2024年北京市東城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案

第1頁/共1頁2024北京東城高三二模數(shù)學(xué)2024.5選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A） （B）（C）（D）（2）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（A） （B）（C）（D）（3）在中,，，，則(A)(B)(C)(D)（4）已知雙曲線過點(diǎn)，且一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的方程為（A） （B）（C） （D）（5）直線與圓交于兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得為等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以為(A)(B) (C)(D)（6）袋中有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球.從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，觀察顏色后放回，同時(shí)放入一個(gè)與其顏色大小相同的小球，然后再從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，則兩次摸到的小球顏色不同的概率為（）(A)（B）(C)(D)（7）已知函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn)，則所在的區(qū)間為(A)(B) (C)(D)（8）已知平面向量是單位向量，且，則“”是“”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的，每一個(gè)純音都是由單一簡諧運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的樂音，其數(shù)學(xué)模型為，其中表示振幅，響度與振幅有關(guān)；表示最小正周期，，它是物體振動(dòng)一次所需的時(shí)間；表示頻率，，它是物體在單位時(shí)間里振動(dòng)的次數(shù).下表為我國古代五聲音階及其對應(yīng)的頻率：音宮商角徵羽頻率262Hz293Hz330Hz392Hz440Hz小明同學(xué)利用專業(yè)設(shè)備，先彈奏五聲音階中的一個(gè)音，間隔個(gè)單位時(shí)間后，第二次彈奏同一個(gè)音（假設(shè)兩次聲音響度一致，且不受外界阻力影響，聲音響度不會(huì)減弱），若兩次彈奏產(chǎn)生的振動(dòng)曲線在上重合，根據(jù)表格中數(shù)據(jù)判斷小明彈奏的音是（A）宮 （B）商 （C）角 （D）徵（10）設(shè)無窮正數(shù)數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱為內(nèi)和數(shù)列，并令，稱為的伴隨數(shù)列，則（A）若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列（B）若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列（C）若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列（D）若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列第二部分（非選擇題共110分）填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）（12）若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.（13）設(shè)函數(shù)，則，不等式的解集是．（14）如圖，在六面體中，平面∥平面，四邊形與四邊形是兩個(gè)全等的矩形，∥，∥，平面，，，，則_______,該六面體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值為______.已知平面內(nèi)點(diǎn)集，中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離都不相等.設(shè)集合，.給出以下四個(gè)結(jié)論：①若，則;②若為奇數(shù)，則；③若為偶數(shù)，則;④若,則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，，,，平面平面.（=1\*ROMANI）求證：；（=2\*ROMANII）若，，求平面與平面夾角的余弦值.(17)（本小題13分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在,并求函數(shù)在上的最大值和最小值.條件=1\*GB3①：函數(shù)是奇函數(shù)；條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（18）（本小題13分）北京市共有16個(gè)行政區(qū)，東城區(qū)、西城區(qū)、朝陽區(qū)、豐臺(tái)區(qū)、石景山區(qū)和海淀區(qū)為中心城區(qū)，其他為非中心城區(qū).根據(jù)《北京市人口藍(lán)皮書﹒北京人口發(fā)展研究報(bào)告（2023）》顯示，2022年北京市常住人口為2184.3萬人，由城鎮(zhèn)人口和鄉(xiāng)村人口兩個(gè)部分構(gòu)成，各區(qū)常住人口數(shù)量如下表所示：行政區(qū)東城區(qū)西城區(qū)朝陽區(qū)豐臺(tái)區(qū)石景山區(qū)海淀區(qū)門頭溝區(qū)房山區(qū)城鎮(zhèn)人口（萬人）70.4110343.3199.956.3305.436.2102.6鄉(xiāng)村人口（萬人）000.91.3073.428.5行政區(qū)通州區(qū)順義區(qū)昌平區(qū)大興區(qū)懷柔區(qū)平谷區(qū)密云區(qū)延慶區(qū)城鎮(zhèn)人口（萬人）137.387.8185.9161.632.827.934.920.5鄉(xiāng)村人口（萬人）4744.740.837.511.117.717.713.9（Ⅰ）在16個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)，求該區(qū)為非中心城區(qū)且2022年鄉(xiāng)村人口在20萬人以下的概率;（Ⅱ）若隨機(jī)從中心城區(qū)選取1個(gè)，非中心城區(qū)選取2個(gè)行政區(qū)，記選出的3個(gè)區(qū)中2022年常住人口超過100萬人的行政區(qū)的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望;（=3\*ROMANIII）記2022年這16個(gè)區(qū)的常住人口、城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的方差分別，試判斷的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）（本小題15分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，直線，且到的距離與到的距離之比為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為橢圓上不同的兩點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)作直線的平行線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線與直線交于點(diǎn).求證：點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等.

（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).（21）（本小題15分）已知為有窮整數(shù)數(shù)列，若滿足：，其中是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù)，且，則稱具有性質(zhì). （Ⅰ）若，那么是否存在具有性質(zhì)的？若存在，寫出一個(gè)這樣的；若不存在，請說明理由；（Ⅱ）若，且具有性質(zhì)，求證：中必有兩項(xiàng)相同；（=3\*ROMANIII）若，求證：存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，都有中任意兩項(xiàng)均不相同.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）B （3）D （4）A（5）D（6）B （7）B （8）D （9）C（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（13）1,（14）（15）=1\*GB3①②④三、解答題（共6小題，共85分）(16)（本小題14分）解：（=1\*ROMANI）因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?,所以.又,所以.……..6分（=2\*ROMANII）因?yàn)?，所以又因?yàn)椋鐖D，建立空間直角坐標(biāo)系，則，易知平面的法向量.設(shè)平面的法向量，于是，即令，，，則.所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.……….14分(17)（本小題13分）解：（Ⅰ）由題意知.因?yàn)椋?解得.…………3分（Ⅱ）選擇條件=1\*GB3①:函數(shù)是奇函數(shù)..因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以,即.因?yàn)?所以.于是，.因?yàn)椋?當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為1.當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為.………13分選擇條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象.,因?yàn)槠鋱D象與的圖象相同，所以，所以，因?yàn)?所以.以下同選條件=1\*GB3①.…………13分(18)（本小題13分）解：（=1\*ROMANI）在16個(gè)行政區(qū)中有10個(gè)非中心城區(qū)，鄉(xiāng)村人口在20萬人以下的有門頭溝區(qū)、懷柔區(qū)、平谷區(qū)、密云區(qū)、延慶區(qū),共5個(gè).所以隨機(jī)選擇一個(gè)行政區(qū)，則該區(qū)為非中心城區(qū)且農(nóng)村人口在20萬人以下的概率為.……………4分（=2\*ROMANII）6個(gè)中心城區(qū)中常住人口超過100萬人的有4個(gè)區(qū)，10個(gè)非中心城區(qū)中常住人口超過100萬人的有5個(gè)區(qū).X的所有取值包括0，1，2，3，則；；；.所以X的分布列為X0123P.……………10分（=3\*ROMANIII）.（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由已知，，解得.因?yàn)?，所?所以橢圓的方程為.……………5分（Ⅱ）.設(shè)，則，.直線，，聯(lián)立,得，整理得，因?yàn)?，，所以?同理可得，.所以點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等．……………15分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，所以，，故曲線在處的切線方程為.…………5分（Ⅱ），設(shè)，所以，令，得，，，000遞增遞減遞減遞增，，，，，故存在，使得，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn).…………15分(21)（本小題15分）解：（Ⅰ）不存在具有性質(zhì)的，理由如下：設(shè)，由于，，設(shè)中有個(gè)，個(gè)，則有，所以有，這與為整數(shù)矛盾，因此存在具有性質(zhì)的.…………4分（Ⅱ）設(shè)中的最大值為，則存在，使，或.若存在，使，下證：可以取遍到之間所有的整數(shù).假設(shè)存在正整數(shù)，使得中各項(xiàng)均不為，令集合，設(shè)是集合中元素的最大值，則有，這與矛盾.所以可以取遍到之間所有的整數(shù).若，則的取值只能為.此時(shí)這9個(gè)數(shù)中必有兩項(xiàng)相同.若，則的取值只能為中的數(shù)，此時(shí)這9個(gè)數(shù)中必有兩項(xiàng)相同.若，則中一定有異于和的正整數(shù)，再由可以取遍到之間所有的整數(shù)，所以這9個(gè)數(shù)中必有兩項(xiàng)相同.當(dāng)，同理可證：可以取遍到之間所有的整數(shù).從而這9個(gè)數(shù)中必有兩項(xiàng)相同.…………10分（=3\*ROMA