黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)立體幾何題庫(kù)301-600題（含答案）

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立體幾何題庫(kù)301-350（有詳細(xì)答案）

301.正三棱柱ABC—ABG的側(cè)面三條對(duì)角線ABi、BC、CAi中，AB」BC.求證：AB.1CA,.

解析：方法1如圖，延長(zhǎng)BC到D,使GD=BC.連CD、AD因AB」BC,故AB」CD；又B￡=AC=GD,故

于是」平面故」平面因此」

ZB1A,D=90°,DAAABB.ABA￡D,ABAC.

方法2如圖，取AB、AB的中點(diǎn)立、P.連CP、CD、ARD.B,易證2D」平面AABB.由三垂線定理可得ABi

_LBD”從而ABiJ_AQ.再由三垂線定理的逆定理即得AB」AC

說(shuō)明證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線，證明線面垂直常采用下列方法:

(1)利用線而垂直的定義：

(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線；

(3)證明直線平行于平面的垂線;

(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面.

302.已知：正三棱柱ABC—A'R'C中，ABZ_LBC，,BC=2,求：線段AB'在側(cè)面BB'C'C上的射影長(zhǎng).

解析：如圖,取BC的中點(diǎn)D.???AD_LBC,側(cè)面如6」底面的中，AD1側(cè)面BCC'B'B'D是斜線AB'在

側(cè)面的射影.又???AB，±BC(,：.B'D±BC.

設(shè)BB'=x,在RtAB'BO中，BE：BD=BB',B'D=[l+x).

是ABB，C的重心....BE=，BC，=：，4+/

33

.?.x=1Jl+x?,-\lx2+4,解得：x=6.

3

???線段AB'在側(cè)面的射影長(zhǎng)為J5.

303.平面a外一點(diǎn)A在平面a內(nèi)的射影是A',BC在平面內(nèi)，ZABA*=0,NA'8C=夕，ZABC=y,求

證：COSY=COS°,cosf5.

解析：過(guò)A'作A'CUBC于C',連AC'.

VAAZ，平面a,BC垂直AC在平面a內(nèi)的射線4C.

RL

ABCr_LAC',cos/=----

AB

BC'

XVcoso=—,cosP

AB

."?cos/=cos0,cosP.

304.AABC在平面a內(nèi)的射影是AA'B'C',它們的面積分別是S、S',若△ABC所在平面與平面a所成二

面角的大小為。（0<0<90°=,則S'=S?cos6.

證法一如圖（1）,當(dāng)BC在平面a內(nèi)，過(guò)A'作A'D_LBC,垂足為D.

VAA,1.平面a,AD在平面a內(nèi)的射影A'D垂直BC.

/.AD±BC..\ZADA,=0.

又S'=—A;D,BC,S=—AD,BC,cos0=4°,=S,cos0.

22AD

證法二如圖(2),當(dāng)B、C兩點(diǎn)均不在平面a內(nèi)或只有一點(diǎn)(如C)在平面a內(nèi)，可運(yùn)用⑴的結(jié)論證明S'=SPOS

305.求證：端點(diǎn)分別在兩條異面直線a和b上的動(dòng)線段AB的中點(diǎn)共血.

證明如圖，設(shè)異面直線a、b的公垂線段是PQ,PQ的中點(diǎn)是M,過(guò)M作平面a,使PQJ_平面a,且和AB交

于R,連結(jié)AQ,交平面a于N.連結(jié)MN、NR.?.,PQ，平面a,MNua,，PQJ_MN.在平面APQ內(nèi)，PQ±a,PQ±MN,

；.MN〃a,a〃a,又?.?PM=MQ,；.AN=NQ,同理可證NR〃b,RA=RB.

即動(dòng)線段的中點(diǎn)在經(jīng)過(guò)中垂線段中點(diǎn)且和中垂線垂直的平面內(nèi).

306.如圖，已知直三棱柱ABC—ABG中，ZACB=90°,NBAC=30°,BC=1,AA、=網(wǎng),M是CG的中點(diǎn)，

求證:ABi±A|M.

解析：不難看出BC_L平面AACC,A3是ABi在平面AACC上的射影.欲證AM_LABi,只要能證AM_LAG就可以

了.

證：連AG,在直角△ABC中，BC=1,ZBAC=30°,

/.AC=A￡=石.

設(shè)NAGA尸a,NMAC=B

tana年替血

V6

tg"器wV2

2

..,0、B八

；cot(a+B)=-1---ta--n-a--ta-n-匕----1--1--產(chǎn)=0

tana+tan夕痣J2

+T

a+B=90°即AC」AM

?.?BC_LGA”CG_LBC,...BQ，平面AAG3,

AC,是ABi在平面AAiCiC上的射影.

VAC.IA.M,，山三垂線定理得AiMiAB,.

評(píng)注：本題在證AC」AM時(shí)，主要是利用三角函數(shù)，證a+B=90°,與常見(jiàn)的其他題目不太相同.

307.矩形ABCD,AB=2,AD=3,沿BD把4BCD折起，使C點(diǎn)在平面ABD上的射影恰好落在AD上.

⑴求證:CD1AB；

⑵求CD與平面ABD所成角的余弦值.

(1)證明如圖所示，面ABD,AD±AB,

/.CD±AB

(2)解：VCM±?ABD

,ZCDM為CD與平面ABD所成的角，

DM

cosNCDM=----

CD

作CNLBD于N,連接MN,則MNLBD.在折疊前的矩形ABCD圖上可得

DM：CD=CD：CA=AB:AD=2:3.

2

ACD與平面ABD所成角的余弦值為一

3

308.空間四邊形PABC中，PA、PB、PC兩兩相互垂直，NPBA=45°,ZPBC=6O0,M為AB的中點(diǎn).⑴求BC

與平面PAB所成的角；(2)求證：ABL平面PMC.

解析：此題數(shù)據(jù)特殊，先考慮數(shù)據(jù)關(guān)系及計(jì)算、發(fā)現(xiàn)解題思路.

解PA±AB,AZAPB=90°

在RtAAPB中,VZABP=45°,設(shè)PA=a,

貝ijPB=a,AB=Via,*.?PBLPC,在RtAPBC中，

：NPBC=60°,PB=a.；.BC=2a,PC=VJa.

VAP±PC.?.在RtAAPC中，AC=dPA"+PC?=址=2a

(1)VPC±PA,PC_LPB,；.PC_L平面PAB,

ABC在平面PBC上的射影是BP.

ZCBP是CB與平面PAB所成的角

??,NPBC=60。，，BC與平面PBA的角為60°.

(2)由上知,PA=PB=a,AC=BC=2a.

.?.M為AB的中點(diǎn),則AB_LPM,AB±CM.

.?.AB_L平面PCM.

說(shuō)明要清楚線面的垂直關(guān)系，線面角的定義，通過(guò)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)解題捷徑.

309.在空間四邊形ABCP中，PA1PC,PB1BC,AC1BC.PA,PB與平面ABC所成角分別為30°和45°。(1)

直線PC與AB能否垂直?證明你的結(jié)論；(2)若點(diǎn)P到平面ABC的距離為h,求點(diǎn)P到直線AB的距離.

解析：主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用及線面角，點(diǎn)血間距離等概念應(yīng)用，空間想象

力及推理能力.

解(1)AB與PC不能垂直，證明如下：假設(shè)PCLAB,作PI"平面ABC于II,則HC是PC在平面ABC的射影，

/.HC±AB,：PA、PB在平面ABC的射影分別為HB、HA,PB±BC,PA±PC.

/.BH±BC,AH±AC

???AC_LBC,.,.平行四邊形ACBH為矩形.

VI1C±AB,二ACBH為正方形.

；.HB=HA

???PH_L平面ACBH.APHB絲APHA.

.*.ZPBH=ZPAH,且PB,PA與平面ABC所成角分別為NPBH,NPAH.由已知/PBH=45°,ZPAH=30°,與/

PBH=/PAH矛盾.

?".PC不垂直于AB.

(2)由已知有PH=h,，ZPBH=45°

；.BH=PH=h.：NPAH=30°,.\HA=V3h.

矩形ACBH中，AB=ylBH2+HA2=+(6h?=2h.

HBHAh-V3/iV3,

作HE_LAB于E,.?.%=-----------=----------=——h.

AB2h2

：PHJ_平面ACBH,HE1AB,

由三垂線定理有PE1AB,APE是點(diǎn)P到AB的距離.

在RtAPHE中，PE=^PH2+HE2M+吟4=^yh.

V7

即點(diǎn)P至IJAB距離為"h.

2

評(píng)析：此題屬開放型命題，處理此類問(wèn)題的方法是先假設(shè)結(jié)論成立，然后“執(zhí)果索因”，作推理分析，導(dǎo)出矛

盾的就否定結(jié)論(反證法)，導(dǎo)不出矛盾的，就說(shuō)明與條件相容，可采用演繹法進(jìn)行推理，此題(1)屬于反證法.

310.平面a內(nèi)有一個(gè)半圓，直徑為AB,過(guò)A作SA_L平面a,在半圓上任取一點(diǎn)M,連SM、SB,且N、H分別

是A在SM、SB上的射影.(1)求證：NHLSB.(2)這個(gè)圖形中有多少個(gè)線面垂直關(guān)系？(3)這個(gè)圖形中有多少個(gè)直角

三角形？(4)這個(gè)圖形中有多少對(duì)相互垂直的直線？

解析：此題主要考查直線與直線，直線與平面的垂直關(guān)系及論證，空間想象力.

解⑴連AM,BM.「AB為已知圓的直徑，如圖所示.

/.AM±BM,

平面a,MBua,

ASAIMB.

YAMASAWA,平面SAM.

??,ANu平面SAM,

ABMIAN.

：AN_LSM于N,BMnSM=M,

；.AN_L平面SMB.

；AH_LSB于H,且NH是AH在平面SMB的射影

ANII±SB.

(2)由(1)知,SA_L平面AMB,BMJ_平面SAM.AN_L平面SMB.

VSB±AHKSB±HN.

.,.SB_L平面ANIL

...圖中共有4個(gè)線面垂直關(guān)系

⑶平面AMB,

ASAB、△SAM均為直角三角形.

ABMS均為直角三角形.

：AN_L平面SMB.AANS、AANM、AANH均為直角三角形.

：SB_L平面AHN.AASHA.ABHA、ASHN均為直角三角形

綜上所述，圖中共有10個(gè)直角三角形.

⑷由SA_L平面AMB知:SA±AM,SA±AB,SA±BM；

由BM_L平面SAM知:BM±AM,BM±SM,BM±AN；

由AN,平面SMB知：AN±SM,AN1SB,AN±NH；

SB_L平面AHN知:SB_LAH,SB1HN；

綜上所述，圖中有11對(duì)互相垂直的直線.

311.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體AG中，M是CG的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，且AE=』AD,F在AB上，且AF=，AB,

33

求點(diǎn)B到平面MEF的距離.

AI'

解法一：設(shè)AC與BD交于0點(diǎn)，EF與AC交于R點(diǎn)，由于EF〃BD所以將B點(diǎn)到面MEF的距離轉(zhuǎn)化為0點(diǎn)到面

MEF的距離，面MRCJ_面MEF,而MR是交線，所以作0H_LMR,即OHL面MEF,0H即為所求.

VOH?MR=OR?MC,

.nH7118a

59

解法二：考察三棱錐B—MEF,由VBTEF=V*BeF可得h.

點(diǎn)評(píng)求點(diǎn)面的距離一般有三種方法：

①利用垂直面；

②轉(zhuǎn)化為線面距離再用垂直面；

③當(dāng)垂足位置不易確定時(shí)，可考慮利用體積法求距離.

312.正方體ABCD—ABCD的棱長(zhǎng)為a,求AC和平面AB￡間的距離.

解法1如圖所示，AC〃平面ABC又平面BBDD」平面ABC

故若過(guò)。作OIELOBI于E,則0E」平面ABC0E為所求的距離

由OiE?OBi=OiB!?OOi,

可得：o,E=-

解法2：轉(zhuǎn)化為求C,到平面AB,C的距離，也就是求三棱錐C,—AB.C的高h(yuǎn).

也

由VG-AB\C='4-B,CC,，可得h=~3~a

解法3因平面AB￡〃平面GDAi,它們間的距離即為所求，連BD”分別交BQ、D0,F、G（圖中未畫出）。易

證B?垂直于上述兩個(gè)平面，故FG長(zhǎng)即為所求，易求得

點(diǎn)評(píng)（1）求線面距離的先決條件是線面平行，而求線面距離的常用方法是把它們轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面之間的距離,

有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為求面面距離，從本題的解法也可悟出求異面直線之間的距離的思路.

313..已知：aCB=CD,EA1a,EB±P,求證：CD1AB.

EAJ-a

證明?EBip

8U3

314.求證：兩條平行線和同一條平面所成的角相等.

已知：a〃b,aAa=Ai,bCB=B”/0卜2分別是a、b與a所成的角.如圖，求證：Z6,=Z02.

證：在a、b上分別取點(diǎn)A、B.如圖，且AA尸BBi,連結(jié)AB和AB.

VAA^BBi

二四邊形AA.B.B是平行四邊形.；.AB〃AB

又ABua，AB〃a.

設(shè)AAzJ_a于A,BBz_La于B”則AA?=BBz

在RtAAA也與RfABB1當(dāng)中AA2=BB2,AA,=BB(

ARtAAA,A2^RtABB,B2

:.ZAAtA2=NBBB

即Z0I=Zo

315.經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線和這個(gè)角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射

影是這個(gè)角的平分線所在的直線.

已知：NABCua,P》a,NPBA=/PBC,PQJ.a,Qea,如圖.

求證：ZQBA=ZQBC

證：PR_LAB于R,PS_LBC于S.

則：NPRB=NPSB=90°.

：PB=PB.NPBR=/PBS

ARtAPRB^RtAPSB

；.PR=PS

???點(diǎn)Q是點(diǎn)P在平面a上的射影.

AQR=QS

又；QR_LAB,QS1BC

.,.ZABQ-ZCBQ

316.如圖，E、F分別是正方體的面ADDA,面BCCB的中心，則四邊形BFDE在該正方體的面上的射影可能

是（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）

解：四邊形BFDF在正方體的一對(duì)平行面上的投影圖形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中點(diǎn)，四

邊形的投影圖形為②，在左右側(cè)面上，E、F的連線垂直側(cè)面，從而四邊形的投影圖形為③，在前后側(cè)面上四邊

形投影圖形也為②.故應(yīng)填②③.

?@@

317.如圖,ABG—ABC是直三棱柱，/BCA=90°,點(diǎn)D”R分別是AB,AC的中點(diǎn)，若BC=CA=C3,則

BDi與AR所成角的余弦值是（）

V30V15

I）.

lo"

解連DE,則DEJ_AC,XBC±CA,所以BM在平面ACCA內(nèi)的射影為CR,設(shè)AC=2a,則BC=CG=2a.取

BC的中點(diǎn)E,連EK,則EF〃BDi.

CP]_舊a_舊

/.cos0i=cos/EFiC=

EF146a46

（右。）2+（屈）2一（202_3

cos02=COSNAFIC=

2?舊a-45a5

V53V30…

cos6=cos。i,cos92=—?一=----,應(yīng)選A.

V6510

318.（1）如果三棱錐S-ABC的底面是不等邊三角形，側(cè)血與底面所成的角都相等，且頂點(diǎn)S在底面的射影0

在AABC內(nèi)，那么0是AABC的（）

A.垂心B.重心C.外心D.內(nèi)心

⑵設(shè)P是AABC所在平面a外一點(diǎn)，若PA,PB,PC與平面a所成的角都相等，那么P在平面a內(nèi)的射影是△

ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

解（1）利用三垂線定理和三角形全等可證明0到AABC的三邊的距離相等，因而0是AABC的內(nèi)心，因此選D.

（2）如圖所示，作P0,平面a于0,連0A、OB、0C,那么NPAO、NPBO、/PC0分別是PA、PB、PC與平面a所

成的角，且已知它們都相等.

ARtAPAO絲RtAPBO也RtAPCO.

.?.OA=OB=OC

應(yīng)選B.

說(shuō)明三角形的內(nèi)心、外心、垂心、旁心、重心，它們的定義和性質(zhì)必須掌握.

319.已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GCL平面ABCD,且GC=2,求點(diǎn)B到平面

EFG的距離.

解析：注意到直線BD〃平面EFG,根據(jù)直線和平面的距離在B0中點(diǎn)0的距離等于B到平面EFG的距離.

解連結(jié)AC、BD,設(shè)交于0,F分別是AB、AD的中點(diǎn).

.".EF/7BD

：.BD〃平面EFG,設(shè)EFCAC=M.

則M為0A的中點(diǎn).

ia

又AB=4:.AC=4桓,M0=-AC=41,MC=-AC=3V2

44

；GCJ_平面ABCD

/.GC±CA,GC±EF

又EF_LAC,GCnAC=C.

.?.EF_L平面GCM.

過(guò)0作OH±GM于H,貝lj0H1EF.

XOH1GM

故31_1_平面EFG.

在RtAGCM中，GM=y/GC2+CM2=百+仃近尸=J萬(wàn).

GCOHOH

XV0H±GM..'.sinZGMC=----=sinNHM0=-----=

GMOMV2

22vH

A0H=V2,—j=

V22ii

n/i]

AB點(diǎn)到平面GEF的距離為^―

11

說(shuō)明本題解法甚多，學(xué)習(xí)兩面垂直及簡(jiǎn)單幾何體后，可用兩面垂直的性質(zhì)求解或者用“等體積法”求解.

320.已知兩條異面直線a,b所成的角為0,它們的公垂線段AAi的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F,

設(shè)AiE=m,AF=n.求證：EF—^m2+n2+d2+2inncos0

解過(guò)A作a'〃a.

/

VAAi±a,AA1A±a

,

AAA11b,aAb=A

???AiA垂直a'、b所確定的平面a.

Va//a".?.a、a'能確定平面B,在B內(nèi)作EH〃AiA,交a'于H.

???a〃》，???A】AME為平行四邊形.

/.AiA=EH=d,AH=AiE=m

VAiA±aAEH±a.

?.,FHua,AEH1FH.

在RtAFHE中，EF=4EH2+FH2=^Jd2+FH2

'：a'〃a.\a,與b的夾角為/

即ZHAF=0,此時(shí)AH=m,AF=n.

由余弦定理得Fir=m2+n2-2mncos0

,EF=J”?？+'2-2加上cos。

當(dāng)F（或E）在A（或AJ的另一側(cè)時(shí)，同理可得

EF=J"??+/+d?-2cos（萬(wàn)一＜）=+〃2+d?+2加〃cos。

綜上所述，EF=J"??+〃2+/±2m〃cos6

321.如圖，ABCD和ABEF均為平行四邊形，M為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，N為對(duì)角線FB上的一點(diǎn)，且有AM：FN=

AC：BF,求證：MN〃平面CBE.

解析：欲證MN〃平面CBE,當(dāng)然還是需要證明MN平行于平面CBE內(nèi)的一條直線才行.題目上所給的是線段成比

例的關(guān)系，因此本題必須通過(guò)三角形相似，由比例關(guān)系的變通，才能達(dá)到“線線平行”到“線面平行”的轉(zhuǎn)化.

證：連AN并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于P.

,/BE〃AF,ABNPSAFNA.

FNANmnlFN-AN

NBNPFNtNBAN+NP

FN_AN

即

FBAP,

AM_ACAM_FN

又

FNBF,ACBF'

AM_AN

ACAP-

MN/7CP,CPU平面CBE.

MN〃平面CBE.

322.一直線分別平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與它們的交線平行.

已知：aClB=a,1〃a,1〃B.求證：l〃a.

解析：由線面平行推出線線平行，再由線線平行推出線面平行，反復(fù)應(yīng)用線面平行的判定和性質(zhì).

證明：過(guò)1作平面交a于b.T1〃a,由性質(zhì)定理知l〃b.

過(guò)1作平面交B于c...T〃B,由性質(zhì)定理知l〃c.

b〃c,顯然cuB.，b〃B.

又bua,aC6=a,b//a.

又l〃b.

1/7a.

評(píng)注：本題在證明過(guò)程中注意文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換和使用.

323.如圖，在正四棱錐S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP：PC=1：2,SQ：SB=2：3,

SR：RD=2：1.求證：SA〃平面PQR.

解析：根據(jù)直線和平面平行的判定定理，必須在平面PQR內(nèi)找一條直線與AS平行即可.

證：連AC、BD,設(shè)交于0,連S0,連RQ交SO于M,取SC中點(diǎn)N,連0N,那么ON〃SA.

,.SQ_SR_2

.-----—------------

SBSD3

，RQ〃BD

.SM2Hsp2

SO3SN3

.SM_SP

；.PM〃ON

SOSN

：SA〃ON.；.SA〃PM,PMu平面PQR

SA〃平面PQR.

評(píng)析：利用平幾中的平行線截比例線段定理.

三角形的中位線性質(zhì)等知識(shí)促成“線線平行”向“線面平行”的轉(zhuǎn)化.

324.證明：過(guò)平面上一點(diǎn)而與這平面的一條平行線平行的直線，在這平面上.

證明如圖，設(shè)直線a〃平面a,點(diǎn)AGa,AG直線b,b〃a,欲證bua.事實(shí)上，?.?b〃a,可確定平面B,B

與a有公共點(diǎn)A,a,B交于過(guò)A的直線c,：a〃a,.?.a〃c,從而在B上有三條直線，其中b、c均過(guò)點(diǎn)A

且都與a平行.于是b、c重合,即bua.

325.S是空間四邊形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，E、F分別在AD、CD上，且AE：AD=CF：CD,BE與AS

相交于R,BF與SC相交于Q.求證：EF〃RQ.

證在△ADC中，因AE：AD=CF：CD,故EF〃AC,而ACu平面ACS,故EF〃平面ACS.而RQ=平面ACSA平面

RQEF,故EF〃RQ（線面平行性質(zhì)定理）.

326.已知正方體ABCD—A'B'C'D'中，面對(duì)角線AB'、BC'上分別有兩點(diǎn)E、F且B'E=C'F求證：EF

//平面AC.

解析：如圖，欲證EF〃平面AC,可證與平面AC內(nèi)的一條直線平行，也可以證明EF所在平面與平面AC平行.

證法1過(guò)E、F分別做AB、BC的垂線EM、FN交AB、BC于M、N,連接MN

VBB,，平面ACBB'_LAB,BB'±BC

AEMIAB,FN1BC

.?.EM〃FN,VAB,=BC',B'E=C'F

.?.AE=BF又NB'AB=ZCzBC=45°

ARtAAME^RtABNF

AEM=FN

四邊形MNFE是平行四邊形

；.EF〃MN又MNu平面AC

，EF〃平面AC

證法2過(guò)E作EG〃AB交BB'于G,連GF

.B'EB'G

"B'AB'B

VB,E=C'F,B'A=C'B

?C'F_B'G

',訪一再.?.FG〃B'C'〃BC

XVEGnFG=G,ABABC=B

.?.平面EFG〃平面AC

又EFu平面EFG

，EF〃平面AC

327.如圖，四邊形EFGH為四面體A—BCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形，求證：(1)AB〃平面EFGH；(2)CD

〃平面EFGH

證明：(DYEFGH為平行四邊形，...EF〃HG,

?.,【IGu平面ABD,，EF〃平面ABD.

：EFu平面ABC,平面ABDC1平面ABC=AB.

；.EF〃AB,AB〃平面EFGH.

⑵同理可證：CD〃EH,；.CD〃平面EFGH.

評(píng)析：由線線平行n線面平行n線線平行.

328.求證：如果兩條平行線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條也和這個(gè)平面相交.

已知：a〃b,aCa=A,求證：b和a相交.

證明：假設(shè)bua或b〃a.

若bua,?；b〃a,:.alla.

這與aOa=A矛盾，Abea不成立.

若6〃(1,設(shè)過(guò)a、b的平面與a交于c.

Vb/7a，,b〃c，又a〃b，a〃c

.??a〃a這與ada=A矛盾....b〃a不成立.

???b與目交.

329.求證：如果兩個(gè)相交平面分別經(jīng)過(guò)兩條平行直線中的一條，那么它們的交線和這條直線平行.

已知：a/7b,aua,buB,an。=c.

求證：c//a//b

證：卜=>aua

be6]an=cJa#kJ

330.在下列命題中，真命題是（）

A.若直線m、n都平行平面a,則m〃n;

B.設(shè)a—1—B是直二面角，若直線nd_l,則111_111,mJ_B;

C.若直線m、n在平面a內(nèi)的射影是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且m_Ln,則n在a內(nèi)或n與a平行；

D.設(shè)心n是異面直線，若m和平面a平行，則n與a相交.

解析：對(duì)于直線的平行有傳遞性，而兩直線與平面的平行沒(méi)有傳遞性故A不正確；平面與平面垂直可得出線面

垂直，要一直線在一平面內(nèi)且垂直于交線，而B中m不一定在a內(nèi)，故不正確；對(duì)D來(lái)說(shuō)存在平面同時(shí)和兩異

面直線平行，故不正確；應(yīng)選C.

331.設(shè)a、b是兩條異面直線，在下列命題中正確的是（）

A.有且僅有一條直線與a、b都垂直

B.有?平面與a、b都垂直

C.過(guò)直線a有且僅有一平面與b平行

D.過(guò)空間中任一點(diǎn)必可作一條直線與a、b都相交

解析：因?yàn)榕c異面直線a、b的公垂線平行的直線有無(wú)數(shù)條，所以A不對(duì)；若有平面與a、b都垂直，則a〃b

不可能，所以B不對(duì).若空間的一點(diǎn)與直線a（或b）確定的平面與另一條直線b（或a）平行，則過(guò)點(diǎn)與a相交的直

線必在這個(gè)平面內(nèi)，它不可能再與另一條直線相交，所以D不對(duì)，故選C.

332.三個(gè)平面兩兩相交得三條交線，若有兩條相交，則第三條必過(guò)交點(diǎn)：若有兩條平行，則第三條必與之平

行.

已知：anB=a,any=b,7rIa=c.

求證：要么a、b、c三線共點(diǎn)，要么a〃b〃c.

證明：①如圖一，設(shè)aClb=A,

,/aAp=a.

；.aua而AGa.

AASa.

又BC/=b

：.bu/,而ASb.

則AGa,AG/,那么A在a、y的交線c上.

從而a、b、c三線共點(diǎn).

②如圖二，若2〃1?,顯然cuy,buy

a///

而aua,any=c.

a〃c

從而a〃b〃c

333.一根長(zhǎng)為a的木梁，它的兩端懸掛在兩條互相平行的，長(zhǎng)度都為b的繩索下，木梁處于水平位置，如果

把木梁繞通過(guò)它的中點(diǎn)的鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度?,那么木梁升高多少？

解析：設(shè)M、N為懸掛點(diǎn)，AB為木梁的初始位置，那么AB=a,MA〃NB,MA=NB=b,ZA=ZB=90°.

設(shè)S為中點(diǎn)，L為過(guò)S的鉛垂軸，那么Lu平面MANB,木梁繞L轉(zhuǎn)動(dòng)角度力后位于CD位置，T為CD中點(diǎn)，那

么木梁上升的高度為異面直線AB與CD之間的距離ST.

在平面MANB中，作TK〃AB,交MA于K,則AK=ST.

設(shè)ST=x,則x=b-KM.又KT=CT=q,NKTC=。，有KC=asin—.

22

從而KM=J1--q-sin-'.

.,.x—b-^b2-a2sin2g.

334.(1)棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要但不充分的條件是：()

A.棱柱有一條側(cè)棱與底面垂直

B.棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直

C.棱柱有兩個(gè)相鄰的側(cè)面互相垂直

D.棱柱有一個(gè)側(cè)面與底面的一條邊垂直

解析：根據(jù)直棱柱定義，A是充分條件，C、D不是必要條件，所以選B.

說(shuō)明解答此題要熟知直棱柱的定義及其充分必要條件的含義.

335.長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱所成的角分別為a、B、y.

求證：cos'a+cos23+cos2Y=1

解析：證明三角恒等式，可用從左邊推出右邊的方法.

證明：設(shè)對(duì)角線&D與長(zhǎng)方體的棱AD、DC、DE所成的角分別為a、B、y,連結(jié)ABi、CB?DB,則ABJ)A、

△BJ)C、M山。都是直角三角形.

???3=3,C°SB=2￡,C°SY=^

DByDB]DB[

22

?2廠I2al2DA+DC+DD^

..cosa+cosp+cosY=----------7------=1

DB；

評(píng)析：這里運(yùn)用了長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)定理.

336.在三棱柱ABC—ABG中，已知AB=AC=10cm,BC=12cm,頂點(diǎn)4與A、B、C的距離等于13cm,求這棱柱

的全面積.

解析:如圖，作AQ_L平面ABC于0,：AiA=AB=AC...OA=OB=OC,0.0是AABC的外心，「AABC等腰，

AOLBC于D,AAAaBC,ABiBlBC,四邊形BBCG為矩形，，S矩形=12?13=156(頷?),△AiAB底邊上高

222

AiE=V13-5=12,=SAArr=120(cm),SAABC=5A4/?r=—?12?8=48(cm?),S全=156+2?120+2

X48=492(cm2)

337.在平行六面體中，一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是a,b,c,這三條棱長(zhǎng)分別是a,b,c,這三條棱中每?jī)蓷l成

60°角，求平行六面體積.

解析：如圖，設(shè)過(guò)A點(diǎn)的三條棱AB,AD,AAi的長(zhǎng)分別是a,b,c,且兩面所成角是60°,過(guò)用作AML平面ABCD,

H為垂足,連HA,則NHAB=30°,由課本題得:

cosZAiAB=cosZAiAH?cosZHAB,

cosNA〕ABcos60°八…屈

=-------——=-------=——,sinNAiAH=

cosZHABcos3003~T

...V=SwA,H=absin6。。?…in/A心也abc.

2

338.在棱長(zhǎng)為a的正三棱柱ABC—ABC中，0、0i分別為兩底中心，P為00i的中點(diǎn)，過(guò)P、B1、。作一平面與

此三棱柱相截，求此截面面積.

解析：如圖，：AA」面ABC,AA析00“設(shè)過(guò)P、Bi、3的截面與AAi的延長(zhǎng)線交于Q,連結(jié)AQi延長(zhǎng)交BC

于D,連QD,貝I」P必在QD上，?；0|為△AiBC的中心，P為00i的中點(diǎn)，故----=----^=—,，Q在AiA延長(zhǎng)

QA3

線上且QA=PO”又QBi交AB于E,QC交AC于F,則EF〃BC,所以截面為EFBC是等腰梯形，又QA1：QA=3：

1,AEF=.|設(shè)QD與EF交于H,得QD_LBC.因此HD為梯形EFCB的高.DQ=，HD=

—a.SEFCB='（a+色）?（迪a）=迪a?為所求截面積?

3''2339

339.如圖，已知正三棱柱ABC—ARG的各棱長(zhǎng)都為a,D為CG的中點(diǎn).

（1）求證：ABJ_平面ABQ.

（2）求平面AiBD與平面ABC所成二面角的度數(shù).

解析：這雖是一個(gè)棱柱，但所要論證的線面關(guān)系以及二面角的度數(shù)，都還是要利用直線和平面中的有關(guān)知識(shí).

解（1）；正三棱柱的各棱長(zhǎng)都相等，

側(cè)面ABBA是正方形.

.?.AIBJ_ABI.連DE,

■:ABCDgAACD,

.,.BD=A,D,而E為AB的中點(diǎn),

AB_LDE.平面ABD

⑵延長(zhǎng)Ad）與AC的延長(zhǎng)線交于S,連BS,則BS為平面ABD和平面ABC所成二面角的公共棱.

：DC〃AA且D為CG的中點(diǎn)，，AC=CS.

又AB=BC=CA=CS,.../ABS=90°.又AB是AB在底面上的射影，由三垂線定理得ABLBS.

，NABA就是二面角A,—BS—A的平面角.

VZA,BA=45",

二平面ABD和平面ABC所成的二面角為45°.

評(píng)注：本題(2)的關(guān)鍵是根據(jù)公理二求平面ABD和平面ABC的交線，在論證ABLBS時(shí)，用到了直角三角形斜邊

上的中線性質(zhì)定理的逆定理.當(dāng)然(2)還可以用S時(shí)=S?cos9來(lái)解0.

340.如圖，已知正三棱柱ABC—ABC的底面積等于cm?,D、E分別是側(cè)棱BBGC上的點(diǎn)，且有EC=BC

=2DB,試求

(1)四棱錐A—BCDE的底面BCED的面積

(2)四棱錐A—BCED的體積

⑶截面ADE與底面ABC所成二面角的大小

(4)截面ADE的面積

解析：利用三棱柱的性質(zhì)及已知條件，(1)、(2)、(4)不難推算，至于(3),可設(shè)平面ADE與平面ABC所成二

面角為a,觀察到AADE在底面ABC的射影是△ABC(；DB_L平面ABC,￡(：_1平面ABC)應(yīng)用S,,ABC=S4ADE?cosa,

可求出a.

Fy_ii

ABC2

解：設(shè)AABC邊長(zhǎng)為x,VS4=—x=V3..*.x=2,于是EC=BC=2,DB=-BC=1,...SBCH)=-(2+1)?2

422

=3,作AFJ_BC于F

]1J3

.??AF_L平面BCED,VABCED=—,AF,SBCED，二VA-BOT)=—,---,2?3—V3

332

在RtAABD中，\\)2=^+^=22+12=5；在Rt梯形BCED中，DE，=(CE-DB)z+Bd=5

；.AD=DE=J?,AADE是等腰三角形，作DQLAE于Q,則Q為AE的中點(diǎn)

在RtAACE中，AE2=EC2+AC2=8,DQ2=AD2-AQ2=(75)-(-V8)2=3

2

/.AE=V8,DQ=百，SAADB=—,AE?DQ=y/6

2

設(shè)截面ADE與底面ABC所成二面角大小為a,I)、E分別在底面的射影為B、C,.;△ABC的面積=AADE面積X

cosa

即—Rcosa,cosa=----,a=45。

2

22

答⑴SKfiB=3cm,(2)VA-MD=A/3cn?,⑶截面ADE與底面ABC成45°的二面角，⑷Sw=在cm

341.在三棱柱ABC—ABC中，AB=V2a,BA=CA=AA1=a,Ai在底面AABC上的射影0在AC上。

⑴求AB與側(cè)面AC,所成的角

（2）若。恰是AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積

解析：（DAQL面ABC,BCu面ABC,；.BC，AQ,又；BC=CA=a,AB=蚯a,二△ABC是等腰直角三角形，二

BC±AC,；BCL面AG,故NBAC為BA與面AG所成的角，則有/BAC=45°,即AB與側(cè)面成45°角。

(2)若。恰為AC中點(diǎn)，VAA=a,AC=a,AA0=-,A,0=—a,S??=a2,作ODLAB于D,連結(jié)AD,由三垂

122rr

B[2_________

線定理得在RtAAOD中，0D=0AsinZBAC=-?—=—a2,在RtAAQD中，AiD=JAO2+O￡>2

224

畢，S.=4a?&?a=^a：

,,S瀛柱惻=5(2++J7)a，

2V2"2V22

342.已知異面直線a、b成60。角，過(guò)空間一點(diǎn)p,與a、b也都成60。角的直線，可以作（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

解析：C

343.已知a/尸是直二面角，直線a^a,直線6聶力，且a、b與/都不垂直，那么().

A.。與h可能平行，也可能垂直

B.。與?？赡芷叫校豢赡艽怪?/p>

C.。與b不可能平行，但可能垂直

D.“與b不可能平行，也不可能垂直

解析：B.當(dāng)4門/=0，8口/=0時(shí)，a//h,即〃、人可能平行，假設(shè)“Lb,在a上取一點(diǎn)P,作交/

于。，：二面角a-//是直二面角，二PQL/3,：.PQLb.：.人垂直于a內(nèi)兩條相交直線〃和尸0,二

h-La,Ab.Ll.這與已知匕與/不垂直矛盾.，b與〃不垂直

344.直線/、團(tuán)與平面a、力滿足平面a,〃?￡夕，以上四個(gè)命題:

①a②a_!_/=/〃”?；③/〃"?=a_L夕：④/_!_"?=a〃〃.

其中正確的兩個(gè)命題是（）.

A.①與②B.③與④C.②與④D.①與③

解析：D.

IIIm、

/■LaJLc'四，①正確>=>m.La____

m/±a'=a_L￡,③正確;

LLor,且a_Lf,此時(shí)，可能與m共面0,②不正確;

?_Ltx,l.Lm>,此時(shí)ar、尸可能相交，④不正確.

345.如圖9-45,二面角a-//的平向角為120°,A&l,B^l,AC^a,BD^p,ACA.l,BDLl.^AB=AC=BD=\,

則CD長(zhǎng)為（）.

A.yf2.B.V3C.2D.V5

a

解析：B.在平面夕內(nèi)作AE〃8O,DE//BA,得交點(diǎn)E.則NC4E為二面角a-//的平面角，故NC4E=120°,

于是。52=2.在Rt4CEO中可求CD長(zhǎng).

TTTV

346.SA、SB、SC是從S點(diǎn)出發(fā)的三條射線，若NAS8=NASC=+，NBSC=—,則

二面角B-SA-C的大小為（）.

解析：C.在SA上任取一點(diǎn)E,作EFJ_S4交SC于F,作EG_LSA交SB于G,連結(jié)尸G,則/GEF為二面角

B-SA-C的平面角.

347.線段AB長(zhǎng)為2a,兩端點(diǎn)A、B分別在一個(gè)直二面角的兩個(gè)面上，AB和兩個(gè)面所成的角為45°和30°,

那么A、8在棱上的射影間的距離為（）.

-72a

A.2aB.aC.ClD.一

解析：B.如圖答9-39,設(shè)直二面角為a-//,作ACJJ于C,BOdJ于。，貝BDA.a,連結(jié)A。、BC,

/ABC為AB與4所成的角，/BA。為A8與a所成的角，

/ABC=30°,ZBAD=45°,:AB=2a,：.AC=a,AD=叵。.在RtZ\ACD中，CD2=AD?-AC2=,

CD=a.

C

B

圖答9-39

348.正方體ABC?！狝fCQi中，二面角4一8?！狦的大小的余弦值為（）?

1C13

A.0B.-C.一D.-

325

解析：B.取BD中點(diǎn)。，連結(jié)。4、0G，則1BD,0cl.LBD，,