2015年高考真題與模擬題分類匯編：B單元函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

數(shù)學(xué)

B單元函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

B1函數(shù)及其表示

1,x>0,

6.Bl[2015?湖北卷]已知符號函數(shù)sgnx=<0,x=0,是R上的增函數(shù)，g(x)=/x)

1?x<0.

-jkax\a>\),則()

A.sgn[g(x)]=sgnx

B.sgn[g(x)]=—sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[/(x)]

D.sgn[g(x)]=-sgn[/(x)]

6.B[解析]不妨令y(x)=x+l,a—2,則g(x)=/(x)—/(2x)=-x,故sgn[g(x)]=sgn(一

x),排除A；sgn[/(%)]=sgn(x+1)sgn[g(x)],又sgn[g(x)]#—sgn[/(x)],所以排除C,D.故

選B.

10.Bl[2015?湖北卷]設(shè)xGR,田表示不超過x的最大整數(shù).若存在實(shí)數(shù)/,使得田=1,

[自=2,…，[門=〃網(wǎng)町感主，則正整數(shù)〃的最大值是()

A.3B.4

C.5D.6

10.B[解析]團(tuán)=1,則1W/V2,①

的=2,則2W,V3,②

顯然存在[啦，小)使得田=1與的=2同時(shí)成立.

[a=3,則3W『<4,即3；W/<4；,(§)

因?yàn)?；<3氐4；<3；,所以存在3卜同使得①②③同時(shí)成立.

“]=4,則4W/v5,則4：Wf<5〃,(4)

同理，可以求得使得①②③④同時(shí)成立.

[『]=5,貝II5W/V6,BP5〃Wfv6上,⑤

因?yàn)?33/所以5卜渴與3卜尾的交集為空集.

所以〃的最大值是4.故選B.

10.Bl、B6[2015?山東卷]設(shè)函數(shù)4)=v'則滿足加0))=2/⑷的a的取值范

2，G1.

圍是()

「2J

A.y1B.[0,1]

C.I，+8)D.［1,+°0)

2

10.C［解析］當(dāng)a<l時(shí)，危)=34一1,若用砌=/0,則即3aTel,

當(dāng)。力時(shí)，段)=2"22,此時(shí)以助=2?辦

綜上所述，心(

7.Bl［2015?浙江卷］存在函數(shù)/(x)滿足：對于任意x￡R都有()

A.y(sin2x)=sinxB./sin2x)=x2+x

C.7(X2+1)=?+1|D.XX2+2X)=|X+1|

7.D［解析］對選項(xiàng)A中的函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，得次0)=0,當(dāng)x=1■時(shí)，得<0)=1,

7TH2

矛盾；選項(xiàng)B中的函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，得｛0)=0,當(dāng)工=5時(shí)，得/(0)=丁+了，矛盾；選

項(xiàng)C中的函數(shù)，當(dāng)x=時(shí)，得<2)=0,當(dāng)x=l時(shí)，得｛2)=2,矛盾；選項(xiàng)D中的函數(shù)

變形為人(工+1)2-1)=4(x+1)2-1+1,令/=(X+1)2-1可知，/(。=@+1滿足要求.

r2

X—1———3,Y,

10.Bl、B3［2015?浙江卷］已知函數(shù)外)=『X':'則,/［/(-3)］=,

Jg(x2+1)>x<l,

.危)的最小值是.

10.02巾一3［解析］./(-3)=lg10=1,

2

./［/1-3)］=4)=0.當(dāng)》》1時(shí)，》+1322m-3，當(dāng)且僅當(dāng)x=姬時(shí)，等號成立；當(dāng)

x<l時(shí)，lg(f+l)》lg1=0.故最小值為26-3.

B2反函數(shù)

B3函數(shù)的單調(diào)性與最值

21.B3、B14［2015?安徽卷］設(shè)函數(shù)/(')=/一改+6.

(1)討論函數(shù)次sinx)在(一方，5內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值；

(2)記/(x)=x2—。g+仇，求函數(shù)］/(sinx)-%(sinx)|在一7，才上的最大值。；

2

(3)在(2)中，取的=仇=0,求z=6一會滿足條件Z)W1時(shí)的最大值.

2..JlJI

21.解：(l)/(sinx)=sinx—asinx+A=sinx(sinx-a)+b,一爹小予

JlJl

［/(sinx)了=(2sinx-a)cosx,—_y<x<_y.

JIH

因?yàn)橐涣恕垂ぁ吹詂osx>0,—2<2sinx<2.

①當(dāng)。<一2,b￡R時(shí)，函數(shù)次sinx)單調(diào)遞增，無極值.

②當(dāng)。22,b￡R時(shí)，函數(shù)；(sinx)單調(diào)遞減，無極值.

③對于一2〈亦2,在(一方，方)內(nèi)存在唯一的刈，使得2sinx()=a

JT,

當(dāng)一爹VrWxo時(shí)，函數(shù)義sinx)單調(diào)遞減：

當(dāng)x()Wxv爹時(shí)，函數(shù)<sinx)單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)一2q<2,6￡R時(shí)，函數(shù),/(sinx)在劭處有極小值刎1%0)=巖)=6—點(diǎn).

Hji

⑵當(dāng)一爹WxW爹時(shí),|/(sinx)~7o(sinx)|=|(a0—a)sinx+6一瓦|W|a—0+也一瓦|,

JI

當(dāng)(夕0—4)(6—瓦)20時(shí)，取了=爹，等號成立，

當(dāng)(夕()一°)3—仇)<0時(shí)，取工=一方，等號成立.

rJIH-i

由此可知，］/(sinx)一%(sinx)|在-y,5■上的最大值。=|4一。0|十族一瓦|.

2

(3)04即為同十|加1,此時(shí)0W/W1,TWbWl,從而得z=b一彌W1.

取。=0,b=l,則同+|b|Wl,并且z=b一亍=1,

2

由此可知，z=6-會滿足條件。W1的最大值為1.

22.B3、M3、E7［2015?湖北卷］已知數(shù)列｛為｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，b“=〃(l+/“(〃GN+),

e為自然對數(shù)的底數(shù).

⑴求函數(shù)/(x)=l+xT的單調(diào)區(qū)間，并比較。+力”與e的大??；

(2)計(jì)算9,哈，怨9,由此推測計(jì)算她二%的公式，并給出證明；

(3)令c“=(ai(72數(shù)列｛%｝，｛<??“｝的前〃項(xiàng)和分別記為S”Tn,證明：T?<eS?.

22.解：(1)/)的定義域?yàn)?-8,+co),/@)=1一爐.

當(dāng)/(x)>0,即x<0時(shí)，兀v)單調(diào)遞增；

當(dāng)/(x)vO,即x>0時(shí)，/)單調(diào)遞減.

故兀v)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8).

當(dāng)x>0時(shí)，加)勺(0)=0,即l+x〈e*.

令x=7得1+L即(l+/〈e.①

(2)鋁1X0+；)'=1+1=2；

l+￡)=(2+1)2=32；

bib2b3皿修=3?X3XI+3J=(3+1)3=4±

4闋2。3。1。2的

=(〃+l)〃.②

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②.

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=右邊=2,②成立.

(①假設(shè)當(dāng)〃=上時(shí)，②成立，即鬻三j=(%+i)*-

當(dāng)〃=左+1時(shí)，瓦+1=(左+1)。+已力?！?1，由歸納假設(shè)可得

.如=6+1)M+1)(1+士了"=(%+2)什L

心&+ia\a2--akak+i\R十1，

所以當(dāng)〃=k+1時(shí),，②也成立.

根據(jù)⑴(ii)，可知②對一切正整數(shù)〃都成立.

(3)證明：由c”的定義，②，算術(shù)-兒何平均不等式，兒的定義及①得

T"=q+c2+c3H----Fc?

=(&1)7+(。1。2月+3。2a3厲"1----卜(。1。2…即匯

(Z)i)j(8岳)(bib2b3)1(b也2…[

~~+3+4〃+1''

既6+62T-+歷+—..bi+仇-1

1X2+2X3+3X4+…+n(?+1)

「1,1」,1~|「1

=/,IL1X2+2X3+…+〃(〃+1)J+42X3+

1,,1~|1

3X4+-"+〃(〃+1)]+…+。”*〃(〃+1)

=6(1一言+嗚一自+…+

“《一曰4+自+…+}=[1+{)0+(1+,02+…+0+￡)。“<則+犯+…+

e<7〃=eS〃,

即T?<eS?.

2*—q,X<1,

14.B3,B5[2015?北京卷]設(shè)函數(shù)/)=，/、/、、、，

4(X-a)(x—2“),x?1,

(1)若a=\,則/(x)的最小值為；

⑵若危)恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

口、2—1,x<i,

14.⑴—1(2后1戶[2,+8)[解析]⑴當(dāng)ki時(shí)，於)=小_]2葉8,當(dāng)

%<1時(shí)，-當(dāng)x2l時(shí)，.危)=4?-12x+8在區(qū)間[1,可上單調(diào)遞減，在區(qū)間

+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=|時(shí)，y(x)min=/(3=4X0-12X,+8=-1.

(2)當(dāng)aWO或a22時(shí)，")=2*-a,%<1與x軸無交點(diǎn)，故此時(shí),4x)=4*—3以+202),

與x軸應(yīng)有2個交點(diǎn)，

T67>1,

所以產(chǎn)解得心1,故此時(shí)心2.

/(I)20,

當(dāng)0<a<2時(shí)，兀0=2'—a,x<l與x軸有1個交點(diǎn)，

故此時(shí)兀0=4(》2—3方+2/),x2l與x軸應(yīng)有1個交點(diǎn)，

f/(l)=0,

111

所以《3或41)<0,解得?；?<加1,即5一<1.

呼V］ZZ乙

綜上可知，a的取值范圍為3，l)u［2,+°°).

5.B3、B4、B7［2015?湖南卷］設(shè)函數(shù)<x)=ln(l+x)—ln(l—幻，則兒》)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

5.A［解析］由已知可得，")=ln1^=hrjf——1，歹=7^二一1在(。，1)上為增函數(shù)，

IX1X1X

故y=Hx)在(0,1)上為增函數(shù).又大-x)=ln(l—x)—ln(l+x)=一/)，故y=/(x)為奇函數(shù).

14.B3、B6［2015?山東卷］已知函數(shù)/)=丁+b(a>0,a￥l)的定義域和值域都是［-1,

0］,則o+b=.

［解析］若0<a<l,則>(x)=a'+6(a>0,a#l)在區(qū)間［-1,0］上為減函數(shù)，即

a'+/>=0,a—~,

解得12

a°+b=—l,

.6=—2；

a'+6=—1>

若a>l,則/)="+6(a>0,aWl)在區(qū)間［-1,0］上為增函數(shù)，即,,人無解.

a0+o=0>

,a+6=3-2=

15.B3,B12［2015?四川卷］已知函數(shù)<x)=2',g(x)=f+以(其中aWR).對于不相等

,…皿、"/(X1)—/(%2)g(X1)—g5)

的頭數(shù)X1，X2，設(shè)〃?一，n-.

X\—X2XI-%2

現(xiàn)有如下命題：

①對于任意不相等的實(shí)數(shù)為，句，都有〃》0；

②對于任意的。及任意不相等的實(shí)數(shù)X”X2,都有〃>0；

③對于任意的“，存在不相等的實(shí)數(shù)修，必，使得m=〃；

④對于任意的。，存在不相等的實(shí)數(shù)X”%2>使得力=一〃.

其中的真命題有(寫出所有真命題的序號).

15.①④［解析］對于①，因?yàn)?(》)=24112>()恒成立，故①正確.

對于②，取。=-8,則gXx)=2x-8,當(dāng)X1,》2<4時(shí)，〃<0,②錯誤.

對于③，令/(x)=g'(x)，即2*ln2=2x+a,

記h(x)=2Aln2-2x,則h'(x)=2v(ln2)2-2,

存在Xo€(2,3),使得代吟=0,可知函數(shù)〃(x)先減后增，有最小值.

因此，對任意的a,〃z=〃不成立，③錯誤.

對于④，由/(x)=-g'(x)，#2xln2=-2x-a.

4h(x)=2vln2+2x,則"(x)=2*(ln2)?+2〉0恒成立，即〃(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)+8時(shí)，h(x)f+8,

當(dāng)X->一8時(shí)，〃(X)f-8,

因此對任意的內(nèi)存在直線歹=-。與函數(shù)力(X)的圖像有交點(diǎn)，④正確.

f2

10.Bl、B3[2015?浙江卷]已知函數(shù)兀0=[x'則./[/(-3)]=,

Jg(x2+1),x<l,

40的最小值是.

10.02y[2-3[解析]。-3)=lg10=I,

2

,/[/(-3)]=/(1)=0.當(dāng)》》1時(shí)，》+:-3226-3,當(dāng)且僅當(dāng)x=地時(shí)，等號成立；當(dāng)

x<\時(shí)，lg(x?+l)》lg1=0.故最小值為26-3.

18.B3、B5、E7[2015?浙江卷]已知函數(shù)“行=》2+公+6伍，6WR),記M(q,b)是

在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

(1)證明:當(dāng)間22時(shí)，M(a,6)-2；

(2)當(dāng)a,b滿足Ma,b)W2時(shí)，求同+網(wǎng)的最大值.

18.解：(1)證明：由兀0=@+9-+6—?，得/(x)的圖像的對稱軸為直線才=一名

由團(tuán)22,得一||21，故外)在[T，1]上單調(diào)，所以Ma,6)=max{]/(l)|,貿(mào)一1)|}.

當(dāng)a22時(shí)，由<1)一/(-1)=20，4,

得max伏1),-/-1)}>2,

即M(a,b)22.

當(dāng)aW-2時(shí)，由人一1)一/(1)=-2。24,

得max"(-l),—/(1)}22,即Ma,/>)22.

綜上，當(dāng)同22時(shí)，Ma,b)N2.

(2)由M(a,b)W2得,

|1+“+切=次1)|近2,|1-.+4=叭—1)|這2,

故|a+6|W3,口一6|W3,

[\a+b\fab》G,

由同+向=I,,,<n得

[\a-b\fab<0,

同+向<3.

當(dāng)a=2,6=—1時(shí)，同+|6|=3,且|?+〃一1|在[-1,1]上的最大值為2,

即M2,—1)=2.

所以同+|6]的最大值為3.

16.B3、B9[2015?重慶卷]若函數(shù)<x)=|x+l|+2|x—a|的最小值為5,則實(shí)數(shù)。=

16.-6或4［解析］當(dāng)a——\時(shí)，./(x)=3［x+l|20,不成立；當(dāng)a<-l時(shí)，段)=

—3x—1+2。，xWa,

X—1—267,a<x^—1,故<x)min=/(a)=-3Q—1+2Q=5,解得4=—6；當(dāng)口>一1時(shí)，y(x)

3x+1—2afx>—1,

f—3x—l+2a,xW—1,

=1—x+\+2a,—IvxWa,故<戲口出=7(。)=-4+1+2。=5,解得Q=4.

13x+l—2a,x>a,

B4函數(shù)的奇偶性與周期性

2.B4、B9［2015?安徽卷］下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()

A.y=cosxB.y=sinx

C.y=\nxD.^=x2+1

2.A［解析］y=cosx是偶函數(shù)，且cosx=0有實(shí)數(shù)解，A正確；y=sinx是奇函數(shù)，

B不正確；歹=lnx是非奇非偶函數(shù)，C不正確；y=f+l是偶函數(shù)，但1=。無實(shí)數(shù)解，

D不正確.

3.B4［2015?廣東卷］下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()

A.y=yj1+x2B.y=x+^

C.y=2”+.D.y=x+ex

3.D［解析］若枚)=y/l+f,則-一幻=:1+(—x)2==l+f=/x)a￡R),即A

是偶函數(shù)；若/(x)=x+J,則逐一x)=—x—J=—Q+F)=—7(x)(xW0)，即B是奇函數(shù)；若

人'Ji\

-)=2'+*,則<一x)=2r+F=*+2'=Xx)(xeR),即C是偶函數(shù).選D.

13.B4［2015?全國卷I］若函數(shù)<x)=xln(x+#a+x2)為偶函數(shù)，則a=________.____

13.1［解析］山/(—x)=/(x)得一xln(—x+)4+.P)=xln(x+ya+f),即

+ln(—x+/?7］=xln4=0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，因?yàn)榱瞬缓銥?,所以lna=0,

所以a—1.

2.B4［2015?福建卷］下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

A.y—y［xB.y=|sinx|

C.y=cosxD.y=e”一針

2.D［解析］對于A,函數(shù)卜=正的定義域?yàn)椋?，+8),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故既不是

奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；B,C選項(xiàng)為偶函數(shù)；對于D,設(shè)yU)=e*—晨。則其定義域?yàn)镽,

且負(fù)-x)=e、-e(r)=er-e*=-/(x),所以加)=百一屋、為奇函數(shù).故選D.

5.B3、B4、B7［2015?湖南卷］設(shè)函數(shù)；(x)=ln(l+x)-ln(l—尤)，則火》)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

5.A［解析］由已知可得，./(x)=ln1今=kr;±-1,y=TZ----1在(0，1)上為增函數(shù)，

1X1X1X

故7=危)在(0,1)上為增函數(shù).又.大一X)=ln(l—X)—ln(l+x)=—/(x),故y=/(x)為奇函數(shù).

7.B4、B6、B7［2015?天津卷］已知定義在R上的函數(shù)/(》)=2廣刈-1(加為實(shí)數(shù))為偶函

數(shù)，記aflogoM，6=4唯5),c=J(2m),則a,b,c的關(guān)小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

7.C［解析］因?yàn)楹瘮?shù)兀v)=2'-1是偶函數(shù)，所以加=0.a=y(logo.53)=2|logo53|-1

=21og23-l=2,Z>=7flog25)=21og25-1=4,。=火0)=2°—1=0,所以c<o〈b.

B5二次函數(shù)

]2'—%x<l,

14.B3,B5[2015?北京卷]設(shè)函數(shù)上)=，，、/.、、

[4(X—q)(X—2(7),x^l.

(1)若。=1,則人工)的最小值為;

(2)若外)恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

「1、[2A—1,x<l,

14.(1)-1(2(2-1JU[2,+8)[解析]⑴當(dāng)。=1時(shí)，/)=4X2_12『+8,當(dāng)

「3一

x<l時(shí)，-l<2x-\<\；當(dāng)時(shí)，/X)=4X2-12X+8在區(qū)間[1,引上單調(diào)遞減，在區(qū)間

|>+8)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)X=|時(shí),加溫1=_/(1)=4乂(|)一所X,+8=—1.

(2)當(dāng)aWO或a22時(shí)，寅x)=2廣1與x軸無交點(diǎn)，故此時(shí)/(幻=4(，一33+2/),

與x軸應(yīng)有2個交點(diǎn)，

所以<呼,1'解得心1,故此時(shí)心2.

/(I)20,

當(dāng)0<a<2時(shí)，,/)=2'—“，%<1與x軸有1個交點(diǎn)，

故此時(shí)<X)=4(X2—3公+2/),與x軸應(yīng)有1個交點(diǎn)，

/(I)=0,

所以或M)v。,解得或呆K1,即吳

綜上可知，a的取值范圍為;，1)U[2,+°°).

12.B5[2015?陜西卷]對二次函數(shù).危)=以2+加:+0(。為非零整數(shù))，四位同學(xué)分別給出

下列結(jié)論，其中有且只有?個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是()

A.-1是火x)的零點(diǎn)

B.1是兀v)的極值點(diǎn)

C.3是y(x)的極值

D.點(diǎn)(2,8)在曲線'=危)上

12.A[解析]若前三個選項(xiàng)中的結(jié)論正確，則<7—b+c=O,-.=1，a+b+c=3,

解得。=一本與。為非零整數(shù)矛盾，故錯誤的結(jié)論一定在前三個選項(xiàng)，選項(xiàng)D中的結(jié)論一

定正確；若選項(xiàng)A,B正確，則有a-b+c=O,一五=1，4a+2b+c=8,解得。=一不與

。為非零整數(shù)矛盾，故錯誤結(jié)論一定在選項(xiàng)A,B中，即選項(xiàng)C,D的結(jié)論正確；若選項(xiàng)A

-b~

正確，則a—b+c=O,=3,4〃+26+c=8,整理得a無實(shí)數(shù)解，與。為非零整數(shù)矛

盾，故錯誤的只能是選項(xiàng)A中的結(jié)論.

8.B5、B9[2015?天津卷]已知函數(shù)兀0=/、函數(shù)以幻=力一八2一工)，其

(%—2)2,x>2,

中b￡R.若函數(shù)y=/(x)—g(x)恰有4個零點(diǎn)，則b的取值范圍是()

A@,B(-8,9

c(o,3D?2)

2—12—x|,x20,

8-D[解析]m-x)=2-

[x,x<0,

V,x<0,(2+x,x<0.

即人2—x)=，x,0WxW2,而以)=?2—x,0WxW2,

4~x,x>2.[(x—2)2,x>2,

(X2+X+2,X<0,

所以<x)+y(2—x)=?2,0Wx<2，在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=Ax)+<2—x)，

[x2—5x+8,x>2.

y=b的圖像，如圖.要使y=/(x)—g(x)有4個不同的零點(diǎn)，只要上述兩個函數(shù)的圖像有4個

7_7

不同的交點(diǎn)即可，由于函數(shù)y=/(x)+y(2—x)的最小值為不因此不;*2.

18.B3、B5、E7［2015?浙江卷］已知函數(shù)/)=/+奴+仇。,6GR),記M(o,一是阿|

在區(qū)間［-1,1］上的最大值.

(1)證明:當(dāng)間N2時(shí)，M(a,b)22；

(2)當(dāng)a,6滿足M"，b)W2時(shí)，求囿+|6|的最大值.

18.解：⑴證明：由?=G+1)+。瑪，得/㈤的圖像的對稱軸為直線尸一索

由|a|22,得|一外21,故外)在［-1,1］上單調(diào)，所以M。，6)=max{|/0)|,貝一，}.

當(dāng)“22時(shí)，山-l)=2a24,

得max{/(l),—/(—1)}22,

即M(a,6)22.

當(dāng)aW—2時(shí)，由犬一1)一41)=一2。24,

得max(/(-l),—/(1)}22,即M。，

綜上，當(dāng)同》2時(shí)，M(a,6)22.

(2)由M(a,b)W2得,

|l+a+臼=次1)|近2,|1一。+臼=抬一1)|W2,

故|a+6|W3,|a—6|W3,

\\a+h\,ab^O,

由同+回VAI/<n得

［|<7—o|,ab<0,

冏+血W3.

當(dāng)a=2,6=—1時(shí)，同+|臼=3,且|?十左一1|在［-1,1］上的最大值為2,

即M2,-1)=2.

所以|。|+用的最大值為3.

B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

3x~1,x<l,

10.Bl、B6［2015,山東卷］設(shè)函數(shù)/)=則滿足的a的取值

2\

范圍是()

A?LB.[0,1]

C,修+8)D.[1,+8)

2

10.C[解析]當(dāng)”<1時(shí)，<0=3〃-1,若用(4))=2/⑷，則處7)21,即30—121,

當(dāng)時(shí)，九0=2">2,此時(shí)加0)=2刎，

綜上所述，信東2

14.B3、B6［2015?山東卷］已知函數(shù)人工)=，+6(。>0,aWl)的定義域和值域都是［-1,

0］,貝lja~\-b=.

3_

14.—之［解析］若0<戶1,則於)=，+貼>0,。工1)在區(qū)間［T,0］上為減函數(shù)，即

G+6=0,

“。+-7,網(wǎng)a—

./>=—2；

a~'+b=~\,

若a>l,則代尸很+貼>0,a￥l)在區(qū)間［-1,0］上為增函數(shù),即，0.,c無解.

口°+6=0,

..,1,3

..a+b—^—2——^.

8.A2,B6,B7［2015?四川卷］設(shè)。"都是不等于1的正數(shù)，貝「3">3”>3”是“l(fā)o&3vlog/'3”

的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

8.B［解析］當(dāng)3">3勺3時(shí)，有°>6>1,從而有10氏3<10a3,充分性成立；

取a=§,b=3,此時(shí)logaBvIog%?,但不滿足4〉6〉1,從而3">3'>3不成立，即必要性

不成立.故選B.

7.B4、B6、B7［2015?天津卷］已知定義在R上的函數(shù)；^)=2廣訓(xùn)一1(a為實(shí)數(shù))為偶函

數(shù)，記。=/(logo.53),Z>=Xlog25),C=fi2m),則a,b,。的關(guān)小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<h

C.c<a<bD.c<b<a

7.C［解析］因?yàn)楹瘮?shù)/2=2'一'刑一1是偶函數(shù)，所以加=0.a=/(logo.53)=2|logo.53|—1

=21og23—1=2,力=/(Iog25)=2k)g25—1=4,c=/(0)=2°—1=0,所以

12.B6、B7［2015?浙江卷］若a=log43,貝I」2"+2"=_________.

12j.［解析］2"=2k)g43=21og2則2"+2-"=小+a=4個.

B7對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

l+log2(2—X)，X<1f

5.B7［2015?全國卷H］設(shè)函數(shù)斤)=,則火―2)+4og212)=

()

A.3B.6

C.9D.12

5.C［解析］因?yàn)?lt;-2)=l+log24=3,_/(2g212)=2(k)g212—1)=6,所以次一2)+

Xlog212)=9,故選C.

7.B7［2015?北京卷］如圖1-3,函數(shù)式x)的圖像為折線/CB,則不等式九x)》log2(x+l)

的解集是()

A.{x［-1<XW0}

B.{x|—iWxWl}

C.{x［—1<XW1}

D.{x|—l<x<2}

2x+2,—IWXWO,

7.C［解析］C［解析］由圖知，/)=,八―設(shè)g(x)=log2(x+l).在同

「x+2,0<xW2.

一坐標(biāo)系中畫出兀0,g(x)的圖像(如圖)，令-x+2=log2(x+l),解得x=l,故不等式的解

集為團(tuán)一1〃<1}.

5.B3、B4、B7［2015?湖南卷］設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+x)—ln(l-x),則加)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

5.A［解析］由已知可得，<x)=ln代=ln￡—1,y=￡-1在(0,1)上為增函數(shù),

故y=危)在(0,1)上為增函數(shù).又x)=ln(l—x)—ln(l+x)=—/(x),故y=；(x)為奇函數(shù).

9.B7、E6［2015?陜西卷］設(shè)/x)=lnx,0<a<b,若p=J(■洞,r=1(/(a)+//>)),

則下列關(guān)系式中正確的是()

A.q—r<pB.p—r<q

C.q=r>pD.p-r>q

9.B［解析］廠=；(/(0)+7(6))=；111(46)=111，%=「.因?yàn)?>4>0,所以巧叱屐,又函數(shù)

兀0在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以q>p=r,故選B.

8.A2,B6,B7［2015?四川卷］設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù)，貝IJ"3">3、3”是“Io&3〈log〃3”

的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

8.B［解析］當(dāng)3">3'>3時(shí)，有°>6>1,從而有10go3<lo&3,充分性成立；

取〃=6=3,此時(shí)kt&,3〈log/,3,但不滿足從而3">3">3不成立，即必要性

不成立.故選B.

7.B4、B6、B7［2015?天津卷］已知定義在R上的函數(shù)兀0=2廣創(chuàng)一1(加為實(shí)數(shù))為偶函

數(shù),記a=/(k)go.53)，b=7(log25),c=J(2m)9則a,b,c的1小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<h<a

7.C［解析J因?yàn)楹瘮?shù)作)=2卜/-1是偶函數(shù)，所以加=Oa=Nogo,53)=2|k)go.53|-l

=2k?g23—1=2,b=/(log25)—21og25—1=4,c=y(0)=2°—1=0,所以cYavb.

12.B6、B7［2015?浙江卷］若a=log43,貝I」2"+2"=_______.

12.1小［解析］2"=210g43=21og2小=小，則2"+2-"=小+去=4乎.

B8塞函數(shù)與函數(shù)的圖像

9.B8［2015?安徽卷］函數(shù)的圖像如圖1-2所示，則下列結(jié)論成立的是

)

圖1-2

A.a>0,b>0,c<0B.Q<0,b>0,c>0

C.ti<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<0

9.C［解析］由x#—c知，尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一c,且一c>0,即*0；由〃點(diǎn)的縱坐標(biāo)

Lr

y”=/(0)=7>0，得Z?o；設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,v，貝I」以*,+6=0，解得M=—￡>0，因此興0.

故選C.

[0,(KxWl,

13.B8、B9[2015?江蘇卷]已知函數(shù)義x)=|lnx|,g(x)=,則方程批)+

Ipc2-4|—2,x>l>

g(x)|=l實(shí)根的個數(shù)為.

13.4［解析］當(dāng)O〈xWl時(shí)，由，(x)+g(x)|=1得|lnx|=l,解得x=：或x=e(舍

去).

當(dāng)x>l時(shí)，由，(x)+g(x)1=1得|lnx|=3———4|或|lnx|=l———4|.分別在同一個

坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|lnR與丁=3—*—4］的圖像(如圖1)和函數(shù)y=|lnx|與y=1—4］的

圖像(如圖2).

當(dāng)x>l時(shí)，它們分別有1個、2個交點(diǎn)，故>1時(shí)，方程有3個實(shí)根.

綜上，方程，（x）+g（X）|=1共有4個不同的實(shí)根.

B9函數(shù)與方程

2.B4、B9［2015?安徽卷］下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（）

A.y=cosxB.y=sinx

C.y=\nxD.y=x^+1

2.A［解析］y=cosx是偶函數(shù)，且cosx=0有實(shí)數(shù)解，A正確；y=sinx是奇函數(shù)，

B不正確；y=lnx是非奇非偶函數(shù)，C不正確；y=f+l是偶函數(shù)，但f+i=。無實(shí)數(shù)解,

D不正確.

12.B9、C2、C6［2015?湖北卷］函數(shù)/(x)=4cos25?cos(，一x，-2sinx-|ln(x+1)|的零

點(diǎn)個數(shù)為.

12.2［解析］/(x)=4cos'5sinx—2sinx—|ln(x+l)|=2sin_v^2cos2^-1)—|In(x+l)|=sin2x

—|ln（x+1）|.令y（x）=0,得sin2x=|ln（x+1）］.在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sin2x與函數(shù)y=|ln（x

+1）1的大致圖像，如圖所示.

y=|ln(x+l)|

v=sin2x

觀察圖像可知，兩個函數(shù)的圖像有2個交點(diǎn)，故函數(shù)<x）有2個零點(diǎn).

0,0<xWl,

13.B8、B9［2015?江蘇卷］已知函數(shù)<x)=|lnx|,g(x)=(2"..則方程1/W+

.|x—4|—2,x>l,

g（x）|=l實(shí)根的個數(shù)為.

13.4［解析］當(dāng)OvxWl時(shí)，由/G）+g（、）|=1得|lnx|=l,解得工=1或1=e（舍

去）?

當(dāng)x>l時(shí)，由，（x）+g（x）|=1得|lnx|=3一—一4|或|lnx|=l-4］.分別在同一個

坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|lnx|與^=3———4]的圖像(如圖1)和函數(shù)y=|lnx|與y=l―――4|的

圖像(如圖2).

當(dāng)x>l時(shí)，它們分別有I個、2個交點(diǎn)，故A1時(shí)，方程有3個實(shí)根.

綜上，方程|/(x)+g(X)|=1共有4個不同的實(shí)根.

19.B9、B12[2015?江蘇卷]已知函數(shù)火力:曲+小+江。,h&R).

(1)試討論兀0的單調(diào)性；

⑵若6=c-a(實(shí)數(shù)。是與。無關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)/(x)有三個不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范

圍恰好是(一8,—3)u(l,|)u(|,+8),求c的值.

19.解：(1*(工)=3/+2",令/(x)=0,解得jq=O,》2=一學(xué).

當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)槿?)=3,20,所以函數(shù)兀0在(-8,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃>0時(shí)，若xe(-8,-y)u(O,+8),則/(x)>o,若一等,0),則/(x)<0,

所以函數(shù)/(X)在(-8,-y),(0,+8)上單調(diào)遞增，在(普，0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<0時(shí)，若xC(-8,0)U(-y,則/(x)>0,若xG(0,—與)，則/(x)<0,

所以函數(shù)人x)在(-8,0),(一與，+8)上單調(diào)遞增，在(0,一半)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)知，函數(shù).人動的兩個極值分別為｛0)=6,一竽)=今，+6,則函數(shù).段)有三個

零點(diǎn)等價(jià)于/(0)｛一系)=6侏"4<0,從而

。>0,a<0,

<

43,或V,43

一方“<X0[0<X—萬4.

4.41

又力=c—q,所以當(dāng)Q>0時(shí)，亍升3—q+c>0或當(dāng)a<0時(shí)，方/—a+cvO.

設(shè)8(。)=5。3一。+。.因?yàn)楹瘮?shù)外)有三個零點(diǎn)時(shí)，4的取值范圍恰好是(一8，-

所以在(-8,-3)±g(a)<0,且在(1,3口(|，+8)上g(°)>0均恒成立，

從而g(—3)=c—1<0,且43=。一120,因此c=l.

此時(shí)，j[x}=x+cu?-\-1~a=(x+l)[x2+(a—1)尤+1~a].

因?yàn)楹瘮?shù)人x)有三個零點(diǎn)，所以x2+(q—l)x+l—。=0有兩個異于一1的不等實(shí)根，

所以/=(a-1)2—4(1-a)=a2+2q-3>0,

且(一1)2—(a—l)+l-aWO,

解得qe(-8,-3)u^l,1)ug,+8)

綜上，c=L

8.B9、D5[2015?福建卷]若a,b是函數(shù)人刈二》?一px+q仍>0,q>0)的兩個不同的零

點(diǎn)，且a,b,一2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p+

q的值等于()

A.6B.7C.8D.9

8.D[解析]不妨設(shè)心6,由韋達(dá)定理得a+6=p>0,ab=q>0,則a>6>0,所以一2,

'”成等差數(shù)列，“，-2"成等比數(shù)列，所叱2Jb=a,-21解得]a扃=4,或仁一-2,(舍去)，

所以p=5,q=4,所以p+g=9.

\x3,x<a,

15.B9[2015?湖南卷]已知函數(shù)/(x)=L若存在實(shí)數(shù)6,使函數(shù)g(x)=J(x)-b

1x，x>a,

有兩個零點(diǎn)，則。的取值范圍是.

15.(—8,0)U(1,+°°)[解析]令夕(x)=x3(xWa),h(x)=X1(x>a),函數(shù)g(x)=/(x)一

b有兩個零點(diǎn),即函數(shù)y=/(x)的圖像與直線y=b有兩個交點(diǎn).結(jié)合圖像，當(dāng)。<0時(shí)，存在

實(shí)數(shù)6使6(x)=f(x>a)的圖像與直線y=6有兩個交點(diǎn)；當(dāng)a'OEl寸，必須滿足p(a)>力(a),即

a3>a2,解得a>l.

綜上得aC(—8,0)U(l,+°°).

21.B9、B12、D2、D3[2015?陜西卷]設(shè)工(x)是等比數(shù)列1,x,x2,/的各項(xiàng)和,

其中x>0,〃GN,〃22.

(1)證明：函數(shù)E,(x)=%,(x)—2在;，1內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)(記為X”)，且X”=￡+*"；

(2)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為g“(x),

比較工(x)和g“(x)的大小，并加以證明.

2

21.解：⑴證明:F?(x)—fn(x)—2—1+X+XH----x”—2,

則41)=〃-1>0,