2022-2023學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：簡(jiǎn)諧振子

簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子

簡(jiǎn)諧振子是量子力學(xué)中最重要的問題之一，可用于解釋量子力學(xué)的基本概念與方法，也在近代物理的許多分支包括分子光譜，固體物理，核結(jié)構(gòu)，量子磁場(chǎng)，量子光學(xué)，量子統(tǒng)計(jì)等等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。歷史上正是Planck提出輻射振子的分立能量單位而導(dǎo)致了量子概念的產(chǎn)生。對(duì)諧振子量子性質(zhì)的深刻了解是近代物理學(xué)者所必需的。一、能量本征態(tài)和能量本征值諧振子的哈密頓量是ω是經(jīng)典振子的角頻率，與彈性常數(shù)k的關(guān)系是定義兩非厄米算符

根據(jù)x與p的對(duì)易關(guān)系，得定義故有，H與N對(duì)易而有共同本征態(tài)。設(shè)N的本征態(tài)滿足，則即能量能征值為二、產(chǎn)生、湮滅和粒子數(shù)算符由得即和也是N的本征態(tài),分別對(duì)應(yīng)于本征值n+1和n-1由于把n加1或減1對(duì)應(yīng)于產(chǎn)生或減少一個(gè)能量量子，故稱和分別為產(chǎn)生和湮滅算符。由于可寫出因，要避免出現(xiàn)要求n為整數(shù)，此時(shí)將在m>n時(shí)截?cái)酁榱闶噶慷怀霈F(xiàn)態(tài)。所以，N被稱為粒子數(shù)算符。最低能量狀態(tài)即基矢能量為，激發(fā)態(tài)即正n態(tài)的能量為.三、激發(fā)態(tài)、粒子數(shù)表象激發(fā)態(tài)可由及的性質(zhì)而寫出：

……

此外有：粒子數(shù)表象由可得在n表象中，x和p均非對(duì)角（x、p與N不對(duì)易）。四、本征波函數(shù)用算符的方法可得出坐標(biāo)空間的能量本征函數(shù)。

這里表征振子長(zhǎng)度。可以解得激發(fā)態(tài)可求出為 上式與厄米多項(xiàng)式是等價(jià)的。五、本征態(tài)的一些性質(zhì)由波函數(shù)的對(duì)稱性得：基態(tài)時(shí)：,。

滿足最小測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系(基態(tài)波函數(shù)具有高斯形式)。由得 有六、振子的時(shí)間演化

x，p的Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程可表示為這對(duì)耦合方程等價(jià)于和的獨(dú)立微分方程：即或得解為與經(jīng)典x、p的運(yùn)動(dòng)形式相同。x、p算符像其經(jīng)典對(duì)應(yīng)量一樣振蕩六、振子的時(shí)間演化（直接解法）由算符的時(shí)間演化直接求出x(t)，p(t)：利用Baker-Hausdorff引理可得類似地，可得出與前面的結(jié)果相同的。注意：算符隨時(shí)間變化不意味著其期待值隨時(shí)間變。對(duì)諧振子要觀測(cè)到類似于經(jīng)典振子的振蕩，需用能量本征態(tài)的疊加對(duì)，可驗(yàn)證隨時(shí)間振蕩。七、相干態(tài)

對(duì)應(yīng)于非厄米算符的本征態(tài)(相干態(tài))是形狀不擴(kuò)展的振蕩波包，具有與經(jīng)典振子振蕩最相似的特性。一般為復(fù)數(shù)以ω為角頻率振蕩且形狀不隨時(shí)間變相干態(tài)的重要性質(zhì)包括1．是某平均n2．可由經(jīng)原點(diǎn)平移一定距離而得。3．滿足最小測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。以為角頻率振蕩，與經(jīng)典振子有些相象。七、相干態(tài)

對(duì)應(yīng)于非厄米算符的本征態(tài)(相干態(tài))是形狀不擴(kuò)展的振蕩波包，具有與經(jīng)典振子振蕩最相似的特性。一般為復(fù)數(shù)以ω為角頻率振蕩且形狀不隨時(shí)間變相干態(tài)的重要性質(zhì)包括1．是某平均n2．可由經(jīng)原點(diǎn)平移一定距離而得。3．滿足最小測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。

與的關(guān)系利用這里C=[A,B],且[C,A]=[C,B]=0有故由于[a,a+]=1，對(duì)由a及a+組成的函數(shù)，a與