2020年中考數(shù)學(xué)中考真題分類解析匯編：1：押軸題

專題12:押軸題

一、選擇題

1.（2019廣東省3分）已知三角形兩邊的長分別是4和10,則此三

角形第三邊的長可能是【】

A.5B.6C.11

D.16

【答案】Co

【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系。

【分析】設(shè)此三角形第三邊的長為x,則根據(jù)三角形兩邊之和大于第

三邊，兩邊之差小于第三邊的構(gòu)成條件，得10-4<x<10+4,即6

<x<14,四個選項(xiàng)中只有11符合條件。故選C。

2.（2019廣東佛山3分）如圖，把一個斜邊長為2且含有30。角的

直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。到△AiBC,則在旋轉(zhuǎn)

過程中這個三角板掃過的圖形的面積是【】

A.7iB.73C.也+走D.迎+叵

42124

【答案】Do

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，扇形面積。

【分析】因?yàn)樾D(zhuǎn)過程中這個三角板掃過的圖形的面積分為三部分扇

形ACAi、BCD^AACD計(jì)算即可:

在aABC中，NACB=90。，ZBAC=30°,AB=2,

.,.BC=-AB=1,ZB=900-ZBAC=60°。

2

二.AC=7AB2-BC2=y/3o

,,S^ABC=gxBCXAC=；o

設(shè)點(diǎn)B掃過的路線與AB的交點(diǎn)為D,連接CD,

?「BC=DC,「.△BCD是等邊三角形。

.?.BD=CD=1。

.?.點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。

?0_U16Gq

??、AACD=-5AABC=]'3二彳口。

??AABC掃過的面積=S扇形ACA1+S扇形BCD+S^ACD

9OX7TX6260x^-XI2y/33^7t-J3111A/3

--------------------1-------=--------1-------F-----=---------F-----

3603604464124

故選D。

3.(2019廣東廣州3分)如圖，正比例函數(shù)yi=kix和反比例函數(shù)丫2=反

X

的圖象交于A(-1,2)、B(1,-2)兩點(diǎn)，若yi〈y2,則x的取值

范圍是【

A.xV-1或x>lB.x<-l或0<xVlC.-IVxVO或0

<x<lD.-IVxVO或x>l

【答案】Do

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題。

【分析】根據(jù)圖象找出直線在雙曲線下方的x的取值范圍：

由圖象可得，-IVxVO或x>l時一，yi<y2o故選D。

4.（2019廣東梅州3分）在同一直角坐標(biāo)系下，直線y=x+l與雙曲

線y=，的交點(diǎn)的個數(shù)為【】

X

A.0個B.1個C.2個D.不能確定

【答案】Co

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題。

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)作答：

?.?直線y=x+l的圖象經(jīng)過一、二、三象限，雙曲線y=’的圖

X

象經(jīng)過一、三象限，

...直線y=x+l與雙曲線y,有兩個交點(diǎn)。故選C。

X

5.（2019廣東汕頭4分）如圖，將aABC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)50。

后得到△ABC，.若NA=40。.ZB^llO0,則NBCA，的度數(shù)是【】

A.110°B.80°C.40°D.30°

【答案】Bo

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理。

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：NA，=NA,ZA'CB^ZACB,

VZA=40°,.?.NA'=40。。

r

,/ZB=110°,，NA'CB'=180。-110°-40°=30°o

.,.ZACB=30°o

,將AABC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)50。后得到△AB，C,

.?.NACA'=50。,

.?.NBCA'=300+50°=80。，故選B。

6.（2019廣東深圳3分）如圖，已知：NMON=30。，點(diǎn)Ai、A2>

A3在射線ON上，點(diǎn)Bi、B2、B3…在射線OM上，AAiBiAz.

△A2B2A3、Z\A3B3A4……均為等邊三角形，若OA1=1,則4A6B6A7的

邊長為【】

【答案】Co

【考點(diǎn)】分類歸納（圖形的變化類），等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)

角和定理，平行的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。

【分析】如圖，?「△AIBIA2是等邊三角形，

.,.AiB^AsBi,N3=N4=N12=60°。

.*.Z2=120°o

ZMON=30°,/1=180°—120°-3O°=3O°。

又Z3=60°,N5=180。-60°-30。=90。。

,

VZMON=Z1=30°,..OAi=AiBi=k：.A2B}=\O

?.?△A2B2A3、AAsB3A4是等邊三角形，.,.Zll=Z10=60°,

N13=60。。

VZ4=Z12=60°,.?.AIBI〃A2B2〃A3B3,BIA2〃B2A3。

.?.Zl=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°。AA2B2=2BIA2,

B3A3=2B2A3。

A3B.3=4B]A2=4,A4B4=8BIA2=8,A5BS=16B?A?=16o

以此類推：A6B6=32BIA2=32,即4A6B6A7的邊長為32。故

選C。

7.（2019廣東湛江4分）已知長方形的面積為20cm2,設(shè)該長方形

一邊長為ycm,另一邊的長為xcm,則y與x之間的函數(shù)圖象大致是

【答案】Bo

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖象。

【分析】???根據(jù)題意，得xy=20,<y=，(x>0,y>0)。故選B。

8.(2019廣東肇慶3分)某校學(xué)生來自甲、乙、丙三個地區(qū)，其人

數(shù)比為2：3：5,如圖所示的扇形圖表示上述分布情況.已知來自甲

地區(qū)的為180人，則下列說法不正確的是【】

A.扇形甲的圓心角是72°

B.學(xué)生的總?cè)藬?shù)是900人

C.丙地區(qū)的人數(shù)比乙地區(qū)的人數(shù)多180人

D.甲地區(qū)的人數(shù)比丙地區(qū)的人數(shù)少180人

【答案】Do

【考點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖，扇形圓心角的求法，頻數(shù)、頻率和總量的關(guān)系。

【分析】A.根據(jù)甲區(qū)的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的則扇形甲的圓心

2+3+55

角是：!義360。=72。，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

B.學(xué)生的總?cè)藬?shù)是：180+(=900人,故此選項(xiàng)正確，不符

合題意；

C.丙地區(qū)的人數(shù)為：900xA=450,,乙地區(qū)的人數(shù)為：

900x2=270,則丙地區(qū)的人數(shù)比乙地區(qū)的人數(shù)多450—270=180人，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意;

D.甲地區(qū)的人數(shù)比丙地區(qū)的人數(shù)少270—180=90人，故此

選項(xiàng)錯誤，符合題意。

故選D。

9.（2019廣東珠海3分）如果一個扇形的半徑是1,弧長是工，那

3

么此扇形的圓心角的大小為【】

A.30°B,45°C.60°D.90°

【答案】Co

【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算。

【分析】根據(jù)弧長公式1=呷，即可求解

180

設(shè)圓心角是n度，根據(jù)題意得上卻=2,解得：n=60。故選C。

1803

10.（2019廣東河源3分）在同一坐標(biāo)系中，直線y=x+l與雙曲線

y=；的交點(diǎn)個數(shù)為【】

A.0個B.1個C.2個.D.,

不能確定

【答案】Ao

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的交點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，

一元二次方程根的判別式。

【分析】根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，聯(lián)立y=x+l

11

和丫=丁得，x+i=—,整理，得

x2+x—l=0o

△=l+4=5>0,/.x2+x—1=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根。

.??直線y=x+l與雙曲線丫=今有兩個交點(diǎn)。故選A。

ZV

二、填空題

1.（2019廣東省4分）如圖，在口ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,

以點(diǎn)A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E,連接CE,則陰

影部分的面積是.▲（結(jié)果保留兀）.

【答案】3--^o

3

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算

【分析】過D點(diǎn)作DF1AB于點(diǎn)Fo

VAD=2,AB=4,ZA=30°,

.?.DF=AD?sin30°=l,EB=AB-AE=2。

...陰影部分的面積=平行四邊形ABCD的面積一扇形ADE

面積一三角形CBE的面積

”,30x7x221,^1

=4x1-------------------x2xl=3——7TO

36023

2.（2019廣東佛山3分）如圖，邊長為〃，+4的正方形紙片剪出一個

邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩

形一邊長為4,則另一邊長為▲

4

m

6+4

【答案】2m+4o

【考點(diǎn)】圖形的變換，一元一次方程的應(yīng)用（幾何問題）。

【分析】根據(jù)拼成的矩形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的

面積，列式整理即可得解:

設(shè)拼成的矩形的另一邊長為X,

貝（］4x=（m+4）2—m2=（m+4+m）（m+4-m）=8m+16,

解得x=2m+4o

3.（2019廣東廣州3分）如圖，在標(biāo)有刻度的直線1上，從點(diǎn)A開

始，

以AB=1為直徑畫半圓,記為第1個半圓;

以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓;

以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓;

以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個半圓,

…按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第4個半圓的面積是第3個半圓面積的

▲倍，第n個半圓的面積為

▲（結(jié)果保留幾）

【考點(diǎn)】分類歸納（圖形的變化類），半圓的面積，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，

累的乘方，同底基乘法。

【分析】由已知，第3個半圓面積為：二二=2萬，第4個半圓的面積

2

為：1^=8萬，

2

...第4個半圓的面積是第3個半圓面積的包=4倍。

In

由已知，第1個半圓的半徑為、2。，第2個半圓的半徑為

22

第3個半圓的半徑為、22,

2

……第n個半圓的半徑為

2

.?.第n個半圓的面積是

/、2

g?乃dzn[=；?（2-2『%=2,22"4乃=22吁5萬。

4.（2019廣東梅州3分）如圖，連接在一起的兩個正方形的邊長都

為1cm,一個微型機(jī)器人由點(diǎn)A開始按ABCDEFCGA…的順序沿正

方形的邊循環(huán)移動.①第一次到達(dá)G點(diǎn)時移動了▲cm：②當(dāng)

微型機(jī)器人移動了2019cm時-，它停在▲點(diǎn).

【答案】7；Eo

【考點(diǎn)】分類歸納（圖形的變化類）。

【分析】①由圖可知，從A開始，第一次移動到G點(diǎn)，共經(jīng)過AB、

BC、CD、DE、EF、FC、CG七條邊，所以共移動了7cm；

②???機(jī)器人移動一圈是8cm,而2019-8=251...4,

，移動2019cm,是第251圈后再走4cm正好到達(dá)E點(diǎn)。

5.（2019廣東汕頭4分）如圖，在口ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,

以點(diǎn)A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E,連接CE,則陰

影部分的面積是▲（結(jié)果保留兀）.

A

【答案】

3

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算

【分析】過D點(diǎn)作DF±AB于點(diǎn)F。

VAD=2,AB=4,ZA=30°,

.?.DF=AD?sin300=l,EB=AB-AE=2。

...陰影部分的面積=平行四邊形ABCD的面積一扇形ADE

面積一三角形CBE的面積

一?30x；rx221.1

=4x1----------------------x2xl=3——7To

36023

6.（2019廣東深圳3分）如圖，Rt^ABC中，C=90。，以斜邊AB

為邊向外作正方形ABDE,且正方形對角線交于點(diǎn)D,連接OC,已

知AC=5,OC=6V2,則另一直角邊BC的長為

【答案】7o

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性

質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。

【分析】如圖，過O作OF垂直于BC,再過O作OFLBC,過A作

AM1OF,

?.?四邊形ABDE為正方形，...NAOB=90。,

OA=OBo

.*.ZAOM+ZBOF=90°o

又VZAMO=90°,.,.ZAOM+ZOAM=90°。

ZBOF=ZOAMo

在aAOM和ABOF中,

VZAMO=ZOFB=90°,ZOAM=ZBOF,OA=OB,

.,.△AOM^ABOF(AAS)o，AM=OF,OM=FB。

又：NACB=NAMF=NCFM=90。，，四邊形ACFM為矩形。

，AM=CF,AC=MF=5。

.,.OF=CFo.?.△OCF為等腰直角三角形。

VOC=6V2,:.根據(jù)勾股定理得：CF2+OF2=OC2,即2CF2=

(6&)2,解得：CF=OF=6o

，F(xiàn)B=OM=OF-FM=6-5=1。BC=CF+BF=6+1=7。

7.(2019廣東湛江4分)如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方

形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF、再以對角線AE為邊

作笫三個正方形AEGH,如此下去.…若正方形ABCD的邊長記為

a”按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2,a3,初，…，an,則

an=▲?

n-，

【答案】an=(^)o

【考點(diǎn)】分類歸納(圖形的變化類)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，同

底幕乘法。

【分析】分析規(guī)律：

222

Va2=AC,且在Rt4ABC中，AB+BC=AC,

??a,=(>/^)o

同理a3=&a2=&?夜=（夜），a4=V^a3=（血）.忘=（也）,

8.（2。19廣東肇慶3分）觀察下列一組數(shù)十存

它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第k個數(shù)是—J

【答案】上

【考點(diǎn)】分類歸納（數(shù)字的變化類）。

【分析】根據(jù)已知得出數(shù)字分母與分子的變化規(guī)律:

分子是連續(xù)的偶數(shù)，分母是連續(xù)的奇數(shù),

.?.第k個數(shù)分子是2k,分母是2k+l。.,.這一組數(shù)的第k個

數(shù)是3

2k+l

9.（2019廣東珠海4分）如圖，AB是。O的直徑，弦CD_LAB,垂

足為E,如果AB=26,CD=24,那么sinNOCE=▲

【答案】a

【考點(diǎn)】垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義。

【分析】如圖，設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)E,則根據(jù)直徑AB=26,

得出半徑OC=13；由CD=24,CDJ_AB,根據(jù)垂徑定理得出CE=12；

在RtZSOCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根據(jù)正弦函數(shù)的定

義，求出sinNOCE的度數(shù):

10.（2019廣東河源4分）如圖，連接在一起的兩個正方形的邊長

都為1cm,一個微型機(jī)器人由點(diǎn)A開

始按ABCDEFCGA…的順序沿正方形的邊循環(huán)移動.①第一次到達(dá)

點(diǎn)G時-，微型機(jī)器人移動了▲cm：

②當(dāng)微型機(jī)器人移動了2019cm時-，它停在▲點(diǎn).

【答案】7；Eo

【考點(diǎn)】分類歸納（圖形的變化類）。

【分析】①由圖可知，從A開始，第一次移動到G點(diǎn)，共經(jīng)過AB、

BC、CD、DE、EF、FC、CG七條邊，所以共移動了7cm；

②?.?機(jī)器人移動一圈是8cm,而2019-8=251...4,

二.移動2019cm,是第251圈后再走4cm正好到達(dá)E點(diǎn)。

三、解答題

1.（2019廣東省9分）如圖,在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8.把

△BCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在。處，BC交AD于點(diǎn)G；E、

F分別是CD和BD上的點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)H,把4FDE沿EF

折疊，使點(diǎn)D落在D，處，點(diǎn)D"恰好與點(diǎn)A重合.

(1)求證：4ABG之△C'DG；

(2)求tanNABG的值;

(3)求EF的長.

【答案】(1)證明：???△BDC由ABDC翻折而成,

.?./C=NBAG=90°,C'D=AB=CD,NAGB=NDGC',

.,.ZABG=ZADEo

在△ABG^^C'DG中，VZBAG=ZC,AB=C'D,

ZABG=ZADC\

.?.△ABGdCDG(ASA)0

(2)解：?.?由(1)可知4ABG名△C'DG,r.GD=GB,

.,.AG+GB=ADo

設(shè)AG=x,則GB=8-x,

在RtAABG中，?.?AB2+AG2=BG2,即62+x2=(8-x)2,

解得x=N。

4

7

?,八ncAG47

??tan/ABG=-----=—=—。

AB624

(3)解：?「△AEF是4DEF翻折而成，，EF垂直平分AD。

.*.HD=-AD=4o

2

VtanZABG=tanZADE=—。，EH=HDx[=4x2=1

2424246o

?「EF垂直平分AD,AB±AD,.,.HF是AABD的中位

線。r.HF=lAB=lx6=3o

22

.,.EF=EH+HF=-+3=—o

66

【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位

線定理。

【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知NC=NBAG=90。，

CD=AB=CD,NAGB=NDGC,故可得出結(jié)論。

（2）由（1）可知GD=GB,故AG+GB=AD,設(shè)AG=x,則

GB=8-x,在Rt4ABG中利用勾股定理即可求出AG的長，從而得出

tanZABG的值。

（3）由4AEF是4DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故

HD=1AD=4,再根據(jù)tanNABG的值即可得出EH的長，同理可得

2

HF是4ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF即可得出

結(jié)果。

2.（2019廣東省9分）如圖，拋物線y」x2一9與X軸交于A、B

22

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC、AC.

（1）求AB和OC的長；

（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合）,

過點(diǎn)E作直線1平行BC,交AC于點(diǎn)D.設(shè)AE的長為m,AADE

的面積為s,求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍;

（3）在（2）的條件下，連接CE,求4CDE面積的最大值；此時，

求出以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留兀）.

【答案】解：⑴在尸產(chǎn)一|.9中,

令x=0,得y=—9,AC(0,-9)；

令y=0,即產(chǎn)4x一9=0,解得：XI3,X2=6,.-.A

(-3,0)、B(6,0)o

.\AB=9,OC=9o

(2)VED^BC,.,.△AED^AABC,

S^ABCI/

2

即：小猾）。

--9-9

2

/.s=-m2(0<m<9)o

2

(3)VSAAEC=-AE?OC=-m,

22

12

-

AEDo-2

81

18

AD

E-D)-cAE

=1s2+-ms

919)

-m--m-

22-2-2-

ACDE的最大面積為父，

8

此時、AE=m=-,BE=AB-AE=2。

22

XBC=^62+92=3A/13，

過E作EF1BC于F,則RtABEF^RtABCO,得:

9

氏器即:EF_2

T=57i3°

EF=—V13o

26

...以E點(diǎn)為圓心，與BC相切的圓的面積

SoE=n*EF2=—o

52

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角

形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理，直線與圓相切的性質(zhì)。

【分析】(1)已知拋物線的解析式，當(dāng)x=0,可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)

y=0時，可確定A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定AB、OC的長。

(2)直線1〃BC,可得出△AEDs/SABC,它們的面積比等

于相似比的平方，由此得到關(guān)于s、m的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題目條件:

點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合，可確定m的取值范圍。

（3）①首先用m列出aAEC的面積表達(dá)式，△AEC、AAED

的面積差即為4CDE的面積，由此可得關(guān)于SRDE關(guān)于m的函數(shù)關(guān)

系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到SEDE的最大面積以及此時m的值。

②過E做BC的垂線EF,這個垂線段的長即為與BC相切的

OE的半徑，可根據(jù)相似三角形4BEF、ABCO得到的相關(guān)比例線段

求得該半徑的值，由此得解。

3.（2019廣東佛山10分）規(guī)律是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.

初中數(shù)學(xué)中研究的規(guī)律主要有一些特定的規(guī)則、符號（數(shù)）及

其運(yùn)算規(guī)律、圖形的數(shù)值特征和位置關(guān)系特征等方面.

請你解決以下與數(shù)的表示和運(yùn)算相關(guān)的問題：

（1）寫出奇數(shù)a用整數(shù)n表示的式子；

（2）寫出有理數(shù)b用整數(shù)m和整數(shù)n表示的式子；

（3）函數(shù)的研究中，應(yīng)關(guān)注y隨x變化而變化的數(shù)值規(guī)律（課本里研

究函數(shù)圖象的特征實(shí)際上也是為了說明函數(shù)的數(shù)值規(guī)律）.

下面對函數(shù)y=x2的某種數(shù)值變化規(guī)律進(jìn)行初步研究：

Xi012345???

yi01491625???

yi+i-yi1357911???

由表看出，當(dāng)X的取值從0開始每增加1個單位時，y的值依次增加

1,3,5...

請回答：

當(dāng)x的取值從0開始每增加，個單位時，y的值變化規(guī)律是什么？

2

當(dāng)X的取值從0開始每增加L個單位時，y的值變化規(guī)律是什么？

n

【答案】解：(l)n是任意整數(shù)，則表示任意一個奇數(shù)的式子是：2n+k

(2)有理數(shù)b=^(n翔)。

n

(3)①當(dāng)x的取值從0開始每增加！個單位時，列表如

2

下:

35

Xi012???

222

925

yi014???

44T

J_357911

yi+i—yi???

444447

故當(dāng)X的取值從0開始每增加［個單位時，y的值

2

依次增加1、』、3…世

4444

②當(dāng)x的取值從0開始每增加;個單位時，列表如

下:

2_345_

Xi0

nnnnn

1491625

yi0-7???

n-7正7

13579ii

yi+i-yi???

n"7n2rr7

故當(dāng)X的取值從0開始每增加1個單位時，y的值

n

依次增加與、3、4…與。

nn-nnz

【考點(diǎn)】分類歸納（數(shù)字的變化類），二次函數(shù)的性質(zhì)，實(shí)數(shù)。

【分析】（1）n是任意整數(shù)，偶數(shù)是能被2整除的數(shù)，則偶數(shù)可以表

示為2n,因?yàn)榕紨?shù)與奇數(shù)相差1,所以奇數(shù)可以表示為2n+l。

（2）根據(jù)有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，而所有的整數(shù)都可以

寫成整數(shù)的形式，據(jù)此可以得到答案。

（3）根據(jù)圖表計(jì)算出相應(yīng)的數(shù)值后即可看出y隨著x的變化

而變化的規(guī)律。

4.（2019廣東佛山11分）（1）按語句作圖并回答:作線段AC（AC=4）,

以A為圓心a為半徑作圓，再以C為圓心b為半徑作圓（a<4,b<

4,圓A與圓C交于B、D兩點(diǎn)），連接AB、BC、CD、DA.

若能作出滿足要求的四邊形ABCD,則a、b應(yīng)滿足什么條件？

（2）若a=2,b=3,求四邊形ABCD的面積.

【答案】解：（1）作圖如下：

能作出滿足要求的四邊形ABCD,則a、b應(yīng)滿足的

條件是a+b>4o

（2）連接BD,交AC于E,

?.?。人與。€：交于8、D,/.AC±DB,BE=DE。

設(shè)CE=x,貝！JAE=4—x,

VBC=b=3,AB=a=2,

...由勾股定理得：BE2=32-X2

解得：x=a。

，四邊形ABCD的面積是

2x—xACx—^5/o

28

答：四邊形ABCD的面積是型

2

【考點(diǎn)】作圖（復(fù)雜作圖），相交兩圓的性質(zhì)，勾股定理。

【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，只有兩圓相交，才能得出四邊形,

即可得出答案;

(2)連接BD,根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)得出DB±AC,BE=DE,

設(shè)CE=x,則AE=4—x,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出x,

根據(jù)三角形的面積公式求出即可。

5.(2019廣東廣州14分)如圖，拋物線y=_3x2一%+3與X軸交于A、

B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

(2)設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)4ACD的面積等

于4ACB的面積時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)若直線1過點(diǎn)E(4,0),M為直線1上的動點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M

為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個時，求直線1的解析式.

邛o]B\~X

【答案】解：(1)在y=-3x?-，+3中，令y=0,BP--x2--x+3=09解得

xi=-4,X2=2O

??

*點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，???A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-

4,0)、B(2,0)o

(2)由尸-八?-，+3得，對稱軸為X=-1。

84

在：產(chǎn)-八2一，+3中，令x=0,得y=3。

84

?*?OC=3,AB=6,$小=：出℃=；乂6*3=9。

2222

在RtAAOC中，AC=7OA+OC=^4+3=5o

設(shè)—CD中AC邊上的高為h,則有;AC?h=9,解

得h=/。

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

將A(-4,0),B(0,3)坐標(biāo)代入,得

3

卜4k+b=0,解得卜="

g［b=3

...直線AC解析式為y=3x+3。

4

直線L］可以看做直線AC向下平移CE長度單位（？

2

個長度單位）而形成的，

直線Li的解析式為y=?x+3-？=3x—3。

4242

則D］的縱坐標(biāo)為3=-\。'Dl（-4,-q）。

同理，直線AC向上平移？個長度單位得到L2,可

2

求得D2（-1,-）o

4

綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：Di(-4,,D2(-1,

4

27)

--4---zo

(3)如圖2,以AB為直徑作。F,圓心

為F.過E點(diǎn)作。F的切線，這樣的切線有2條.

連接FM,過M作MN_Lx軸于點(diǎn)N。

VA(-4,0),B(2,0),；.F(-1

0),OF半徑FM=FB=3。

又FE=5,則在Rt^MEF中，-

ME=>/52-32=4,sinZMFE=-,cosZMFE=-

55o

在Rt^FMN中，MN=MN?sinNMFE=3x±=U,

55

FN=MN?cosNMFE=3x3=2。

55

則ON='?！?M點(diǎn)坐標(biāo)為(g,y)o

直線1過M(-,-),E(4,0),

55

'4.,12

設(shè)直線1的解析式為y=kix+bi,則有二丑二，解得

4k+b=0

k」

4o

b=3

直線1的解析式為y=-|x+3o

同理，可以求得另一條切線的解析式為y=-：x-3。

綜上所述，直線1的解析式為y=—』x+3或y=—?x-

44

3o

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)

系，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，直線平行和平移的性質(zhì)，直線與圓

的位置關(guān)系，直線與圓相切的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義。

【分析】(1)A、B點(diǎn)為拋物線與x軸交點(diǎn)，令y=0,解一元二次方

程即可求解。

(2)根據(jù)題意求出4ACD中AC邊上的高，設(shè)為h.在坐

標(biāo)平面內(nèi)，作AC的平行線，平行線之間的距離等于h.根據(jù)等底等

高面積相等的原理，則平行線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的D點(diǎn).從

一次函數(shù)的觀點(diǎn)來看，這樣的平行線可以看做是直線AC向上或向下

平移而形成.因此先求出直線AC的解析式，再求出平移距離，即可

求得所作平行線的解析式，從而求得D點(diǎn)坐標(biāo)。這樣的平行線有兩

條。

(3)本問關(guān)鍵是理解“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角

形有且只有三個”的含義.因?yàn)檫^A、B點(diǎn)作x軸的垂線，其與直線1

的兩個交點(diǎn)均可以與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，這樣已經(jīng)有符合題意

的兩個直角三角形；第三個直角三角形從直線與圓的位置關(guān)系方面考

慮，以AB為直徑作圓，當(dāng)直線與圓相切時，根據(jù)圓周角定理，切點(diǎn)

與A、B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.從而問題得解。這樣的切線有兩條。

6.(2019廣東廣州14分)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5,

BC=10,F為AD的中點(diǎn)，CELAB于E,設(shè)NABC=a(60。勺＜90。).

(1)當(dāng)a=60。時，求CE的長；

(2)當(dāng)60。<(1<90°時,

①是否存在正整數(shù)k,使得NEFD=kNAEF?若存在，求出k的值;

若不存在，請說明理由.

②連接CF,當(dāng)CE2-CF2取最大值時，求tanNDCF的值.

【答案】解：（1）即，巾6。。書=爭

解得CE=56。

(2)①存在k=3,使得

ZEFD=kZAEFo理由如下:

連接CF并延長交BA的延長

線于點(diǎn)G,

YF為AD的中點(diǎn)，.,.AF=FD。

在平行四邊形ABCD中,

AB/7CD,.,.ZG=ZDCFo

在4AFG和4CFD中,

ZG=ZDCF,ZG=ZDCF,AF=FD,

.,.△AFG^ACFD(AAS)O，CF=GF,AG=CDO

,

VCE±AB,..EF=GFoAZAEF=ZGO

VAB=5,BC=10,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，，AG=5,

AF=LAD=1BC=5。AAG=AFO

22

NAFG=NG。

在AAFG中，ZEFC=ZAEF+ZG=2ZAEF,

又,/ZCFD=ZAFG,ZCFD=ZAEFo

，NEFD=NEFC+NCFD=2NAEF+NAEF=3NAE

F,

因此，存在正整數(shù)k=3,使得NEFD=3NAEF。

②設(shè)BE=x,：AG=CD=AB=5,EG=AE+AG=5

-x+5=10-x,

2222

在RtZSBCE中，CE=BC-BE=100-xo

在RtACEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x)2+100

-x2=200-20xo

CF=GF(①中已證)，CF2=(1CG)2=-CG2=1

244

(200-20x)=50-5xo

ACE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-(x

--)2+50+—o

24

.?.當(dāng)x=H即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)El寸，CE2-CF2取

2

最大值。

此時，EG=10-x=10-

22

CE=Ji0()-X2=Ji0()_子="i,

5而

tanZDCF=tanZG=°

EG153

2

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性

質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的

中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理。

【分析】（1）利用60。角的正弦值列式計(jì)算即可得解。

（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G,利用“角邊角”

證明4AFG和4CFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF,

AG=CD,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得

EF=GF,再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF,然后利用等邊對等角

的性質(zhì)可得NAEF=NG=NAFG,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不

相鄰的兩個內(nèi)角的和可得/EFC=2NG,然后推出NEFD=3NAEF,

從而得解。

②設(shè)BE=x,在RtABCE中，利用勾股定理表示出CE2,

表示出EG的長度，在RtACEG中，利用勾股定理表示出CG2,從而

得到CF?,然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。

7.（2019廣東梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-

4q>0）的兩根為X]、X2；求證：X]+X2=-p,xi?X2=q.

（2）已知拋物線y=x?+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)（-1,

-1）,設(shè)線段AB的長為d,當(dāng)p為何值時，d2取得最小值，并求出

最小值.

【答案】（1）證明：,.,a=l,b=p,c=q,p2-4q>0,

?bc

?.Xj+x=——=-p,X]-x=—=qo

2aa9

（2）解：把（-1,-1）代入y=x2+px+q得p-q=2,即q=p

-2o

設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B的坐標(biāo)分

別為（X|,0）、（X2,0）o

Vd=|xi-X2I，

/.d2=（xi-X2）J（X1+X2）2-4xi*X2=p2_4q=p2

-4p+8=（p-2）2+4o

...當(dāng)p=2時，d2的最小值是4。

【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸

的交點(diǎn)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值。

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接證得。

【教材中沒有元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可先根據(jù)求

根公式得出XI、X2的值，再求出兩根的和與積即可】

（2）把點(diǎn)（-1,-1）代入拋物線的解析式，再由d=|xi-x2|

可得cP關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理即可得出結(jié)

論。

8.（2019廣東梅州11分）如圖，矩形OABC中，A（6,0）、C（0,

2a）、D（0,3?）,射線1過點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是1

和x軸正半軸上動點(diǎn)，滿足NPQO=60。.

(1)①點(diǎn)B的坐標(biāo)是；②NCAO=度；③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A

重合時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；(直接寫出答案)

(2)設(shè)OA的中心為N,PQ與線段AC相交于點(diǎn)M,是否存在點(diǎn)P,

使AAMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；

若不存在，請說明理由.

(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積

為S,試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍.

【答案】解：(1)①(6,273)o②30。③(3,373)0

(2)存在。m=0或m=3-6或m=2。

(3)當(dāng)?！獣r,

如圖1,OI=x,IQ=PI?tan600=3,

OQ=OI+IQ=3+x；

由題意可知直線1〃BC〃OA,

可得空=型=生=也」，

OQPODO3百3

.\EF=-(3+x),

3

此時重疊部分是梯形，其面積為:

14百4百

S=S梯形EFQO=5(EF+OQ>OC=TG+X)=^x+4百

當(dāng)3VX05時，如圖2,D

S=S梯形EFQO-SAHAQ=S梯形EFQO-,AH-AQ

=邪+4』—爭X_3)2=_

當(dāng)5VxW9時，如圖3,

15

S=-(BE+OA)OC=>/3a2——x)

23

=--X+12A/3O

3

當(dāng)X>9時，如圖4,

B3

1/187354百

=—?6----=----

綜上所述,

數(shù)關(guān)系式為:

^x+4^(O<x<3)

V3

-----x+-------x------(3<x<5)

232'7

S=4

一殛x+126(5<x49)

*>9)

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函

數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形。

【分析】（1）①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求

得點(diǎn)B的坐標(biāo)：

二?四邊形OABC是矩形，，AB=OC,OA=BC,

VA(6,0)、C(0,2^3),.,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(6,2G)。

②由正切函數(shù)，即可求得NCAO的度數(shù)：

VtanZCAO=—，：.ZCAO=30°

OA63o

③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐

標(biāo)；如圖：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時，過點(diǎn)P作PELOA于

E,

VZPQO=60°,D(0,3百)，...PE=36。

.,.OE=OA-AE=6-3=3,.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,36)。

(2)分別從MN=AN,AM=AN與AM=MN去分析求解即可

求得答案：