2023-2024學(xué)年湖南省寧鄉(xiāng)縣第一高級(jí)中學(xué)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年湖南省寧鄉(xiāng)縣第一高級(jí)中學(xué)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，是圓的一條直徑，為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．雙曲線的一條漸近線方程為，那么它的離心率為（）A． B． C． D．3．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個(gè)D．去年同期浙江省的GDP總量超過(guò)了4500億元4．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C．2 D．5．在滿足，的實(shí)數(shù)對(duì)中，使得成立的正整數(shù)的最大值為()A．5 B．6 C．7 D．96．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A．-2 B．2 C．4 D．77．若點(diǎn)(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或8．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）A． B．1 C． D．9．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．10．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或711．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、12．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（）A．－10 B．－9 C．－7 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足對(duì)任意，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________．14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.15．在正方體中，已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為；④若正方體的棱長(zhǎng)為2，則的最小值為；其中說(shuō)法正確的是____________（寫(xiě)出所有說(shuō)法正確的編號(hào)）16．在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則__________，________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在四棱椎中，四邊形為菱形，，，，，，分別為，中點(diǎn)..（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18．（12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA．（1）求角B的大??；（2）若△ABC外接圓的半徑為，求△ABC面積的最大值.20．（12分）已知點(diǎn)，直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)、，直線、與拋物線的另一交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)、，連接，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、．（1）證明：；（2）若的面積，求的取值范圍．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.22．（10分）2019年是中華人民共和國(guó)成立70周年．為了讓人民了解建國(guó)70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當(dāng)最大時(shí)，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

連接、，即可得到，，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】解：連接、，，是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，且，所以四邊形為棱形，．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，列出方程，求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，可得，∴，∴雙曲線的離心率.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項(xiàng)均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個(gè).故C項(xiàng)正確；.故D項(xiàng)不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖、柱形圖的識(shí)別，考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.4、C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最大值，即，，，當(dāng)時(shí)，解得，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時(shí)，取得最大值，求解可得實(shí)數(shù)的值.5、A【解析】

由題可知：，且可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合圖像得出，即得出，從而得出的最大值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即整理得，令，設(shè)，則，令,則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)椋?，由題可知：時(shí)，則，所以，所以，當(dāng)無(wú)限接近時(shí)，滿足條件，所以，所以要使得故當(dāng)時(shí)，可有，故，即，所以：最大值為5.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.6、B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)點(diǎn)到直線的距離.8、C【解析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積．故選.9、B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡(jiǎn)可得.∴解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.12、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式，先求得的值，然后結(jié)合的奇偶性，求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值，考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由可得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論.【詳解】由，得，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，，，，，滿足上式，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵，利用累加法求通項(xiàng)公式，屬于中檔題.14、【解析】

利用奇函數(shù)的定義得出，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，，整理得，解得.當(dāng)時(shí)，真數(shù)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，解不等式，解得或，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，合乎題意.綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查了函數(shù)奇偶性的定義和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15、①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以判斷命題①；②由已知得出點(diǎn)P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系，如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；④過(guò)作平面交于點(diǎn)，做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱性和兩點(diǎn)之間線段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵，∴平面

，所以上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；

②在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系，如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.則:，，所以，設(shè)面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)面的法向量為，，即，，由圖示可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；④過(guò)作平面交于點(diǎn)，做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)，則，所以，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，在一條直線上，取得最小值.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正確.

故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運(yùn)用對(duì)稱的思想，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.16、2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中，，，可得因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的解法，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）證明，得到平面，得到證明.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以是等邊三角形，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，所以，又，，，所以，又，，所以平面，所以，又因?yàn)槭橇庑?，，所以，又，所以平面，所?（2）由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，，平面與平面所成銳二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）由已知可證，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.【詳解】方法一：（1）依題意，且∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴，∵且為的中點(diǎn)，∴，∵平面且，∴平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的正弦值為.方法二：（1）證明：連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以為中點(diǎn)，∴在中，且，∵平面，平面，∴平面（2）略，同方法一.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.19、（1）B（2）【解析】

（1）由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosB，進(jìn)而可求B；（2）由已知結(jié)合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍，然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閎（a2+c2﹣b2）＝ca2cosC+ac2cosA，∴，即2bcosB＝acosC+ccosA由正弦定理可得，2sinBcosB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，因?yàn)?，所以，所以B；（2）由正弦定理可得，b＝2RsinB2，由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2accosB，即a2+c2﹣ac＝4，因?yàn)閍2+c2≥2ac，所以4＝a2+c2﹣ac≥ac，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)，即ac的最大值4，所以△ABC面積S即面積的最大值.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)、，求出直線、的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用直線、的斜率相等證明出；（2）設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、，求出，利用相似得出，可得出的邊上的高，并利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，即可得出關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)、，則，直線的方程為：，由，消去并整理得，由韋達(dá)定理可知，，，代入直線的方程，得，解得，同理，可得，，，,代入得，因此，；（2）設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、，則，由（1）知，，，，，，同理，得，，由，整理得，由韋達(dá)定理得，，，得，設(shè)點(diǎn)到直線的高為，則，，，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線平行的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題．21、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)連接AC、B