空間直角坐標系課件安徽省淮南第四中學高二上學期數(shù)學人教A版選擇性必修第一冊

空間向量基本定理

特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．|i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j(luò)·k＝i·k＝0，這是其他一般基底所沒有的．

如果三個向量

a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，

p＝xa＋yb＋zc．1.空間直角坐標系

(1)定義

在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k},以點O為原點,分別以i,j,k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.xyzOjik

點O叫做原點，向量都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面。它們把空間分成八個部分xyzO(2)畫法①畫軸畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.②建系建立右手直角坐標系.

在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系.Oxyz2.點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中,i,j,k為坐標向量,對空間任意一點A,對應(yīng)一個向量OA，且點A的位置由向量OA唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在單位正交基底{i,j,k}下與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點A在空間直角坐標系中的坐標,記作A(x,y,z),其中x叫做點A的橫坐標,y叫做點A的縱坐標,z叫做點A的豎坐標.xyzOA(x,y,z)ijk3.向量的坐標

在空間直角坐標系Oxyz中,給定向量a,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標,可簡記作a=(x,y,z).這樣在空間直角坐標系中，空間中的點和向量都可以用三個有序?qū)崝?shù)表示.xyzOijkA(x,y,z)1、在空間坐標系Oxyz中，(分別是與x軸、y軸、z軸的正方向相同的單位向量)則AB的坐標為

，點B的坐標為

。2、點M（2,-3,-4）在坐標平面xoy、xoz、yoz內(nèi)的正投影的坐標分別為

，關(guān)于原點的對稱點為

，關(guān)于x軸的對稱點為

，關(guān)于y軸的對稱點為

，關(guān)于z軸的對稱點為

，(1,-2,-3)不確定（2,-3,0）（2,0,-4）（0,-3,-4）（-2,3,4）（2,3,4）（-2,-3,4）（-2,3,-4）在坐標平面的正投影，缺哪個軸，則該值為0.關(guān)于哪個軸對稱，則該值不變，其余互為相反數(shù).題型一求空間點的坐標例1在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立適當?shù)淖鴺讼祵懗龃碎L方體各頂點的坐標．C(D)A1B1C1D1AB如圖，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系Oxyz．所以D(0,0,0)．Oxyz同理：C(0,5,0)，D1(0,0,4)．點B在x軸，y軸，z軸射影分別為A，C，O，它們在坐標軸上的坐標分別為3,5,0，所以點B的坐標為(3,5,0)．同理得A1(3,0,4)，C1(0,5,4)．由B1在Oxy平面內(nèi)的射影為B(3,5,0)，所以B1的橫坐標為3，縱坐標為5，因為B1在z軸上的射影為D1(0,0,4)，所以B1的豎坐標為4，所以點B1的坐標為(3,5,4)．C(D)A1B1C1D1ABOxyz如圖所示，四棱錐D-OABC中，建立空間直角坐標系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中點，求點M的坐標．ABCODMzxy法一：點M在x軸，y軸，z軸上的射影分別為M1，M2，M3，它們在坐標軸上的坐標分別為2，3，1，所以點M的坐標是(2，3，1)．如圖所示的空間直角坐標系中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，則PD的中點M的坐標為________．BACDPxyzMO點M在x軸、y軸、z軸上的射影分別為M1，O，M2，題型二求空間向量的坐標xyzOABB1A1O1D()用坐標表示空間向量的步驟觀圖形充分觀察圖形特征用運算建坐標系根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標系綜合利用向量的加減及數(shù)乘運算將所求的向量用已知的基向量表示出來，確定坐標定結(jié)果ABCDMN因為PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以AD，AB，AP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示．xyz題型三空間向量的坐標應(yīng)用角度1對稱問題在空間直角坐標系中，點P(－2,1,4)．(1)求點P關(guān)于x軸的對稱點的坐標；(2)求點P關(guān)于Oxy平面的對稱點的坐標；(3)求點P關(guān)于點M(2，－1，－4)的對稱點的坐標．(1)由于點P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為(－2，－1，－4)．(2)由于點P關(guān)于Oxy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點為(－2，1，－4)．點M為線段PP1的中點，由中點坐標公式，可得P1(6，－3，－12)．角度2

距離問題如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C的中點，求線段MN的長度．CDA1B1C1D1ABNM如圖所示，分別以AB，AD