概率論習(xí)題參考解答1

概率論習(xí)題參考解答12/3概率論第二章習(xí)題參考解答1.用隨機(jī)變量來描述擲一枚硬幣的試驗(yàn)結(jié)果.寫出它的概率函數(shù)和分布函數(shù).解:假設(shè)ξ=1對應(yīng)于"正面朝上",ξ=0對應(yīng)于反面朝上.則P(ξ=0)=P(ξ=1)=0.5.其分布函數(shù)為2.如果ξ服從0-1分布,又知ξ取1的概率為它取0的概率的兩倍,寫出ξ的分布律和分布函數(shù).解:根據(jù)題意有P(ξ=1)=2P(ξ=0) (1)并由概率分布的性質(zhì)知P(ξ=0)+P(ξ=1)=1 (2)將(1)代入(2)得3P(ξ=0)=1,即P(ξ=0)=1/3再由(1)式得P(ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ01P1/32/3而分布函數(shù)為3.如果ξ的概率函數(shù)為P{ξ=a}=1,則稱ξ服從退化分布.寫出它的分布函數(shù)F(x),畫出F(x)的圖形.解:,它的圖形為4.一批產(chǎn)品分一,二,三級,其中一級品是二級品的兩倍,三級品是二級品的一半,從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個檢驗(yàn)質(zhì)量,用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)的可能結(jié)果,寫出它的概率函數(shù).解設(shè)ξ取值1,2,3代表取到的產(chǎn)品為一,二,三級,則根據(jù)題意有P(ξ=1)=2P(ξ=2) (1)P(ξ=3)=P(ξ=2)/2 (2)由概率論性質(zhì)可知P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1 (3)(1),(2)代入(3)得:2P(ξ=2)+P(ξ=2)+P(ξ=2)/2=1解得P(ξ=2)=2/7,再代回到(1)和(2)得P(ξ=1)=4/7,P(ξ=3)=1/7則概率函數(shù)為或列表如下:ξ123P4/72/71/75.一批產(chǎn)品20個,其中有5個次品,從這批產(chǎn)品中隨意抽取4個,求這4個中的次品數(shù)ξ的分布律.解:基本事件總數(shù)為,有利于事件{ξ=i}(i=0,1,2,3,4)的基本事件數(shù)為,則ξ01234P0.28170.46960.21670.0310.0016.一批產(chǎn)品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品為止,假定每件產(chǎn)品被取到的機(jī)會相同,求抽取次數(shù)ξ的概率函數(shù).解:每次抽到正品的概率相同,均為p=10/13=0.7692,則每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308則ξ服從相應(yīng)的幾何分布,即有7.上題中如果每次取出一件產(chǎn)品后,總以一件正品放回去,直到取得正品為止,求抽取次數(shù)ξ的分布律.解:這樣抽取次數(shù)就是有限的,因?yàn)榭偣仓挥?件次品,即使前面三次都抽到次品,第四次抽時次品 已經(jīng)全部代換為正品,因此必然抽到正品,這樣ξ的取值為1,2,3,4.不難算出,ξ的分布律如下表所示:ξ1234P0.76920.19530.03280.00278.自動生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p,當(dāng)在生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進(jìn)行調(diào)整,求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)ξ的概率函數(shù).解:事件ξ=i說明生產(chǎn)了i次正品后第i+1次出現(xiàn)廢品,這是i+1個獨(dú)立事件的交(1次發(fā)生i次不發(fā)生,因此有P(ξ=i)=p(1-p)i,(i=0,1,2,…)9.已知隨機(jī)變量ξ只能取-1,0,1,2四個值,相應(yīng)概率依次為,確定常數(shù)c并計(jì)算P{ξ<1|ξ≠0}.解:根據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì)有即得設(shè)事件A為ξ<1,B為ξ≠0,(注:如果熟練也可以不這樣設(shè))則10.寫出第4題及第9題中各隨機(jī)變量的分布函數(shù).解:第4題:第9題:當(dāng)x<-1時:F(x)=P(ξ≤x)=0當(dāng)-1≤x<0時:F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)=當(dāng)0≤x<1時:F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)=當(dāng)1≤x<2時:F(x)=P(ξ≤x)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)+P(ξ=1)=當(dāng)x≥2時:F(x)=P(ξ≤x)=1綜上所述,最后得:11.已知ξ~,求ξ的分布函數(shù)F(x),畫出F(x)的圖形.解:當(dāng)x<0時:F(x)=0;當(dāng)0≤x<1時:當(dāng)x≥1時:F(x)=1綜上所述,最后得圖形為12.已知ξ~,求P{ξ≤0.5};P(ξ=0.5);F(x).解:,因ξ為連續(xù)型隨機(jī)變量,因此取任何點(diǎn)的概率均為零,所以P{ξ=0.5}=0,求F(x):當(dāng)x<0時,F(x)=0當(dāng)0≤x<1時,當(dāng)x≥1時,F(x)=1綜上所述,最后得:13.某型號電子管,其壽命(以小時計(jì))為一隨機(jī)變量,概率密度,某一個電子設(shè)備內(nèi)配有3個這樣的電子管,求電子管使用150小時都不需要更換的概率.解:先求一個電子管使用150小時以上的概率P(ξ≥150)為:則3個這樣的電子管構(gòu)成貝努里獨(dú)立試驗(yàn)概型,試驗(yàn)三次發(fā)生三次的概率為14.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)為:求系數(shù)A;P(0.3<ξ<0.7);概率密度φ(x).解:因ξ是連續(xù)型隨機(jī)變量,因此F(x)也必是連續(xù)曲線,則其在第二段(0,1)區(qū)間的曲線必能和第三段(1,+∞)的曲線接上,則必有A×12=1,即A=1.則分布函數(shù)為P(0.3<ξ<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度φ(x)為15.服從柯西分布的隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)是F(x)=A+Barctgx,求常數(shù)A,B;P{|ξ|<1}以及概率密度φ(x).解:由F(-∞)=0,得A+Barctg(-∞)= (1)再由F(+∞)=1,得 (2)綜和(1),(2)兩式解得即16.服從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量ξ的概率密度,求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).解:這實(shí)際上是一個分段函數(shù),φ(x)可重新寫為根據(jù)性質(zhì),又因φ(x)為偶函數(shù),因此有,則有A=1/2因此.求分布函數(shù)F(x).當(dāng)x<0時,有當(dāng)x≥0時,有綜上所述,最后得17.已知,計(jì)算P{ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}解:設(shè)事件A={ξ≤0.2},B={0.1<ξ≤0.5},則要計(jì)算的是條件概率P(A|B),而,而事件AB={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2}因此有最后得18.已知,確定常數(shù)c.解:首先證明普阿松廣義積分,因?yàn)楹瘮?shù)并不存在原函數(shù),因此需要一技巧.令,則作極坐標(biāo)代換,令,則積分區(qū)間為全平面,即θ從0積到2π,r從0積到+∞,且,因此有,所以I=π.現(xiàn)確定常數(shù)c,由性質(zhì),得19.已知,求常數(shù)c及P{a-1<ξ≤a+1}.解:由性質(zhì)得解得,因此有則20.二元離散型隨機(jī)變量(ξ,η)有如下表所示的聯(lián)合概率分布:ηξ012345600.2020.1740.1130.0620.0490.0230.004100.0990.0640.0400.0310.0200.0062000.0310.0250.0180.0130.00830000.0010.0020.0040.011求邊緣概率分布,ξ與η是否獨(dú)立?解:按下表計(jì)算ξ與η的邊緣分布:ηξ0123456pi(1)00.2020.1740.1130.0620.0490.0230.0040.627100.0990.0640.0400.0310.0200.0060.2602000.0310.0250.0180.0130.0080.09530000.0010.0020.0040.0110.018pj(2)0.2020.2730.2080.1280.1000.0600.029得ξ的邊緣分布如下表所示:ξ0123P0.6270.2600.0950.018以及η的邊緣分布如下表所示:η0123456P0.2020.2730.2080.1280.10.060.029當(dāng)i=1及j=0時,因因此ξ與η相互間不獨(dú)立.21.假設(shè)電子顯示牌上有3個燈泡在第一排,5個燈泡在第二排.令ξ,η分別表示在某一規(guī)定時間內(nèi)第一排和第二排燒壞的燈泡數(shù).若ξ與η的聯(lián)合分布如下表所示:ηξ01234500.010.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.010.040.060.060.05試計(jì)算在規(guī)定時間內(nèi)下列事件的概率:(1)第一排燒壞的燈泡數(shù)不超過一個;(2)第一排與第二排燒壞的燈泡數(shù)相等;(3)第一排燒壞的燈泡數(shù)不超過第二排燒壞的燈泡數(shù).解:假設(shè)事件A為第一排燒壞的燈泡數(shù)不超過一個,B為第一排與第二排燒壞的燈泡數(shù)相等,C為第一排燒壞的燈光數(shù)不超過第二排燒壞的燈泡數(shù).則事件A發(fā)生的概率為上表中頭兩排概率之和事件B發(fā)生的概率為上表中從0行0列開始的斜對角線之和事件C發(fā)生的概率為上表中斜對角線上右的各個數(shù)相加(包括斜對角線上的數(shù)),但為減少運(yùn)算量,也可以考慮其逆事件的概率,然后用1減去它.而的概率為上表中斜對角線的左下角的所有概率之和(不包括斜對角線):22.袋中裝有標(biāo)上號碼1,2,2的3個球,從中任取一個并且不再放回,然后再從袋中任取一球,以ξ,η分別記為第一,二次取到球上的號碼數(shù),求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取機(jī)會相同).解:因?yàn)橛袃蓚€2一個1,因此第一次取到2號的概率為P(ξ=2)=2/3,第一次取到1號的概率為P(ξ=1)=1/3.第一次取到2號后還剩下一個2號一個1號,則在此條件下第二次取到1號的概率P(η=1|ξ=2)=P(η=2|ξ=2)=1/2.而第一次取到1號后還剩下兩個2號,因此這時P(η=1|ξ=1)=0,P(η=2|ξ=1)=1.綜上所述并用乘法法則可得(ξ,η)的分布律如下表所示:ηξ12101/321/31/323.(ξ,η)只取下列數(shù)組中的值： 且相應(yīng)的概率依次為1/6,1/3,1/12,5/12.列出(ξ,η)的概率分布表,寫出關(guān)于η的邊緣分布.解:從上面數(shù)組可知ξ只取-1,0,2這三個值,而η只取0,,1這三個值,因此總共可構(gòu)成九個數(shù)對,其中只有四個數(shù)對的概率不為零.概率分布表及η的邊緣分布計(jì)算如下ηξ01/31-101/121/301/60025/1200pj(2)7/121/121/3即η的邊緣分布率如下表所示η01/31P7/121/121/324.袋中裝有標(biāo)上號碼1,2,2,3的4個球,從中任取一個并且不再放回,然后再從袋中任取一球,以ξ,η分別記為第一,二次取到球上的號碼數(shù),求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取機(jī)會相同).解:第一次取到號碼1,2,3的概率為P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4P{ξ=2}=1/2在第一次取到號碼i條件下,第二次取到號碼j的概率各為P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3P{η=2|ξ=2}=1/3則p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=0即聯(lián)合概率分布表如下表所示ηξ123101/61/1221/61/61/631/121/6025.ξ表示隨機(jī)地在1-4的4個整數(shù)中取出的一個整數(shù)，η表示在1-ξ中隨機(jī)地取出的一個整數(shù)值，求(ξ,η)的聯(lián)合概率分布.解:因ξ取四個數(shù)中的任何一個概率相等,因此有P{ξ=i}=1/4,(i=1,2,3,4)而在ξ=i的條件下,(i=1,2,3,4),η取1到i的概率也相同,為1/i,即P{η=j|ξ=i}=1/i,(i=1,2,3,4;j=1-i)因此有pij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i),(i=1,2,3,4;j=1-i),聯(lián)合概率分布如下表所示:ηξ123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/1626.已知(ξ,η)~,試確定常數(shù)c并求η的邊緣概率密度.解:根據(jù)性質(zhì),有解得,因此,求η的邊緣概率密度:當(dāng)時:上式后一等式利用了三角函數(shù)公式,而計(jì)算三角函數(shù)的值,又是在已知的前提下,利用半角公式得當(dāng)y取區(qū)間之外的值時,.因此最后得:27.已知ξ服從參數(shù)p=0.6的0-1分布,在ξ=0及ξ=1條件下,關(guān)于η的條件分布分別如下二表所示:η123P{η|ξ=0}1/41/21/4η123P{η|ξ=1}1/21/61/3求二元隨機(jī)變量(ξ,η)的聯(lián)合概率分布,以及在η≠1時關(guān)于ξ的條件分布.解:根據(jù)題意已知P{ξ=0}=1-p=1-0.6=0.4,P{ξ=1}=p=0.6則根據(jù)乘法法則有:p01=P{ξ=0,η=1}=P{ξ=0}P{η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1p02=P{ξ=0,η=2}=P{ξ=0}P{η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2p03=P{ξ=0,η=3}=P{ξ=0}P{η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2列出聯(lián)合分布律如下表所示:ηξ12300.10.20.110.30.10.2由表中可以算出P{η≠1}=1-P{η=1}=1-(p01+p11)=1-0.4=0.6P{ξ=0,η≠1}=p02+p03=0.2+0.1=0.3P{ξ=1,η≠1}=p12+p13=0.1+0.2=0.3因此有則在η≠1時關(guān)于ξ的條件分布律如下表所示:ξ01P{ξ|η≠0}0.50.528.第22題中的兩個隨機(jī)變量ξ與η是否獨(dú)立？當(dāng)ξ=1時η的條件分布是什么？解:第22題中的分布律已經(jīng)計(jì)算出如下表所示:ηξ12101/321/31/3從表中看出是明顯不獨(dú)立的,因?yàn)镻{ξ=1}=1/3,P{η=1}=1/3而P{ξ=1,η=1}=0≠P{ξ=1}P{η=1}在ξ=1條件下,因因此在此條件下η服從單點(diǎn)分布或退化分布,只取值為2,取值為2的條件概率為1.29．ξ與η相互獨(dú)立,其概率分布如下二表所示ξ-2-101/2P1/41/31/121/3η-1/213P1/21/41/4求(ξ,η)的聯(lián)合分布,P(ξ+η=1),P(ξ+η≠0).解:因ξ與η相互獨(dú)立,因此有pij=pi(1)pj(2),算得聯(lián)合分布律如下表所示ηξ-1/213-21/81/161/16-11/61/121/1201/241/481/481/21/61/121/12根據(jù)此聯(lián)合分布律可算出30.測量一矩形土地的長與寬,測量結(jié)果得到如下表所示的分布律(長與寬相互獨(dú)立),求周長ζ的分布.長度ξ293031P0.30.50.2寬度η192021P0.30.40.3

解:因ζ=2ξ+2η,可知ζ的取值為96,98,100,102,104,又因ξ與η獨(dú)立,因此有P{ζ=96}==P{ξ=29}P{η=19}=0.3×0.3=0.09P{ζ=98}=P{ξ=29}P{η=20}+P{ξ=30}P{η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27P{ζ=100}=P{ξ=29}P{η=21}+P{ξ=30}P{η=20}+P{ξ=31}}P{η=19}==0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35P{ζ=102}=P{ξ=30}P{η=21}+P{ξ=31}P{η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23P{ζ=104}=P{ξ=31}P{η=21}=0.2×0.3=0.06因此ζ的分布律如下表所示:周長ζ9698100102104P0.090.270.350.230.0631.測量一圓形物件的半徑R,其分布如下表所示,求圓周長ξ與圓面積η的分布.R10111213P0.10.40.30.2解:因周長ξ=2πR,面積η=πR2,因此當(dāng)半徑R取值10,11,12,13時,ξ的取值為62.83,69.12,75.4,81.68,η的取值為314.16,380.13,452.39,530.93,相應(yīng)的分布律如下二表所示ξ62.8369.1275.481.68P0.10.40.30.2η314.16380.13452.39530.93P0.10.40.30.232.一個商店每星期四進(jìn)貨,以備星期五,六,日3天銷售,根據(jù)多周統(tǒng)計(jì),這3天銷售件數(shù)ξ1,ξ2,ξ3彼此獨(dú)立,且有如下表所示分布:ξ1101112P0.20.70.1ξ2131415P0.30.60.1ξ3171819P0.10.80.1問三天銷售總量這個隨機(jī)變量可以取哪些值?如果進(jìn)貨45件,不夠賣的概率是多少?如果進(jìn)貨40件,夠賣的概率是多少?解:因η的取值為ξ1,ξ2,ξ3三個隨機(jī)變量可能取值之和,因此可能的取值為從10+13+17=40到12+15+19=46之間的每一個整數(shù)值,即40,41,42,43,44,45,46.因此,如進(jìn)貨15件,不夠賣的概率在η取值為46時出現(xiàn),即P{η=46}=P{ξ1=12}P{ξ2=15}P{ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001如進(jìn)貨40件,夠賣的概率發(fā)生在η取值為40時出現(xiàn),即P{η=40}=P{ξ1=10}P{ξ2=13