機械振動理論：有阻尼單自由度系統(tǒng)受迫振動

2024年5月13日1機械振動理論(n5)2024年5月13日22.7有阻尼單自由度系統(tǒng)受迫振動

本節(jié)只討論簡諧激振的響應(yīng)如圖2-24所示系統(tǒng):設(shè)質(zhì)體質(zhì)量為m；位移為，其方向向下為正；速度為,加速度；在質(zhì)量m上作用激振力為彈簧恢復(fù)力為–kx；阻尼力為。根據(jù)牛頓第二定律建立振動微分方程式：2024年5月13日3令，,代入式（2-70）中，得：

方程式為——二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。

通解為——

齊次微分方程式的通解

及非齊次微分方程式的特解之和即：2024年5月13日4式中：

代表有阻尼自由振動，

小阻尼時：

為衰減振動，

在振動開始階段有意義，

隨時間的增加將衰減掉。

當(dāng)研究受迫振動等幅振動時，可以略去。

表示系統(tǒng)的受迫振動，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。

由于微分方程式非齊次項是正弦函數(shù)，

可知特解的形式亦為正弦函數(shù)，

穩(wěn)態(tài)解的頻率與激振頻率相同。解的形式：2024年5月13日5因此，可以設(shè)此特解為：

式中：B——

受迫振動的振幅；

——

位移落后與激振力的相位角。

將及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入方程式(2-71)中，

將(a)式右端加以變換：2024年5月13日6方程（c）對于任意時刻均成立，要求：可解出B與：將（b）代入（a），整理后得：2024年5月13日7令：,,（74）（75）式寫成：總結(jié)：具有粘性阻尼的系統(tǒng)受到簡諧激振力作用時——

受迫振動也是一個簡諧運動；

其頻率和激振頻率相同；其振幅、相位角與初始條件無關(guān)；

系統(tǒng)本身的性質(zhì)（質(zhì)量M、彈簧剛度k、粘性阻尼系數(shù)r）。取決于激振力的性質(zhì)（力幅、頻率），體現(xiàn)在公式中的哪些參數(shù)？2024年5月13日8影響振幅的因素：、z、（1）的影響：

受迫振動的振幅B與激振力幅值成正比。

改變激振力的幅值，即可改變受迫振動的振幅。

例如：電磁振動給料機

——調(diào)節(jié)電流參數(shù)，

——便改變了電磁激振器激振力，

——以便調(diào)節(jié)給料箱的振幅。2024年5月13日9（2）z的影響：

令：——激振力幅值靜作用在彈簧上產(chǎn)生的靜變形。

則振幅比為：或稱振幅放大因子。

對于不同的值繪出一族曲線——幅頻響應(yīng)曲線。

當(dāng)z很小時——

振幅幾乎與[激振力幅值引起的]彈簧靜變形相等。

[因為激振頻率很小，激振力的作用接近于靜力作用效果；

阻尼幾乎不起作用。]

2024年5月13日10

當(dāng)z>>1時,趨于零，振幅B很小。

[質(zhì)體由于慣性而跟不上激勵的快速變化；

阻尼幾乎不起作用。]

當(dāng)

在較小的情況下，

振幅B可以很大，（即比大很多倍）。

在即沒有阻尼的情況下，

振幅B就會變成無限大（共振）。

[振動狀況與阻尼大小有關(guān)]2024年5月13日11（3）的影響。

在時，其幅頻響應(yīng)曲線在曲線族的最上方，

——

這說明阻尼的存在使得振幅變小。

當(dāng)z<<1或z>>1時，

阻尼對衰減振幅的作用不大，

因此在，時，

——

計算振幅可不計阻尼影響。

在的區(qū)域內(nèi)，

系統(tǒng)的振幅隨著阻尼的增加明顯減小，

——

這時必須計入阻尼。

當(dāng)時，幅頻響應(yīng)曲線變成了一平坦的曲線。

——這說明阻尼對共振振幅有明顯的抑制作用。2024年5月13日12將振幅表達式（76）對z求導(dǎo)，并使之等于零，

可即求解出最大振幅發(fā)生點。*

——可見：最大振幅所對應(yīng)頻率比[最大振幅發(fā)生點]

隨的增大而左移。當(dāng)較小時，（=0.05-0.2）

——可近似的認為：共振[z=1]時的振幅就是最大振幅。共振時的振幅：最大振幅發(fā)生點求解：[計算見下頁]2024年5月13日132024年5月13日14由公式（77）看出：相位角和阻尼比成正比，*

[說明了什么？]當(dāng)=0時，相位角與頻率比z的關(guān)系如圖中折線所示：當(dāng)z<1的低頻范圍內(nèi)，，

當(dāng)z>1時，；

當(dāng)z=1時，共振點前后相位角突然變化。相頻響應(yīng)曲線——

相位角與z和的關(guān)系曲線

（圖2-26）2024年5月13日15由公式（77）看出：相位角和阻尼比成正比，*

[阻尼越大響應(yīng)相對激勵滯后得越多。]當(dāng)=0時，相位角與頻率比z的關(guān)系如圖中折線所示：當(dāng)z<1的低頻范圍內(nèi)，，

當(dāng)z>1時，；

當(dāng)z=1時，共振點前后相位角突然變化。相頻響應(yīng)曲線——

相位角與z和的關(guān)系曲線

（圖2-26）2024年5月13日16當(dāng)阻尼很小時，

在z?1的低頻范圍內(nèi)，，

即位移與激振力Q接近同相；

在z?1的高頻范圍內(nèi)，，

即位移與激振力Q接近異相。

上述情況表明：

阻尼很小時，它對相位角的影響也很??；

阻尼增大時，

相位角隨z增加而增大；

當(dāng)z=1（即共振）時，

相位角，與阻尼大小無關(guān)，

這是共振時一個重要特征。2024年5月13日17例1旋轉(zhuǎn)機械的偏心質(zhì)量引起的受迫振動

圖2-27為彈簧（剛度為k）

和阻尼器（阻尼系數(shù)為r）

支承的旋轉(zhuǎn)機械力學(xué)模型。

旋轉(zhuǎn)機械的總質(zhì)量為M

，

轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m,【大小關(guān)系？】

偏心距為e,

轉(zhuǎn)動角速度為。2024年5月13日18例1旋轉(zhuǎn)機械的偏心質(zhì)量引起的受迫振動

圖2-27為彈簧（剛度為k）

和阻尼器（阻尼系數(shù)為r）

支承的旋轉(zhuǎn)機械力學(xué)模型。

旋轉(zhuǎn)機械的總質(zhì)量為M

，

轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m,

偏心距為e,

轉(zhuǎn)動角速度為。M含m2024年5月13日19只考慮機器在垂直方向的振動，

機器位移表示為x,

偏心質(zhì)量m的位移為。

系統(tǒng)的振動方程可寫成：

整理后：

方程式的穩(wěn)態(tài)解為：

質(zhì)量不要重復(fù)計算2024年5月13日一定要取絕對坐標2024年5月13日20以、代入方程(78)解得振幅、相角：從式（79）可以看出：偏心質(zhì)量引起的受迫振動，

其振幅B與偏心質(zhì)量、偏心距成正比。原理應(yīng)用——轉(zhuǎn)子平衡試驗：離心式通風(fēng)機對離心式水泵轉(zhuǎn)動部件（轉(zhuǎn)子）作平衡試驗離心式壓縮機

——使其質(zhì)量均勻分布,減小偏心質(zhì)量、偏心距,

——減小振動。2024年5月13日21將（79）式作如下變換：以為縱坐標，為橫坐標，對于不同的值畫出曲線圖——即為該旋轉(zhuǎn)機的幅頻響應(yīng)曲線（圖2-28）。

幅頻響應(yīng)曲線[偏心質(zhì)量引起受迫振動所對應(yīng)的]2024年5月13日22當(dāng)時，激振力幅值很小，振幅