高數(shù)二公式大全

高等數(shù)學(xué)公式

(tgx)r=sec2x(arcsinx)"二「一

Vl-x2

(ctgx)r=-esc2x

(secx)'=secx-tgx(arccosx)=——/

Vl-x2

(esc%)'=-escx-etgx

,、，1

{aretgX)=-——

(〃")'=axlna1+xr

(log“x)'=—{arcct-------

xma1+xr

dx=Jsec2xdx-tgx+C

cos2x

jctgxdx=ln|sinx|+C

dx=jesc2xdx--ctgx-\-C

sin2x

jsecx-tgxdx=secx+C

jcscxdx=ln|cscx-etgj^+C

Jescx?ctgxdx=-esex+C

rdx1X

—arctg—+C

aaiaxdx=-^—+C

^dx1x-aJIna

In+c

x2-a2lax+ajshxdx=chx+C

pdx1a+x

In+cJchxdx=shx+C

/2-2aa-x

fdxj/，2=ln(x+7x2±a2)+C

=arcsin-T

Na2-x2a\x2±a2

7171

22

/〃=Jsin"xdx=^cos〃xdx=

1n-2

o0n

2212

J」x+adx=x+a+；1口(尤+J%之+Q2)+c

2

NA"/?一/"inX+V-^2-A2+c

一?2

'2-x2H-----arcsin—+C

22a

導(dǎo)數(shù)公式:

基本積分表:

三角函數(shù)的有理式積分:

,2“1—ll?x,2du

sm%=-----cosx=----------yu—tg,dx—T

1+w1+w21+u2

一些初等函數(shù):兩個重要極限:

ex-e~x「sinx、

雙曲正弦:shx=lim-----=1

-2-

雙曲余弦:"+=e=2.71828182849045..

2x—>ooJQ

雙曲正.切:法》=c名/?V竺=._p.f

chxex-\-ex

arshx-ln(%+

archx=±ln(x+Vx2-1)

71i1+x

artnx=—In-----

21-x

三角函數(shù)公式:

■誘導(dǎo)公式：

、函

數(shù)\sincostgctg

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

90°+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

36O°-a-sinacosa-tga-ctga

36O°+asinacosatgactga

..c.a+Ba-B

sin(a±〃)=sinacos夕土cosasin/3sina+sin〃o=2sin-----cos.......-

22

cos(a±/?)=cos<zcos/?+sinasin0

..nca+尸.a-/3

sina—sin。=2cos-------sin-------

火")=產(chǎn)嗎22

l+tga-tg/3「a+Ba—B

cosa+cos夕=2cos-----cos--------

/,c、ctga-ctg/3+1

ctg(a±0=&0-22

ctg/3±ctga

cosa-cos/?=2sinsin―—―

22

■和差角公式:■和差化積公式:

?倍角公式:

sinla-2sinacosa

223

cos2a=2cos之a(chǎn)—1=l-2sina=cosa-sin2asin3a=3sin6Z-4sina

ctg2a-lcos3a=4cos3a-3cosa

ctgla=---------

2ctga

tg3a=

Itga

tgla

1—tg2a

?半角公式:

/1-COSQf

12

若=±J1-cosof_1-cosdf_sin。1+cosasinor

1+cosasina1+coscrsmal-cosa

ab

?正弦定理:=2R■余弦定理：c2-a2+b2-2abcosC

sinAsinBsinC

JI

■反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=--arccosxarctgx=-----arcctgx

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公式：

(MV)(")=fc：/T)v")

k=0

MM("-2)M，+…

=uv+〃小fv'+〃(〃一1)1)???(〃-)+1)/T)產(chǎn)+…+uvw

2!k\

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理:f(b)—于(a)=

柯西中值定理J■TC)

F(b)-F(a)尸C)

當(dāng)F(x)=x時，柯西中值定理就是立格朗日中值定理,

曲率:

弧微分公式：ds=Jl+V2dx，其中V

平均曲率衣=*△a:從M點(diǎn)到M，點(diǎn)，切線斜率的傾角妣量；As：MM弧長。

Ay

da_

M點(diǎn)的曲率：K=lim——

心一0As1dsJ(i+y2]

直線：K=0;

半徑為o的圓：K=—.

a

定積分的近似計算:

矩形法:J/(X)土勺0(%+%+???+/_])

a

梯形法:J/(x)^[：(%+%)+>]+…+%_1

a

bb—a

拋物線法j7（x）F(i)+2(…+—)+4(%+-]

a

定積分應(yīng)用相關(guān)公式:

功：W=Fs

水壓力：F=p-A

引力：I軍M為引力系數(shù)

_12

函數(shù)的平均值：y=----ff(x)dx

b-aa

1b

均方根彳

b-aa

空間解析幾何和向量代數(shù):

空間2點(diǎn)的距離：d=|M“21=J(%—X])2+(%—%)2+0-Z])2

向量在軸上的投影Pr/“9=|洞?COS9e是樂與M軸的夾角。

Pr/“（4+a2）=Pr+Prja2

a-b=\a\-\b\cos0=axbx+a色+。/z，是一個數(shù)量

ah+〃也+4也

兩向量之間的夾角eos6=xxYyyzz

222

Ja^+a+a^-Jb^+b+bz

yxyzyAyz

線速度：v=ivxr.

aay見

斗同為銳角時,

向量的混合積疑應(yīng)]=(MXB).E=bbybz=|@xcosa,a

Cy

代表平行六面體的體積

平面的方程：

1、點(diǎn)法式：A(x-Xo)+3(y-yo)+C(z-Zo)=0,其中力=｛人民。｝,%4/,%/。)

2、一般方程：Ax+3y+Cz+D=0

3、截距世方程1+1+三=1

abc

平面外任意一點(diǎn)到該■的距離：d」A.+'%+Czo+”

7A2+B2+C2

x=xQ+mt

空間直線的方程上口="四==^=f,其中8=｛相,〃,閉；參數(shù)方程卜=%+9

mnp

[z=z0+p/

二次曲面：

222

1、橢球面二+4+二=1

abc

22

2、拋物面二+二=z,(p,q同號)

2p2q

3、雙曲面：

222

單葉雙曲面J+谷-彳=1

abc

222

雙葉雙曲面二-當(dāng)+」=1(馬鞍面)

abc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

人四八,法/dz,,du,du,du,

芻立1成刀：dz=—dx~\--dydu——dx~\-----dyH---dz

dxdydxdydz

全微分的近似計算：Azxdz=/(x,y)Ax+/y(x,y)Ay

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

dz_dzdudzdv

z=/[?(/),v(?)]

dtdu8tdvdt

dzdu+dzdv

z=f[u(x,y),v(x,y)]—

oxdudxdvdx

當(dāng)〃=M(X,y),v=v(x,y)時，

,du.du..dv.dv.

du=—dx-\----ayav=—ax-\-----dy

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：

隱函數(shù)F(x,y)=O,@=-△，勺一區(qū)*、色

=&()+3」

dxFdx"dxFdx

yydyy

分7分7

隱函數(shù)F(x,y,z)=O,絲=-F"，絲=_F」

dxbzdyrz

dFdF

F(x,y,u,v)=O8(F,G)FF

隱函數(shù)方程組，J———uv

G(x,y,",v)=06(w,v)dGdG

GuGv

dudv

1d(F,G)Sv_1a(F,G)

J6(x,v)dxJ5(w,x)

1d(F,G)1S(￡G)

J5(y,v)dyJ9(",y)

微分法在幾何上的應(yīng)用:

x=g)⑴

空間曲線^y=以/)在點(diǎn)Ma。,％/。)處的切線方程:%一%=，一九_z—%

9&)〃4)0'伉)

z=0⑺

,,,

在點(diǎn)"處的法平面方程：^(r0)(x-x0)+^(r0)(y-y0)+(y(r0)(z-z0)=0

F、工工F*F,4

若空間曲線方程為則切向量了={

G(x,y,z)=OGyG「G：G；GGy

曲面E@〉/)=0上一點(diǎn)M(Xo，yo，Zo),則：

1、過此點(diǎn)的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、過此點(diǎn)的切平面方程Fr(xo,yo,zo)(x-xo)+F/xo,yo,zo)(y-yo)+Fz(xo,yo,zo)(z-zo)=O

3、過此點(diǎn)的法線方程："一八°—=——=—二一

工(Xo，%，Zo)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向?qū)?shù)與梯度：

函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向/的方向?qū)?shù)為3=gcose+gsin0

oloxoy

其中夕為x軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gra"(x,y)=%：+%/

oxoy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是更=grad/(x,y>。，其中0=cos9-f+sind，為/方向上的

ol

單位向量。

更是gra"(x,y)在/上的投影。

ol

多元函數(shù)的極值及其求法：

此(尤0,%)=力(/，%)=0，令：加(Xo，%)=AfXy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C

AC-B->o時，A<℃。。。)為極大值

[A〉0,(%,%)為極小值

貝MAC—B2<O時，無極直

AC—^2=0時，不確定

重積分及其應(yīng)用:

JJ/(%，y)dxdy=jj/(rcos^,rsinO)rdrdO

DD'

z、2

Sz)

曲面z=的面積A+——dxdy

JJw(x,y)擊JJy夕(x,y)db

平面薄片的重心：元=2=?-------------，了=二D

Mjjp(x,y)daMJJ夕(X,y)do

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸/、.=jjy2p(x,y)dc,對于y軸&=JJ/夕(x,y)dcr

DD

平面薄片(位五。嚴(yán)面)對Z軸上質(zhì)點(diǎn)比(0,0,a),(a〉0)的引力：F={Fx,Fy,Fz},其中:

二)JJ夕(X,y)xdb

FFy=川夕(x，y)”\,工二—利w呼

D(x2+y2+a2yD(x2+^2+4Z2)2D(x2+y2+a2)2

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):

x=rcosO

柱面坐標(biāo)：y=rsin^,jjj于(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,0,z)rdrdOdz,

QQ

2二2

其中:F(r,^,z)=/(rcos^,rsin^,z)

%=rsin"cos。

球面坐標(biāo)，y=rsin/sinadv=rdcp-r^mcp-dO-dr-r2sm(pdrd(pdO

z=rcos(p

2萬7ir?3)

j||f(x,y,z)dxdydz=JJJF(r,(p,0)r2sin(pdrd(pd0=Jdd^d(pjF(r,(p,0)r2sin(pdr

。。000

重心：釬［JU"，尸2川邛如，入刑上那"其中M二元=JJJpd?

Q

=222

轉(zhuǎn)動慣量：Ixfff(y+Z)pdv,Iy=+Z)pdv,人=川(/+/).

。oQ

曲線積分:

第一類曲線積分(對弧氏的曲線積分)：

設(shè)/?(%?)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為r=9⑺，(aW0,則:

【y=〃⑺

P___________________x=t

\f(x,y)ds=jfl9(t)，w(t)]yl0"⑺+(t)dt(a<￡)特殊情況，

Lay=。⑺

第二類曲線積分(對蜥的曲線積分)：

設(shè)L的參數(shù)方程."=9⑺，則:

、y=wQ)

P

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=j{P[^(O,^(O]^V)+。即⑺〃⑺]，⑺}df

La

兩類曲線積分之間的Pdx+Qdy=^(Pcostz+Qcos/3)d&其中a和夕分別為

LL

L上積分起止點(diǎn)處切向勖方向角。

格林公式也卷磊端林公式小署副團(tuán),Pdx+Q力

當(dāng)尸=—y,Q=x,即:/=2時，得至IjD的面積：A=jjdxdy=Jxdy-ydx

?平面上曲線積分與路彳疣關(guān)的條件：

1、G是一個單連通區(qū)域;

2、P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且乎="。注意奇點(diǎn)，如0,0),應(yīng)

oxdy

減去對此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積

在孚="時，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)/(x,y)的全微分，其中:

oxdy

(%,y)

w(x,y)=jP(x,y)dx+Q(%,y)辦通常設(shè)%=%=0。

(與加

曲面積分：

對面積的曲面積分Jjf(x,y,z)ds=jjf[x,y,z(x,y)]Jl+z；(羽y)+zj(羽y)dxdy

I%

對坐標(biāo)的曲面積分JjP(x,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+/?(x,z)dxdy其中：

z

JJR(x,y,*dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy取曲面的上側(cè)時取居*;

工Dxy

JJP(%,y,z)dydz=±JJ尸[九(>/),y,z]dydz取曲面的前側(cè)時取詔*;

sDyz

JJQ(九,y,z)dzd%=±JJQ[x,y(z,x),z]dzdx取曲面的右側(cè)時取1^*。

ZDzx

兩類曲面積分之間的5源：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcostz+Qcosj3+Rcosy)ds

EZ

高斯公式:

小雙+名+空)dv=9Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=抄(Pcosa+Qcos0+Rcusyjds

吧dxdydz

高斯公式的物理意義——通量與散度:

散度：小八普+詈+去即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)野勺流體質(zhì)量，

若divDvO,則為消失…

通量:A-nds=Ands=JJ(Pcosa+Qcos4+Rcos/)ds,

ZXz

因此，高斯公式又可寫成：jjjdivAdv=1A^ds

QS

斯托克斯公式—曲線積分與曲面積分的關(guān)系:

cr.dRdQ.,,,dP8R.,,,dQdP

11(----------)dydz+(----------)dzdx+(-----dxdy-JPdx+Qdy+Rdz

?dydzdzdxdxdyr

dydzdzdxdxd)COS。cos，cos/

上式左端又可寫成口ddddd5

￡dxdydzJdxdydz

PQRPQR

空間曲線積分與路徑般的條件色舒言嗑

ijk

555

旋度：roM=

dxdydz

PQR

向量場4沿有向閉曲線"的環(huán)流量，尸d%+Qdy-\-Rdz=JA-tds

rr

常數(shù)項級數(shù):

1一〃“

等比數(shù)列：!+￡+/+…+q"T=j

"q

等差數(shù)列=1+2+3+…

2

調(diào)和級數(shù)口+L+』H----1■,是發(fā)散的

23n

級數(shù)審斂法:

1、正項級數(shù)的審斂法——根植審斂法(柯西判別法)：

「<1時，級數(shù)收斂

設(shè)：夕=lim曲7，則<「〉1時，級數(shù)發(fā)散

n—>oo

夕=1時，不確定

2、比值審斂法：

/<1時，級數(shù)收斂

設(shè)：夕=limW,則夕〉1時，級數(shù)發(fā)散

H—>00TJ

"〔夕=1時，不確定

3、定義法：

S.=%+/+…+“存在，則收斂；否則；O；。

?—>oo

交錯級頻1-"2+“3-%+…(或-"1+"2-〃3+??,，”“>0)的審斂法---萊布尼茲定理:

如果交錯級數(shù)滿%口，那么級數(shù)收斂且其和4對,其余項項絕對儆|<―。

jifgn

絕對收斂與條件收斂：

(1)%+"2T---卜--9其中孫為任意實數(shù)；

⑵同+|的|+同+???+⑷+…

如果⑵收斂，貝/1)肯定收斂，且稱為絕對攵斂級數(shù);

如果⑵發(fā)散，而⑴收斂，則稱a)為條件收斂級數(shù)。

調(diào)和級數(shù)》4發(fā)散，而z中便斂;

級數(shù)》《收斂;

n

/p<l時發(fā)散

P級數(shù):2二,2〉1時收斂

nl

幕級數(shù):

1

23/|乂<1時，收斂于一—

1+x+x-+X+??-+%+???(1-x

\|x|>1時，發(fā)散

對于級數(shù)(3)%+%尤+的尤2+…+a"x"+…,如果它不是僅在原點(diǎn)I攵斂，也不是在全

/|x|<R時收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存ER,使口』〉7?時發(fā)散其中R稱為收斂半徑。

=R時不定

Ip大0時，R=—

求收斂半徑的方法：設(shè)im回=夕，其中%,4+1是⑶的系數(shù)，貝j夕=0時，7?=+oo

rt->00Z7\

“\p-+oo時，R=0

函數(shù)展開成幕級數(shù)：

函數(shù)展開成泰勒級數(shù):/(X)=/(%0)(%-犬0)+,")(%-%o)2H---F—~號^(尤-尤0)，H

2!nl

廣〃+D(產(chǎn)、

余項：Rn=l一g(九一/)〃+1,7(工)可以展開成泰勒級數(shù)自流要條件是jimH.=0

(n+1)!〃-g

X。=0時即為麥克勞林公式：/(X)=/(0)+/(0)尤++…+匕8尤"+…

2!n\

一些函數(shù)展開成幕級數(shù)：

(1+x)=l+mx+^^----------------------x+???(-l<x<l)

r3/2n-l

sinx=x-2——l-----------1-(-1)"-1------------1—(-oo<x<+oo)

3!5!(2n-l)!

歐拉公式：

cosx=

eix=cosx+z?s?inx或

sinx=

2

三角級數(shù):

8a00

/(0=4+sin(〃初+0〃)=-+cos+bnsinnx)

n=l2n=[

其中，劭=〃4，%=A〃sin外,b'=4cos%,M=xo

正交性d,sinx,cos%,sin2x,cos2%…sin幾x,coszu???任意兩個不同項的乘積匹刈

上的積分=0。

傅立葉級數(shù):

Q8

/(%)=」+Z(ancosnx+bnsinnx),周期=2%

2n=\

[71

a=—j/(x)cosnxdx(?=0,1,2.?.)

其中-71

71

1

bnjf(x)sinnxdx(〃=1,2,3…)

71-71

1n212

1++.?.=<(相加)

FH—+…~8~1+

52+不6

冗?

1111萬2,J

H-----------------(相減)

-24if一不12

正弦級數(shù)：an=0,b“n=1,2,3…/(x)=WXsinzu是奇函數(shù)

/(x)=T+Za”coszu是偶函數(shù)

余弦級數(shù)：b,n=0,ann=0,1,2--?

周期為2/的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):

瑪eznjjx7

于(X)+cos+sin等)，周期=2/

=^/En=l^-Ir^

a=；J/(x)cos竿dx

n5=0,1,2…)

l一1I

其中＜I

b"=-^f(x)sm^dx5=1,2,3…)

、-I

微分方程的相關(guān)概念：

一階微分方程：y'=/(x,y)或P(x,y')dx+Q(x,y)dy=0

可分離變量的微分方程一階微分方程可以例g(y)dy=/(x)dx的形式，解法：

Jg(y)辦=J/(x)dx得：G(y)=R(x)+C稱為隱式通解。

齊次方程：一階微分身呈可以寫成半=/(x,y)=9(x,y),即寫成)的函數(shù)，解法：

axx

設(shè)M=2,則@="+工也，"+立■=磯"),:"=3—分離變量,積分后將々弋替M,

xdxdxdxx(p(u)-ux

即得齊次方程通解。

一階線性微分方程：

1、一階線性微分方程§+P(x)y=Q(x)

dx

(當(dāng)。(x)=0時,為齊次方程，y=CeI"⑴"

［當(dāng)。(x)w0時，為非齊次方程，y=

2、貝努力方程，+P(x)y=Q(x)y",(“wO,l)

dx

全微分方程：

如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全稔分方程，即：

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:一=P(x,y),一=Q(x,y)

dxdy

：.〃(x,y)=C應(yīng)該是該全微分方程的I解。

二階微分方程：

d2y》、dy?〃、//'(x)三°時為齊次

#+“石+*y—7寸為非齊次

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法:

(*)y"+py'+qy=O,其中p應(yīng)為常數(shù);

求解步驟：

1、寫出特征方程0)/+pr+q=O,其中尸廠的系數(shù)及常數(shù)項恰好是*)式中的系數(shù);

2、求出(△)式的兩個根小馬

3、根據(jù)？々的不同情況，按下表寫X*式的通解：

中2的形式(*)式的通解

兩個不相等實根(p?-曲＞0)y=qe"+

rx

兩個相等實根(。2-曲=0)y=(q+c2x)e'

一對共甄復(fù)根(P?-的＜0)y=*(qcos償+c2sinJ3x)

rx=a+i/3,r^-a-ip

22

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y"+py'+qy=f(x),p,g為常數(shù)

/(尤)=於&(尤)型,4為常數(shù);

/(九)=e，q(x)cos5+匕(x)sinftzc］型

一、原函數(shù)與不定積分概念

微積分學(xué)主要包含兩大內(nèi)容：微分學(xué)與積分學(xué)，主要工具是極限思想方法。單元二和單元三

就是微分學(xué)及其應(yīng)用。本單元是積分學(xué)中的不定積分，是求導(dǎo)數(shù)的逆過程。例如，如果已知

運(yùn)動的速度規(guī)律：V=v(t),要求運(yùn)動的位移規(guī)律s=s(t)；又如，已知函數(shù)的

變化率為y=f(X),要求原來的函數(shù)y=F(X),這都是求不定積分問題。

定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上有定義，如果存在函數(shù)y=F(x),對于該

區(qū)間上任一點(diǎn)x,使得F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx成立，

則稱F(x)是f(x)在該區(qū)間上的一個原函數(shù)(primitivefunction)。例如

(1)尸⑴=3/-5/+x-7是=9--10x+l在S，+8)上的一個原函數(shù)

(2)F(x)=3/-5/+x+15池是/(x)=9--10x+l在(-8,+8)上的一個原函數(shù)

(3)F(x)=3/_5sin2x+e*=9,一10smxcosx+e*在(-8,+8)上的一個嚀

函數(shù)

(4)90)=3(:。524升一7附0)=-245也4芯(：054升在(-8,+8)上的一個原函數(shù)

(5)F(x)=3COS24X+12TS/(X)=-24sin4xcos4x在(-8,+8)上的一個原函數(shù)

一般地說，由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。，如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，那么F(x)

+C也都是f(x)的原函數(shù)(其中C是任意常數(shù))。因此，如果f(x)有一個原

函數(shù)F(x),它就有原函數(shù)族：F(x)+C,這個原函數(shù)族就稱為f(x)的不

定積分。即

定義2如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則稱原函數(shù)族F(x)+C為f(x)

的不定積分(indefiniteintegral),