專題47-三角形中的旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題(解析版)

專題47三角形中的旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題1、如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B，且OA＝OB．（1）求證：PA＝PB；（2）如圖②，點(diǎn)C是射線AM上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上一點(diǎn)，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求線段OA的長(zhǎng)．（3）如圖③，若∠MON＝60°，將PB繞點(diǎn)P以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，12秒后，PA開(kāi)始繞點(diǎn)P以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，PA旋轉(zhuǎn)270°后停止，此時(shí)PB也隨之停止旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，PA所在直線與OM所在直線的交點(diǎn)記為G，PB所在直線與ON所在直線的交點(diǎn)記為H．問(wèn)PB旋轉(zhuǎn)幾秒時(shí)，PG＝PH？（1）證明：如圖①中，連接OP．∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），∴PA＝PB．（2）如圖②中，∵∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB+∠APB＝180°，∵∠CPD+∠AOB＝180°，∴∠CPD＝∠APB，∴∠APC＝∠BPD，∵PA＝PB，∠PAC＝∠PBD＝90°，∴△PAC≌△PBD（ASA），∴AC＝BD，∴OC+OD＝OA+AC+OB﹣BD＝2OA＝13，∴OA＝6.5．（3）設(shè)點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．①當(dāng)0＜t＜12時(shí)，不存在．②當(dāng)12≤t＜21時(shí)，如圖3﹣1中，∠APG＝（10t﹣120）°，∠BPH＝2t°，當(dāng)∠APG＝∠BPH時(shí)，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此時(shí)10t﹣120＝2t，t＝15．③當(dāng)21≤t＜30時(shí)，如圖3﹣2中，∠APG＝180°﹣∠APA′＝180°﹣（10t﹣120）°＝（300﹣10t）°，∠BPH＝2t，當(dāng)∠APG＝∠BPH時(shí)，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此時(shí)300﹣10t＝2t，t＝25．④當(dāng)30≤t＜39時(shí)，如圖3﹣3中，∠APG＝（10t﹣300）°，∠BPH＝2t，當(dāng)∠APG＝∠BPH時(shí)，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此時(shí)10t﹣300＝2t，t＝37.5，綜上所述，滿足條件的t的值為15s或25s或37.5s．2、（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：①的值為；②∠AMB的度數(shù)為．（2）類比探究：如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)求出的值及∠AMB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC、BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD＝1，OB＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．解：（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)①如圖1，∵∠AOB＝∠COD＝50°，∴∠COA＝∠DOB，∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB＝50°，∴∠OAB+∠ABO＝130°，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣130°＝50°，故答案為：①1；②50°；（2）類比探究如圖2，＝，∠AMB＝90°，理由是：Rt△COD中，∠DOC＝90°，CD＝2DO，∴∠DCO＝30°，∴＝tan30°＝，同理得：＝tan30°＝，∴，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴，∠CAO＝∠DBO，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；（3）拓展延伸①點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖1，同（2）得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，，設(shè)BD＝x，則AC＝x，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x﹣2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴，整理得：x2﹣x﹣6＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2，∴AC＝3；②點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖2，同理得：∠AMB＝90°，，設(shè)BD＝x，則AC＝x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴+（x+2）2＝，整理得x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴AC＝2；綜上所述，AC的長(zhǎng)為3或2．3、已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c滿足＝0．（1）求△ABC的面積；（2）將線段BC向右平移至AD（點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)D）．①當(dāng)點(diǎn)M為x軸上任意點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），ME、CF分別平分∠CMO與∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF＝β，試用含α的代數(shù)式表示β；②點(diǎn)P為線段CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），P的橫坐標(biāo)為t，連接BP、AC，BP交y軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)Q，若△CQE與△PQA的面積分別為S1，S2，試用含t的代數(shù)式表示S2﹣S1．解：（1）如圖1中，∵＝0，又∵≥0，|b+2|≥0，（c﹣4）2≥0，∴a＝5，b＝﹣2，c＝4，∴A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝5，OB＝2，OC＝4，∴AB＝OB+OA＝2+5＝7，∴S△ABC＝?AB?OC＝×7×4＝14．（2）①如圖2﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在射線OB上時(shí)，α+β＝90°理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，∵∠DCF＝∠DCM＝β，∠AME＝∠AMC＝α，∴α+β＝90°．當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，如圖2﹣2中，α+β＝180°．理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，∠DCM＝∠CMB，∵∠DCM＝2∠DCF＝2β，∠FCM＝∠DCM，∠EMC＝∠CMB，∴∠FCM＝∠EMC＝β，∴∠AMC＝180°﹣2β，∵∠AME＝∠AMC+∠EMC，∴α＝β+180°﹣2β，∴α+β＝180°．當(dāng)點(diǎn)M在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2﹣3中，α＝β．理由：：∵CD∥AM，∴∠DCM＝∠CMB，∵∠DCF＝∠DCM，∠AME＝∠CMB，∴∠DCF＝∠AME，∴α＝β．②如圖3中，設(shè)E（0，m）．由題意：P（t，4），A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴S△BCP＝S△BCE+S△ECP，∴×t×4＝×（4﹣m）×2+×（4﹣m）×t，∴m＝，∴S2﹣S1＝S△PCA﹣S△PCE′＝×t×4﹣×t×（4﹣）＝．4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．（Ⅰ）如圖①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，AD＝2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△ACE，點(diǎn)B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C，E．連接DE，BD的延長(zhǎng)線與CE相交于點(diǎn)F．①求DE的長(zhǎng)；②證明：BF⊥CE．（Ⅲ）如圖③，將（Ⅱ）中的△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D1，E1，點(diǎn)N，P分別為D1E1，D1C的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△OPN面積S的變化范圍．解：（Ⅰ）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝45°．∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．如圖①中，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥OA，垂足為G．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∴，，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（Ⅱ）①如圖②中，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，∴在Rt△DAE中，，②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°，∴∠BAC＝90°，∵△ABD旋轉(zhuǎn)得到△ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△BFC中，則有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°，∴BF⊥CE．（Ⅲ）如圖③中，∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1，∴OP＝BD1，PN＝E1C，OP∥BD1，PN∥CE1∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C，∴OP⊥PN，OP＝PN，∴△OPN是等腰直角三角形，∵AB＝4，AD1＝2，∴4﹣2≤BD1≤4+2，∴2﹣1≤OP≤2+1，∴△OPN面積的最小值＝（2﹣1）2＝﹣2，△OPN的面積的最大值＝+2，∴．5、問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，H為CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，BH與AE的位置關(guān)系為，BH與AE的數(shù)量關(guān)系為；問(wèn)題證明：在Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)就圖（2）的情形給出證明若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用：在Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)DE∥BC時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BH2的長(zhǎng)．解：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)：如圖1中，結(jié)論：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案為AE⊥BH，AE＝2BH．問(wèn)題證明：如圖2中，（1）中結(jié)論成立．理由：延長(zhǎng)BH到F使得HF＝BH，連接CF．設(shè)AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展應(yīng)用：如圖3﹣1中，當(dāng)DE在BC的下方時(shí)，延長(zhǎng)AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由題意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵?BD?BE＝?DE?BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如圖3﹣2中，當(dāng)DE在BC的上方時(shí)，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．6、已知△ABC是等邊三角形，D是BC上一點(diǎn)，△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置．（1）如圖，旋轉(zhuǎn)中心是，∠DAE＝°；（2）如圖，如果M是AB的中點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)上述旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)了度；（3）如果點(diǎn)D為BC邊上的三等分點(diǎn)，且△ABD的面積為3，那么四邊形ADCE的面積為．解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°∵△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，∴旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，∠DAE＝∠BAC＝60°；（2）∵AB和AC為對(duì)應(yīng)邊，∴經(jīng)過(guò)上述旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)M轉(zhuǎn)到了AC的中點(diǎn)位置，如圖，∴∠MAM′＝60°，∴點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)了60°；（3）∵△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，∴△ABD≌△ACE，∵BD＝BC，或BD＝BC，∴CD＝2BD，或CD＝BD，∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或S△ABC＝S△ABD＝3×＝，∴S四邊形ADCE＝S△ABC＝9或．故答案為點(diǎn)A，60；60；9或．7、如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大值．解：（1）∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN＝BD，∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位線得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大時(shí)，△PMN的面積最大，∴DE∥BC且DE在頂點(diǎn)A上面，∴MN最大＝AM+AN，連接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2+5＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大時(shí)，△PMN面積最大，∴點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．8、如圖，兩個(gè)等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）觀察猜想如圖1，點(diǎn)E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）探究證明把△CDE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把△CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC＝BC＝13，DE＝10，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)在直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng)．解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)AE交BD于H．∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，∴∠BEH+∠EBH＝90°，∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，故答案為AE＝BD，AE⊥BD．（2）結(jié)論：AE＝BD，AE⊥BD．理由：如圖2中，延長(zhǎng)AE交BD于H，交BC于O．∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠OBH＝90°，∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．（3）①當(dāng)射線AD在直線AC的上方時(shí)，作CH⊥AD用H．∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，∴EH＝DH，CH＝DE＝5，在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，∴AH＝＝12，∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．②當(dāng)射線AD在直線AC的下方時(shí)時(shí)，作CH⊥AD用H．同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，綜上所述，滿足條件的AD的值為17或7．9、如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α，BD、CE所在直線相交所成的銳角為β．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α＝0°時(shí)，＝；β＝°．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，和β的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．（3）在△ADE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)DE∥AC時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)△CBE的面積．解：（1）如圖1中，∵∠B＝90°，BA＝BC，∴∠A＝45°，AC＝AB，∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴BD＝AB，EC＝AC，∴＝，β＝45°，故答案為，45°．（2）結(jié)論：和β的大小無(wú)變化．理由：如圖2中，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)O，交BD于K．∵AE＝AD，AC＝AB，∴＝＝，∴＝，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，∵∠BOK＝∠COA，∠BKO＝∠CAO＝45°，∴和β的大小無(wú)變化．（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，S△BCE＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，S△BCE＝×4×（4+2）＝8+4．綜上所述，△BCE的面積為8﹣4或8+4．10、如圖乙，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．（1）如圖甲，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C、D、E在同一條直線上時(shí)，連接BD、BE，則下列給出的四個(gè)結(jié)論中，其中正確的是哪幾個(gè)．（回答直接寫(xiě)序號(hào)）①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)：①當(dāng)∠CAE＝90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)；②直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PB長(zhǎng)的最大值和最小值．（1）解：如圖甲：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正確．②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∴∠ACE+∠AFB＝90°．∵∠DFC＝∠AFB，∴∠ACE+∠DFC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴BD⊥CE，∴②正確．③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正確．④∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④錯(cuò)誤．故答案為①②③．（2）①解：a、如圖乙﹣1中，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE＝AB﹣AE＝3．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴＝，∴＝，∴PB＝．b、如圖乙﹣2中，當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE＝9．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴＝，∴＝，∴PB＝．綜上，PB＝或．②解：a、如圖乙﹣3中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在⊙A上方與⊙A相切時(shí)，PB的值最大．理由：此時(shí)∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四邊形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝2，∴PB＝BD+PD＝3+3．綜上所述，PB長(zhǎng)的最大值是3+3．b、如圖乙﹣4中，以A為圓心AD為半徑畫(huà)圓，當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí)，PB的值最?。碛桑捍藭r(shí)∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最小，因此PB最?。逜E⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四邊形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．綜上所述，PB長(zhǎng)的最小值是3﹣3．11、如圖1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在邊AB上取一點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），在邊AC上取一點(diǎn)E，使AE＝AD，連接DE．把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），如圖2．（1）請(qǐng)你在圖2中，連接CE和BD，判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你在圖3中，畫(huà)出當(dāng)α＝45°時(shí)的圖形，連接CE和BE，求出此時(shí)△CBE的面積；（3）若AD＝1，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，在△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中，線段AM的最小值是．解：（1）如圖1中，連接EC，BD．結(jié)論：BD＝CE．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE．（2）如圖2中，由題意：∠CAE＝45°，∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AE∥BC．∴△CBE的面積與△ABC的面積相等．∵△ABC的面積為4.5，∴△CBE的面積4.5．（3）如圖3中，延長(zhǎng)AM到N，使得MN＝AM，連接CN，DM．∵AM＝MN，CM＝MD，∴四邊形ADNC是平行四邊形，