高中數(shù)學(xué)練習(xí)題1

授課時(shí)間：2006年11月6日使用班級(jí)：高管06-M3)

授課時(shí)間：2006年11月10日使用班級(jí)：造價(jià)06-1⑶

授課時(shí)間：2006年11月6日使用班級(jí)：造價(jià)06-2⑶

授課時(shí)間：2006年11月10日使用班級(jí)：經(jīng)管06-1(3)

授課時(shí)間：2006年11月10日使用班級(jí)：隧道工程06-1(3)

授課章節(jié)名稱：

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)概念(上)

教學(xué)目的：

1、正確理解導(dǎo)數(shù)及相關(guān)概念

2、理解導(dǎo)數(shù)的物理意義、幾何意義

3、計(jì)算并記憶事函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念

教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)定義的理解、不同形式的掌握

教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例

教學(xué)手段：多媒體教學(xué)

作業(yè)：

P862、3、4

教案實(shí)施效果追記：

1、補(bǔ)充導(dǎo)數(shù)的第二定義

2、舉例說明導(dǎo)函數(shù):(x)和/'(/)之間的關(guān)系

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)概念

講授新內(nèi)容

一、兩個(gè)引例

1、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

設(shè)有一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為s=/⑺，求該物體在小時(shí)刻的

瞬時(shí)速度。

解設(shè)物體從。點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間到達(dá)點(diǎn)M。，所經(jīng)過的路程

So=0〃o,即So=/&)，當(dāng)時(shí)間，由％變到2+△，時(shí)，物體由點(diǎn)變到點(diǎn)M，

物體在t0+Z這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的距離%+As=/&+△/)，物體在n這段時(shí)

間內(nèi)所走過的路程為

As=/(，o+4)-/Q)

在加這段時(shí)間內(nèi)平均速度(包括，。點(diǎn)的速度)為

-垃/&+4)-/4)

V=—=--------------

zAr

顯然4這段時(shí)間內(nèi)的平均速度不能確切描述f0時(shí)刻的速度，但是小越小時(shí)，

平均速度3就越接近時(shí)刻％的速度，當(dāng)4-0時(shí)，平均速度S的極限值就是

物體在時(shí)刻％的瞬時(shí)速度，即

加。）=1而包=1加詠/二3

A/->0ZA/->0Z

平均速度5=三稱為路程S在2到4+0時(shí)間段內(nèi)的平均變化率，而瞬時(shí)速度

Ac

v&)=!四五稱為路程S在時(shí)間f=f0時(shí)刻的(瞬時(shí))變化率.

例如自由落體運(yùn)動(dòng)S=/?)=；g產(chǎn)，在時(shí)刻％的瞬時(shí)速度為

+加）2-1gf；

《)=血竺=lim河。+饃一九。)

=lim-^----------2—

A/->OA/oz△—0Ar

8g⑵0+&）加

=lim^-----------

goArgfo

2、曲線的切線斜率

求曲線y=/(x)在點(diǎn)M(XoJ(Xo))處的切線斜率.

c

在曲線上另取一點(diǎn)N,設(shè)它的坐標(biāo)為(X。+&,/(/+Ax))(如圖2-1、2),

并設(shè)割線MN的傾角為°,切線MT傾角為a,割線MN斜率為

_Ay_f(x+Ax)-/(x)

ktofnlg(p=0--=--------0-----------

AxAx

顯然當(dāng)AcfO時(shí).，即點(diǎn)N將沿著曲線趨近于定點(diǎn)用時(shí)，從而割線MN趨

近于極限位置"T(即切線MT)。于是得到切線MT的斜率為

lim包=lim

KkMTtana幺山”3

—Ax-Ax

例如求拋物線y=/(》)=%2在_￥=1處的切線斜率。

22

,rAyr/(1+Ax)-/(1)r(1+Ar)-10

=lim—=hm--------=lim----------------=2

ATOAx加TOAXAX

二、導(dǎo)數(shù)的定義

在上述兩個(gè)例子中，所計(jì)算的量的實(shí)際意義不同，前者是物理量后者是

兒何量。但是計(jì)算這兩個(gè)量的思想方法，計(jì)算步驟完全一樣。即先計(jì)算函數(shù)在

某一點(diǎn)處的增量，再計(jì)算函數(shù)的增量比上自變量的增量，最后求增量比的極限。

這類增量比的極限在數(shù)學(xué)上叫做導(dǎo)數(shù)。

定義設(shè)函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x。的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)x0處有增

量Ar(點(diǎn)x()+Ax仍在該點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量

f(x

△y=0+Ar)-/(x0)

/(x+AA)-/(X)

如果極限lim—=lim00存在，則稱此極限值為y=/(x)

Ax->0△xAATO△x

在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)，記作

gf(x)

/(*0)，y'\x-x或—

aXax

"=兩A-A'o

即

尸(x0)=lim包=lim"%+淚一小。)

-Ax-Ax

若函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)存在，則稱函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。處可導(dǎo).如果函

數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)對(duì)

任意xw(a,b),都有導(dǎo)數(shù)值/'(x)與之對(duì)應(yīng)，那么/'(x)也是x的函數(shù)，稱它為

原來(lái)函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，也可記作y',蟲，或3

dxdx

即

：(x)=lim-?⑴

AX

/'(x)表示〃x)在任意點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)。

/'(X)與T(x0)的區(qū)別與聯(lián)系：尸(X)是X的函數(shù)，而廣(X。)是一個(gè)常數(shù)，

/'(X。)是導(dǎo)函數(shù)/'(X)在X。處的函數(shù)值。

由導(dǎo)數(shù)定義可知，前面兩個(gè)例子都可以用導(dǎo)數(shù)表示出來(lái).

變速直線運(yùn)動(dòng)路程s=f⑴在點(diǎn)t時(shí)刻的瞬時(shí)速度就是/?)在點(diǎn)t處

0v(r0)0

的導(dǎo)數(shù)，即

V“0)=/'。0)

曲線y=/(x)在點(diǎn)/(X。，/(%))處的切線斜率k就是函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。處

的導(dǎo)數(shù)，即

k=f'(x0)

三、利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)

由導(dǎo)數(shù)定義可知：求函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)(可按以下三個(gè)步驟進(jìn)行

(1)求函數(shù)增量：Ay=f(x+Ax)-f(x)

(2)計(jì)算比值：包=/(」+&)T(x)

AxAr

(3)取極限：/(x)=lim包=limf(x+-)7'。)

心一°Ax加1°Ax

例1求函數(shù)y=c(c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

解因?yàn)?，=。為常數(shù)，所以△)，=(),包=0,y，=lim包=0.

AxAx-?0M

即(c)'=0.文字?jǐn)⑹鼍褪牵撼?shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.

例2求函數(shù)y=/的導(dǎo)數(shù).

解

Ay=(x+Ax)3-x3=3X2AX+3x(Ax)2+(Ax)3

—=3x2+3xAx+(Ax)2

Ax

y'=lim—=lim(3x2+3xAx+(Ax)2)=3x2

Ax->0\yAx->0

即(x3)z=3x2.

例3求函數(shù)y=4x的導(dǎo)數(shù).

AyVx+Ax-y[x

解Ay=f(x+Ax)-f(x)=Jx+Ax-Vx，—=------------，

ArAr

，..AyVX-KAX-Vx(Jx+Ax-VX)(VXTAX+Vx)

y-hm—=lrimlim

Ax->0\yAA->0ArAX-40Ax(Vx+Ax+y[x)

Ax11

limlim

A.v->0Ax(Jx+Ar+Vx)—Jx+Ar+y[x2^[x

即(V%)=-j=(x±0).

2vx

分析：。)=3/與(?)=(x2Y-—^-j=--x2(xw0),

2y/x2

可得累函數(shù)求導(dǎo)公式：（xay=axa-'（a為任意實(shí)數(shù)）.

12

例如函數(shù)(1)y=-；(2)y=/的導(dǎo)數(shù).

x

解(1)

（2）H=

對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)的三個(gè)步驟熟練后可以合成一步.

例4求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù).

-2X+AJV.Ar

2cos——sin—

sin(x+Ax)-sin(x)

解yf=lim—=limrlim-------2--------2—

Ax->oA-AYTOArA*，。Ar

.Ax.Ax

Asin——人sin—

/Ax、2i-zAx.?

=vlimcos(x+)------=limcos(x+——)vlim-=cosx

4r->o2Ax?TO2—Ar

y

t

即(sinx)=cosx.

就是說，正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù).

同樣的方法可以求出(cosx)=-sinx.

就是說，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦函數(shù).

小結(jié)(時(shí)間：2分鐘)：

本節(jié)我們從物理和兒何兩個(gè)方面抽出導(dǎo)數(shù)的概念，并求出了常熟函數(shù)、幕

函數(shù)和兩個(gè)三角函數(shù)的求導(dǎo)公式。

授課時(shí)間：2006年11月9日使用班級(jí)：高管06-1(3)

授課時(shí)間：2006年11月15日使用班級(jí)：造價(jià)06-1⑶

授課時(shí)間：2006年11月8日使用班級(jí)：造價(jià)06-2⑶

授課時(shí)間：2006年11月13日使用班級(jí)：經(jīng)管06-M3)

授課時(shí)間：2006年11月15日使用班級(jí)：隧道工程06-1(3)

授課章節(jié)名稱：

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)概念(下)

教學(xué)目的：

1、推導(dǎo)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式

2、會(huì)用幾何意義會(huì)求平面曲線的切線和法線

3、理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)定義的理解、不同形式的掌握

教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例

教學(xué)手段：傳統(tǒng)式

作業(yè)：

P864、5、7、8、9

教案實(shí)施效果追記：

本節(jié)我們學(xué)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，利用導(dǎo)數(shù)的兒何意義作了

練習(xí)；了解了可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)概念(下)

講授新內(nèi)容

例5求函數(shù)y=a*(a〉0,aH1)的導(dǎo)數(shù).

解

-AxAx

(當(dāng)Axf0時(shí)，e^'na-1

=axlim-——-=axlim—

Ar—0AxAiO2kx與Adna是等價(jià)無(wú)窮小)

*「Ax\na「

alim------=aIna

Ax

即(/y=a']na

特別地(ex),=ex

以上幾個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，讀者應(yīng)熟記。

由于函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值，所以要計(jì)算已給

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求出已給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后再求導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)

處的函數(shù)值即可。

例6求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

(1)y=；,x=4;(

2)=sinx,x=—;

yJX6

(3)y=cosx,x=—;GOy=3\x=2.

3

-i11

解(1)Vy=(_Ly=(/5y=_l/I

L2x7x

.Re―24”一16

716

(2)Vy'-(sinx)f=cosx兀=cos—=——

662

兀V3

(3)*.*y'=(cosx)(=-sinx/.%=-sin——=----

—32

=32ln3=91n3.

(4)：y'=(3*)'=3'ln3，x=2

一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

求曲線y=/(x)(如圖2—2)在點(diǎn)1x0,/(x0))處的切線方程和法線方

程。

由引例二及導(dǎo)數(shù)定義可知：曲線y=/(x)在點(diǎn)河處的切線斜率為k,即

k=，再應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式方程可以得到曲線y=/(x)在點(diǎn)M

(xoJQo))處的切線方程為：

y-f(x0)=fXx0)(x-x0)

過切點(diǎn)M(x°J(Xo))且與切線垂直的直線叫做曲線y=/(x)在點(diǎn)M處的法

線.如果r(Xo)wO,法線斜率為-一,從而法線方程為:

fUo)

y_/(x())=7^)(X-Xo),

例7求曲線y=x』在點(diǎn)(1,2)處的切線斜率，并寫出該點(diǎn)處的切線方程和

法線方程.

解由導(dǎo)數(shù)的兒何意義可知，所求的切線斜率為

h=九

由于L-亍2-"-礪2，于是「新2方2

從而所求的切線方程為

y-2=|(x-i)

即2x-3y+4=0.

13

所求法線的斜率為k2=--=--

ki2

于是所求的法線方程為

即3x+2y-7=0.

例8曲線y=Inx上哪一點(diǎn)的切線與直線y=3x-1平行.

解設(shè)曲線y=lnx上點(diǎn)M(x,y)處的切線與直線y=3x-l平行，曲線

y=lnx在朋(x,y)切線斜率為

y'=(Inx)'=—

x

而直線y=3x-l的斜率為女=3,根據(jù)兩條直線平行條件，有

A=—

3

將x代入曲線)，=lnx得

,1，c

y=In-=-m3.

3

所以曲線在點(diǎn)(In3)的切線與直線y=3x+1平行.

二、函的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

定理如果函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x°處可導(dǎo)，則函數(shù)y=/(x)一定在點(diǎn)x0處連

證由導(dǎo)數(shù)定義，有

呵，=/"。0)

-Ax

由極限與無(wú)窮小的關(guān)系得

△)，

=/'(%)+。

Ar

其中a為當(dāng)Ax->0時(shí)的無(wú)窮小.由此可得

Ay=f'(%o)Ar+crAx

limAy=lim[//(^)Ax+aAx]

-Ax->0n

/.=f'(斯)limAx+lima\x

AXTOAA->0

=/(4)0+00=0.

所以函數(shù)〃x)在點(diǎn)x。處連續(xù).

但反過來(lái)，函數(shù)在點(diǎn)4處連續(xù)，不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo).舉例說明如下:

例9函數(shù)y=/*)=?在區(qū)間(-8,+00)內(nèi)連續(xù)，但在點(diǎn)》=0處不可導(dǎo).

1_21

解因?yàn)関=(Fy=(Qy=±J3

33Vx2

顯然，當(dāng)x=o時(shí)，y=oo,即導(dǎo)數(shù)不存在.從幾何圖形上直觀的可以看到:

曲線

y=F在原點(diǎn)。具有垂直于x軸的切線x=0(圖2—3).

例10求函數(shù)/(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù).

好../(O+Ax)-/(O)|Ax|~°..國(guó)

解?hm------------匕」=hmj—!——=hmJ,

—Ax-Ax&T°Ax

/.左極限lim^1=lim—=-1

Axf0-0\yA.v—>0-0A,

右極限lim=lim—=1,

Axfo+oArAv->o+oAr

Av->0-0―丫Axf0+0/\Y

...+—⑺不存在.

心->°Ax

因此函數(shù)/（x）=|x|在x=0處不可導(dǎo).

函數(shù)y=JF=|x|在區(qū)間（-oo,+oo）內(nèi)連續(xù)，由上例可知這個(gè)函數(shù)在x=0

處不可導(dǎo).曲線丁=必在原點(diǎn)。處沒有切線（圖2-4）.

小結(jié)：

本節(jié)我們需要記憶所學(xué)的兒個(gè)求導(dǎo)公式，掌握導(dǎo)數(shù)兒何意義的應(yīng)用，理解

可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，并會(huì)討論函數(shù)在一點(diǎn)的可導(dǎo)性。

授課時(shí)間：2006年11月13日使用班級(jí)：高管06-1(3)

授課時(shí)間：2006年11月22日使用班級(jí)：造價(jià)06-10)

授課時(shí)間：2006年11月13日使用班級(jí)：造價(jià)06-2(3)

授課時(shí)間：2006年11月20日使用班級(jí)：經(jīng)管06-1(3)

授課時(shí)間：2006年11月22日使用班級(jí)：隧道工程06-1(3)

授課章節(jié)名稱：

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

教學(xué)目的：

1、熟練運(yùn)用和、差、積、商的求導(dǎo)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2、理解反函數(shù)的求導(dǎo)法則，并求出反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式

教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、反函數(shù)的求導(dǎo)方法

教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)的求導(dǎo)

教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例

教學(xué)手段：傳統(tǒng)式

作業(yè)：

P891、2、3、6

教案實(shí)施效果追記：

本節(jié)主要要求掌握求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則，大多數(shù)學(xué)生能夠正確掌握

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

講授新內(nèi)容

前面根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求出了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)直

接根據(jù)定義來(lái)求導(dǎo)數(shù)不僅繁瑣，往往也很困難。為了能迅速而準(zhǔn)確地求出初等

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，本節(jié)和下一節(jié)將介紹求導(dǎo)數(shù)的兒個(gè)基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)公式。

'一:函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

如果函數(shù)〃=w(x),v=心)在點(diǎn)x處具有導(dǎo)數(shù)〃'=〃'(x),M=M(x),則這兩

個(gè)函數(shù)的和、差、積、商在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且有

法則1：兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)，等于各個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和，即

（M±V）Z=u'+v'

此法則可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情形.

例（M+V+W）'-ll'+v'+w'

法則2：兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)再加

上第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第一個(gè)函數(shù)，即

（wv）f=u'v+uv'

推論1:（C〃y=CM'（C為常數(shù)）.

這就是說：常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號(hào)外面去.

此法則可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情形.

例[uvw)'=M'vw+uv'w+uvw'

法則3：兩個(gè)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分子乘以分母的

導(dǎo)數(shù)，然后除以分母的平方.即

/，、，u'v-v'u.八、

（一）=———（V+0）

VV

推論2：（￡y=-R（c為常數(shù)）

VV

以上各法則的證明方法類似，下面給出法則2的證明，其余法則讀者可以

自己證明.

證設(shè)函數(shù)/（X）=M（X）V（X）,由導(dǎo)數(shù)定義有

/(x+Ax)-/(x)

產(chǎn)出=螞

Ax

[.u(x+Ax)v(x+Ax)-w(x)v(x)

=lim--------------------------

&->oM

「u(x+Ar)v(x+Ar)-u(x)v(x+Ax)+u(x)v(x+Ax)-w(x)v(x)

=lim------------------------------------------------------

-X

r/」Aw(x+Ar)-w(x)v(x+Ax)-v(x)

=rlim[v(x+Ax)--------------+w(x)--------------J

?TOAxAx

=v(x)ur(x)+M(X)VZ(X)

即[u(x)v(x)]r=v(x)wr(x)+u(x)vr(x)

簡(jiǎn)寫為(wv)z=vuf+uv,

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

(1)y=x2-+ri;(2)y=——4cosx+sinx

x

1

(3)y=x3\nx;(4)

X4+x

解(1)

J

yr=(x2-V3x+Try=(x2)'-)'+乃'

_V3△

=29x----x~=2?x----j=.

22yfx

⑵

yr=(——4cosx+sinx)f=(x-1)'-4(cos1)'+(sinx)f

x

=-x~2+4sinx+cosx=--y+4sinx+cosx.

(3)

y'=(x3\nx)f=(x3)/lnx+x3(Inx\

=3x2Inx+x2=x2(31nx+1)

(4)y，=(，)，=(/+x)'=4.+1

x4+x(X44-X)2(X4+x)2

例2設(shè)函數(shù)y=tanx,求y'。

,/、,/sin%、,(sinx)zcosx-(cosx)rsinx

mA7-7y=(tanx)=(----)=------------z-----------

cosXCOSX

cos2x+sin2x12

=------z-----=———=secx

COSXCOS~X

即(tanx)r=sec2x.

這就是正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

例3設(shè)函數(shù)y=secx,求y'。

力“，/、，/1、,(cosx)'sinx

解y=(secx)=(------)=---；—=---；-=secxtanx

cosxcosxcosx

即(secx)f=sec%tanx.

這就是正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

用類似的方法，可以得余切函數(shù)和余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

即(cotx)'=-CSC2X

(escX)'=-CSCxcotX

例4設(shè)函數(shù)y=xtanx-2secx，求y'。

解

yr=(xtanx-2secx)/=(xtanx)'-2(secx)'

=xtanx+x(tanx\-2secxtanx

=tanx+xsec2x-2secxtanx

例5求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

(1)/(x)=31+xcosx,/(一4),尸(乃).

⑵/⑺=7^7,<(J，八》

解(1)/(X)=(31+XCOSX)'=3(/)'+(%COS)'

=6x4-cosx4-x(cosx)f=6x+cosx-xsinx

=x(6-sinx)+cosx

.fX~7r)=一%[(6-sin(-^)]+cos(一))=一6〃-1

??

f'(乃)=》(6-sin乃)+cos7i=67r-\

(2)?.?/，?)=(1—)，(sin，)'(1+cosr)-sint(\+cos。'

1+COSZ(1+cos/)2

_cost(l+cost)-sinZ(-sint)_cosz+cos2/+sin21

(1+cosr)2(1+cos/)2

1+cosr_1

(1+cosr)2l+cosr

???/句)=4=2一叵/號(hào)=4=1

1+cos—1+cos

42

二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理：設(shè)函數(shù)x=9(y)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且“(y)wO,其反函數(shù)

y=/(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也單調(diào)可導(dǎo)，且有

二一，或包=工

*'(y)dxdx

dy

即在一定條件下，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).

證任取xe1A,，給x以增量Ax(ArR0,x+Are1工),由y=f(x)是單調(diào)的,

可得

Ay=f(x+Ax)-f(x)*0

于是有

包__L

AxAx

Ay

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)連續(xù)，所以當(dāng)Ax->0時(shí)，必有Ay->0,從而有

Ay111

hrm=lrim--=-------=---------.

Ar.。AD△%Al0，(V)

——hm——''

AyAYTOAy

例1求反正弦函數(shù)y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).

TTTT

解y=arcsinx(-1<x<1)=siny(一萬(wàn)Vy4萬(wàn))的反函數(shù)，而

x=siny

在I=(—生，工)內(nèi)單調(diào)增加、可導(dǎo)，且

,22

(siny)'=cosy>0

所以y=arcsinx在(-1,1)內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo)，并有

11

y'=(arcsinx)’

(siny)'cosy

在(gf)內(nèi)，cosy--sin2y-71-x2.于是有:

(arcsinx)'=,1=,xG(-L1)

4^

類似地，可求得

(arccosx)z=——,,xG(-bl)

例2求反正切函數(shù)y=arctanx的導(dǎo)數(shù).

TT71一》—

解y-arctanx(-oo<x<+oo)^x=tany(——<y<一)的反函數(shù)，而

x=tany

她，為)內(nèi)單調(diào)增加、可導(dǎo)，且

(tany)'=sec2y>0

所以y=arctanx在(-8,+oo)上每點(diǎn)都可導(dǎo)，并有

y'=(arctanxY=-------=—；—

(tany)'sec'y

又sec2y=1+tan2y=1+/，于是有

(arctanx)'=-----

1+x2

類以地，可求得：

/、，1

(arccotx)=-------.

1+x2

小結(jié)：

本節(jié)我們學(xué)會(huì)了四則運(yùn)算構(gòu)成的初等函數(shù)的求導(dǎo)方法，并利用反函數(shù)的求

導(dǎo)法則求出了反三角函數(shù)的求導(dǎo)公式，要求同學(xué)們記憶。

授課時(shí)間：2006年11月16日使用班級(jí):高管06-1(3)

授課時(shí)間：2006年11月24R使用班級(jí):造價(jià)06-10)

授課時(shí)間：2006年11月15日使用班級(jí):造價(jià)06-2⑶

授課時(shí)間：2006年11月24日使用班級(jí):經(jīng)管06-1(3)

授課時(shí)間：2006年11月24日使用班級(jí):隧道工程06-1(3)

授課章節(jié)名稱：

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第3節(jié)反函數(shù)的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

教學(xué)目的：

1、熟練運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)

2、綜合運(yùn)用求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

教學(xué)難點(diǎn)：求導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用

教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例

教學(xué)手段：傳統(tǒng)式

作業(yè)：

P962、3、4、5

教案實(shí)施效果追記：

有些同學(xué)不能把四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的運(yùn)算法則綜合運(yùn)用，還需加強(qiáng)

練習(xí)。

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第3節(jié)反函數(shù)的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

講授新內(nèi)容

一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

因?yàn)?sinx\=cosx,是否可以類似寫出(sin2x)'=cos2x呢?

由三角函數(shù)的倍角公式可知sin2x=2sinxcosx

(sin2x)r=2[(sinx)rcosx+sin九(cosx)r]

=2(cos2x-sin2x)

=2cos2x

顯然(sin2x)，wcos2x,因?yàn)閟in2x不再是基本初等函數(shù)而是?個(gè)復(fù)合函

數(shù)，對(duì)于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)給出如下法則.

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)函數(shù)y=/Q）是〃的可導(dǎo)函數(shù)，而〃=e（x）是x的

可導(dǎo)函數(shù)，那么y=/刖")]是x可導(dǎo)函數(shù).并且

?=笠當(dāng)或>a)=尸??“(X)

axduax

證明：由于y=/Q)是"的可導(dǎo)函數(shù)，因此lim生=蟲.而M=0(X)是x

△"foAMdu

的可導(dǎo)函數(shù)，有l(wèi)im包=也，又因?yàn)榘?包.包(△“*())

?f。AxdxAxAwAv

所以

Ay

rlim——=rlim(G-----A-H).

-AJC't。A〃Ax

因?yàn)椤?9(x)在x處可導(dǎo)，所以"=8(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，因此Ax->0時(shí),

Aw—>0

故

AyAy..ku

rlim——=rlim---hm——

&f°AxAw°Ax

即包=生也證畢.

dxdudx

推廣：若y=/(〃)而〃=0W),v=,則復(fù)合函數(shù)y=/3〃(尤)]｝的導(dǎo)

數(shù)為生=蟲.四色

dxdudvdx

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=sin2x2;(2)y=cos22x;

(3)y=Intanx;(4)y=J1-2x2.

解（1）y=sin2/是由y=sin〃，〃=2/復(fù)合而成，因此

—=—?—=(sinw)z(2x12)r=cosw-4x=4xcos2x2

dxdudx

(2)y=cos?2%是由y=M=cosv,y=2x復(fù)合而成的，因此

蟲=生也也=(〃2)，(cosv)，(2x)，

dxdudvdx

=2〃(一sinv)-2=-4cos2xsin2x

=-2sin4x.

(3)y=Intanx是由y=ln4,〃=tanx復(fù)合而成，因此

yr=(lnw)\tanx)z=—sec2x=------sec2x

utanx

=secxescx.

(4)y=71-2x2是由y=〃,〃=1-2x?復(fù)合而成，因此

y=(〃)'"2/),

14/\-4x-2x

=-W2(-4x)=--j==-r-----=?

22&71-2x2

由上面例子可知，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)必須先搞清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，然后便

可以用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、基本求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求它們的導(dǎo)

數(shù)。

注意：(1)復(fù)合函數(shù)由里到外逐次復(fù)合，求導(dǎo)時(shí)由外到里逐次求導(dǎo)，一定

要求到底，不要有遺漏。

(2)對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后，可不必再寫出中間變量，而可以采用

下列例題的方法來(lái)計(jì)算。

例2設(shè)函數(shù)y=ln(x+71+x2),求y'.

解

y，=[ln(x+J1+V)了

=—1-(x+A/I+X2y

x+vl+x

11-1

—==[l+-(l+x2)2(2x)]

x+^ll+x22

-.....1-----U+I------

x+J1+廠

1

7i+x2.

例2設(shè)函數(shù)y=xjl-x,求y'.

解

y，-(xjl-X)'-x'yjl-x+(Jl-x)，x

_1J.

=71-x+—(1-x)5(1-x)'x

2

n-X2-3x

=\1—XH---/=--/.

2jl-x2V1-x

在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，有時(shí)需要先利用代數(shù)恒等變換或三角恒等變換將函數(shù)

化簡(jiǎn)，然后再求導(dǎo)，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算.看下面例子：

例4設(shè)函數(shù)y=—*=,求y'.

x-vx2-1

解將分母有理化，得y=x+4x^

y'=x'+(yjx2-l)z

1-1

所以=l+-(x2-l)2(X2-D，

I2x

1+—.1+y-----------

2dx2—l

例5設(shè)函數(shù)y=ln,三，求y'.

1Y—I

解因?yàn)閥=ln(——)2=-[ln(l+x)-ln(l-x)]

1-x2

所以y'^-[—-----—(l-x)f]=-(-^+-^)=—

21+11-x21+x1-xl-x2

例6設(shè)函數(shù)yJ-cosx,求y.

1+COSX

2sin2—

2X

解因?yàn)閥=-tan"-

2cos2—2

2

所以

,cX/x、,cx2X，X、,X2X

y=2tan—(tan—)=2tan—sec—(—)=tan—sec'—.

2222222

例7求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y-e^ttx;(2)y-arcsin—;

x

(3)y-arctan(l+x2);(4)y-x3e~x.

解(1))，'=(*，)'=esg(sinx)'=cosxesmx

⑵

x>l

x<—1

I2x

(3)y，=(arctan(x2+1))'=-------—(1+，)'=--------

l+(l+x2)2X4+2X2+2

(4)y'=(x3e-r)'=(一)『+x\e-xy=3x2e-x-x3e-x=e-\3x2-x3).

二、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題

在上面兩節(jié)我們通過舉例的方式，已經(jīng)推導(dǎo)出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和

求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)法則，為了方便記憶和應(yīng)用，小結(jié)如下。

1.導(dǎo)數(shù)的基本公式：

⑴(c)'=0；(2)(%。)'=以°7;

(3)(sinx)r=cosx;(4)(cosx)f=-sinx

(5)(tanx)'=sec2x;(6)(cotxY=-esc2x;

(7)(secx)r=secxtanx;(8)(escx)f=-esexcotX；

(9)(。)=優(yōu)Ina;(10)(/)'=";

⑵」;

(ll)(logG)=——;((Inx)

X

r1

(13)(arcsinx)=「1.(14)(arccosx)f=

(15)(arctanx)'--r;(16)("CCOtX)'=--------7,

\+x1+x

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(1)(u±v)r=uf±vr;

(2)(〃□)'=〃，+";

r、/U、,uv-uv.「、

(3)(一)二——5—；("0)

VV

推論：(1)(cuY=cur;

(2)(與，=一%"0).

VV

3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:

設(shè)＞=/(〃)而〃=。甕)，且/(〃)及9(x)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/［夕(x)］的

導(dǎo)數(shù)為半=孚.手或y，(x)=f'(u)(p'{x}.

axauax

4.反函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)x=e(y)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且"(y)YO,其反函數(shù))，=/(x)在

相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也單調(diào)可導(dǎo)，且有

,或包=-L

r(x)=

(p\y)dx

dy

注：以上運(yùn)算法則及基本公式必須熟練掌握.

小結(jié)：

本節(jié)我們學(xué)習(xí)了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，從而解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問題。

同學(xué)們課下要強(qiáng)練習(xí)，做到既快又準(zhǔn)。

授課時(shí)間：2006年11月20日使用班級(jí)：高管06-1(3)

授課時(shí)間：2006年11月25日使用班級(jí)：造價(jià)06-1(3)

授課時(shí)間：2006年11月20日使用班級(jí)：造價(jià)06-2(3)

授課時(shí)間：2006年11月25日使用班級(jí)：經(jīng)管06-1(3)

授課時(shí)間：2006年11月25日使用班級(jí)：隧道工程06-1(3)

授課章節(jié)名稱：

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第4節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目的：

1、會(huì)求隱函數(shù)所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2、會(huì)使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求對(duì)應(yīng)類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3、會(huì)求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)重點(diǎn)：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

教學(xué)難點(diǎn)：求導(dǎo)方法的正確運(yùn)用

教學(xué)方法：講解；啟發(fā)；舉例

教學(xué)手段：傳統(tǒng)式

作業(yè)：

P1021(單)、2(單)、3(單)、5、6

教案實(shí)施效果追記：

有些同學(xué)由于初等函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的不夠熟練導(dǎo)致本節(jié)學(xué)習(xí)的困難。

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

第4節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)