機(jī)械振動理論：等效粘性阻尼

1機(jī)械振動理論2024年5月13日2系統(tǒng)如圖2-29所示：支承運(yùn)動規(guī)律為：，其中：為支承運(yùn)動的幅值，為支承運(yùn)動的頻率。方向向下為正。例2支承運(yùn)動引起的受迫振動2024年5月13日3分析：假定：質(zhì)量運(yùn)動和支承運(yùn)動的方向相同。彈簧的變形為，作用在質(zhì)量上的彈簧力，阻尼器的速度即為相對速度，阻尼力。根據(jù)牛頓第二定律建立振動微分方程式：即：相對位移（速度）分量2024年5月13日4把值代入上式中，得

可以看出，作用在質(zhì)量上的激振力由兩部分組成：一是彈簧傳給質(zhì)量的擾力——

；二是阻尼器傳給質(zhì)量的擾力——

，可用矢量合成的方法求出合成激振力：于是方程式（2-81）可寫成：牽連位移（速度）引起的擾力2024年5月13日5

微分方程（82）式和（70）式形式上是一樣的，所以方程式（2-82）的穩(wěn)態(tài)解可表示為：

振幅為：

2024年5月13日6相位角：其中：【參見圖2-31各矢量關(guān)系】***‘’基礎(chǔ)運(yùn)動彈簧傳遞力’’“阻尼力”慣性力“基礎(chǔ)傳遞合力”“彈簧力”“基礎(chǔ)運(yùn)動阻尼器傳遞力”解出并表達(dá)出其反正切：據(jù)合角公式解出據(jù)矢量圖幾何關(guān)系7‘’基礎(chǔ)運(yùn)動彈簧傳遞力’’“阻尼力”慣性力“基礎(chǔ)傳遞合力”“彈簧力”【動靜法：力系平衡，力多邊形矢量圖，首尾相接，自行封閉，】受力圖方程【矢量圖：位移、速度、加速度依次超前90度；與基礎(chǔ)傳遞力首尾相接，自行封閉；非其次項(xiàng)矢量由因牽連運(yùn)動而形成的相互垂直的兩個擾力分量合成而確定?！?**幾何關(guān)系2024年5月13日{(diào)牽連分量}2024年5月13日8以為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，作出不同阻尼的幅頻響應(yīng)曲線。如圖2-30所示?？梢钥闯觯褐С羞\(yùn)動引起的受迫振動振幅決定于——支承運(yùn)動的幅值、頻率比、和阻尼比。2024年5月13日9從圖可以看出：曲線都交于這一點(diǎn)，這說明：當(dāng)激振頻率與固有頻率之比等于時，無論多大的阻尼，振幅都等于支承運(yùn)動的幅值；而當(dāng)時，由支承運(yùn)動引起的受迫振動很小，

[有何用途？]2024年5月13日10從圖可以看出：曲線都交于這一點(diǎn)，這說明：當(dāng)激振頻率與固有頻率之比等于時，無論多大的阻尼，振幅都等于支承運(yùn)動的幅值；而當(dāng)時，由支承運(yùn)動引起的受迫振動很小，

——這就是被動隔振的理論基礎(chǔ)。2024年5月13日112.8等效粘性阻尼非線性阻尼舉例：機(jī)械零件間的干摩擦

——阻尼力與速度無關(guān)（圖2-32b）；物體在低粘性流體中高頻振動——阻尼力與其速度的平方成正比（圖2-32c）。

2024年5月13日12處理思路

——

同非線性剛度特性線性化一樣，非線性阻尼特性也可以線性化。處理原則——

應(yīng)用能量守恒原理，將非線性阻尼變成等效粘性（線性）阻尼。處理方法——

設(shè)：在非粘性阻尼情況下，系統(tǒng)仍作簡諧振動，

令：在每一周期中——

非線性阻尼

等效粘性阻尼

消耗的能量

=

消耗的能量嚴(yán)格地將，在粘性阻尼情況下，“系統(tǒng)作簡諧振動”才成立2024年5月13日13設(shè)：在簡諧激振力作用下,

振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解為:

激振力在微小位移上所作的微元功應(yīng)為：激振力在一個周期內(nèi)所作的功[也就是通過輸入系統(tǒng)的能量]

應(yīng)為：

2.8.1簡諧激振力在一個周期內(nèi)作的功2024年5月13日142024年5月13日15由上式可見：簡諧激振力在一個周期內(nèi)所作的功的大小——

激振力幅的大??；取決于振幅的大?。涣Ψ?、振幅之間的相位角【夾角】。當(dāng)即外力超前位移時，作正功；當(dāng)即外力落后于位移時，作負(fù)功；當(dāng)或時，外力在一個周期內(nèi)作功之和等于零。

2024年5月13日16簡諧激振力在一個周期內(nèi)所作的功，可以看成是激振力的兩個分量作功的和，

即與位移同相的分量和與速度同相的分量[已證——速度超前位移]作功之和（見圖2-33）。[這里只表達(dá)了模]2024年5月13日17與位移同相的力[模角度方位]

在一個周期內(nèi)所作的功為：與位移同相力所作功：2024年5月13日18簡諧激振力在一個周期內(nèi)所作的功為分量作功之和即為：

結(jié)論：簡諧激振力在一個周期內(nèi)所作的功

——就是其超前位移的分量所作的功。與速度同相的力[模方位超前位移，用余弦表示]

在一個周期內(nèi)所作的功為：與速度同相力所作功：2024年5月13日192024年5月13日20假定系統(tǒng)的位移為：，阻尼力為：

[阻尼力比位移落后，所以作負(fù)功*]它在一周期內(nèi)所消耗的能量為：可見：粘性阻尼力所作的功——與振幅的平方及振動頻率成正比。2.8.2[粘性]阻尼力在一個周期內(nèi)所消耗的能量2024年5月13日21由此，亦可求得穩(wěn)態(tài)振動的振幅：當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)受迫振動以后，必有：即：簡諧振動中簡諧外力做功線性阻尼做功2024年5月13日22假設(shè)2：——為等效粘性阻尼系數(shù)非線性阻尼消耗的能量=等效粘性阻尼消耗的能量則有：等效粘性阻尼系數(shù)——在一個周期內(nèi)——假設(shè)1：在非粘性阻尼情況下，與在粘性阻尼條件下一樣，系統(tǒng)仍作簡諧振動，則阻尼力所作耗散功為：如前推導(dǎo)：粘性阻尼在一個周期中所消耗的能量為：2.8.3等效粘性阻尼[——是在簡諧振動條件下推導(dǎo)出的]2024年5月13日23當(dāng)質(zhì)量從平衡位置移動到最大位移時，摩擦力做功為——

。

所以一個振動周期中摩擦力作功為：有干摩擦阻尼的振動系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖2-34。根據(jù)不同阻尼情況計(jì)算非線性阻尼消耗的能量1.干摩擦阻尼的等效粘性阻尼將的值代入公式（2-89）中，得等效粘性阻尼系數(shù)：2024年5月13日24式中：——常數(shù)。2.流體阻尼的等效粘性阻尼當(dāng)物體處在流體中以較大的速度（大于）運(yùn)動時，

——阻力與速度的平方成正比，且與速度反向?？山票硎緸椋杭俣ㄕ駝游矬w位移為：速度則為：2024年5月13日25將的值代入公式（2-89）中，得等效粘性阻尼系數(shù)：在一個周期內(nèi)作功為：[可數(shù)學(xué)求證]非線性阻尼消耗的能量2024年5月13日26

式中：——常數(shù)將代入（89）式，得等效粘性阻尼系數(shù)：

3.結(jié)構(gòu)阻尼的等效阻尼大多數(shù)結(jié)構(gòu)金屬（鋼鋁）——

由于它們自身內(nèi)摩擦造成的