專題47-三角形中的旋轉(zhuǎn)綜合問題(解析版)

專題47三角形中的旋轉(zhuǎn)綜合問題1、如圖，點P是∠MON內(nèi)的一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B，且OA＝OB．（1）求證：PA＝PB；（2）如圖②，點C是射線AM上一點，點D是線段OB上一點，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求線段OA的長．（3）如圖③，若∠MON＝60°，將PB繞點P以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，12秒后，PA開始繞點P以每秒10°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，PA旋轉(zhuǎn)270°后停止，此時PB也隨之停止旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過程中，PA所在直線與OM所在直線的交點記為G，PB所在直線與ON所在直線的交點記為H．問PB旋轉(zhuǎn)幾秒時，PG＝PH？（1）證明：如圖①中，連接OP．∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），∴PA＝PB．（2）如圖②中，∵∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB+∠APB＝180°，∵∠CPD+∠AOB＝180°，∴∠CPD＝∠APB，∴∠APC＝∠BPD，∵PA＝PB，∠PAC＝∠PBD＝90°，∴△PAC≌△PBD（ASA），∴AC＝BD，∴OC+OD＝OA+AC+OB﹣BD＝2OA＝13，∴OA＝6.5．（3）設(shè)點P的旋轉(zhuǎn)時間為t秒．①當0＜t＜12時，不存在．②當12≤t＜21時，如圖3﹣1中，∠APG＝（10t﹣120）°，∠BPH＝2t°，當∠APG＝∠BPH時，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此時10t﹣120＝2t，t＝15．③當21≤t＜30時，如圖3﹣2中，∠APG＝180°﹣∠APA′＝180°﹣（10t﹣120）°＝（300﹣10t）°，∠BPH＝2t，當∠APG＝∠BPH時，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此時300﹣10t＝2t，t＝25．④當30≤t＜39時，如圖3﹣3中，∠APG＝（10t﹣300）°，∠BPH＝2t，當∠APG＝∠BPH時，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此時10t﹣300＝2t，t＝37.5，綜上所述，滿足條件的t的值為15s或25s或37.5s．2、（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，連接AC，BD交于點M．填空：①的值為；②∠AMB的度數(shù)為．（2）類比探究：如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，連接AC交BD的延長線于點M．請求出的值及∠AMB的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC、BD所在直線交于點M，若OD＝1，OB＝，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長．解：（1）問題發(fā)現(xiàn)①如圖1，∵∠AOB＝∠COD＝50°，∴∠COA＝∠DOB，∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB＝50°，∴∠OAB+∠ABO＝130°，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣130°＝50°，故答案為：①1；②50°；（2）類比探究如圖2，＝，∠AMB＝90°，理由是：Rt△COD中，∠DOC＝90°，CD＝2DO，∴∠DCO＝30°，∴＝tan30°＝，同理得：＝tan30°＝，∴，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴，∠CAO＝∠DBO，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；（3）拓展延伸①點C與點M重合時，如圖1，同（2）得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，，設(shè)BD＝x，則AC＝x，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x﹣2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴，整理得：x2﹣x﹣6＝0，∴（x﹣3）（x+2）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2，∴AC＝3；②點C與點M重合時，如圖2，同理得：∠AMB＝90°，，設(shè)BD＝x，則AC＝x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴+（x+2）2＝，整理得x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2，∴AC＝2；綜上所述，AC的長為3或2．3、已知在平面直角坐標系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c滿足＝0．（1）求△ABC的面積；（2）將線段BC向右平移至AD（點B對應(yīng)點A，點C對應(yīng)點D）．①當點M為x軸上任意點（不與原點重合），ME、CF分別平分∠CMO與∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF＝β，試用含α的代數(shù)式表示β；②點P為線段CD上一點（不與點C、D重合），P的橫坐標為t，連接BP、AC，BP交y軸于點E，交AC于點Q，若△CQE與△PQA的面積分別為S1，S2，試用含t的代數(shù)式表示S2﹣S1．解：（1）如圖1中，∵＝0，又∵≥0，|b+2|≥0，（c﹣4）2≥0，∴a＝5，b＝﹣2，c＝4，∴A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝5，OB＝2，OC＝4，∴AB＝OB+OA＝2+5＝7，∴S△ABC＝?AB?OC＝×7×4＝14．（2）①如圖2﹣1中，當點E在射線OB上時，α+β＝90°理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，∵∠DCF＝∠DCM＝β，∠AME＝∠AMC＝α，∴α+β＝90°．當點M在線段AB上時，如圖2﹣2中，α+β＝180°．理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，∠DCM＝∠CMB，∵∠DCM＝2∠DCF＝2β，∠FCM＝∠DCM，∠EMC＝∠CMB，∴∠FCM＝∠EMC＝β，∴∠AMC＝180°﹣2β，∵∠AME＝∠AMC+∠EMC，∴α＝β+180°﹣2β，∴α+β＝180°．當點M在線段OA的延長線上時，如圖2﹣3中，α＝β．理由：：∵CD∥AM，∴∠DCM＝∠CMB，∵∠DCF＝∠DCM，∠AME＝∠CMB，∴∠DCF＝∠AME，∴α＝β．②如圖3中，設(shè)E（0，m）．由題意：P（t，4），A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴S△BCP＝S△BCE+S△ECP，∴×t×4＝×（4﹣m）×2+×（4﹣m）×t，∴m＝，∴S2﹣S1＝S△PCA﹣S△PCE′＝×t×4﹣×t×（4﹣）＝．4、如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．（Ⅰ）如圖①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求點D的坐標；（Ⅱ）如圖②，AD＝2，將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ACE，點B，D的對應(yīng)點分別為C，E．連接DE，BD的延長線與CE相交于點F．①求DE的長；②證明：BF⊥CE．（Ⅲ）如圖③，將（Ⅱ）中的△ADE繞點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中點D，E的對應(yīng)點分別為D1，E1，點N，P分別為D1E1，D1C的中點，請直接寫出△OPN面積S的變化范圍．解：（Ⅰ）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝45°．∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．如圖①中，過點D作DG⊥OA，垂足為G．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∴，，∴，∴點D的坐標為．（Ⅱ）①如圖②中，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，∴在Rt△DAE中，，②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°，∴∠BAC＝90°，∵△ABD旋轉(zhuǎn)得到△ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△BFC中，則有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°，∴BF⊥CE．（Ⅲ）如圖③中，∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1，∴OP＝BD1，PN＝E1C，OP∥BD1，PN∥CE1∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C，∴OP⊥PN，OP＝PN，∴△OPN是等腰直角三角形，∵AB＝4，AD1＝2，∴4﹣2≤BD1≤4+2，∴2﹣1≤OP≤2+1，∴△OPN面積的最小值＝（2﹣1）2＝﹣2，△OPN的面積的最大值＝+2，∴．5、問題發(fā)現(xiàn)：如圖（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，H為CD的中點，當點C與點E重合時，BH與AE的位置關(guān)系為，BH與AE的數(shù)量關(guān)系為；問題證明：在Rt△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請就圖（2）的情形給出證明若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用：在Rt△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中，當DE∥BC時，請直接寫出BH2的長．解：問題發(fā)現(xiàn)：如圖1中，結(jié)論：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案為AE⊥BH，AE＝2BH．問題證明：如圖2中，（1）中結(jié)論成立．理由：延長BH到F使得HF＝BH，連接CF．設(shè)AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展應(yīng)用：如圖3﹣1中，當DE在BC的下方時，延長AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由題意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵?BD?BE＝?DE?BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如圖3﹣2中，當DE在BC的上方時，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．6、已知△ABC是等邊三角形，D是BC上一點，△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置．（1）如圖，旋轉(zhuǎn)中心是，∠DAE＝°；（2）如圖，如果M是AB的中點，那么經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后，點M轉(zhuǎn)動了度；（3）如果點D為BC邊上的三等分點，且△ABD的面積為3，那么四邊形ADCE的面積為．解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°∵△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，∴旋轉(zhuǎn)中心是點A，∠DAE＝∠BAC＝60°；（2）∵AB和AC為對應(yīng)邊，∴經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后，點M轉(zhuǎn)到了AC的中點位置，如圖，∴∠MAM′＝60°，∴點M轉(zhuǎn)動了60°；（3）∵△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，∴△ABD≌△ACE，∵BD＝BC，或BD＝BC，∴CD＝2BD，或CD＝BD，∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或S△ABC＝S△ABD＝3×＝，∴S四邊形ADCE＝S△ABC＝9或．故答案為點A，60；60；9或．7、如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．解：（1）∵點P，N是BC，CD的中點，∴PN∥BD，PN＝BD，∵點P，M是CD，DE的中點，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位線得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大時，△PMN的面積最大，∴DE∥BC且DE在頂點A上面，∴MN最大＝AM+AN，連接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2+5＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大時，△PMN面積最大，∴點D在BA的延長線上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．8、如圖，兩個等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）觀察猜想如圖1，點E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）探究證明把△CDE繞直角頂點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）拓展延伸：把△CDE繞點C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC＝BC＝13，DE＝10，當A、E、D三點在直線上時，請直接寫出AD的長．解：（1）如圖1中，延長AE交BD于H．∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，∴∠BEH+∠EBH＝90°，∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，故答案為AE＝BD，AE⊥BD．（2）結(jié)論：AE＝BD，AE⊥BD．理由：如圖2中，延長AE交BD于H，交BC于O．∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠BOH+∠OBH＝90°，∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．（3）①當射線AD在直線AC的上方時，作CH⊥AD用H．∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，∴EH＝DH，CH＝DE＝5，在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，∴AH＝＝12，∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．②當射線AD在直線AC的下方時時，作CH⊥AD用H．同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，綜上所述，滿足條件的AD的值為17或7．9、如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，點D、E分別是邊AB、AC的中點，連接DE，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α，BD、CE所在直線相交所成的銳角為β．（1）問題發(fā)現(xiàn)當α＝0°時，＝；β＝°．（2）拓展探究試判斷：當0°≤α＜360°時，和β的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．（3）在△ADE旋轉(zhuǎn)過程中，當DE∥AC時，直接寫出此時△CBE的面積．解：（1）如圖1中，∵∠B＝90°，BA＝BC，∴∠A＝45°，AC＝AB，∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，∴BD＝AB，EC＝AC，∴＝，β＝45°，故答案為，45°．（2）結(jié)論：和β的大小無變化．理由：如圖2中，延長CE交AB于點O，交BD于K．∵AE＝AD，AC＝AB，∴＝＝，∴＝，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，∵∠BOK＝∠COA，∠BKO＝∠CAO＝45°，∴和β的大小無變化．（3）當點E在線段AB上時，S△BCE＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，當點E在線段BA的延長線上時，S△BCE＝×4×（4+2）＝8+4．綜上所述，△BCE的面積為8﹣4或8+4．10、如圖乙，△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點P為射線BD，CE的交點．（1）如圖甲，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當C、D、E在同一條直線上時，連接BD、BE，則下列給出的四個結(jié)論中，其中正確的是哪幾個．（回答直接寫序號）①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)：①當∠CAE＝90°時，求PB的長；②直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長的最大值和最小值．（1）解：如圖甲：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正確．②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∴∠ACE+∠AFB＝90°．∵∠DFC＝∠AFB，∴∠ACE+∠DFC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴BD⊥CE，∴②正確．③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正確．④∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④錯誤．故答案為①②③．（2）①解：a、如圖乙﹣1中，當點E在AB上時，BE＝AB﹣AE＝3．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴＝，∴＝，∴PB＝．b、如圖乙﹣2中，當點E在BA延長線上時，BE＝9．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝3，同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴＝，∴＝，∴PB＝．綜上，PB＝或．②解：a、如圖乙﹣3中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A上方與⊙A相切時，PB的值最大．理由：此時∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四邊形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝2，∴PB＝BD+PD＝3+3．綜上所述，PB長的最大值是3+3．b、如圖乙﹣4中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PB的值最?。碛桑捍藭r∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜邊BC為定值，∠BCE最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四邊形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．綜上所述，PB長的最小值是3﹣3．11、如圖1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在邊AB上取一點D（點D不與點A，B重合），在邊AC上取一點E，使AE＝AD，連接DE．把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），如圖2．（1）請你在圖2中，連接CE和BD，判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）請你在圖3中，畫出當α＝45°時的圖形，連接CE和BE，求出此時△CBE的面積；（3）若AD＝1，點M是CD的中點，在△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，線段AM的最小值是．解：（1）如圖1中，連接EC，BD．結(jié)論：BD＝CE．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）．∴BD＝CE．（2）如圖2中，由題意：∠CAE＝45°，∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AE∥BC．∴△CBE的面積與△ABC的面積相等．∵△ABC的面積為4.5，∴△CBE的面積4.5．（3）如圖3中，延長AM到N，使得MN＝AM，連接CN，DM．∵AM＝MN，CM＝MD，∴四邊形ADNC是平行四邊形，