湖南省衡陽市 市第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省衡陽市市第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓上有三點(diǎn)（，）（1，2，3），它們到同一個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是，，，則，，成等差數(shù)列的充要條件是（

）

A.，，成等差數(shù)列

B.，，成等差數(shù)列

C.上述（A）、（B）同時(shí)成立

D.（A）、（B）以外的條件參考答案：B2.直線的傾斜角為

（

）A.30

B.60

C.120

D.150參考答案：C略3.已知向量=(1，2)，

=(x，1)，若//，則x＝（

）A、－2

B、－

C、

D、2參考答案：C4.某程序的框圖如圖所示，則運(yùn)行該程序后輸出的的值是（

）A．B．C．D．參考答案：A5.下列說法正確的是（）A．若a＜b，則am2＜bm2．B．命題“p或q”為真，且“p”為真，則q可真可假．C．原命題“若x=2，則x2=4”，此命題的否命題為真命題．D．命題“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x＞1”．參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A，當(dāng)m2=0時(shí)，則am2=bm2．B，命題“p或q”為真，且“p”為真，則q可真可假．C，原命題“若x=2，則x2=4”，此命題的否命題為：若x≠2，則x2≠4，此命題為假命題．D，命題“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x≥1”．【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)m2=0時(shí)，則am2=bm2．故錯(cuò)．對(duì)于B，命題“p或q”為真，且“p”為真，則q可真可假．正確．對(duì)于C，原命題“若x=2，則x2=4”，此命題的否命題為：若x≠2，則x2≠4，此命題為假命題．故錯(cuò)對(duì)于D，命題“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x≥1”故錯(cuò)．故選：B6.設(shè)橢圓()的離心率，右焦點(diǎn)，方程的兩個(gè)根分別為，，則點(diǎn)在(

)A．圓內(nèi)

B．圓上

C．圓外

D．以上都有可能參考答案：A略7.已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)是()A．僅有最小值的奇函數(shù)B．既有最大值，又有最小值的偶函數(shù)C．僅有最大值的偶函數(shù)D．既有最大值，又有最小值的奇函數(shù)參考答案：D8.已知隨機(jī)變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)＝()A．2

B．8C．18

D．20參考答案：C略9.已知等差數(shù)列中，，，則前項(xiàng)的和等于

參考答案：C設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，所以，故選.

10.某校對(duì)高一新生的體重進(jìn)行了抽樣調(diào)查，如圖是根據(jù)抽樣調(diào)查后的數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中體重（單位：kg）的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，已知被調(diào)查的學(xué)生中體重不足55kg的有36人，則被調(diào)查的高一新生體重在kg的人數(shù)是（

）A.90 B.75 C.60 D.45參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】取BC的中點(diǎn)G．連接GC1，則GC1∥FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，則∠OEH為異面直線所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得結(jié)論．【解答】解：取BC的中點(diǎn)G．連接GC1，則GC1∥FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，則∵E是CC1的中點(diǎn)，∴GC1∥EH∴∠OEH為異面直線所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案為：12.只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須都用上，且相同數(shù)字不能相鄰，這樣的四位數(shù)有__________個(gè).參考答案：1813.如圖，是水平放置的直觀圖，O'A'=3,O'B'=2,則三角形OAB的面積是

。參考答案：614.如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論中正確的是________．(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1與底面ABCD所成角的正切值是；④二面角C—B1D1－C1的正切值是；⑤過點(diǎn)A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有2條．參考答案：①②④15.從棱長(zhǎng)為3的正四面體的各頂點(diǎn)截去四個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正四面體（使截面平行于底面），所得幾何體的表面積是

.參考答案：16.已知函數(shù)，則的值為_________。參考答案：217.一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是_________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（16分）已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是實(shí)數(shù)．（1）若a=﹣，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直線y=g(x)﹣是曲線y=f（x）的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若a＜0，且b﹣a=，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值問題；（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，得到lnx0﹣x0+1=0，設(shè)t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值即可；（3）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）由題意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）x（0，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗↘從上表可知，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由題意，直線是曲線y=lnx+ax2的一條切線，設(shè)切點(diǎn)，∴切線的斜率為，∴切線的方程為，即，∴…（6分）∴l(xiāng)nx0﹣x0+1=0，設(shè)t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t'（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此時(shí)．

…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（?。┊?dāng)﹣1≤a≤0時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0，∴函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點(diǎn)，…（12分）（ⅱ）當(dāng)a＜﹣1時(shí)，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數(shù)h（x）在（0，1）上不間斷，∴函數(shù)h（x）在（0，1）上存在零點(diǎn)，另外，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0，故函數(shù)h（x）在（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，∴函數(shù)h（x）在（0，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)，∵h(yuǎn)（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數(shù)h（x）在（1，+∞）上不間斷，∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上存在零點(diǎn)，另外，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，故函數(shù)h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，∴當(dāng)﹣1≤a≤0時(shí)，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點(diǎn)，當(dāng)a＜﹣1時(shí)，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．

…（16分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．19.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，,∥,，，底面，與底面成30°角.（1）若于點(diǎn)，求證：；（2）求平面PAB與平面PCD夾角的正切值.參考答案：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,，，，，，∴，，∴，∴

…………5分（2）易知，則平面，∴是平面的一個(gè)法向量，∴，又設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,，而，∴由，得，解得，令,∴，設(shè)平面PAB與平面PCD夾角為，則，∴.∴平面PAB與平面PCD夾角的正切值為2.…………12分略20.拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，且|MF|=．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）利用拋物線的定義直接求拋物線C的方程；（Ⅱ）過焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，設(shè)MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0），聯(lián)立直線與拋物線方程組成方程組，利用弦長(zhǎng)公式，求出MN，PQ，推出四邊形MPNQ的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求四邊形MPNQ面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知：1+=，∴p=故拋物線C的方程為：y2=x…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（，0）設(shè)MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0）…由得：y2﹣my﹣=0∵△=m2+1＞0∴|MN|==m2+1…同理：|PQ|=+1…．∴四邊形MPNQ的面積：S=（m2+1）（+1）=（2++m2）≥2（當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)等號(hào)成立）∴四邊形MPNQ的面積的最小值為2．…21.如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2EF=2，，EF⊥FB，∠BFC=，BF=FC，H為BC的中點(diǎn).（1）求證：平面EDB；（2）求證：AC⊥平面EDB；（3）求四面體B—DEF的體積.

參考答案：略22.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，a∈R．（1）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，求a的值；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值；（3）當(dāng)a=﹣1時(shí)，關(guān)于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的值．參考答案：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），所以f′（x）=﹣a=．

因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．經(jīng)檢驗(yàn)，a=1符合題意．（不檢驗(yàn)不扣分）

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．令f′（x）=0得x=．因?yàn)閤∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，①當(dāng)0＜≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時(shí)，f（x）取最大值f（1）=﹣a；②當(dāng)1＜＜2，即＜a＜1時(shí)，f（x）在（1，）上遞增，在（，2）上遞減，所以x=時(shí)，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；③當(dāng)≥2，即0＜a≤時(shí)，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時(shí)，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．綜上，①當(dāng)0＜a≤時(shí)，f（x）最大值為ln2﹣2a；②當(dāng)＜a＜1時(shí)，f（x）最大值為﹣lna﹣1；③當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）最大值為﹣a．

（3）因?yàn)榉匠?mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，則g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因?yàn)閙＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，當(dāng)x