權(quán)向量的求法

層次分析方法倪致祥主講層次分析法是一種多準那么思維的方法，它將定性分析和定量分析相結(jié)合，把人們的思維過程層次化和數(shù)量化，在目標結(jié)構(gòu)復雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下尤為實用。自70年代美國運籌學家SaatyT.L.提出以來，此方法在實際應用中開展很快。過去的物理是建立在純化的實驗和理想化的模型的根底上，去分析和探索物質(zhì)世界最根本的規(guī)律。現(xiàn)代物理那么開始呈現(xiàn)出一種研究復雜性現(xiàn)象的趨勢，除了把物理知識應用到其它更復雜的科學領(lǐng)域，建立象量子化學、生物物理、量子生物學等交叉學科之外，在物理領(lǐng)域的本身也一反過去研究理想模型的慣例，開始向非理想、不規(guī)那么的復雜現(xiàn)象進軍。非晶態(tài)、無序、混沌、多體等問題正在吸引許多物理學家的注意。對這些復雜問題，傳統(tǒng)的純定量分析方法越來越變得軟弱無力，需要借助于定性分析的方法來整體考慮。因此，層次分析方法也許會給我們提供幫助。問題1某工廠在擴大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤。在決策時需要考慮的因素主要有調(diào)動職工勞動生產(chǎn)積極性；提高職工文化水平；改善職工物質(zhì)文化生活狀況。請你對這些因素的重要性進行排序，以供廠領(lǐng)導作參考。分析和試探求解這個問題涉及到多個因素的綜合比擬。由于不存在定量的指標，單憑個人的主觀判斷雖然可以比擬兩個因素的相對優(yōu)劣，但往往很難給出一個比擬客觀的多因素優(yōu)劣次序。為了解決這個問題，我們能不能把復雜的多因素綜合比擬問題轉(zhuǎn)化為簡單的兩因素相比照擬問題呢？運籌學家想出了一個好方法：首先找出所有兩兩比擬的結(jié)果，并且把它們定量化；然后再運用適當?shù)臄?shù)學方法從所有兩兩相比照擬的結(jié)果之中求出多因素綜合比擬的結(jié)果。具體操作過程如下：1)進行兩兩相比照擬，并把比擬的結(jié)果定量化。首先我們把各個因素標記為B1：調(diào)動職工勞動生產(chǎn)積極性；B2：提高職工文化水平；B3：改善職工物質(zhì)文化生活狀況。根據(jù)心理學的研究，在進行定性的成比照擬時，人們頭腦中通常有5種明顯的等級：相同、稍強、強、明顯強、絕對強。因此我們可以按照下表用1～9尺度來定量化。定性結(jié)果定量結(jié)果Bi與Bj的影響相同Bi:Bj=1:1Bi比Bj的影響稍強Bi:Bj=3:1Bi比Bj的影響強Bi:Bj=5:1Bi比Bj的影響明顯強Bi:Bj=7:1Bi比Bj的影響絕對強Bi:Bj=9:1Bi與Bj的影響在上述兩個等級之間Bi:Bj=2,4,6,8:1Bi與Bj的影響和上述情況相反Bi:Bj=1:1,2,…,9假定各因素重要性之間的相對關(guān)系為：B2比B1的影響強，B3比B1的影響稍強，B2比B3的影響稍強，那么兩兩相比照擬的定量結(jié)果如下：為了便于數(shù)學處理，我們通常把上面的結(jié)果寫成如下矩陣形式，稱為成比照擬矩陣。(1)2)綜合排序為了進行合理的綜合排序，我們把各因素的重要性與物體的重量進行類比。設有n件物體：A1,A2,…,An，它們的重量分別為：w1,w2,…,wn。假設將它們兩兩相互比擬重量，其比值(相對重量)可構(gòu)成一個n×n成比照擬矩陣(2)經(jīng)過仔細觀察，我們發(fā)現(xiàn)成比照擬矩陣的各行之和恰好與重量向量W=(w1,w2,…,wn)T成正比，即(3)根據(jù)類比性，我們猜測因素的重要性向量與成比照擬矩陣(1)之間也有同樣的關(guān)系存在。由此，我們可以得到因素的重要性向量為(4)為了使用方便，我們可以適當?shù)剡x擇比例因子，使得各因素重要性的數(shù)值之和為1(這個過程稱為歸一化，歸一化后因素重要性的數(shù)值稱為權(quán)重，重要性向量稱為權(quán)重向量)，這樣就得到一個權(quán)重向量(5)上式中元素的權(quán)重大小給出了各因素重要性的綜合排序。對(2)式的進一步分析還可以發(fā)現(xiàn)(6)這說明W還是成比照擬矩陣A的特征向量，對應的特征值為n，理論上已嚴格地證明了n是A的唯一最大特征值。按類比法，我們也可以用求解特征方程的方法來得到重要性向量。與(1)式對應的特征方程為(7)由此可以解出其最大特征值為n’=3.038，對應的特征向量為：W’=(0.105,0.537,0.258)T(8)矛盾和原因同一個問題，相似的方法，為什么(5)與(8)兩個結(jié)果不一致〔盡管不影響排序〕？現(xiàn)在我們來分析一下其中的原因。對于由重量比值構(gòu)成的成比照擬矩陣(2)，不難證明它具有性質(zhì)1)唯一性ai,i=1；2)互反性ai,j=1/aj,i；3)一致性ai,jaj,k=ai,k。然而，重要性是由人來判斷的，由于人對復雜事物采用兩兩比擬的方法獲得的重要性比值不可能做到完全一致，往往存在估計誤差，因此所得的成比照擬矩陣只具有性質(zhì)1)和2)，一般不具有性質(zhì)3)。比方說對于成比照擬矩陣(1)，就有一致性的缺少是造成兩種類比方法結(jié)果不同的原因。利用最小二乘法可以證明：用求解特征方程得到的權(quán)重向量平均誤差較小。因此我們最好采用這個方法來求解權(quán)重向量。一致性檢驗既然存在誤差，我們就需要知道誤差的程度到底有多大？會不會影響綜合排序的結(jié)果？理論上已經(jīng)證明：對于具有一致性的成比照擬矩陣，最大特征值為n；反之如果一個成比照擬矩陣的最大特征值為n，那么一定具有一致性。估計誤差的存在破壞了一致性，必然導致特征向量及特征值也有偏差。我們用n’表示帶有偏差的最大特征值，那么n’與n之差的大小反映了不一致的程度。考慮到因素個數(shù)的影響，Saaty將(9)定義為一致性指標。當CI=0時，成比照擬矩陣A矩陣完全一致，否那么就存在不一致；CI越大，不一致程度越大。為了確定不一致程度的允許范圍，Saaty又定義了一個一致性比率CR，當(10)時，認為其不一致性可以被接受，不會影響排序的定性結(jié)果。(10)式中RI值如下表所示n12345678910RI000.580.961.121.241.321.411.451.49應用上面的結(jié)果，我們可以算出成比照擬矩陣(1)有CI=0.019，CR=0.033(11)因此其不一致性可以被接受。問題2某工廠在擴大企業(yè)自主權(quán)后，廠領(lǐng)導正在考慮如何合理地使用企業(yè)留成的利潤?？晒┻x擇的方案有：I、發(fā)獎金；II、擴建食堂、托兒所；III、開辦職工技校；IV、建圖書館；V、引進新技術(shù)。在決策時需要考慮到調(diào)動職工勞動生產(chǎn)積極性，提高職工文化水平和改善職工物質(zhì)文化生活狀況等三個方面。請你對這些方案的優(yōu)劣性進排序，以便廠領(lǐng)導作決策。解答劃分層次顯然這是一個多目標的決策，問題涉及到許多因素，各種因素的作用相互交叉，情況比擬復雜。要處理這類復雜的決策問題，首先需要對問題所涉及的因素進行分析：哪些是要相互比擬的；哪些是相互影響的。把那些要相互比擬的因素歸成同一類，構(gòu)造出一個各因素類之間相互聯(lián)結(jié)的層次結(jié)構(gòu)模型。各因素類的層次級別由其與目標的關(guān)系而定。在上述問題中，因素可以分為三類：第一是目標類，即合理地使用今年企業(yè)留利××萬元；第二是準那么類，這是衡量目標能否實現(xiàn)的標準，如調(diào)動職工勞動積極性、提高企業(yè)的生產(chǎn)技術(shù)水平等等；第三是措施類，指實現(xiàn)目標的方案、方法、手段等等。按目標到措施自上而下地將各類因素之間的直接影響關(guān)系分不同層次排列出來，可以構(gòu)成一個直觀的層次結(jié)構(gòu)圖。如下列圖所示：每一層中的各因素對上一層因素的相對重要性可以用問題1中的方法確定，由層次關(guān)系可以計算出措施層各方案最高層的相對權(quán)重，從而給出各方案的優(yōu)劣次序。層次單排序不同準那么對目標的影響已經(jīng)在問題1中得到了解決，現(xiàn)假定不同措施對各準那么的影響如下：1．不同措施對調(diào)動職工勞動生產(chǎn)積極性影響的成比照擬矩陣(12)其權(quán)重向量為：2．不同措施對提高職工文化水平影響的成比照擬矩陣(13)其中措施I〔發(fā)獎金〕對提高職工文化水平?jīng)]有什么影響，在成比照擬矩陣中不出現(xiàn)，重要性按零計算。其權(quán)重向量為：3．不同措施對改善職工物質(zhì)文化生活狀況影響的成比照擬矩陣(14)其權(quán)重向量為：總排序上述過程中求出的是同一層次中相應元素對于上一層次中的某個因素相對重要性的排序權(quán)值，這稱為層次單排序。假設模型由多層次構(gòu)成，計算同一層次所有因素對于總目標相對重要性的排序稱為總排序。這一過程是由最高層到最低層逐層進行的。設上一層次A包含m個因素A1,A2,…,Am，其總排序的權(quán)重值分別為a1,a2,…,am；下一層次B包含k個因素B1,B2,…,Bk，，它們對于Aj的層次單排序的權(quán)重值分別為b1,j,b2,j,…,bk,j(當Bi與Aj無聯(lián)系時，bi,j=0)；此時B層i元素在總排序中的權(quán)重值可以由上一層次總排序的權(quán)重值與本層次的層次單排序的權(quán)重值復合而成，結(jié)果為：(15)由此，各個方案相對于目標層的總排序可以用下表計算C層對B層的相對權(quán)值B10.105B20.637B30.258C層總排序C10.49100.4060.157C20.2320.0550.4060.164C30.0920.5640.0940.393C40.1380.1180.0940.1