圖所示，設(shè)，則

C點的參數(shù)方程為： 消去參數(shù)，得普通方程為：小結(jié)：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的軌跡問題，常選角為參數(shù)。42最新版整理ppt補例11：已知線段BB′=4，直線l垂直平分BB`=于點O，在屬于l并且以O(shè)為起點的同一射線上取兩點P、P′，使OP.OP′＝9。求直線BP與直線B′P′，的交點M的軌跡方程。分析以O(shè)為原點，l為x軸，BB′為y軸建立一直角坐標(biāo)系xoy，如右圖所示，則B(0,2),B′(0,-2).如圖可知，當(dāng)P點的位置一定時，P′點的位置完全確定，從而完全確定了M點的位置，所以可選P點的坐標(biāo)為參數(shù)。43最新版整理ppt解：設(shè)，則由，得直線BP的方程為：直線的方程為：兩直線方程化簡為：解①和②組成的方程組。可得直線BP與的交點坐標(biāo)為：消去參數(shù)a，得：44最新版整理ppt本題也可將直線BP和的方程變形為： ⑤、⑥兩式相乘，得

小結(jié)：本題第二種解法，即交軌法。它是求兩條曲線系交點軌跡的常用方法，這種方法不解方程組，而是直接由方程組消去參數(shù)而得交點的軌跡方程。所求點M的軌跡是長軸長為6，短軸長為4的橢圓，但不包含點B和45最新版整理ppt參數(shù)方程與普通方程互化46最新版整理ppt例1、將下列參數(shù)方程化為普通方程解：由①式變形得：

將兩式相加得：由②式變形得：47最新版整理ppt例2、將下列參數(shù)方程化為普通方程解：由①得：代入②，消去參數(shù)t，得普通方程48最新版整理ppt例3、將直線的點斜式方程y-y0=tgα(x-x0)

化為參數(shù)方程解:將直線的點斜式方程變形為即49最新版整理ppt例4、將下面參數(shù)方程化為普通方程解：將參數(shù)方程變形