【課件】一元線性回歸模型及其參數(shù)的最小二乘估計(jì)課件-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊+

第八

章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2.1

一元線性回歸模型

及其參數(shù)的最小二乘估計(jì)1.樣本相關(guān)系數(shù)：2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).②|r|≤1；③當(dāng)|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；特別地，當(dāng)|r|＝0時，成對數(shù)據(jù)的沒有線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)|r|＝1時，成對數(shù)據(jù)都落在一條直線上.復(fù)習(xí)回顧生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高不僅線性相關(guān)，而且還是正相關(guān)，即父親的身高較高時，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如下表所示.編號1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182我們先用散點(diǎn)圖對上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。問題1根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出來的散點(diǎn)圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.新課講解問題2根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？編號1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182…172…父親身高…176174…兒子身高兒子身高不是父親身高的函數(shù)…170…兒子身高…173169…父親身高父親身高不是兒子身高的函數(shù)兒子身高和父親身高之間不是函數(shù)關(guān)系，故不能用函數(shù)模型刻畫.新課講解問題3：由于其他因素的存在，使得兒子身高和父親身高有關(guān)系但不是函數(shù)關(guān)系，那么影響兒子身高的其他因素是什么？母親的身高生活的環(huán)境飲食習(xí)慣...營養(yǎng)水平體育鍛煉新課講解

Y=bx+a+e隨機(jī)誤差e的特征隨機(jī)誤差e是一個隨機(jī)變量①可取正或取負(fù)②有些無法測量③不可事先設(shè)定建立模型

我們稱(1)式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.

Y：因變量或響應(yīng)變量，

x：自變量或解釋變量；新課講解a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.追問

為什么要假設(shè)E(e)=0，而不假設(shè)其為某個不為0的常數(shù)？因?yàn)檎`差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.

新課講解問題4

你能結(jié)合父親與兒子身高的實(shí)例，說明回歸模型(1)的意義？

問題5

對于父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高yi一定是bxi+a嗎？新課講解函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：

一元線性回歸模型Y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e,因變量Y

的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定,

即自變量x只能解釋部分Y的變化.變量之間具有的函數(shù)關(guān)系，是一種確定性的關(guān)系變量之間具有的相關(guān)關(guān)系，是一種不確定性關(guān)系新課講解1．在一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e中，下列說法正確的是(

)A．y＝bx＋a＋e是一次函數(shù)B．因變量y是由自變量x唯一確定的C．因變量y除了受自變量x的影響外，可能還受到其它因素的影響，這些因素會導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生D．隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可通過精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生C小本P147練習(xí)鞏固2．若某地財政收入x與支出Y滿足一元線性回歸模型

Y＝bx＋a＋e(單位：億元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財政收入為10億元，年支出預(yù)計(jì)不會超過(

)A．9億元 B．9.5億元C．10億元 D．10.5億元D大本P77練習(xí)鞏固問題3一元線性回歸模型表達(dá)式

刻畫的是變量Y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，其中參數(shù)a和b未知，我們能否通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)a和b?參數(shù)a和b刻畫了變量Y與變量x的線性關(guān)系，因此通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個參數(shù)，相當(dāng)于尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€，使表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最接近.新課講解問題3如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線

最接近”？采用測量的方法，先畫出一條直線，測量出各點(diǎn)與它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個使距離的和最小的位置.然后測量出此時的斜率和截距，就可得到一條直線，如圖(1)所示.方法一：新課講解方法二：在圖中選擇這樣的兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線，如圖(2)所示.問題3如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線

最接近”？新課講解方法三：在散點(diǎn)圖中多取幾對點(diǎn)，確定出幾條直線的方程，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距，如圖(3)所示.問題3如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線

最接近”？新課講解

設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x1,

y1),(x2,

y2),???,(xn,

yn),由yi=bxi+a+ei(i=1,2,???,n)，得顯然|ei|越小，表示樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小，如圖所示.新課講解當(dāng)a,b的取值為

達(dá)到最小.新課講解

新課講解練習(xí)鞏固

x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

大本P77練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固例2隨著網(wǎng)絡(luò)的普及，網(wǎng)上購物的方式已經(jīng)受到越來越多年輕人的青睞，某家網(wǎng)絡(luò)店鋪商品的成交量x(單位：件)與店鋪的瀏覽量y(單位：次)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：x/件