廣東省江門市學(xué)業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省江門市學(xué)業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量,,,則“”是“”的（

）A．充要條件

B．充分不必要條件C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)a滿足f（log3a）+f（）≥2f（1），則a的取值范圍是（）A．（0，3] B．（0，] C．[，3] D．[1，3]參考答案：C【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即為f（|log3a|）≥f（1），再由f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，得到|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解出即可．【解答】解：由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由實(shí)數(shù)a滿足f（log3a）+f（）≥2f（1），則有f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即2f（log3a）≥2f（1）即f（log3a）≥f（1），即有f（|log3a|）≥f（1），由于f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，則|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解得≤a≤3．故選C．3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值（其中，），則的最大值為（

）A.4 B.3 C.2 D.－1參考答案：B【分析】畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為到距離的平方，將當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，轉(zhuǎn)化為滿足的可行域，再通過線性規(guī)劃得到的最大值.【詳解】已知實(shí)數(shù)，滿足畫出可行域，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)骄嚯x最近.

滿足的條件為：目標(biāo)函數(shù)為，畫圖知道當(dāng)時(shí)有最大值為3

故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為距離是解題的關(guān)鍵.4.已知復(fù)數(shù)z滿足(為虛數(shù)單位)，則z的虛部為（

）A．i

B．－1

C．1

D．－i參考答案：C5.下列四個(gè)函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間（）上為減函數(shù)的是

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B6.△ABC滿足，，設(shè)是△內(nèi)的一點(diǎn)(不在邊界上)，定義，其中分別表示△,△,△的面積，若，則的最小值為（

）A．8

B．9

C．16

D．18參考答案：D7.已知函數(shù)f(x)＝|lnx|－1，g(x)＝－x2＋2x＋3，用min{m，n}表示m，n中的最小值．設(shè)函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}，則函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C畫圖可知四個(gè)零點(diǎn)分別為－1和3，和e，但注意到f(x)的定義域?yàn)閤>0，故選C.8.若變量滿足約束條件則的最大值為()

A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：B略9.已知命題p：?x∈R，sinx≤1，則(

)A．￢p：?x0∈R，sinx0≥1 B．￢p：?x∈R，sinx≥1C．￢p：?x0∈R，sinx0＞1 D．￢p：?x∈R，sinx＞1參考答案：C【考點(diǎn)】命題的否定．【專題】簡易邏輯．【分析】利用“￢p”即可得出．【解答】解：∵命題p：?x∈R，sinx≤1，∴￢p：?x0∈R，sinx0＞1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“非命題”的意義，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10.某單位為了了解某辦公樓用電量y(度)與氣溫x(oC)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫(oC)181310－1用電量(度)24343864

由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，當(dāng)氣溫為－4oC時(shí)，預(yù)測用電量約為

A．68度 B． 52度 C．12度 D．28度參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.，則______________．參考答案：12.已知{an}是公差為－2的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，則

▲

，當(dāng)n=

▲

時(shí)，Sn取得最大值．參考答案：19，1013.函數(shù)則的值為．參考答案：略14.若展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常熟a的值為

.參考答案：415.2名男生和3名女生共5名同學(xué)站成一排，則3名女生中有且只有2名女生相鄰的概率是．參考答案：．【分析】利用捆綁法求出3名女生中有且只有2名女生相鄰的情況，有A32A22A32=72種，2名男生和3名女生共5名同學(xué)站成一排，有A55=120種，問題得以解決．【解答】解：把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個(gè)復(fù)合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3個(gè)空中的2個(gè)空中，有A32A22A32=72種，2名男生和3名女生共5名同學(xué)站成一排，有A55=120種，∴所求概率為=，故答案為．16.如右圖，如果執(zhí)行右面的程序框圖，輸入正整數(shù)，滿足，那么輸出的等于__________參考答案：17.某顧客在超市購買了以下商品：①日清牛肉面24袋，單價(jià)1.80元/袋，打八折；②康師傅冰紅茶6盒，單價(jià)1.70元/盒，打八折；③山林紫菜湯5袋，單價(jià)3.40元/袋，不打折；④雙匯火腿腸3袋，單價(jià)11.20元/袋，打九折．該顧客需支付的金額為元．參考答案：89.96【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】依次算出四種商品金額，相加求和即可．【解答】解：該顧客需支付的金額為：24×1.8×0.8+6×1.7×0.8+5×3.4+3×11.2×0.9=89.96（元）．故答案為：89.96．【點(diǎn)評(píng)】本題考查顧客需支付的金額的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)在生產(chǎn)生活中的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，＝，記數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

即：，數(shù)列為以2為公比的等比數(shù)列

（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，則cn＝＝＝－，Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.∵n＋＋5≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝2時(shí)等號(hào)成立，∴≤，因此k≥，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為19.已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;（2）若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（1）,……………………1分當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減；…………2分當(dāng)時(shí),得；所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；…………4分（2）由題（1）知：當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減；又知，所以僅有1個(gè)零點(diǎn)；……………5分當(dāng)時(shí),,所以，

取再令函數(shù)得所以所以得在上也有1個(gè)零點(diǎn)………8分當(dāng)時(shí),所以僅有1個(gè)零點(diǎn)，

………………9分當(dāng)時(shí),所以，令函數(shù)得所以所以取得在上也有1個(gè)零點(diǎn)綜上知：若恰有個(gè)零點(diǎn)，則.………………12分20.（本小題滿分13分）我國采用的PM2.5的標(biāo)準(zhǔn)為：日均值在35微克／立方米以下的空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克／立方米～75微克／立方米之間的空氣質(zhì)量為二級(jí)；75微克／立方米以上的空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取該市m天的PM2.5的日均值，發(fā)現(xiàn)其莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，可見部分如下圖所示，

請(qǐng)據(jù)此解答如下問題：

(I)求m的值，并分別計(jì)算頻率分布直方圖中的[75，95）和[95，115]這兩個(gè)矩形的高；

(Ⅱ)通過頻率分布直方圖估計(jì)這m天的PM2.5日均值的中位數(shù)（結(jié)果保留分?jǐn)?shù)形式）；

(Ⅲ)若從[75，95）中任意抽取一個(gè)容量為2的樣本來研究汽車尾氣對(duì)空氣質(zhì)量的影響，求至少有一個(gè)數(shù)據(jù)在[80，90）之間的概率．參考答案：21.已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的單調(diào)區(qū)間，求a的取值范圍；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．（i）求a的取值范圍；（ii）設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，證明：x1?x2＞e2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得a的取值范圍；（Ⅱ）（i）求導(dǎo)h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根，方法一：根據(jù)函數(shù)圖象直線y=ax與y=lnx有兩個(gè)交點(diǎn)，求得y=lnx的切點(diǎn)，即可求得a的取值范圍；方法二：構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx﹣ax，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得a的取值范圍；（ii）由題意可知：x1，x2，分別是方程lnx﹣ax=0的兩個(gè)根，則只需證明lnt＞，t＞1，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得g（t）＞g（1）=0，即可證明lnt＞，成立，則x1?x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求導(dǎo)f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，則當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞1，當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解得：0＜x＜1，∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）單調(diào)遞增，在（0，1）單調(diào)遞減，則g（x）開口向上，對(duì)稱軸x=1，則a＞0，∴a的取值范圍（0，+∞）；（Ⅱ）（?。┮李}意，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)h′（x）=lnx﹣ax，則方程h′（x）=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同根．（解法一）轉(zhuǎn)化為，函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖．可見，若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．…6分令切點(diǎn)A（x0，lnx0），則k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；

…8分解法二：令g（x）=lnx﹣ax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求導(dǎo)g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可見g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）單調(diào)增，此時(shí)g（x）不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn)．…5分若a＞0，在0＜x＜時(shí)，g′（x）＞0，在x＞時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上單調(diào)增，在（，+∞）上單調(diào)減，從而g（x）的極大值，g（x）極大值=g（）=ln﹣1，…6分又在x→0時(shí)，g（x）→﹣∞，在x→+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，于是只須：g（x）極大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，…7分綜上所述，0＜a＜；

…8分（ⅱ）證明：由（i）可知x1，x2，分別是方程lnx﹣ax=0的兩個(gè)根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨設(shè)x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1?x2＞e2等價(jià)于lnx1+lnx2＞2，則a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，則t＞1，ln＞，則lnt＞，…10分設(shè)g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函數(shù)g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所證不等式x1?x2＞e2成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，分析法證明不等式成立，屬于中檔題．22.設(shè)函數(shù)(a為實(shí)數(shù))．⑴若a<0