2024屆哈爾濱市松北區(qū)中考猜題數(shù)學試卷含解析

2024屆哈爾濱市松北區(qū)中考猜題數(shù)學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．中國古代在利用“計里畫方”（比例縮放和直角坐標網(wǎng)格體系）的方法制作地圖時，會利用測桿、水準儀和照板來測量距離．在如圖所示的測量距離AB的示意圖中，記照板“內(nèi)芯”的高度為EF，觀測者的眼睛（圖中用點C表示）與BF在同一水平線上，則下列結論中，正確的是（）A． B． C． D．2．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點M是AB的中點，若OM＝4，AB＝6，則BD的長為（）A．4 B．5 C．8 D．103．小紅上學要經(jīng)過兩個十字路口，每個路口遇到紅、綠燈的機會都相同，小紅希望上學時經(jīng)過每個路口都是綠燈，但實際這樣的機會是（）A． B． C． D．4．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BOC＝120°，則∠A等于（）A．50° B．60° C．55° D．65°5．6的相反數(shù)為A．-6 B．6 C． D．6．某工程隊開挖一條480米的隧道，開工后，每天比原計劃多挖20米，結果提前4天完成任務，若設原計劃每天挖米，那么求時所列方程正確的是（）A． B．C． D．7．已知x1、x2是關于x的方程x2﹣ax﹣2=0的兩根，下列結論一定正確的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜08．下列方程中是一元二次方程的是()A． B．C． D．9．如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長的最小值為（）A．5 B．10 C．10 D．1510．如圖，在平面直角坐標系中，是反比例函數(shù)的圖像上一點，過點做軸于點，若的面積為2，則的值是()A．-2 B．2 C．-4 D．4二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．某商品原價100元，連續(xù)兩次漲價后，售價為144元.若平均每次增長率為x，則x=__________．12．若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有實數(shù)根，則a的取值范圍為________．13．一個盒子內(nèi)裝有大小、形狀相同的四個球，其中紅球1個、綠球1個、白球2個，小明摸出一個球不放回，再摸出一個球，則兩次都摸到白球的概率是_______.14．關于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+2=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是_____．15．如圖，點A(3，n)在雙曲線y=上，過點A作AC⊥x軸，垂足為C．線段OA的垂直平分線交OC于點B，則△ABC周長的值是．16．將一張矩形紙片折疊成如圖所示的圖形，若AB=6cm，則AC=cm．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，經(jīng)過點C（0，﹣4）的拋物線（）與x軸相交于A（﹣2，0），B兩點．（1）a0，0（填“＞”或“＜”）；（2）若該拋物線關于直線x=2對稱，求拋物線的函數(shù)表達式；（3）在（2）的條件下，連接AC，E是拋物線上一動點，過點E作AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．18．（8分）俄羅斯世界杯足球賽期間，某商店銷售一批足球紀念冊，每本進價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且獲利不高于30%．試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300本，銷售單價每上漲1元，每天銷售量減少10本，現(xiàn)商店決定提價銷售．設每天銷售量為y本，銷售單價為x元．請直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式和自變量x的取值范圍；當每本足球紀念冊銷售單價是多少元時，商店每天獲利2400元？將足球紀念冊銷售單價定為多少元時，商店每天銷售紀念冊獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？19．（8分）計算:(-1)-1-++|1-3|20．（8分）“足球運球”是中考體育必考項目之一．蘭州市某學校為了解今年九年級學生足球運球的掌握情況，隨機抽取部分九年級學生足球運球的測試成績作為一個樣本，按A，B，C，D四個等級進行統(tǒng)計，制成了如下不完整的統(tǒng)計圖．（說明：A級：8分﹣10分，B級：7分﹣7.9分，C級：6分﹣6.9分，D級：1分﹣5.9分）根據(jù)所給信息，解答以下問題：（1）在扇形統(tǒng)計圖中，C對應的扇形的圓心角是_____度；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）所抽取學生的足球運球測試成績的中位數(shù)會落在_____等級；（4）該校九年級有300名學生，請估計足球運球測試成績達到A級的學生有多少人？21．（8分）已知：如圖所示，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（1，0），B（3，0）(1)求拋物線的表達式；(2)設點P在該拋物線上滑動，且滿足條件S△PAB=1的點P有幾個？并求出所有點P的坐標．22．（10分）圖1和圖2中，優(yōu)弧紙片所在⊙O的半徑為2，AB＝2，點P為優(yōu)弧上一點（點P不與A，B重合），將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′．發(fā)現(xiàn)：（1）點O到弦AB的距離是，當BP經(jīng)過點O時，∠ABA′＝；（2）當BA′與⊙O相切時，如圖2，求折痕的長．拓展：把上圖中的優(yōu)弧紙片沿直徑MN剪裁，得到半圓形紙片，點P（不與點M，N重合）為半圓上一點，將圓形沿NP折疊，分別得到點M，O的對稱點A′，O′，設∠MNP＝α．（1）當α＝15°時，過點A′作A′C∥MN，如圖3，判斷A′C與半圓O的位置關系，并說明理由；（2）如圖4，當α＝°時，NA′與半圓O相切，當α＝°時，點O′落在上．（3）當線段NO′與半圓O只有一個公共點N時，直接寫出β的取值范圍．23．（12分）小明準備用一塊矩形材料剪出如圖所示的四邊形ABCD（陰影部分），做成要制作的飛機的一個機翼，請你根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)幫小明計算出CD的長度．（結果保留根號）．24．藝術節(jié)期間，學校向?qū)W生征集書畫作品，楊老師從全校36個班中隨機抽取了4個班(用A，B，C，D表示)，對征集到的作品的數(shù)量進行了統(tǒng)計，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)相關信息，回答下列問題：（1）請你將條形統(tǒng)計圖補充完整；并估計全校共征集了_____件作品；（2）如果全校征集的作品中有4件獲得一等獎，其中有3名作者是男生，1名作者是女生，現(xiàn)要在獲得一等獎的作者中選取兩人參加表彰座談會，請你用列表或樹狀圖的方法，求選取的兩名學生恰好是一男一女的概率．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、B【解析】分析：由平行得出相似，由相似得出比例，即可作出判斷.詳解:∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴,故選B.點睛：本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關鍵.2、D【解析】

利用三角形中位線定理求得AD的長度，然后由勾股定理來求BD的長度．【詳解】解：∵矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

∴∠BAD=90°，點O是線段BD的中點，

∵點M是AB的中點，

∴OM是△ABD的中位線，

∴AD=2OM=1．

∴在直角△ABD中，由勾股定理知：BD=．

故選：D．【點睛】本題考查了三角形中位線定理和矩形的性質(zhì)，利用三角形中位線定理求得AD的長度是解題的關鍵．3、C【解析】

列舉出所有情況，看每個路口都是綠燈的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可得.【詳解】畫樹狀圖如下，共4種情況，有1種情況每個路口都是綠燈，所以概率為．故選C．4、B【解析】

由圓周角定理即可解答.【詳解】∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∴∠A＝∠BOC，而∠BOC＝120°，∴∠A＝60°.故選B．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練運用圓周角定理是解決問題的關鍵.5、A【解析】

根據(jù)相反數(shù)的定義進行求解.【詳解】1的相反數(shù)為：﹣1．故選A.【點睛】本題主要考查相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解答的關鍵，絕對值相等，符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù).6、C【解析】

本題的關鍵描述語是：“提前1天完成任務”；等量關系為：原計劃用時?實際用時＝1．【詳解】解：原計劃用時為：，實際用時為：．所列方程為：，故選C．【點睛】本題考查列分式方程，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．7、A【解析】分析：A、根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，結論A正確；B、根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出x1+x2=a，結合a的值不確定，可得出B結論不一定正確；C、根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出x1?x2=﹣2，結論C錯誤；D、由x1?x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，結論D錯誤．綜上即可得出結論．詳解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，結論A正確；B、∵x1、x2是關于x的方程x2﹣ax﹣2=0的兩根，∴x1+x2=a，∵a的值不確定，∴B結論不一定正確；C、∵x1、x2是關于x的方程x2﹣ax﹣2=0的兩根，∴x1?x2=﹣2，結論C錯誤；D、∵x1?x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，結論D錯誤．故選A．點睛：本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系，牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．8、C【解析】

找到只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，二次項系數(shù)不為0的整式方程的選項即可．【詳解】解：A、當a=0時，不是一元二次方程，故本選項錯誤；B、是分式方程，故本選項錯誤；C、化簡得：是一元二次方程，故本選項正確；D、是二元二次方程，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題主要考查一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．9、B【解析】作點E關于BC的對稱點E′，連接E′G交BC于點F，此時四邊形EFGH周長取最小值，過點G作GG′⊥AB于點G′，如圖所示，∵AE=CG，BE=BE′，∴E′G′=AB=10，∵GG′=AD=5，∴E′G=，∴C四邊形EFGH=2E′G=10，故選B．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，矩形的性質(zhì)等，根據(jù)題意正確添加輔助線是解題的關鍵．10、C【解析】

根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，求出k的值即可解決問題【詳解】解：∵過點P作PQ⊥x軸于點Q，△OPQ的面積為2，

∴||=2，

∵k＜0，

∴k=-1．

故選：C．【點睛】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、20%．【解析】試題分析：根據(jù)原價為100元，連續(xù)兩次漲價x后，現(xiàn)價為144元，根據(jù)增長率的求解方法，列方程求x．試題解析：依題意，有：100（1+x）2=144，1+x=±1．2，解得：x=20%或-2．2（舍去）．考點：一元二次方程的應用．12、a≤且a≠1．【解析】

根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件列出關于a的不等式組，求出a的取值范圍即可．【詳解】由題意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0，解得a≤，又a-1≠0，∴a≤且a≠1.故答案為a≤且a≠1.點睛：本題考查的是根的判別式及一元二次方程的定義，根據(jù)題意列出關于a的不等式組是解答此題的關鍵．13、【解析】

首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到白球的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結果，兩次都摸到白球的有2種情況，

∴兩次都摸到白球的概率是：=.

故答案為：.【點睛】本題考查用樹狀圖法求概率，解題的關鍵是掌握用樹狀圖法求概率.14、k≤．【解析】

分k=1及k≠1兩種情況考慮：當k=1時，通過解一元一次方程可得出原方程有解，即k=1符合題意；等k≠1時，由△≥1即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．綜上此題得解．【詳解】當k=1時，原方程為-x+2=1，解得：x=2，∴k=1符合題意；當k≠1時，有△=[-（2k+1）]2-4k（k+2）≥1，解得：k≤且k≠1．綜上：k的取值范圍是k≤．故答案為：k≤．【點睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，分k=1及k≠1兩種情況考慮是解題的關鍵．15、2．【解析】

先求出點A的坐標，根據(jù)點的坐標的定義得到OC=3，AC=2，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AB=OB，由此推出△ABC的周長=OC+AC．【詳解】由點A(3，n)在雙曲線y=上得，n=2．∴A(3，2)．∵線段OA的垂直平分線交OC于點B，∴OB=AB．則在△ABC中，AC=2，AB＋BC=OB＋BC=OC=3，∴△ABC周長的值是2．16、1．【解析】試題分析：如圖，∵矩形的對邊平行，∴∠1=∠ACB，∵∠1=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AB=1cm，∴AC=1cm．考點：1軸對稱；2矩形的性質(zhì)；3等腰三角形.三、解答題（共8題，共72分）17、（1）＞，＞；（2）；（3）E（4，﹣4）或（，4）或（，4）．【解析】

（1）由拋物線開口向上，且與x軸有兩個交點，即可做出判斷；（2）根據(jù)拋物線的對稱軸及A的坐標，確定出B的坐標，將A，B，C三點坐標代入求出a，b，c的值，即可確定出拋物線解析式；（3）存在，分兩種情況討論：（i）假設存在點E使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，過點C作CE∥x軸，交拋物線于點E，過點E作EF∥AC，交x軸于點F，如圖1所示；（ii）假設在拋物線上還存在點E′，使得以A，C，F(xiàn)′，E′為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，過點E′作E′F′∥AC交x軸于點F′，則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形，可得AC=E′F′，AC∥E′F′，如圖2，過點E′作E′G⊥x軸于點G，分別求出E坐標即可．【詳解】（1）a＞0，＞0；（2）∵直線x=2是對稱軸，A（﹣2，0），∴B（6，0），∵點C（0，﹣4），將A，B，C的坐標分別代入，解得：，，，∴拋物線的函數(shù)表達式為；（3）存在，理由為：（i）假設存在點E使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，過點C作CE∥x軸，交拋物線于點E，過點E作EF∥AC，交x軸于點F，如圖1所示，則四邊形ACEF即為滿足條件的平行四邊形，∵拋物線關于直線x=2對稱，∴由拋物線的對稱性可知，E點的橫坐標為4，又∵OC=4，∴E的縱坐標為﹣4，∴存在點E（4，﹣4）；（ii）假設在拋物線上還存在點E′，使得以A，C，F(xiàn)′，E′為頂點所組成的四邊形是平行四邊形，過點E′作E′F′∥AC交x軸于點F′，則四邊形ACF′E′即為滿足條件的平行四邊形，∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如圖2，過點E′作E′G⊥x軸于點G，∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G=CO=4，∴點E′的縱坐標是4，∴，解得：，，∴點E′的坐標為（，4），同理可得點E″的坐標為（，4）．18、（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）當每本足球紀念冊銷售單價是50元時，商店每天獲利2400元；（3）將足球紀念冊銷售單價定為52元時，商店每天銷售紀念冊獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元．【解析】

（1）售單價每上漲1元，每天銷售量減少10本，則售單價每上漲（x﹣44）元，每天銷售量減少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用銷售單價不低于44元，且獲利不高于30%確定x的范圍；（2）利用每本的利潤乘以銷售量得到總利潤得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范圍確定銷售單價；（3）利用每本的利潤乘以銷售量得到總利潤得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它變形為頂點式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到x=52時w最大，從而計算出x=52時對應的w的值即可．【詳解】（1）y=300﹣10（x﹣44），即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根據(jù)題意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：當每本足球紀念冊銷售單價是50元時，商店每天獲利2400元；（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）=﹣10x2+1140x﹣29600=﹣10（x﹣57）2+2890，當x＜57時，w隨x的增大而增大，而44≤x≤52，所以當x=52時，w有最大值，最大值為﹣10（52﹣57）2+2890=2640，答：將足球紀念冊銷售單價定為52元時，商店每天銷售紀念冊獲得的利潤w元最大，最大利潤是2640元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用，解決二次函數(shù)應用類問題時關鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最大值；在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．19、-1【解析】試題分析：根據(jù)運算順序先分別進行負指數(shù)冪的計算、二次根式的化簡、0次冪的運算、絕對值的化簡，然后再進行加減法運算即可.試題解析：原式=-1-=-1.20、（1）117；（2）答案見圖；（3）B；（4）30.【解析】

（1）先根據(jù)B等級人數(shù)及其百分比求得總人數(shù)，總人數(shù)減去其他等級人數(shù)求得C等級人數(shù)，繼而用360°乘以C等級人數(shù)所占比例即可得；（2）根據(jù)以上所求結果即可補全圖形；（3）根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得；（4）總人數(shù)乘以樣本中A等級人數(shù)所占比例可得．【詳解】（1）∵總人數(shù)為18÷45%=40人，∴C等級人數(shù)為40﹣（4+18+5）=13人，則C對應的扇形的圓心角是360°×1340故答案為：117；（2）補全條形圖如下：（3）因為共有40個數(shù)據(jù)，其中位數(shù)是第20、21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第20、21個數(shù)據(jù)均落在B等級，所以所抽取學生的足球運球測試成績的中位數(shù)會落在B等級，故答案為：B．（4）估計足球運球測試成績達到A級的學生有300×440【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．21、(1)y=﹣x2+4x﹣3；(2)滿足條件的P點坐標有3個，它們是（2，1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）．【解析】

（1）由于已知拋物線與x軸的交點坐標，則可利用交點式求出拋物線解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可設P（t，-t2+4t-3），根據(jù)三角形面積公式得到?2?|-t2+4t-3|=1，然后去絕對值得到兩個一元二次方程，再解方程求出t即可得到P點坐標.【詳解】解:(1)拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x2+4x﹣3；(2)設P（t，﹣t2+4t﹣3），因為S△PAB=1，AB=3﹣1=2，所以?2?|﹣t2+4t﹣3|=1，當﹣t2+4t﹣3=1時，t1=t2=2，此時P點坐標為（2，1）；當﹣t2+4t﹣3=﹣1時，t1=2+，t2=2﹣，此時P點坐標為（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1），所以滿足條件的P點坐標有3個，它們是（2，1）或（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.22、發(fā)現(xiàn)：（1）1，60°；（2）2；拓展：（1）相切，理由詳見解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】

發(fā)現(xiàn)：（1）利用垂徑定理和勾股定理即可求出點O到AB的距離；利用銳角三角函數(shù)的定義及軸對稱性就可求出∠ABA′．（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA′=90°，從而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，進而求出∠OBP=30°．過點O作OG⊥BP，垂足為G，容易求出OG、BG的長，根據(jù)垂徑定理就可求出折痕的長．拓展：（1）過A'、O作A'H⊥MN于點H，OD⊥A'C于點D．用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OD=A'H=A'N=MN=2可判定A′C與半圓相切；（2）當NA′與半圓相切時，可知ON⊥A′N，則可知α=45°，當O′在時，連接MO′，則可知NO′=MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根據(jù)點A′的位置不同得到線段NO′與半圓O只有一個公共點N時α的取值范圍是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【詳解】發(fā)現(xiàn)：（1）過點O作OH⊥AB，垂足為H，如圖1所示,∵⊙O的半徑為2，AB=2，∴OH==在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）過點O作OG⊥BP，垂足為G，如圖2所示．∵BA′與⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=OB=1．∴BG=．∵OG⊥BP，∴BG=PG=．∴BP=2．∴折痕的長為2拓展：（1）相切．分別過A'、O作A'H⊥MN于點H，OD⊥A'C于點D．如圖3所示，∵A'C∥MN∴四邊形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=A'N=MN=2∴A'C與半圓（2）當NA′與半圓O相切時，則ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45當O′在上時，連接MO′，則可知NO′=MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案為：45°；30°．（3）∵點P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知當α增大到30°