概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)3、分布函數(shù)與概率的關(guān)系4、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)(1)0–1分布(2)二項(xiàng)分布泊松定理有(3)泊松分布=（5）幾何分布則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，2、分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)。（2）對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X來(lái)說(shuō)，它取任一指定實(shí)數(shù)a的概率均為零，即P{X=a}=0。3、常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布函數(shù)(1)均勻分布(2)指數(shù)分布(3)正態(tài)分布N(,2)N(0,1)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布：（1）分布函數(shù)法；（2）設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x)，又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)(x)>0(或恒有g(shù)(x)<0)，則Y=g(X)的概率密度為其中x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù)，二維連續(xù)型隨機(jī)變量（1）聯(lián)合分布函數(shù)為函數(shù)f(x,y)稱為二維向量(X,Y)的(聯(lián)合)概率密度.其中：，（2）基本二維連續(xù)型隨機(jī)向量分布均勻分布：二維正態(tài)分布：3、離散型邊緣分布律：連續(xù)型邊緣概率密度F(x，y)=Fx(x)FY(y)則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的3、連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的等價(jià)條件設(shè)(X，Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x，y)，fx(x)，fY(y)分別為(X，Y)的概率密度和邊緣概率密度，則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是等式f(x，y)=fx(x)fY(y)

對(duì)f(x，y)，fx(x)，fY(y)的所有連續(xù)點(diǎn)成立.五、條件分布1、離散型隨機(jī)變量的條件分布律：（3）條件分布函數(shù)：2、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布（1）條件分布函數(shù)（2）條件概率密度在Y=y條件下X的條件概率密度同理X=x條件下X的條件概率密度六、多維隨機(jī)函數(shù)的分布1、離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布：二項(xiàng)分布：設(shè)X和Y獨(dú)立,分別服從二項(xiàng)分布b(n1,p),和b(n2,p)，則Z=X+Y的分布律：Z～b(n1+n2,p).泊松分布：若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,則Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布。2、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布：（1）Z=X+Y或若X和Y相互獨(dú)立時(shí)，正態(tài)分布的特點(diǎn)：a設(shè)X,Y相互獨(dú)立且XN(μ1，σ12)，YN(μ2，σ22經(jīng)過(guò)計(jì)算知Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布,且有ZN(μ1+μ2，σ12+σ22).b若XN(μ,σ2)，則c若XN(μ,σ2)，則（2）M=max(X,Y)N=min(X,Y)的分布設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為Fx(x)和FY(y)M=max(X,Y)：N=min(X,Y)：(2)幾種常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望i.X服從參數(shù)為p的(0,1)分布：E(X)=0×(1-p)+1×p=pii.若Xb(n,p),則E(X)=npiii.若Xπ(λ)，則E(X)=λ2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(1)定義：(2)幾個(gè)常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望i.若XU(a,b),則E(X)=(a+b)/2ii.若XN(μ,σ2)，則E(X)=μiii.若X服從指數(shù)分布，則E(X)=1/3、函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望(1)離散型：離散型變量X的概率分布為若無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則。(2)連續(xù)型：連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若廣義積分絕對(duì)收斂，則。4、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：iC為常數(shù),則有E(C)=C；ii設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，C常數(shù)，則有E(CX)=CE(X)；iii設(shè)X，Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y)這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況:iv設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有:E(XY)=E(X)E(Y)這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情況二、方差1、定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱為X方差，記為D(X)或Var(X).稱它的平方根為標(biāo)準(zhǔn)差，記作(X)2、計(jì)算方法：(1)用定義：離散型：連續(xù)型：(2)用公式：3、方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0；(2)設(shè)X是隨機(jī)變量，a是常數(shù)，則D(aX)=a2D(X),從而D(aX+b)=a2D(X)；(3)設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有D(XY)=D(X)+D(Y)；(4)對(duì)任意常數(shù)C,D(X)E(X–C)2,當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時(shí)等號(hào)成立(5)D(X)=0則P(X=E(X))=1稱為X依概率1等于常數(shù)E(X)4、常見(jiàn)分布的方差(1)(0-1)分布，其分布律為P{X=0}=1-p，P{X=1}=p,則D(X)=p(1-p)(2)二項(xiàng)分布Xb(n,p),，其分布律為則E(X)=np,D(X)=npq(3)泊松分布X(),其分布律為則E(X)=,D(X)=(4)均勻分布X在區(qū)間(a，b)均勻分布E(X)=(a+b)/2，(5)正態(tài)分布XN(μ,σ2)，E(X)=μ，D(X)=σ2.5、契比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X的期望和方差都存在，且E(X)=μ,D(X)=σ2，則對(duì)任意的ε>0,有6、矩的概念：(1)設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若存在，稱為k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩。(2)若存在，稱為k階中心矩。(3)若存在，稱為k+l階混合矩。(4)若存在，稱為k+l階混合中心矩。7、標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，顯然，三、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)1、協(xié)方差(1)定義：E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差，記為Cov(X，Y)，即Cov(X，Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。離散型：連續(xù)型：(2)關(guān)系公式:i協(xié)方差與方差的關(guān)系：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)ii協(xié)方差與數(shù)學(xué)期望的關(guān)系：Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)iii若X，Y獨(dú)立，則Cov(X，Y)=0,但反之不成立。(3)協(xié)方差的性質(zhì)Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)2、相關(guān)系數(shù)(1)定義：若Cov(X，Y)存在，并且D(X)、D(Y)存在且不為零，則稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)。(2)性質(zhì)：i|ρXY|≦1ii|ρXY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1.3、利用相關(guān)系數(shù)計(jì)算協(xié)方差4、不相關(guān)：若X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY=0，則稱X與Y不相關(guān)。假設(shè)隨機(jī)變量X，Y的相關(guān)系數(shù)ρXY存在，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí),ρXY=0,即X與Y不相關(guān)，反之若X與Y不相關(guān)，X與Y卻不一定相互獨(dú)立。5、協(xié)方差矩陣i定義：對(duì)于n維隨機(jī)向量(X1,X2,…,Xn),把向量(X1,X2,…,Xn)用列向量形式表示并記為X，即若依概率收斂于零，即對(duì)任意ε>0，有則稱隨機(jī)變量序列{Xn}服從（弱）大數(shù)定律。2、幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定理：定理1（契比雪夫大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且有常數(shù)C，使得即D(Xi)≤C，i=1,2,…，則{Xn}服從大數(shù)定律。即對(duì)任意ε>0，有推論（契比雪夫大數(shù)定律的特殊情況）設(shè)X1,X2,…Xn，…獨(dú)立同分布，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,則對(duì)任給>0,定理2貝努利大數(shù)定律(貝努利定理)設(shè)nA是n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε>0，有貝努利大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小。二、中心極限定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理/Levy-Lindberg）設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=