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文檔簡介
江西省宜春市五校2024年高三(最后沖刺)數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若平面向量,滿足,則的最大值為()A. B. C. D.2.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點,已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于()A. B.1 C. D.3.已知三棱錐中,為的中點,平面,,,則有下列四個結(jié)論:①若為的外心,則;②若為等邊三角形,則;③當(dāng)時,與平面所成的角的范圍為;④當(dāng)時,為平面內(nèi)一動點,若OM∥平面,則在內(nèi)軌跡的長度為1.其中正確的個數(shù)是().A.1 B.1 C.3 D.44.如圖,在△ABC中,點M是邊BC的中點,將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點B'不在平面AMC內(nèi),點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心5.已知數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.若的前n項和為,則的最小值為()A. B. C. D.6.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.7.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①直線與直線的斜率乘積為;②軸;③以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.其中,所有正確判斷的序號是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③8.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,圖中復(fù)平面內(nèi)點表示復(fù)數(shù),則表示復(fù)數(shù)的點是()A.E B.F C.G D.H9.在中,為上異于,的任一點,為的中點,若,則等于()A. B. C. D.10.設(shè)函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),若的圖象關(guān)于直線對稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則()A. B. C. D.11.已知集合,,則()A. B.C.或 D.12.設(shè)雙曲線(,)的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點,且橢圓的焦距為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校名學(xué)生參加軍事冬令營活動,活動期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲,角色按級別從小到大共種,分別為士兵、排長、連長、營長、團(tuán)長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式,可以人一組或者人一組.如果人一組,則必須角色相同;如果人一組,則人角色相同或者人為級別連續(xù)的個不同角色.已知這名學(xué)生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,現(xiàn)在新加入名學(xué)生,將這名學(xué)生分成組進(jìn)行游戲,則新加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為________.14.已知等差數(shù)列的前項和為,且,則______.15.六位同學(xué)坐在一排,現(xiàn)讓六位同學(xué)重新坐,恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置,則不同的坐法有________種(用數(shù)字回答).16.在中,點在邊上,且,設(shè),,則________(用,表示)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點;(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點,求證:;(3)若,且不等式對一切正實數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;(Ⅱ)求函數(shù)的定義域和值域.19.(12分)已知橢圓:(),點是的左頂點,點為上一點,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點的直線與的另一個交點為(異于點),是否存在直線,使得以為直徑的圓經(jīng)過點,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.20.(12分)已知橢圓的離心率為,橢圓C的長軸長為4.(1)求橢圓C的方程;(2)已知直線與橢圓C交于兩點,是否存在實數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.21.(12分)已知圓的極坐標(biāo)方程是,以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是是參數(shù)),若直線與圓相切,求實數(shù)的值.22.(10分)某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長社團(tuán),由課外活動小組對高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問卷調(diào)查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問卷成績(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計,將數(shù)據(jù)按照,,,,分成5組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生,低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.理科方向文科方向總計男110女50總計(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)?(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的分布列、期望和方差.參考公式:,其中.參考臨界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá),利用向量數(shù)量積的性質(zhì),化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵點.本題屬中檔題.2、D【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系,如圖所示,∵,,,∴,設(shè)拋物線,代入點,可得∴焦點為,即焦點為中點,設(shè)焦點為,,,∴.故選:D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點間的距離等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.3、C【解析】
由線面垂直的性質(zhì),結(jié)合勾股定理可判斷①正確;反證法由線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷②錯誤;由線面角的定義和轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可判斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫出圖形:若為的外心,則,平面,可得,即,①正確;若為等邊三角形,,又可得平面,即,由可得,矛盾,②錯誤;若,設(shè)與平面所成角為可得,設(shè)到平面的距離為由可得即有,當(dāng)且僅當(dāng)取等號.可得的最大值為,即的范圍為,③正確;取中點,的中點,連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上,而,可得④正確;所以正確的是:①③④故選:C【點睛】此題考查立體幾何中與點、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷,處理這類問題,可以用已知的定理或性質(zhì)來證明,也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.4、A【解析】
根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點.故選:A.【點睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.5、D【解析】
利用等比中項性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項,進(jìn)而求得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)或時,取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調(diào)性,可知當(dāng)或時,取到最小值,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質(zhì)、等差數(shù)列前項和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意當(dāng)或時同時取到最值.6、A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項可知,只有正確.故選:A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.7、B【解析】
由題意,可設(shè)直線的方程為,利用韋達(dá)定理判斷第一個結(jié)論;將代入拋物線的方程可得,,從而,,進(jìn)而判斷第二個結(jié)論;設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點不共線,進(jìn)而判斷第三個結(jié)論.【詳解】解:由題意,可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點,的坐標(biāo)分別為,,則,.所.則直線與直線的斜率乘積為.所以①正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,,根據(jù)拋物線的對稱性可知,,兩點關(guān)于軸對稱,所以直線軸.所以②正確.如圖,設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以③不正確.故選:B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.8、C【解析】
由于在復(fù)平面內(nèi)點的坐標(biāo)為,所以,然后將代入化簡后可找到其對應(yīng)的點.【詳解】由,所以,對應(yīng)點.故選:C【點睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對就關(guān)系,復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)題意,用表示出與,求出的值即可.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè),則,又,,,故選:A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量,是基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得,由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值,進(jìn)而確定函數(shù)的解析式,即可求得的值.【詳解】函數(shù)(,)是上的奇函數(shù),則,所以.又的圖象關(guān)于直線對稱可得,,即,,由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知,,即,綜上,則,.故選:D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù),屬于中檔題.11、D【解析】
首先求出集合,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計算可得;【詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【點睛】本題考查補(bǔ)集的概念及運算,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
設(shè)雙曲線的漸近線方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用,求出的值,得到的值,求出關(guān)系,進(jìn)而判斷大小,結(jié)合橢圓的焦距為2,即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為,代入拋物線方程得,依題意,,橢圓的焦距,,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì),要注意雙曲線焦點位置,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
對新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論,分析各種情況下個學(xué)生所扮演的角色的分組,綜合可得出結(jié)論.【詳解】依題意,名學(xué)生分成組,則一定是個人組和個人組.①若新加入的學(xué)生是士兵,則可以將這個人分組如下;名士兵;士兵、排長、連長各名;營長、團(tuán)長、旅長各名;師長、軍長、司令各名;名司令.所以新加入的學(xué)生可以是士兵,由對稱性可知也可以是司令;②若新加入的學(xué)生是排長,則可以將這個人分組如下:名士兵;連長、營長、團(tuán)長各名;旅長、師長、軍長各名;名司令;名排長.所以新加入的學(xué)生可以是排長,由對稱性可知也可以是軍長;③若新加入的學(xué)生是連長,則可以將這個人分組如下:名士兵;士兵、排長、連長各名;連長、營長、團(tuán)長各名;旅長、師長、軍長各名;名司令.所以新加入的學(xué)生可以是連長,由對稱性可知也可以是師長;④若新加入的學(xué)生是營長,則可以將這個人分組如下:名士兵;排長、連長、營長各名;營長、團(tuán)長、旅長各名;師長、軍長、司令各名;名司令.所以新加入的學(xué)生可以是營長,由對稱性可知也可以是旅長;⑤若新加入的學(xué)生是團(tuán)長,則可以將這個人分組如下:名士兵;排長、連長、營長各名;旅長、師長、軍長各名;名司令;名團(tuán)長.所以新加入的學(xué)生可以是團(tuán)長.綜上所述,新加入學(xué)生可以扮演種角色.故答案為:.【點睛】本題考查分類計數(shù)原理的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是對新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論,屬于中等題.14、【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得的值.【詳解】因為為等差數(shù)列,所以,解得,所以.故答案為:【點睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì),前項和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,應(yīng)用意識.15、135【解析】
根據(jù)題意先確定2個人位置不變,共有種選擇,再確定4個人坐4個位置,但是不能坐原來的位置,計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個人位置不變,共有種選擇.再確定4個人坐4個位置,但是不能坐原來的位置,共有種選擇,故不同的坐法有.故答案為:.【點睛】本題考查了分步乘法原理,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.16、【解析】
結(jié)合圖形及向量的線性運算將轉(zhuǎn)化為用向量表示,即可得到結(jié)果.【詳解】在中,因為,所以,又因為,所以.故答案為:【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算,關(guān)鍵是利用已知向量為基底,將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】
(1)令,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進(jìn)而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證,即證,即證,構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證;(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設(shè),分類討論進(jìn)而求解.【詳解】解:(1)令,所以,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,在單調(diào)遞減;所以,所以的零點為.(2)由題意,,要證,即證,即證,令,則,由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設(shè),,記,△,①當(dāng)△時,即時,恒成立,故單調(diào)遞增.于是當(dāng)時,,又,故,當(dāng)時,,又,故,又當(dāng)時,,因此,當(dāng)時,,②當(dāng)△,即時,設(shè)的兩個不等實根分別為,,又,于是,故當(dāng)時,,從而在單調(diào)遞減;當(dāng)時,,此時,于是,即舍去,綜上,的取值范圍是.【點睛】(1)考查函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,零點;(2)考查轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)求極值;(3)考查分類討論思想,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的求導(dǎo);屬于難題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)函數(shù)的定義域為,值域為【解析】
(1)由為第二象限角及的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值,再代入中即可得到結(jié)果.(2)函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)的范圍,即可得到函數(shù)值域.【詳解】解:(1)因為是第二象限角,且,所以.所以,所以.(2)函數(shù)的定義域為.化簡,得,因為,且,,所以,所以.所以函數(shù)的值域為.(注:或許有人會認(rèn)為“因為,所以”,其實不然,因為.)【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題,涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力,屬于常考題型.19、(1);(2)存在,【解析】
(1)把點代入橢圓C的方程,再結(jié)合離心率,可得a,b,c的關(guān)系,可得橢圓的方程;(2)設(shè)出直線的方程,代入橢圓,運用韋達(dá)定理可求得點的坐標(biāo),再由,可求得直線的方程,要注意檢驗直線是否和橢圓有兩個交點.【詳解】(1)由題可得∴,所以橢圓的方程(2)由題知,設(shè),直線的斜率存在設(shè)為,則與橢圓聯(lián)立得,,∴,,∴若以為直徑的圓經(jīng)過點,則,∴,化簡得,∴,解得或因為與不重合,所以舍.所以直線的方程為.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了向量的數(shù)量積的運用,屬于中檔題.20、(1);(2)存在,當(dāng)時,以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O.【解析】
(1)設(shè)橢圓的焦半距為,利用離心率為,橢圓的長軸長為1.列出方程組求解,推出,即可得到橢圓的方程.(2)存在實數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點.設(shè)點,,,,將直線的方程代入,化簡,利用韋達(dá)定理,結(jié)合向量的數(shù)量積為0,轉(zhuǎn)化為:.求解即可.【詳解
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