向量的概念課件

向量的概念

基本內(nèi)容

§1.1向量的概念

一、向量的定義：

既有大小又有方向的量稱為向量，如力、速度、位移等。

二、向量的表示：

用帶箭頭的線條表示向量，箭頭表示向量的方向，線條長度代表向量的大

??；向量的大小又叫向量的摸（長度）。始點為A,終點為B的向量，記作初，

其摸記做陷。

注：為方便起見，今后除少數(shù)情形用向量的始、終點字母標(biāo)記向量外

我們一般用小寫黑體字母a、b、c……標(biāo)記向量.

三、兩種特殊向量：

1、零向量：模等于0的向量為零向量，簡稱零矢，以0記之。

注：零向量是唯一方向不定的向量。

2、單位向量：模等于1的向量稱為單位向量。特別與非0向量反同方向的單

位向量稱為發(fā)的單位向量，記作.

四、向量間的幾種特殊關(guān)系：

1、平行（共線）：向量a平行于向量b,意即a所在直線平行于b所在

直線，記作a〃b,規(guī)定：零向量平行于任何向量，

.\a\=國且

2、相等：向量a等于向量b,意即L與占同向,記作a=b。

規(guī)定：所有零矢均相等。

注：二向量相等與否，僅取決于它們的模與方向，而與其位置無關(guān)，這種與位

置無關(guān)的向量稱為自由向量。

3、反向量：與向量。模相等但方向相反的向量稱為白的反向量，記作一。，顯

然-益=麗，-（-?）=?,零向量的反向量還是其自身。

4、共面向量：平行于同一平面的一組向量稱為共面向量，易見，任兩個向量

總是共面的，零向量與任何共面向量組共面。

注：應(yīng)把向量與數(shù)量嚴(yán)格區(qū)別開來：

①向量不能比較大小，如荔〉麗沒有意義；

AB

②向量嚴(yán)禁除法運算，如無此類式子不允許出現(xiàn)。

§1.2向量的加法

一向量的加法定義：

定義1設(shè)13=礪，以扇與礪為邊作一平行四邊形CMC3,取對

角線向量。C,記萬=前，如圖1-3,稱萬為萬與5之和，并記作1=2+5

（圖1.1）

這種用平行四邊形的對角線向量來規(guī)定兩個向量之和的方法稱作向量加

法的平行四邊形法則.

如果向量萬=石與向量后=幅在同一直線上，那么，規(guī)定它們的和是這樣

一個向量：

若04與5豆的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量相同，其模等

于兩向量的模之和（圖1.2）.

（圖1.2）

O

若與。百的指向相反時，和向量的模等于兩向量的模之差，其方向

與模值大的向量方向一致（圖1.3）.

（圖1.3）

O-----------—C

由于平行四邊形的對邊平行且相等，可用以下方法來作兩向量的和

定義2作=以5N的終點為起點作三=5,聯(lián)接

（圖1.4）得苕+S=OC="（1.2-1）

該方法稱作向量加法的三角形法則.

向量加法的三角形法則的實質(zhì)是：將兩向量的首尾相聯(lián)，則一向量的首

與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量.

二、向量加法的運算規(guī)律

定理向量的加法滿足下面的運算律：

1、交換律a+b=b+a,(1.2-2)

2、結(jié)合律(左+易+^=1+(3+3=1+3+5(1.2-3)

證交換律的證明從向量的加法定義即可得證，結(jié)合律的證明從圖1.5可得證.

三向量的減法

定義3若己=計3,則我們把后叫做5與在的差，記為后="一公顯

然，1-5=1+(—5),特別地，a-a=a+(-a)=O

由三角形法則可看出：要從才減去后，只要把與否長度相同而方向相反的向量

一彳加到向量1上去.由平行四邊形法則，可如下作出向量萬一占(圖1.6).

例1設(shè)互不共線的三向量&、*與3,試證明順次將它們的終點與始點相

連而成一個三角形的充要條件是它們的和是零向量.

證必要性設(shè)三向量方、石、5可以構(gòu)成三角形3c(圖1.7),

即有

AB=a,BC=b,CA=c

那么，

AB+BC+CA=AA=O,

即

〃+1+c=0

充分性設(shè)a+B+c=6,作AB=a,BC=b,那么AC=a+b所以

AC+c=O,從而5=豆，所以］、后、5可以構(gòu)成三角形3c.

例2用向量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

證設(shè)四邊形45cZ）的對角線RC、BD交于。點且互相平分

（圖19）

（圖1.9）因此從圖可看出：

AB=AO+OB=OB+AO=Dd+OC=DC

=

所以,AB//DC,KMM,即四邊形ABCD為平行四邊形.

§1.3數(shù)量乘向量

一、數(shù)量乘向量的定義

定義1設(shè)工是一個數(shù)量，向量茂與4的乘積是一向量，記作力甚，其模等

于同的4倍，即根團(tuán)=回同；且方向規(guī)定如下：當(dāng)工＞°時-，向量的方向

與反的方向相同；當(dāng)4=°時，向量兄&是零向量，當(dāng)外〈°時，向量外茂的方向

與應(yīng)的方向相反.特別地，取工=-1,則向量（一1）&的模與&的模相等，而方向

相反，由負(fù)向量的定義知：（一1）七=一在.

二、數(shù)乘向量運算的運算規(guī)律

定理2.數(shù)量與向量的乘法滿足下面的運算律：

1、結(jié)合律處⑷="（如=（四）左，（1.3-1）

2、第一分配律（4+〃*=41+〃漢（1.3-2）

3、第二分配律4"+易=41+密.（1.3-3）

證1、顯然，向量以3左）、〃（如、的方向是一致，且

|N（向I=1〃（總）1=（4〃）￡=/川I].

三、一個常用的結(jié)論

定理3.若后=兄&（幾為數(shù)量）,則向量a與向量3平行，記作在〃不；反之,

若向量1與向量3平行，則*=尢2（4是數(shù)量）.

簡言之，在"后=三數(shù)；I,使后=41.

設(shè)在是非零向量，用日°表示與&同方向的單位向量.

由于同日°與"同方向，從而同日°與在亦同方向，而且

|同.泊卜同叔。|二團(tuán)

ta_1-_亙

即。=同a°.我們規(guī)定：若N。0,4—2".于是4=同.

這表明：一個非零向量除以它的模是一個與原向量同方向的單位向量.

了一后+5（—1后+^^

I25）

例1化簡

11」11占一3不）_（511-

?_g+5-*5&+=（1—3）?+-1——+—?5b

解I/V25；

c-51

=-2a-—b

2

例2試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.

->T—>—>

證明AM=MC.BM=MD而

AD=AM+MD=MC+BM=BC

則ib與病平行且相等.命題得證.

向量的線性關(guān)系與向量的分解

基本內(nèi)容

§1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解

一、定義和幾個定理

定義1由向量與數(shù)量4,辦…，4所組成的向量

TT—>—>—>—>

日=4%+劣％+■??+4%叫做向量即%???,%的線性組合，或稱在可以用向量

，,%一?,%線性表示或稱1可以分解成向量%，％，…，%的線性組合.

定理1如果向量一。o,那么向量；與向量一共線的充要條件是；可用向量一線性表示,

即存在實數(shù)x使得；=X),(1.4-1)并且系數(shù)x由5與,唯一確定.

證若「=x&成立，那么由定義1知向量5與向量e共線.反之，如果向量;與向量e共

線，那么一定存在實數(shù)x使得>=X)

再證x的唯一性：

如果r=xe=x'e,那么(*一*%=°,而所以，x=x'.

TTTTTT

定理2如果向量不共線，那么向量：與鑄出?共面的充要條件是,可用向量4，°2

TT

線性表示，即尸=".+丁&2,(142)并且系數(shù)冗了由

6,生唯一確定.

7?*->TTTTTTTTTT

證因明與弓2不共線，由定義］知工4〃/,丁的〃6品工o,e2工0設(shè)；與。1,生中之

一共線，那么由定理1有產(chǎn)="6+了°2,期>zy中有一個為零；如果［與馬了？都不共線,

把它們歸結(jié)共同的始點。，并設(shè)?，?%，°坊=。2,OP=r,

那么經(jīng)過7的終點產(chǎn)分別作

。外，。當(dāng)?shù)钠叫芯€依次交直線耳

r、T

于48(圖)，因血和，0BII62

由定理1可設(shè)3=工6,OB=ye2,所以由平行四邊形法則得

TT

OP=OA+OB,即尸=叼+—

TTTT

反之，設(shè)廠=”.+了&2,如果見,中有一個為零，如X=0,那么產(chǎn)與電共線,

因此與6，°2共面.如果孫工°,那么

TTTT

叼〃/,庶2〃牝，

TTTT

從向量加法的平行四邊形法則知；與工6/°2都共面，則;與.,82共面.

最后證不了的唯一性.因為

,

r=xex+ye2=xe1+y'e2,

那么

（x-x'.i+O-y'M=6,

,3=-3]

1J,t

如果XWX’，那么X—X,，將有4〃備，這與假設(shè)矛盾，所以x=x'.同理y=y,

這就證明了唯一性.

34..TTT

定理3如果向量收便“小不共面，那么空間任意向量；可以由向量的道2/3線性表

示，即存在一組實數(shù)苞了/使得

「=應(yīng)+總+z1,（143）

TTT

并且系數(shù)苞了*由%,02,%亍唯一確定.

—>—>—>

定義2對于力（*1）個向量％%???，4,若存在不全為零的實數(shù)4,人，…，4,使

得4%+4%+…+4%=G,（1.4-4）則稱向量

TTT

%，％，…，外線性相關(guān)

TTT

不是線性相關(guān)的向量叫做線性無關(guān)，即向量％，）2,…,%線性無關(guān)：

4.+42a2+…+4?a*=oQ4=%=一?=4=。

定理4在附22時，向量&1，%，…，%線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量是

其余向量的線性組合.

TTT

證設(shè)向量的‘生，…，/線性相關(guān)，則存在不全為零的實數(shù)使得

TTT一

4%+%%+…+4%=0,且％，外，…，4中至少有一個不等于O,不妨設(shè)°,

則

TTTT

反過來，設(shè)向量的中有一個向量，不妨設(shè)為%,它是其余向量的線性組合,

即

即

4%+42a2+…++（T）%=0

T

因為數(shù)4'%'…，-i不全為o,所以向量的線性相關(guān).

顯然，如果一組向量中的部分向量線性相關(guān)，那么這一組向量就線性相關(guān).

如果一組向量中含有零向量，那么這一組向量就線性相關(guān)

類似地可證明下面的定理：

定理5兩向量F與e共線=r，e線性相關(guān).

TTTT

定理6三向量尸與共面6，。2,產(chǎn)線性相關(guān).

定理7空間任意四個或四個以上的向量總是線性相關(guān)的.

例1試證明：點"在線段上的充要條件是：存在非負(fù)實數(shù)瓦〃，使得

OM=ZOM/aOB且4+〃=1,其中。是任意取定的-點.

0<AM<一4￡

證（先證必要性）設(shè)W在線段力8上，則金河與上8同向，且,所

以，0<^<1.

任取一點°，所以

OM-OA=k（pB-OA）

則

OM=（y-k）OA+kOB

取4二1一左,〃二上則4+〃=1220,〃20

TTT

（充分性）若對任一點。有非負(fù)實數(shù)瓦〃，使得0兇=204〃°￡,且4+〃=1則

所以而與金方共線，即M在直線A?上.又O=,所以M在線段工夕上.

小結(jié)

.§1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解

一、定義和幾個定理

—>—>T

定義1由向量％，%，…，%與數(shù)量4,4，???，4所組成的向量

TTTTTT

a=4%+%%+…+4%叫做向量%%，“、%的線性組合,或稱臣可以用向

TTTTTT

量%,線性表示,或稱左可以分解成向量固,%,…,％的線性組合.

定理1如果向量那么向量；與向量5共線的充要條件是,可用向量一

線性表示，即存在實數(shù)X使得；=?,（L4T）并且系數(shù)X由J與；唯一確定.

證若廣=xe成立，那么由定義1知向量r與向量e共線.反之，如果向量廣與

向量一共線，那么一定存在實數(shù)x使得；=?

再證x的唯一性：

如果r=xe=x'e,那么（“一工）”。，而e。。，所以，z=/

TTTT

定理2如果向量，，牝不共線，那么向量,與，道2共面的充要條件是「可用

TTTT

向量。1，。2線性表示，即尸=21+,62,（1.4-2）并且系數(shù)冗了由

TT

，啟，r唯一確定.

（7->TTTTTTTTTT

證因叫與。2不共線，由定義1知工/〃6,”2〃。2品工0gH0.設(shè),與,道2

TT

中之一共線，那么由定理1有尸其中無了中有一個為零；如果,與

TT

e

.，備都不共線,把它們歸結(jié)共同的始點。,并設(shè)°E\=i,OE%=e2,OP=r,

那么經(jīng)過7的終點產(chǎn)分別作

S\的平行線依次交直線。%，。％

于48（圖），因血場，OBHe2

T—TT

由定理1可設(shè)加=工6,0B=y5,所以由平行四邊形法則得

TT

OP=OA+OB,即尸

TTT

反之，設(shè)尸=".+了。2,如果冗了中有一個為零，如工=0,那么尸二丁6與

TTT

°2共線，因此與共面.如果孫工0,那么

叼〃/山2〃。2

TTTT

從向量加法的平行四邊形法則知7與工6，”2都共面，則,與色，備共面.

最后證不了的唯一性.因為

r=^1+ye2=^ei+y'e2,

那么

f/

(x-x)e1+(y-y)e2=6,

；=,221Z；--

如果XHX',那么1x-/2,將有6〃馬，這與假設(shè)矛盾，所以x=x’.同理

y=V,這就證明了唯一性.

??，.TTT

定理3如果向量抑(不共面，那么空間任意向量7可以由向量與，叼道3

線性表示，即存在一組實數(shù)兄使得

r=x&1+ye2+ze3；(1.4-3)

TTT

并且系數(shù)無y，z由4,?品/唯一確定.

TTT

定義2對于用色之1)個向量%，%「?，％,若存在不全為零的實數(shù)

TTT_

兒孫…人,使得4%+為。2+…+4%=0,(1.4-4)則稱向量

TTT

%，％，…，/線性相關(guān).

TTT

不是線性相關(guān)的向量叫做線性無關(guān)，即向量%，％，…，%線性無關(guān)：

4以1+22d2+…+兄及。畜=o=4=%=…=4=。

TTT

定理4在%22時向量的，&2產(chǎn)1%線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個

向量是其余向量的線性組合.

證設(shè)向量線性相關(guān)，則存在不全為零的實數(shù)血石，…，4使得

TTT一

4%+4的+…+&%=0,且4，石，…，4中至少有-個不等于o,不妨設(shè)

9

則

反過來，設(shè)向量中有一個向量，不妨設(shè)為陶,它是其余向量的

線性組合，即

a*=+442+…+4-1外-1,

即

441+&的+…+4-1即-1+(-1)即=o.

TT—>

因為數(shù)4,4，…，為1,-1不全為o,所以向量劣，叫「1%線性相關(guān).

顯然，如果一組向量中的部分向量線性相關(guān)，那么這一組向量就線性相關(guān).

如果一組向量中含有零向量，那么這一組向量就線性相關(guān)

類似地可證明下面的定理：

定理5兩向量r與e共線=”線性相關(guān).

TTTT

定理6三向量尸與共面鼻，生，產(chǎn)線性相關(guān).

定理7空間任意四個或四個以上的向量總是線性相關(guān)的.

例1試證明：點M在線段工8上的充要條件是：存在非負(fù)實數(shù)無”，使得

國=4藐〃電且2+"=1,其中。是任意取定的一點.

_0<AM<AB

證（先證必要性）設(shè)河在線段48上則上股與上月同向，且，

所以,0<k<\.

任取一點°，所以

OM-0A=k（0B-0A）

則

OM=（y-）e）dA+kOB

取4=1—左,〃=左則兒+〃=1220,〃20

—>—>T

（充分性）若對任一點。有非負(fù)實數(shù)兒”，使得。M=4Q41"〃。？，且

2+4=1則

所以次與上方共線，即心在直線為8上.又°工〃<I,所以M在線段上.

小結(jié)

§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)

一空間點的直角坐標(biāo)：

平面直角坐標(biāo)系使我們建立了平面上的點與…對有序數(shù)組（無沙之間的一一

對應(yīng)關(guān)系，溝通了平面圖形與數(shù)的研究.

為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們用類似于平面解析幾何的方法，通過

引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實現(xiàn).

1、空間直角坐標(biāo)系

過空間一定點°,作三條互相垂直的數(shù)軸，它們以°為原點，且一般具有相

同的長度單位，這三條軸分別叫X軸（橫軸）、丁軸（縱軸）、Z軸（豎軸），且統(tǒng)稱

為坐標(biāo)軸.

通常把X軸，了軸配置在水平面上，而Z軸則是鉛垂線，它們的正方向要符

合右手規(guī)則：

（圖1.⑶

右手握住Z軸，當(dāng)右手的四個指頭從X軸的正向以90。角度轉(zhuǎn)向了軸正向時,

大拇指的指向就是z軸正向.

三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點。叫做坐標(biāo)原點.

注：為使空間直角坐標(biāo)系畫得更富于立體感，通常把無軸與了軸間的夾角畫

成130。左右.當(dāng)然，它們的實際夾角還是90。.

2、坐標(biāo)面與卦限

三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐

標(biāo)面.

由x軸與了軸所決定的坐標(biāo)面稱為柒少面，另外還有xoz面與戶區(qū)面.

三個坐標(biāo)面把空間分成了八個部分，這八個部分稱為卦限.

（圖L14）

3、空間點的直角坐標(biāo)

取定空間直角坐標(biāo)系之后，我們就可以建立起空間點與有序數(shù)組之間的對應(yīng)

關(guān)系.

設(shè)般為空間的一已知點，過兇點分別作垂直于X軸、了軸、z軸的三個平

面，它們與x軸、了軸、z軸的交點依次為尸，0，及，這三點在x軸、了軸、z軸

的坐標(biāo)依次為冗于是：空間點就唯一地確定了一個有序數(shù)組冗M(jìn)Z,這組

數(shù)叫加"點的坐標(biāo).

依次稱不HZ為點N的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，記為

（圖1.15）

反過來，若已知一有序數(shù)組冗y，z,我們可以在k軸上取坐標(biāo)為x的點產(chǎn)，

在了軸上取坐標(biāo)為丁的點0,在Z軸取坐標(biāo)為Z的點正，然后過尸、Q、五分別

作K軸、了軸、Z軸的垂直平面，這三個平面的交點M就是以有序數(shù)組XJ，Z為

坐標(biāo)的空間點.

這樣，通過空間直角坐標(biāo)系，我們建立了空間點可和有序數(shù)組元y，z之間的

--,對應(yīng)關(guān)系.

定義1我們把上面有序數(shù)組/KZ叫點N在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記為

二空間兩點間的距離公式

定理1設(shè)弧/，必，4)、初式叼仍向)為空間的兩點，則兩點間的距離為

d=1MM1=+(%-4)'+(Zi-zj'(1.5-1)

證過加;、％各作三個分別垂直于三坐標(biāo)軸的平面，這六個平面圍成一個

以"2為對角線的長方體，如圖所示

"孔笆是直角三角形，故

d2=陷必F=+

因為△%尸"是直角三角形，故

|M2vf=+|P2V|2

從而

d1=IM邛+戶/2+1年f；

而

附出=用固=卜2-討，|PN|=IQQ|=I力-川,叫|=|耳&卜卜2-町|,

故

特別地，點M（xJ，z）與坐標(biāo)原點°（0,0,0）的距離為

d=J/+y2+z2

三空間向量的坐標(biāo)

定義2設(shè)司后風(fēng)是與坐標(biāo)軸xj,z同向的單位向量，對空間任意向量：都

存在唯一的一組實數(shù)XJ/使得尸=癡1+丁，2+Z&,那么我們把這組有序的實數(shù)

x,y,z叫做向量r在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，記為尸｛xj，z｝或尸=｛x.y.z｝

定理2設(shè)向量弧舷2的始、終點坐標(biāo)分別為監(jiān)乞，必，4）、此（與必用），

T

那么向量舷】取2的坐標(biāo)為

%舷2=｛々一孫乃一必工2-卬.（1.5-2）

證由點及向量坐標(biāo)的定義知

0M\=內(nèi)為+y1e2+z1e3,OM2=x2%+y2e2+z3&3,

所以

由定義知

定理3兩向量和的分量等于兩向量對應(yīng)的分量的和.

證設(shè)

a=｛々Ji，zj,?=詢乃㈤,

那么

=+

=(々+電,1+01+乃)e?+(Z1+Z2”3,

所以

。+1=｛再+巧,乃+乃,Zi+z2｝.(1.5-3)

類似地可證卜面的兩定理：

定理4設(shè)1=必與},則然'={秩,為2,@3}.

定理5設(shè)。=(和乃，zj,b={x2,y2,z2]f則工彳共線的充要條件是

^(1.5-4)

定理6三非零向量彳={和為，/},后={叼，刈，22},}={%,乃,Z3},共面的

充要條件是

玉必4

勺y2ZQ=0

今乃.(1.5-5)

證因為瓦不共面，所以存在不全為o的實數(shù)2區(qū)/使得

4a+誦+yc=0,

由此可得

因為4，〃，/不全為0,所以

不弘入

電y2Z2=0

入3%Z3

定理1向量次在軸“上的投影等于向量的模?與?乘以軸乂與向量下的

夾角*的余弦.即

prjAB-L45cos^)

u(1.6-1)

小結(jié)

§1.