立體幾何 03旋轉(zhuǎn)體與斜柱背景問題 突破專項(xiàng)訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)解答題

臨澧一中2022屆高三數(shù)學(xué)解答題突破專項(xiàng)訓(xùn)練立體幾何03（旋轉(zhuǎn)體與斜柱背景問題）1．如圖，在三棱柱中，，，頂點(diǎn)在底面上的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是線段上除端點(diǎn)以外的一點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積是三棱柱的體積的，求的值．2．如圖，在圓錐中，為的直徑，點(diǎn)在上，，．（1）證明：平面；（2）若直線與底面所成角的大小為，且底面圓的面積為，求三棱錐的體積．3．如圖，在底面半徑為2、高為4的圓柱中，，分別是上、下底面的圓心，四邊形是該圓柱的軸截面，已知是線段的中點(diǎn)，是下底面半圓周上靠近的三等分點(diǎn)．（1）求三棱錐的體積；（2）在底面圓周上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請找出符合條件的所有點(diǎn)并證明；若不存在，請說明理由．4．如圖所示的斜三棱柱中，點(diǎn)在底面的投影為邊的中點(diǎn)，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．5．如圖，圓柱的高為3，是圓柱的下底面圓的內(nèi)接三角形，是上底面圓內(nèi)的一條弦，，均為圓柱的母線，且，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若是等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值．6．如圖，在四棱柱中，四邊形為正方形，各棱長均為1，．（1）證明：；（2）若，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．7．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)為底面圓周上異于，的點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若圓柱的側(cè)面積為，體積為，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，設(shè)，是否存在角使得直線與平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相應(yīng)的正弦值，并求出；若不存在，說明理由．8．如圖，，分別是圓臺上、下底面的圓心，是下底面圓的直徑，，點(diǎn)是下底面內(nèi)以為直徑的圓上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)不在上）．（1）求證：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值．9．如圖，已知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是正方形，，分別為，的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，若平面，且，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．參考答案1．（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，點(diǎn)在底面上的射影為，平面，又平面，平面平面，，，平面平面，平面，連接，，，四邊形為平行四邊形，得，平面；（2）由（1）得平面，，，，令，，，又，由已知可得，解得．為的中點(diǎn)，即．2．（1）證明：如圖，圓錐底面，，為的直徑，點(diǎn)在上，，又，，又，、平面，平面；（2）底面圓的面積為，，，在中，，，則，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，又直線與底面所成角的大小為，，則．3．（1）因?yàn)閳A柱的底面半徑為2、高為4，是線段的中點(diǎn)，是半圓周上的三等分點(diǎn)，所以三棱錐的體積為：．（2）存在點(diǎn)，為的中點(diǎn)，使得平面．理由如下：連接，因?yàn)椤⑹前雸A周的三等分點(diǎn)，所以；又，所以為等邊三角形，所以，所以；又平面，平面，所以平面；由是圓柱的軸截面，所以四邊形是矩形；又因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，所以，即；又平面，平面，所以平面；且，平面，平面，所以平面平面；又平面，所以平面．4．（1）證明：，，，，即，點(diǎn)在底面的投影為邊的中點(diǎn)，平面，可得，，平面，而平面，平面平面；（2）由已知可得，，，點(diǎn)到平面的距離為，平面，點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，等于，且，又由，，，得，，在中，由，得．由（1）知平面，，．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法可知：，即，即．點(diǎn)到平面的距離為2．5．（1）證明：連接，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）以底面垂直于的直線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，若是等邊三角形，則可得，0，，，1，，，2，，，2，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，，，，，，則，1，，，2，，，1，，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，則，0，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，所以直線與平面所成角的正弦值為．6．（1）證明：如圖，連接，，，記，連接．因?yàn)椋?，，△△，所以．因?yàn)樗倪呅螢檎叫危詾榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕驗(yàn)槠矫?，平面，且，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕?）連接．因?yàn)樗倪呅问沁呴L為1的正方形，所以．因?yàn)?，且，所以．由?）可知，所以，所以，則，且．因?yàn)槠矫妫矫?，且，所以平面．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．因?yàn)?，所以，解得．因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)到平面的距離為．假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，則，即．過作，垂足為，連接，則點(diǎn)在的延長線上，．設(shè)，則，從而，解得．因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以，所以假設(shè)不成立，即不存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為．7．（1）證明：因?yàn)槭菆A的直徑，點(diǎn)是圓周上一點(diǎn)，所以，即，又在圓柱中，母線底面，底面，所以，又，平面，平面，所以平面；（2）設(shè)圓柱底面半徑為，母線為，則，解得，在中，過作交于點(diǎn)，由（1）知平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，若與不重合，則即為直線與平面所成的角；若與重合，直線與平面所成的角為，設(shè)，，在中，，在中，，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時等號成立，故時，直線與平面所成的角的正弦值最大，最大值為1．8．（1）證明：由題意可得平面，，為直徑，，又，平面，又平面，平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，可得，，，，2，，，0，，，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，由，取，得；由，取，得．．由圖可知二面角為鈍角，二面角的余弦值為．9．（1）證明：因?yàn)?，，所以，平面分別與兩個平行