2020-2021學年眉山市高二年級上冊期末數(shù)學試卷(理科)(含解析)

2020-2021學年眉山市高二上學期期末數(shù)學試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.拋物線y=-1/的焦點坐標及準線方程分別為（）

O

A.（0,-2）,x=2B.（0,-2）,y=2

C.（2,0）,尤=—2D.（2,0）,y=—2

2.已知高為3的直棱柱ZBCAB'C'的底面是邊長為1的正三角形（如圖所示），則

三棱錐8N8C的體積為（）/\\

B-1

C.在

6

D.在

4

3.“aW1或力。2"是"a+bW3”的（）

A.必要不充分條件B.既不充分也不必要條件

C.充要條件D.充分不必要條件

4.若直線y=k%-2與直線y=3%垂直，則々=（）

A.3B.-C.—3D.--

2

5.在直角坐標系中，把雙曲線G：］-y2=1繞原點逆時針旋轉90。得到雙曲線C2,給出下列說法:

①G與的離心率相同；②C1與C2的焦點坐標相同；③G與C2的漸近線方程相同；④Q與的實軸

長相等.

其中正確的說法有（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

6.命題“若a=p貝kcma=乎的逆否命題是（）

A.若aK3，則tana4在B.若a=g則tana4遺

3333

C.若tana。遺，則aHgD.若tana豐叵,則a=7

3333

7.已知橢圓喧+旨=1(a>6>0)的左、右焦點分別為6(—c,0),F(C,0),若橢圓上存在點P使

az2

nc

同總=擊赤？則該橢圓的離心率的取值范圍為()

A.(0,V2-l)B.(今1)C.(0,f)D.(V2-1,1)

8.UAB>0”是“方程0表示橢圓”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知平面a的一個法向量元=(2,2,-1),點4(0,1,-3)在平面a內，則點尸(2,-3,-2)到平面a的距

離為()

A.V3B.V17C.|D.

10.在正方體力BCD-々BiCiDi中，二面角A-BD-4的余弦值為()

A.-B.遮C.在D.更

2322

22

11.已知雙曲線的離心率ei，拋物線的離心率e,橢圓|^+W=1的離心率02,若3、e、e2成等比數(shù)

歹！I，則雙曲線的漸近線方程為()

34

A.y=±-xB.y=±-x

43

C.y=土江或y=±^xD.y=土自或y=±|x

12.在正六棱柱中，不同在任何側面而且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為對角線，那么一個正

六棱柱對角線的條數(shù)共有()

A.24B.18C.20D.32

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

%>0

13.若％,y滿足約束條件%+3y>4,貝收=%-y的最大值是.

.3%+y<4

14.已知三棱錐。-ABC的四個頂點均在球。的球面上，△48C和所在的平面互相垂直，且

AB1AC,BC=CD=BD=2B，則球。的表面積為.

15.已知圓C：x2+y?—2,x—3=0,直線1：CLX+y—2a—1=0(a為參數(shù))截圓C的弦長為2V^,

則Q=.

16.己知直線1：ax—3y+12=0(aeR)與圓M：%2+y2-4y=0相交于4、B兩點，且乙4MB=1,

則實數(shù)a=.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知拋物線W:y=a/經(jīng)過點a(2,i),過4作傾斜角互補的兩條不同直線幾％.

(I)求拋物線勿的方程及準線方程；

(U)當直線人與拋物線勿相切時，求直線％與拋物線皿所圍成封閉區(qū)域的面積；

(川)設直線口"分別交拋物線加于B,C兩點(均不與4重合)，若以線段BC為直徑的圓與拋物線

的準線相切，求直線BC的方程.

18.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中，AC=BC,^LACB=90°,D是力

的中點

(1)求證：平面QDB1平面ABB141；

(2)若異面直線Aa和BG所成的角為60。，求平面C/B與平面A8C夾角的余

弦值.

19.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PD1平面力BCD,PD=DC=2AD=2,4。1DC,乙BCD=45°.

(1)設「。的中點為用，求證：2M〃平面PBC；

(H)求「4與平面PBC所成角的正弦值；

(HI)求二面角B-PC-。的正弦值.

p

c

20.已知直線/：ax—2y+2=0(aGR)

(1)若與直線zn：汽+(a-3)y+1=0(a￡R)平行，求a；

(2)若直線，始終平分圓C：(%-1尸+y2=2的周長，求心

21.如圖所示的幾何體中，面因費為正方形，面?zhèn)任簯繛榈妊菪危?圓軸蹦遨;，.通

激窗二做r，且平面包遨感乏_L平面,融函?

(1)求?的與平面庭統(tǒng)1所成角的正弦值；

(2)線段,蹈上是否存在點/，使平面盅?。篲L平面瞬窗？

證明你的結論.

22.已知橢圓C：《+?=l(a>2)的離心率為弓.

(/)求a的值；

(口)已知點力(0,4),若斜率不為0的直線I交橢圓C于點M,N,且滿足NM4。=NAM。(其中。是坐標

原點)，求證：直線MN過定點.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：,??拋物線y=化為：拋物線％2=-8y中，2p=8,解得p=4,

O

.??拋物線/=-8y的焦點坐標為(0,-2),

準線方程為：y=2.

故選:B.

求出拋物線的標準方程，利用久2=—2py(p>0)的焦點坐標為(0,-準線方程為：y=l，求解判

斷即可.

本題考查拋物線的焦點坐標的求法，直線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意拋物線

的簡單性質的靈活運用.

2.答案：D

解析：解：???高為3的直棱柱ABC-AB'C'的底面是邊長為1的正三角形，

???SMBC=工x1x1xsin60°=―,

24

???三棱錐夕一的體積：

'=耳xS^ABCx3=f,

故選：D.

由已知得SAABC=|x1x1xsin60°=爭由此能求出三棱錐B'-ABC的體積.

本題考查三棱錐的體積的求法，是基礎題，解題時要認真審題.

3.答案：A

解析:

本題考查充分條件、必要條件的判斷，屬于中檔題.

解：因為a=1且b=2=>a+b—3,

a+b=3冷a=1且b=2,

則“a=1且6=2”是“a+6=3”的充分不必要條件，

故“a豐1或6豐2”是“a+6力3”的必要不充分條件.

故選：A.

4.答案:D

解析：

本題考查了相互垂直與斜率之間的關系，考查了計算能力，屬于基礎題.

根據(jù)相互垂直的直線斜率之間的關系即可得出.

解：?直線y=kx-2與直線y=3x垂直，

3k=-1,解得k=

故答案選：D.

5.答案：C

解析：解：旋轉后，雙曲線C2的實軸在y軸上，焦點也在y軸上，

其方程為=a=迎,b=1,c=Va2+b2-V2+1—V3-

考慮①、?：因為a，b,c未變，所以離心率e=（不變，實軸長2a不變.

考慮②：因為焦點的位置改變，所以G與C2的焦點坐標不同.

考慮③：在的方程■——=1中，令/=0,得漸近線方程為y=

在C］：y2=］中，令^y2=0,得漸近線方程為y=±jx,

所以漸近線方程不同.

所以正確的選項是①④.

故選C.

22

把雙曲線=1繞原點逆時針旋轉90。后，只需將原方程中x,y互換即可得到。2與--=1.

對于①，由a,b的值，可知離心率改變與否；

對于②，由于雙曲線的位置改變，可知焦點位置改變；

對于③，在C2：1-久2=1中，令?一久2=o,即得漸近線方程；

對于④，由于雙曲線的形狀未變，可知實軸長未變.

本題考查了雙曲線的方程及雙曲線的焦點、離心率、實軸、漸近線等幾何性質，關鍵是知道雙曲線

的方程與雙曲線的焦點、離心率、實軸、漸近線的關系.

6.答案：C

解析：解：命題“若a=g則=立”的逆否命題是

33

“若tana4遺，則aK?'.

33

故選：c.

根據(jù)命題“若p,貝叼”的逆否命題是“若飛,則「P”，寫出即可.

本題考查了四種命題之間的關系應用問題，是基礎題.

7.答案：D

nr

解析：試題分析：由“昕航=擊萬航”的結構特征，聯(lián)想到在中運用由正弦定理得:

而條忘=懸標兩者結合起來，可得到低=金，再由焦點半徑公式，代入可得到：a(a+ex0)=

0(。-6久0)解出久0，由橢圓的范圍，建立關于離心率的不等式求解.要注意橢圓離心率的范圍.

PF2

在APFiF2中，由正弦定理得:

sinz.PF1F2sinzPF2F1

則由已知得：￡=最,

即：aPF]=CPF2

設點POo，M))由焦點半徑公式,

得：PF】=a+ex0,PF2—a—ex0

貝!]a(a+ex0)=c(a—ex0)

的徂-a(c-a)_gl)

解得:Xr°~e(c+a)-e(e+l)

由橢圓的幾何性質知…〉一訓號>-。，

整理得+2e—1>0,解得：e<—V2—1或e>企—1,又e￡(0,1),

故橢圓的離心率：eE(或一1,1),

故選D

8.答案：A

解析：試題分析：因為由“ab>。”，不能判斷“方程a/+by2=1表示橢圓”，例如a<0,b<0

時，“方程a/+6y2=1不表示橢圓”；“方程a/+by2=1表示橢圓”今“ab>0”，；.“ab>0”

是“方程a/+by2=1表示橢圓”的必要不充分條件.故選艮

考點：本題考查橢圓的標準方程。

點評：本題考查充分條件、必要條件和充要條件，解題時要注意橢圓的定義和性質的靈活運用.

9.答案:C

解析:解:???點4(0,1,—3)在a內，P(2,—3,—2),

???布=(2,—4,1),

???向量元=(2,2,—1)為平面a的法向量,

P(2,-3,-2)到a的距離d=喘J=j.

故選：C.

求出4P=(2,—4,1),由此能求出P(2,—3,—2)到a的距離.

本題考查點到平面的距離的求法，考查向量法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思

想、函數(shù)與方程思想，是中檔題.

10.答案:B

解析：解：在正方體中，連接ZC,BD交點為0,連----------

,幾何體是正方體，二BD1BD1AA±,；.8。1平面力。A］，可知

BD1ArO,..3二

乙404是二面角的平面角，A"一

設正方體的棱長為2,貝必。=a,ArO=V2T4=V6>

二面角A-BD—Ai的余弦值為：得=*

故選：B.

畫出直觀圖，作出二面角的平面角，然后求解三角形推出結果即可.

本題考查二面角的平面角的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題.

1L答案：C

解析：

本題主要考查雙曲線的離心率的求法，同時橢圓和拋物線的離心率，考查等比數(shù)列的性質，屬于基

礎題.

分別求出橢圓和拋物線的離心率，再由等比數(shù)列的性質，可得雙曲線的離心率，再由雙曲線的a,b,

c的關系，結合雙曲線的漸近線方程，即可得到.

解：拋物線的離心率e=l,

橢圓過+肥=1的離心率e2=逐三=士，

259255

若。1、e、?2成等比數(shù)列，則出?2=”=1,

則有e1=

即有￡=9，由于。2=。2+62,即*口2=。2+萬2,

a416

解得,b=\a.

若雙曲線焦點在X軸上，則有漸近線方程為y=尤，即為y=±：x；

若雙曲線焦點在y軸上，則有漸近線方程為y=±*x,即為y=±：久.

故選：C.

12.答案：B

解析：解：???空間對角線的投影就是正六邊形的對角線2倍.

多邊形的對角線臂里.

那么多邊形空間對角線的投影就是多邊形的對角線2倍.即公式是"幾-3)

所以：正六棱柱的對角線是：6X(6—3)=18

故選：B

正六棱柱的空間對角線，投影就是正六邊形的對角線.正六棱柱的空間對角線有兩條件對角線投影

相同.正六棱柱的空間對角線就是正六邊形的對角線2倍.

本題考查了空間對角線的條數(shù)問題，記住公式：7i(n-3)即可.屬于基礎題.

13.答案：。

解析：解：不等式對應的平面區(qū)域如圖：(陰影部分).

由z=x—y得y=x—z,平移直線y=x—z,

由平移可知當直線y=x-z經(jīng)過點B時，

直線y=x-z的截距最小，此時z取得最大值，

由解得CM，

即B(1,1)代入z=x—y得z=1—1=0,

即2=x-y的最大值是0,

故答案為：0.

根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由2=%-丫得？=x-z,利

用平移求出z的最大值即可.

本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用圖象平行求得目標函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結合是解

決線性規(guī)劃問題的基本方法.

14.答案：16兀

解析：解：取BC中點E,連接4E,DE,

因為AB14C,

B

所以△ABC的外心E為BC的中點，

因為BC=CD=BD=2V3,

所以△BCD為等邊三角形，故。E1BC,

因為△48。和4DBC所在的平面互相垂直，

所以DE1平面ABC,則球心。在DE上，

因為△BCD中，BC=CD=BD=2百，

-1

所以DE=3,OE^-DE=1,

因為4E=3BC=遮，

貝噥2=0A2=0E2+AE2=1+3=4,

故R—2,S=4?rx4=167r.

故答案為：16兀.

由己知先確定外接球的球心位置，然后結合球的性質求出外接球的半徑，再由球的表面積公式即可

求解.

本題考查球。的表面積，考查學生的計算能力，確定球的半徑是關鍵.

15.答案：1

解析：解：由/+y2-2%-3=0,得(x-1)2+y2=4,

則圓心坐標為C(l,0),半徑r=2.

又直線［截圓C所得弦長為2虎，可得圓心到直線珀勺距離d=V4^2=V2,

???姆等=/，解得a=l.

Va2+1

故答案為：1.

由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由弦長可得圓心到直線的距離，進一步由點到直線的距離公式

列式求解.

本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式的應用，訓練了利用垂徑定理求弦長，是

基礎題.

16.答案：+V3

解析：

本題考查直線與圓位置關系的應用，是中檔題.

化圓的方程為標準方程，作出圖形，可得圓心到直線/的距離，結合點到直線的距離公式列式求解.

解：如圖，

V

化圓M：%2+y2-4y=0為x2+(y—2)2=4,

可得圓M的圓心為M(0,2),半徑為2,

直線ax-3y+12=0過定點A(0,4),

由乙4MB=p可得M至"的距離A。=V3,

由點到直線的距離公式可得：匕黑尹=百，

Va2+9

解得Q=+V3.

故答案為：土

17.答案：解：(1)由于4(2,1)在拋物線丫=。/上，所以l=4a,即a="

4

故所求拋物線的方程為y=*,其準線方程為y=-1；

4

(口)當直線4與拋物線相切時，由y'|x=2=L可知直線4的斜率為1，其傾斜角為45。,

所以直線6的傾斜角為135。，故直線%的斜率為-1，所以%的方程為丫=-久+3,

將其代入拋物線的方程y=那,得/+4x-12=。今X1=2,%2=

4

—6,

所以直線G與拋物線所圍成封閉區(qū)域的面積為：

S=￡(一久+3_*)dx=(一#+3x_"尤3)怛6=

64

3

(川)不妨設直線48的方程為y—1=kQ—2)(k>0),

fy-l-fc(x-2)

由，12

[y=4x

得/—4kx+8/c—4=0,

易知該方程有一個根為2,所以另一個根為4k-2,

所以點B的坐標為(4k一2,41一4左+1),

同理可得C點坐標為(-4k-2,4k2+4k+1).

所以|BC|=7t(4fc-2)-(-4fc-2)]2+t(4fc2-4/c+1)-(4fc2+4/c+l)]2=

V(8/c)2+(-8fc)2=8V2fc,

線段BC的中點為(—2,4^2+1),因為以BC為直徑的圓與準線y=—1相切，

所以4k2+1—(—1)=4V2k,由于k>0,解得k=串

此時，點B的坐標為(2/-2,3-2&),點C的坐標為(一2/-2,3+2V2),

直線BC的斜率為號算得專2=-1,

(—2y2—2)—(2V2—2)

所以BC的方程為y—(3—2或)=—[x—(2/7—2)],

即x+y—1=0.

解析：本題考查直線與拋物線的位置關系，同時考查導數(shù)的幾何意義.直線與圓錐曲線的位置關系,

考查了學生的計算能力，培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力.

(I)把點力的坐標代入拋物線方程求得p,則拋物線方程可得.進而根據(jù)拋物線的性質求得準線方程;

(n)當直線k與拋物線相切時，對拋物線方程求導，把％=2代入即可求得直線匕的斜率，進而可知

其傾斜角，推斷出直線"的傾斜角，則直線％的斜率求得，進而根據(jù)點斜式求得直線方程，再利用定

積分可求出圍成封閉區(qū)域的面積；

(m)設出直線4B的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y,可求得方程的兩個根，進而可推斷出B,。點的

坐標，根據(jù)兩點間的距離公式求得BC的表達式，根據(jù)以BC為直徑的圓與準線y=-1相切，可知4k2+

1-(-1)=4求得k,則B,。點的坐標可求，進而求得8c的斜率，最后根據(jù)點斜式求得直線

方程.

18.答案:證明：(1)在直三棱柱4BC-力i&G中,AC=BC,

乙4cB=90°,D是4/1的中點，

???QD1A1B1,CrD1AA1,

■■■A1B1nAA1=QD1平面力BB1&,

???CrDu平面GOB,平面QDB_L平面力

解：(2)???異面直線A4和BQ所成的角為60。，BCr=AC1,

???AC=BC="i，

以C為原點，CA,CB,CG所在直線分別為X，y，Z軸，

建立空間直角坐標系,

設AC=8C=CC1=1,則4(1,0,1),81(0,1,1),

嗚：,1),5(0,1,0),G(0,0,1).4(1,0,0)，

BQ=(0,-1,1),AB=(-1,1,0),鞏=(0,0,1),

設平面C1DB的法向量元=(%,y,z),

n?BC1=—y+z=0

則取y=l,得元=(—1,1,1),

n-BD=j%-jy+z=0

平面力BC的法向量記=(0,0,1),

設平面GOB與平面力BC夾角為仇

貝口s"舒=親=F

平面QOB與平面ABC夾角的余弦值為日.

解析：(1)推導出6。l&Bi，QD1441，從而，平面ABB14,由此能證明平面QDB1平面

ABBrAr.

(2)由異面直線A/1和BQ所成的角為60。，推導出4C=BC=CC「以C為原點，C4,CB,CC1所在

直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面GDB與平面ABC夾角的余弦

值.

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關

系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.

19.答案:(I)證明：建立如圖所示空間直角坐標系，設BC=<2a,p，

又PD=CD=2AD=2,/

則4(1,0,0),B(a,2-a,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,0,l).:

PB=(a,2-a,-2)>PC=(0,2,-2)，//：\

設平面PBC的一個法向量為元=Q,y,z),I；....

則口野ax+(2-a)y-2z=。，令，=匕得元=(川)，

尻?PC=2y-2z=0x

而俞=(-1,0,1),.?.宿?元=0，即宿1元，

又4M仁平面PBC,

故4M〃平面PBC；

(口)解：???~PA=(1,0,-2)，設P4與平面PBC所成角為a,

由直線與平面所成角的向量公式有sMa=|cos<PA,n>|=I《逢I=普；

(皿)解：平面PBC的一個法向量為元=(1,1,1),

由題意可知，平面PCD的一個法向量為記=(1,0,0),

,—>一、mn1V3

,-.cos<m,n>=^=^=T.

可得二面角8-PC-。的正弦值為漁.

3

解析：(I)建立空間直角坐標系，設BC=/a,結合已知求出平面P8C的一個法向量元，再求出加7，

由前?n=0即可證明力M〃平面PBC；

(II)求出超，利用向量夾角公式，即可求得P4與平面PBC所成角的正弦值；

(HI)由(I)中求得的平面PBC的一個法向量，再由平面PDC的法向量為(1,0,0),利用向量夾角公式,

即可求二面角B-PC-D的正弦值.

本題考查線面平行，考查線面角，點到平面距離的計算，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，確定

平面的法向量，屬于中檔題.

20.答案：解：(1)由?=—9得a=l或2,

v2a—3

當a=l時，兩條直線方程分別為：x—2y+2=0,x-2y+1=0滿足平行；

當a=2時，兩條直線方程均為：x-y+1=0,它們重合，

故a=1;

(2)直線Z通過圓C的圓心(1,0),即a+2=0,a=—2

解析：(1)利用兩條直線平行的結論，即可求a；

(2)若直線汝臺終平分圓C：(x—l)2+y2=2的周長，則直線I通過圓C的圓心，即可求a.

本題考查用兩條直線平行，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

21.答案：(1)如5,(2)詳見解析.

卷

解析:試題分析：(1)利用空間向量求線面角，關鍵求出面的一個法向量.先由面面垂直得到線面垂直，

即由平面，￡3庭您面,彥意勤，得,雨_L平面,&￡翦,建立空間直角坐標系，表示各點坐標，得

0>=覿1題:，設平面感纏Z的法向量為需=場廉區(qū):，則有？,一所以

M1?向

——■——哼#N=颯

怎"■雷-取z=：l，得制=：聊其力：.根據(jù)嬲窗與平面庭闔所成的角正弦值等于嬲窗與平

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面窟闔法向量夾角余弦值的絕對值，得到嬲窗與平面窟闔所成角的正弦值為逑.(2)假設線段

卷

幽上存在點軟設鍛造二播財觥制，可求出平面源的一個法向量嬲=(-*弧>要

使平面富闔_L平面感蟀，只需瞬.瞬=斛，即-力靛斕#般感#：1取1=斛，此方程無解，所以線段

,跟上不存在點鬻，使平面盅箍：11平面瞬窗.

(1)因為,魂餐"SS殿，山的=做礦，

在△,融窗中，由余弦定理可得/容=血筋,

所以滴容1啰窗.又因為,初1,⑨窗

平面魚蝦11面,觸圖，所以,初_L平面,觸圖.

所以僦腳乳匐激兩兩互相垂直,

卜解cis置=(虹

設平面巡婚的法向量為潁=翻躺喇，則有!一

所以,！怎計?』鼠取H”得"亞

設嬲窗與平面座闔所成的角為箴，則端媼篇=1蹦