第08講圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦焦半徑及定比分點(diǎn)問題（高階拓展）（學(xué)生版）

第08講圓錐曲線中的焦點(diǎn)弦、焦半徑及定比分點(diǎn)問題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新Ⅱ卷，第10題,5分拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾何性質(zhì)拋物線定義的理解根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)2020年新I卷，第13題,5分求拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)無2020年新Ⅱ卷，第14題,5分求拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的焦點(diǎn)弦及其相關(guān)計(jì)算2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的焦半徑及其相關(guān)計(jì)算3.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的定比分點(diǎn)及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)結(jié)合公式運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識(shí)講解橢圓的斜率式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式(1)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(或)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則(2)為橢圓的下、上焦點(diǎn)，過(或斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則雙曲線的斜率式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式(1)F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x2a2?y2b2(2)A，B在異支弦，AB=

(2)F1，F(xiàn)2為雙曲線C:y2a2?x2b2

(2)A，B在異支弦，AB=2a橢圓的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

(1)F1,F2為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)，過F1傾斜角為θ的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，則AB=2ab2a2?雙曲線的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

(1)F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，過F1傾斜角為θ的直線l與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，則AB=2ab拋物線的的傾斜角式焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式

(1)焦點(diǎn)在x軸上,AB=2psin2橢圓的角度式焦半徑公式設(shè)P是橢圓x2a2+y2b2=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為它的一個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線的角度式焦半徑公式設(shè)P是雙曲線x2a2?y2

式中“的記憶規(guī)律:同正異負(fù).即當(dāng)P與F位于y軸的同側(cè)時(shí)取正，否則取負(fù).

取∠PFO拋物線的角度式焦半徑公式已知A是拋物線C:y2=2pxp定比分點(diǎn)的定義若AP=λPB,則稱點(diǎn)P為線段AB的定比分點(diǎn),λ為點(diǎn)P一般地,設(shè)點(diǎn)Ax1,y1,B考點(diǎn)一、橢圓、雙曲線、拋物線的通徑問題1．（2023秋·四川內(nèi)江·高三期末）橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上且軸，則到直線的距離為（

）A． B．3 C． D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與雙曲線的實(shí)軸垂直的弦叫做雙曲線的通徑，則雙曲線的通徑長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4，那么拋物線的通徑（過焦點(diǎn)并垂直于軸的弦）長(zhǎng)是（

）A．8 B．8或24 C．12 D．12或244．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，點(diǎn)、、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．或1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋物線的通徑（過拋物線的焦點(diǎn)且與其對(duì)稱軸垂直的弦）的長(zhǎng)為．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2＝2py的焦點(diǎn)為F，過F且垂直于y軸的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為18，則p＝．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點(diǎn)，且，則p的值為．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二、橢圓中的焦點(diǎn)弦及焦半徑問題1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)，并且滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為第一象限內(nèi)上一點(diǎn)．若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則．4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則___1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若，軸，則橢圓E的方程為．2．（2022秋·四川樂山·高三期末）設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，過作斜率為1的直線，交于、兩點(diǎn)，則3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，且，若第一象限的點(diǎn)、在上，，，，則直線的斜率為.4．（2022秋·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．△ABF2的周長(zhǎng)為定值 B．AB的長(zhǎng)度最小值為2C．若AB⊥AF2，則 D．λ的取值范圍是考點(diǎn)三、雙曲線中的焦點(diǎn)弦及焦半徑問題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交該雙曲線的左、右兩支于A、B兩點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．4 D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為36，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．4．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，過點(diǎn)可作直線與曲線交于，兩點(diǎn)，使，則曲線可以是（

）A． B．C． D．1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以，為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線左支上過點(diǎn)的弦，且，的周長(zhǎng)是20，則m=．3．（2023秋·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）（多選）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與的一條漸近線切于點(diǎn)，過的直線與交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，若的離心率，則（

）A．B．的最小值為C．若，則D．若、同在的左支上，則直線的斜率考點(diǎn)四、拋物線中的焦點(diǎn)弦及焦半徑問題1．（全國(guó)·高考真題）已知直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若,則k=A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形3．（山東·統(tǒng)考高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=．4．（重慶·高考真題）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則=．5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖，已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線自上而下，分別交拋物線與圓于四點(diǎn)，則（

）．A． B．C． D．1．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，作斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B．或3 C．或2 D．32．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．3．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知A，B是拋物線：上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A．直線AB過焦點(diǎn)F時(shí)，最小值為4B．直線AB過焦點(diǎn)F且傾斜角為時(shí)，C．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5D．4．（2023·北京·人大附中?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考二模）已知拋物線與圓，過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，，，，其中，在第一象限，，在第四象限，則最小值是.考點(diǎn)五、定比分點(diǎn)問題1已知過定點(diǎn)P0,3的直線與橢圓x29+y2解:設(shè)點(diǎn)Ax1,y1又已知點(diǎn)P0,3由點(diǎn)A,B在脒圓上得兩式作差得x1+λ于是,將(1)代入(2)化簡(jiǎn)得y1?λ由y1+λy2解得λ∈?1．（浙江·高考真題）已知點(diǎn)P(0，1)，橢圓(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足，則當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．【能力提升】一、單選題1．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）拋物線的通徑長(zhǎng)為（

）A．8 B．4 C． D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則過點(diǎn)且斜率為的直線截拋物線所得弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陜西西安·高三長(zhǎng)安一中?？计谀┰O(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為雙曲線：上的點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，，則的面積為（

）A． B． C．30 D．156．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．77．（2023春·山西呂梁·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則||+2||的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．3 D．49．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，作斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B．或3 C．或2 D．310．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，過F且斜率大于零的直線l與及拋物線：的所有公共點(diǎn)從右到左分別為點(diǎn)A，B，C，則（

）A．4 B．6 C．8 D．1011．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)，分別作弦，.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．12．（2023·陜西·校聯(lián)考三模）已知定點(diǎn)，直線：與拋物線交于兩點(diǎn)A，B，若，則(

)A．4 B．6 C．8 D．1013．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知斜率不為0的直線過橢圓的左焦點(diǎn)且交橢圓于，兩點(diǎn)，軸上的點(diǎn)滿足，則的取值范圍為（

）A．， B．， C．， D．，二、多選題14．（2022秋·河北衡水·高三?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為5C．以線段為直徑的圓與直線相切D．若，則直線的斜率為15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，則（

）A．△ABF2的周長(zhǎng)為定值 B．AB的長(zhǎng)度最小值為1C．若AB⊥AF2，則λ=3 D．λ的取值范圍是[1，5]三、填空題16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.17．