概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

加油，小亮!

一一概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

三角函數(shù)

1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖

形。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條

射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個(gè)零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為

終邊。

2、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非

負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)

軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限。

3.終邊相同的角的表示：

(1)?終邊與0終邊相同(二的終邊在6終邊所在射線上)oa=6+2k兀(kGZ),注意：

相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.如與角-1825。的終邊相同，且絕對(duì)

值最小的角的度數(shù)是，合弧度。

(答：—25°；--7T)

36

(2)a終邊與。終邊共線(a的終邊在。終邊所在直線上)oa=e+k《keZ).

(3)。終邊與夕終邊關(guān)于x軸對(duì)稱0a=—6+2左乃(左wZ).

(4)a終邊與。終邊關(guān)于y軸對(duì)稱oa=乃-。+2%乃(左wZ).

(5)a終邊與。終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱＜=＞a="+6+2左萬(wàn)(左GZ).

(6)a終邊在x軸上的角可表示為：a=k兀、keZ?,a終邊在y軸上的角可表示為：

a=U+-,keZ；a終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：a=竺，左eZ.如a的終邊與巴的

226

終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則。=。

(答：2版■+工，左eZ)

4、。與會(huì)的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若a是第二象限角，

則里是第象限角

2

(答：一、三)

5.弧長(zhǎng)公式：/=|々|及，扇形面積公式：5=匆=小。|后，1弧度(irad)a57.3°.如

已知扇形A0B的周長(zhǎng)是6cm,該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。

(答：2cm2)

6、任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)a是任意一個(gè)角，P(xj)是a的終邊上的任意一點(diǎn)

(異于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是r="f+建＞0,那么sine=*,cosa=土，

rr

tana=上,(了h0),cota=—(y^O),seca=-(x^0),csca=—(y0)o三角函數(shù)值只

xyxy

與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。如

(1)已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,—12),貝ljsina+cosa的值為。

(答：-工)；

13

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（2）設(shè)。是第三、四象限角，5足。=冽心，則加的取值范圍是_______

4-777

3

(答：(-1,1));

(3)若Isina|+cosa=0,試判斷cot(sina)-tan(cosa)的符號(hào)

sina|cosa|

(答：負(fù))

7.三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP”站在x軸上（起點(diǎn)在x軸上）”、余弦線0M“躺在

x軸上（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”、正切線AT“站在點(diǎn)4（1,0）處（起點(diǎn)是

/）”.三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解

三角不等式。如

7T

（1）若——<0<0,則sin。,cos。,tan。的大小關(guān)系為

8

(答：tan夕<sin。<cos0)；

（2）若a為銳角，則a,sina,tana的大小關(guān)系為

(答：sina<a<tana)；

(3)函數(shù)y=Jl+2cosx+lg(2sinx+方)的定義域是

（答：（2左左一g,2左左+告］（左eZ））

8.特殊角的三角函數(shù)值:

30°45°60°0°90°180°270°15°75°

2A/6—>/2

sina也出010-1

2V~T44

A/3指+后

cosa在10-10

T2244

A/3

tana1V3002-V32+V3

T/z

V3

cotaV31002+V32-V3

T//

9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1,1+tan2a=sec2a,l+cot2a=esc2a

（2）倒數(shù)關(guān)系:sinaesca=1,cosaseca=1,tanacot?=1,

sinacosa

（3）商數(shù)關(guān)系:tana=----,cota=-------

cosasina

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其

它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可

能地壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)

拓基本關(guān)系式，而是先根據(jù)葡而范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用解直角三角形求出

此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。如

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(1)函數(shù)y=sina+tana的值的符號(hào)為_(kāi)

cosa+cota

(答：大于0)；

(2)若0W2xW2乃，則使Vfir^=cos2x成立的x的取值范圍是

JT3

(答：［0，KU.肛一);

44

(3)已知sin6=^--,cos^=-—―(―<0<71),則tan6=____

加+5加+52

（答：-上）；

12

z.xtana.sinar-3cos?.

(4)已知------=-1,貝IJ-------------=___；s2in-a+sinacosan+2=____

tana-1sina+cosa

(答：-2；-

35

(5)已知sin200'=Q,貝Utan160°等于

（答：B）；

(6)已知/(cosx)=cos3x,則>(sin30°)的值為

（答：一1）。

10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（&〃+a）的本質(zhì)是：奇變偶不變（對(duì)左而言，指左取奇數(shù)或

2

偶數(shù)），符號(hào)看象限（看原函數(shù)，同時(shí)可把a(bǔ)看成是銳角）.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角

的三角函數(shù)值，其一般步驟：（1）負(fù)角變正角，再寫成2k萬(wàn)+a,0Ma<2萬(wàn)；（2）轉(zhuǎn)化為銳

角三角函數(shù)。如

Qjr7a

（1）cos—+tan（---）+sin21?的值為

46

（答：—

23

4

（2）已知sin（5400+0）=——，則cos（a—2700）=,若a為第二象限角，則

[sin（180°-a）+cos（a-3600）『_

tan（l80°+a）

(答：，4；3)

5100

11、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:

sin(a±/)=sinacos0±cosasin0—夕咱」sin2a=2sinacosa

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cos(a±0)=cosacos夕干sinasin0―令>cos2a=cos2a-sin2a

J=2cos2a-\=l-2sin2a

tana±tan)3l+cos2。

tan(a±〃)2=>cos~a=-----------

l+tanatan(32

.2l-cos2a

sina=-----------

2

32tana

tan2a=----------

1一tana

如（1）下列各式中，值為［的是

2

71兀

A、sin15Qcos150B、cos2-----sin-2一

1212

tan22.5°1+cos30°

C、D、

\-tarr22.5°2

（答：C）；

命題P：tan（A+B）=0,命題Q：tanA+tan5=0,則P是Q的

A、充要條件B、充分不必要條件

C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件

（答:O；

3

(3)已知sin(a-p)cosa-cos(a-p)sina=—,那么cos的值為

(答：—);

25

1V3

(4)；的值是.

sin10°sinSO

（答：4）；

⑸已知tanll0°=a,求tan50°的值（用a表示）甲求得的結(jié)果是乙乙求得

1+島

I"

的結(jié)果是L2,對(duì)甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是

2a

（答：甲、乙都對(duì)）

12.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即

首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心!

第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记?/p>

有：

（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、

兩角與其和差角的變換.如a=（a+〃）一￡=（a—￡）+￡,2a=（a+￡）+（a—￡）,

2a=（￡+a）-（力一a）,a+￡=2."；）,=（a—胃―佟―、）等）,如

（1）已知tan（a+/?）=2,tan（^,那么tan（a+生）的值是_____

5444

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(2)已知0<夕<、<&<萬(wàn)，SLCos(a-^)--^,sin(^-/3)-^,求cos(a+￡)的

值

(答:塾)；

729

3一

(3)已知a,/?為銳角，sin<z=x,cos/?=y,cos(a+/)=-y,則y與x的函數(shù)關(guān)系

為_(kāi)_____

7I----44

(答：y=——Vl-x2+—x(—<x<1))

555

(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)，如

(1)求值sin5O0(l+VJtanlO°)

(答:1);

(2)已知sinacosa二i,tan(.—=)=-2,求tan(/?-2a)的值

1-cos2a3

(答：

8

(3)公式變形使用(tana土tan￡如

(1)已知A、B為銳角，且滿足tan/tan5=tan/+tanB+1,則cos(/+B)=

(2)設(shè)A48C中，tanA+tan5+V3=V3tanAtanB,sinAcosA=——，則此三角形是

4

—三角形

(答：等邊)

(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降幕公式：cos，aJ+COS2-sii?a=匕咨區(qū)與升暴公

22

式：1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a)□如

(1)若ae(乃」乃)，化簡(jiǎn)J'+'cos2a為

2V22V22

(答：sin-)；

2

(2)函數(shù)f(x)=5sinxcosx-5V3cos1x+gxeR)的單調(diào)遞增區(qū)間為

77,

(答：[k7r-—,k7c^—](keZ；)

⑸式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。如

/4、/.、sin。+tana

QI)tanof(cosa-sma)+----------

cota+esca

(答：sina)；

1x

1,?I+tan—a

(2)求證：小=-------1

l-2sin2-1-tan—

22

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2cos4x-2cos2x+—

(3)化簡(jiǎn)：----------------乙

2tan(--x)sin2(—+x)

44

(答：—cos2x)

2

(6)常值變換主要指“1”的變換(1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx?cotx

3

=等)，如已知tano=2,求sin?a+sinacosa-3cos%(答：一),

F25

(7)正余弦“三兄妹一sinx±cosx、sinxcos"的內(nèi)存聯(lián)系---“知一求二”，如

(1)若sinx±cosx=Z,貝ijsinxcosx=

(答：士力^)，特別提醒：這里海［-血,行］;

(2)若a￡(0,4),sina+cosa=;，求tana的值。

(答：一七3；

3

(3)已知4112a+2sin。=kg<a<。),試用上表示sina-cosa的值

1+tana42

(答：

13、輔助角公式中輔助角的確定：asinx+6cosx=+6,sin(x+6)(其中6角所在

的象限由a,6的符號(hào)確定，。角的值由tan6=］確定）在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用。

如

(1)若方程sinx-百cosx=c有實(shí)數(shù)解，貝k的取值范圍是.

（答：［—2,2］）；

(2)當(dāng)函數(shù)y=2cosx-3szRx取得最大值時(shí)，tanx的值是.

(3)如果/(x)=sin(x+°)+2cos(x+°)是奇函數(shù)，則tan°=_

（答：一2）；

31

(4)求值:+64sin220°

sin220°cos220°

（答：32）

14、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx圖象的作圖

方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0,工，肛網(wǎng),2萬(wàn)的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連

22

接起來(lái)，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。

15^正弦函數(shù)、=sinx（xeR）、余弦函數(shù)了=cosx（xeR）的性質(zhì)：

（1）定義域：都是R。

（2）值域：都是［-1,1］,y=sinx,當(dāng)x=2左左+'（左eZ）時(shí)，y取最大值1；當(dāng)

x=2左左+工-（左￡Z）時(shí)，?取最小值-1;對(duì)^=?0$不，當(dāng)工二2左乃（左EZ）時(shí)，歹取最大值

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1,當(dāng)x=2左乃+乃(左eZ)時(shí)，y取最小值一1。如

(1)若函數(shù)y=a-6sin(3x+令的最大值為g,最小值為-;，則a=_,h-_

(答：a==1或6=-1)；

(2)函數(shù)/(x)=sinx+V^cosx(xe[-y,—])的值域是

(答：[—1,2])；

(3)若2a+￡=%，貝Uy=cos￡-6si〃a的最大值和最小值分另U是、

(答：7；-5)；

(4)函數(shù)/")=2(：05*5m(％+；1')-\/§'51112》+5山工(：05%的最小值是,此口寸X=

(答：2；kK+^k&Z))；

(5)己知sinacos，=；,求，=sin￡cos(z的變化范圍

(答：?jiǎn)醈);

(6)若sin2a+2sin21=2cosa,求y=sin-a+siMP的最大、最小值

(答：Vmax=l，Vmin=2收-2)

o特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？

(3)周期性：?^=sinx,y=cosx的最小正周期都是2乃；②/(x)=4sin(ox+3)和

/(x)=Zcos((yx+°)的最小正周期都是7=——。如

㈤

⑴若小萬(wàn)吟，則/⑴+八2)+〃3)+-“(2。。3)=—

(答：0);

(2)函數(shù)/(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x的最小正周期為

(答：萬(wàn))；

TCTt

(3)設(shè)函數(shù)/(X)=2sin(5X+1)，若對(duì)任意xeR都有/(xj</(x)W/(x2)成立，則

|七I的最小值為

(答：2)

(4)奇偶性與對(duì)稱性:正弦函數(shù)、=sinx(xGR)是奇函數(shù),對(duì)稱中心是(0⑼(左6Z),

對(duì)稱軸是直線x=上左+、(4eZ)；余弦函數(shù)y=cosx(xeR)是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是

(6■+5,())左eZ),對(duì)稱軸是直線x=41("eZ)(正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過(guò)最高點(diǎn)或

最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與x軸的交點(diǎn))。如

(1)函數(shù)歹=si〃[當(dāng)-2x)的奇偶性是、

(答：偶函數(shù));

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(2)已知函數(shù)_/Yx)=ax+6si〃3x+l■力為常數(shù))，且〃5)=7,則〃一5)=

(答：一5)；

(3)函數(shù)y=2cosx(sinx+cosx)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是、

(答：(竺一土,l)(keZ)、x=-+-(keZ))；

2828

(4)已知為偶函數(shù)，求。的值。

(答:e=k兀林77,(kwz))

(5)單調(diào)性：y=sinx在2k?！猤2k兀eZ)上單調(diào)遞增，在

2^+1,2^+y(左eZ)單調(diào)遞減；y=cosx在[2版',2Qr+句(左eZ)上單調(diào)遞減，在

[2而+肛2%%+2旬(％cZ)上單調(diào)遞增。特別提醒，別忘了下€Z!

16、形如y=Zsin(s;+夕)的函數(shù)：

(1)幾個(gè)物理量：A一振幅；,/'=’一頻率(周期的倒數(shù))；cox+夕一相位；0—初

相；

(2)函數(shù)y=Zsin((yx+°)表達(dá)式的確定：A由最值確

周期確定；夕由圖象上的特殊點(diǎn)確定，如

jr_

/(x)=Asm(a)x+<p)(A>0,<y>0,|^|<—)的圖象如圖所示,

15IT

=(答：f(x)=2sin(-^-x+5))；

(3)函數(shù)y=4sin(ox+9)圖象的畫法：①“五點(diǎn)法”---設(shè)X=5+°,令X=0,

2,肛且,2萬(wàn)求出相應(yīng)的x值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象；②圖象變換法：

22

這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法。

(4)函數(shù)y=Zsin((yx+Q)+%的圖象與y=sinx圖象間的關(guān)系：①函數(shù)y=sinx的圖

象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左(夕>0)或向右(°<0)平移|夕|個(gè)單位得歹=sin(x+°)的圖

象；②函數(shù)y=sin(x+0圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的工，得到函數(shù)

G)

y=sin?x+e)的圖象；③函數(shù)y=sin((yx+e)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A

倍，得到函數(shù)y=NsinOx+9)的圖象；④函數(shù)y=，sin?x+°)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐

標(biāo)向上(左>0)或向下(左<0),得到尸Nsin?x+°)+左的圖象。要特別注意，若由

y=sin(s)得到y(tǒng)=sin3x+°)的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移|當(dāng)個(gè)單位，如

CD

(1)函數(shù)y=2sin(2x-2)-l的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的圖象？

4

(答：y=2sin(2x-巧-1向上平移1個(gè)單位得y=2sin(2x-馬的圖象,再向左平移

-44

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[個(gè)單位得y=2sin2x的圖象，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍得夕=2sinx的圖象，最后將縱

坐標(biāo)縮小到原來(lái)的;即得y=sinx的圖象)；

(2)要得到函數(shù)y=cos(|-?)的圖象，只需把函數(shù)歹=sin]的圖象向—平移—

個(gè)單位

(答：左；-)；

2

(3)將函數(shù)y=2sin(2x-g)+l圖像，按向量￡平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

這樣的向量是否唯一？若唯一，求出入若不唯一，求出模最小的向量

(答：存在但不唯一，模最小的向量5=(-工,-1));

6

(4)若函數(shù)f(x)=cosx+|sinx|(xe[0,2^])的圖象與直線y=%有且僅有四個(gè)不同的

交點(diǎn)，則％的取值范圍是

(答：口,加))

(5)研究函數(shù)y=Nsin(6zx+e)性質(zhì)的方法：類比于研究y=sinx的性質(zhì)，只需將

y-Asin(?x+(p)中的<yx+e看成y=sinx中的x，但在求y=/sin3x+。)的單調(diào)區(qū)間時(shí),

要特別注意A和3的符號(hào)，通過(guò)誘導(dǎo)公式先將?；?。如

(1)函數(shù)_y=s加r-2x+|j的遞減區(qū)間是

577"

(答：[k7V--7ltk7l：-\--^](k￡Z));

(2)丁=/咕V。5(^+工)的遞減區(qū)間是

534

337r

(答：[6k?！f(wàn),64〃+——](kwZ))；

44

(3)設(shè)函數(shù)f(x)=4sin(3x+夕)(4w0⑷>0,-y<^<y)的圖象關(guān)于直線x=/對(duì)稱，它

的周期是萬(wàn)，則

A、/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,g)

B、/(x)在區(qū)間哈,爭(zhēng)上是減函數(shù)

C、“X)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是堂,。)

D、/(x)的最大值是A

(答：C)；

(4)對(duì)于函數(shù)/(x)=2sin(2x+R給出下列結(jié)論：

①圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；

②圖象關(guān)于直線x=2成軸對(duì)稱；

12

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③圖象可由函數(shù)_y=2sin2x的圖像向左平移。個(gè)單位得到

;④圖像向左平移合個(gè)單位，即得到函數(shù)丁=2cos2x的圖像。

其中正確結(jié)論是

（答：②④）；

（5）已知函數(shù)/（x）=2sin3x+0）圖象與直線y=l的交點(diǎn)中，距離最近兩點(diǎn)間

的距離為工，那么此函數(shù)的周期是

3-------

（答：兀）

17、正切函的圖象和性質(zhì)：

（1）定義域：｛x|xw/+左4#wZ｝。遇到有關(guān)正切函數(shù)問(wèn)題時(shí)，你注意到正切函數(shù)

的定義域了嗎？

（2）值域是R,在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值；

（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是萬(wàn)，它與直線y=“的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離

是一個(gè)周期萬(wàn)。絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：?般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析

式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自

變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定。如yusin。/=卜inx|的周期都是），但y=卜山工|

+|cosx|的周期為1,而y=|2sin（3x-7）+；|）=|2sin（3x-^）+21,y=\tanx|的周期不變;

（4）奇偶性與對(duì)稱性：是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是（與,O）HGZ）,特別提醒：正（余）

切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線與x軸的交點(diǎn)，

但無(wú)對(duì)稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。

（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（-1+而卷+版■]UwZ）內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意

在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性。如下圖：

y=4sin3x+0)4tan(69Xf+(p)

:o

Zb：/f7F

x=x2

'.'鄰中心比-匕1=772軸k；xj=772

鄰中心1x3.41二T/2鄰漸近線必-必修了

★無(wú)對(duì)稱軸

無(wú)為對(duì)稱軸：無(wú)為對(duì)稱中心:

無(wú)窮對(duì)稱中心:任意一條y軸的垂戰(zhàn)與正切

由尸0確定由產(chǎn):A或確定由y=0或y無(wú)意義確定的效圖象都相交，旦粕鄰兩

支點(diǎn)的距離為一個(gè)周期！

18.三角形中的有關(guān)公式：

（1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為"，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性，解題可

不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角

加油，小亮！

三角形O三內(nèi)角都是銳角尸三內(nèi)角的余弦值為正值O任兩角和都是鈍角。任意兩邊

的平方和大于第三邊的平場(chǎng)一

(2)正弦定理：』=&==￡方=2火(火為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦

sin/smBsine

定理的一些變式：⑺a:6:c=sinN:sin8:sinC；(n)sin^=—,sinS=—,sinC

''')2R2R

=￡；(訪)。=2火sin46=2Rsin8/=2HsinC；②已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形

27?

時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.

(3)余弦定理：/="+c2—26ccos4cosZ=心土上等，常選用余弦定理鑒定三

2bc

角形的形狀.

(4)面積公式：S=a*=%bsinC=/(4+b+c)(其中r為三角形內(nèi)切圓半徑).

如AA8C中，若sii?Acos2B-cos2Asi/Bnsii?。，判斷AA3C的形狀(答：直角三

角形)。

特別提醒：(1)求解三角形中的問(wèn)題時(shí)，一定要注意/+8這個(gè)特殊性：

Z+8=)-C,sin(Z+6)=sinC,sinH^g=cosg；(2)求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的

問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。如

(1)A46C中，A、B的對(duì)邊分別是外人，且A=60,,4=6,6=4,那么滿足條件

的A48cA、有一個(gè)解B、有兩個(gè)解C、無(wú)解D、不能確定

(答：C)；

(2)在A48C中，A>B是s山成立的條件

(答:充要);

(3)在A/48C中，(\+tanA)(\+tanB)^1,則/映2.血。=

(答：」)；

2

(4)在AABC中，a,b,c分別是角A、B、C所對(duì)的邊，若

(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,貝ljZC=

(答：60°)；

2i2_2

(5)在A48C中，若其面積S=^~=二，則NC=

4V3

(答:300)；

(6)在A48C中，4=60°,6=1,這個(gè)三角形的面積為百，則A48c外接圓的直徑

是_______

(答：^9);

3

(7)在AABC中，a、b、c是角A、B、C的對(duì)邊，"百,cosN=》則cos?史￡=,

32—

的最大值為

(8)在aABC中AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是_

加油，小亮!

（答：0＜。4三）；

6

（9）設(shè)0是銳角三角形ABC的外心，若/C=75。，且的面積

滿足關(guān)系式%os+S^oc=6^網(wǎng)，求乙4（

答：45°）.

19.反三角函數(shù)：（1）反三角函數(shù)的定義（以反正弦函數(shù)為例）：arcsin”表示一個(gè)角，

這個(gè)角的正弦值為且這個(gè)角在-工二內(nèi)（-14041）。（2）反正弦arcsinx、反余弦

L22」

arccosx、反正切arctanx的取值范圍分別是乃］,（《,夕.

在用反三角表示兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角、直

線的傾斜角、人到力的角、（與的夾角以及兩向量的夾角時(shí)，你是否注意到了它們的范

圍？（o,g,［o,g,【o,幻，［o㈤，［0,力,［0,9，血刃?

20、求角的方法：先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個(gè)三角函數(shù)（要注意選

擇，其標(biāo)準(zhǔn)有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三

角函數(shù)值）。如

（1）若。,萬(wàn)￡（0,乃），且tana、tan尸是方程V-5x+6=0的兩根，則求a+尸的值

(答:—);

4

(2)A/18C中，3sin/+4cos8=6,4sin8+3cosZ=1,則NC=

(答：

3

(3)若0Wa<￡<y<2］且+sin(3+sin7=0,cosa+cos(3+cos/=0,求/?一a

的值

(答：—).

概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

數(shù)列

數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）

的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如

（1）已知％=——（〃eN*）,則在數(shù)列｛q｝的最大項(xiàng)為—

n+156

（2）數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)為%其中6均為正數(shù)，則%與4M的大小關(guān)系為

加+1

加油，小亮!

(答：4<an+l)；

(3)已知數(shù)列｛q｝中，%=/+加，且0｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)幾的取值范圍

(答：2>-3)；

(4)一給定函數(shù)y=/(x)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意為e(O,l),由關(guān)系式

。向=/(4)得到的數(shù)列缶“｝滿足4用>eN*)，則該函數(shù)的圖象是()

(答：A)

等差數(shù)列的有關(guān)概念：

1.等差數(shù)列的判斷方法：定義法an+