人教版九上《解一元二次方程》

1——以人教版九上“21.2一元二次方程解法”單元為例一、單元信息基本信息年級教材版本單元名稱數(shù)學九年級第一學期人教版21.2解一元二次方程單元組織方式自然單元□重組單元課時信息序號課時名稱對應教材內(nèi)容1配方法2第21.2.2；21.2.4(P9-12，P15-16)34(P5-18)二、單元分析(一)課標要求經(jīng)歷一元二次方程解法的探究過程，體會數(shù)學的從特殊到一般、從具體到抽象的思想方法，領會“化歸”思想和“降次”策略在方程中的作用.能用直接開平方法、因式分解法解一元二次方程.理解用配方法解一元二次方程的基本思路，掌握求根公式并會用配方法和公式法解一元二次方程.理解一元二次方程的根的判別式的意義，會用判別式判斷一元二次方程根的情況，能根據(jù)一元二次方程根的情況確定判別式的值的符號.理解二次三項式的因式分解與一元二次方程的根之間的內(nèi)在聯(lián)系.課程標準中明確：本章應注重聯(lián)系實際，體現(xiàn)建模思想，培養(yǎng)和發(fā)展學生的應用意識；在教學中應重視知識的聯(lián)系，要建立合理的邏輯過程，突出解方程的基本策略；在教學過程中應注重培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析問題和解決問題的能力.(二)教材分析21.知識網(wǎng)絡《一元二次方程》是《課標(2011年版)》“方程與不等式”內(nèi)容中在一元一次方程(七年級上)，二元一次方程組(七年級下)，分式方程(八年級上)的最后一章。主要研究一元二次方程概念、解法和應用。它是在學生已經(jīng)學習了一次方程和分式方程內(nèi)容之后安排的。知識結構上，遵循方程研究的一般路徑(概念-解法-應用)；研究方法上，讓學生經(jīng)歷“具體情境抽象概念—研究特例歸納解法—運用解法解決問題”的學習過程，滲透類比、特殊到一般和一般到特殊等研究問題的思想方法，發(fā)展數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學推理等能力。通過本單元的學習，學生能夠建立起比較完善的方程的知識結構，進一步感受從簡單的、特殊的問題出發(fā)，通過逐步推廣而獲得復雜的、一般的問題，并通過將一般性問題化歸為特殊問題，獲得這一類問題的解法，從而形成具有普適性的數(shù)學思想方法.同時，也為二次函數(shù)的學習奠定了基礎。因此，本單元的學習重點是：一元二次方程的解法。(三)學情分析從學生的認知規(guī)律看：學生在一元一次方程(七年級上)，二元一次方程組(七年級下)，分式方程(八年級上)的學習中已經(jīng)獲得了“方程”學習的一般路徑和過程，體會到了“方程”和代數(shù)研究的一般路徑，這些都為一元二次方程的學習打下思想方法基礎。從學生的學習習慣、思維規(guī)律看：九年級學生在數(shù)學的學習上已經(jīng)具備一定的自主學習能力和獨立思考能力，也積累了一定的數(shù)學學習活動經(jīng)驗。學生的抽象邏輯思維已經(jīng)開始占主導地位并且逐步由經(jīng)驗型向理論型轉化。學生的觀察力、記憶力、想象力都有著一定的發(fā)展，能夠通過感知事務提出猜想，然后進行推理論證，但推理過程還依舊需要感性經(jīng)驗的支撐。因此，本單元的學習難點是：靈活運用一元二次方程的解法解決實際問題，培養(yǎng)模型思想和應用意識.三、單元學習與作業(yè)目標31.會用直接開平方法、因式分解法解特殊的一元二次方程.2.理解用配方法解一元二次方程的基本思路，掌握求根公式并能用配方法和公式法解一元二次方.3.經(jīng)歷一元二次方程解法的探索過程，體會從特殊到一般、從具體到抽象的研究方法，領會“化歸”思想和“降次”策略.4.會列一元二次方程的解法解決簡單的實際問題，體會方程思想，培養(yǎng)模型意識.四、單元課程及作業(yè)設計思路1.單元課程整體的調(diào)整設計：人教九年級“一元二次方程解法”，本單元教師用書共計安排7個課時，依據(jù)教材編排呈現(xiàn)的自然課時(自然課時以“練習”為標志)，如下表所示：21.2.2公式法分解法21.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關系復習、機動2課時2課時從單元整體教學角度，筆者對課時進行了重新劃分：將第1、2自然課時合并成1個課時，目的體現(xiàn)數(shù)學的整體性、思想的一致性；將第3自然課時與第5自然課時的部分內(nèi)容合并成一個課時，目的是體現(xiàn)數(shù)學的思想邏輯的連貫性、思維的系統(tǒng)性.這樣就有4個機動課時，給教師和學生騰出更多的時間，可以利用這個時間進行綜合訓練或開展綜合實踐活動.21.2.2公式法21.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關系復習、機動4課時2.單元作業(yè)的分層設計：每個課時的作業(yè)由“基礎性作業(yè)”和“發(fā)展性作業(yè)”組成.基礎性作業(yè)面向全體學生，緊扣課標要求，題量為2-3大題，要求學生必做并上交老師批改訂正；發(fā)展性作業(yè)主要體現(xiàn)學生個性化發(fā)展的需要，因此探究性、實踐性較強，題量2-3大題，要求學生有選擇的完成，不必上交，可以與老師單獨交流。具體設計體系如下：4五、課時作業(yè)第一課時(21.2.1配方法)作業(yè)1(基礎性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)解下列方程：(2)解下列方程：3(x-1)2+6=0；④(x+3)2=0,填空:①x2+10x+____=(x+____)2；②x2-12x+____=(x-____)2；x2+5x+____=(x+____)2；④x2-x+____=(x-____)2.2.時間要求(20分鐘以內(nèi))3.評價設計作業(yè)評價表評價指標等級備注ABC答題的準確性C等，答案不正確,有過程不完整；答案不準確，過程錯誤、或無過程。答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。解法的創(chuàng)新性A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。綜合評價等級BC等。54.作業(yè)分析與設計意圖(1)本題作業(yè)的前三題是“P6練習”中的(1)(2)(6)課本原題，④是補充練習，練習反映了一元二次方程解的不同情況,由此明確了形如x2=p(Ⅰ)的一元二次方程根的三種情況.鞏固形如x2=p(Ⅰ)的一元二次方程根的解法.(2)本題作業(yè)的前兩題是“P6練習”中的(3)(5)原題，③是原題(4)的改編④是補充練習，由此明確并歸納得到形如(x+n)2=p(Ⅱ)的一元二次方程根的三種情況.這樣的作業(yè)設計，一方面將課本的習題進行了處理，另一方面補充與改編的題目是為了強化學生對一元二次方程的根可能有三種情況的感性認識、體會“降次”的依據(jù)——開平方運算，同時為后面學習根的判別式埋下伏筆.鞏固形如(x+n)2=p(Ⅱ)的一元二次方程根的解法，體會“降次”思想。(3)本題作業(yè)時課本P9練習1，通過這個練習，讓學生明確配方，配什么？基礎性作業(yè)主要考慮有具有基礎性，重視所學內(nèi)容中的“四基”，培養(yǎng)學生的“四能”，同時具有針對性，是根據(jù)教學目標與教學過程中的學生表現(xiàn)而設計，配合教學進度、教學內(nèi)容進行設計便于及時反饋，避免進行大量的、無針對性的、機械性的練習.作業(yè)2(發(fā)展性作業(yè))(1)解下列方程：①x2+4x-9=2x-11；(2)課本P18閱讀與思考3.評價設計x(x+4)=8x+12；作業(yè)評價表評價指標等級備注ABC答題的準確性C等，答案不正確,有過程不完整；答案不準確，過程錯誤、或無過程。答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。6解法的創(chuàng)新性A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。綜合評價等級BC等。4.作業(yè)分析與設計意圖(1)本題作業(yè)是課本練習題，是對基礎性作業(yè)(3)補充拓展，要求學生能通過對方程的變形整合達到配方的目的；(2)本題需要學生認真閱讀相關材料然后再聯(lián)系所學知識，運用所學一元二次方程的解法分析、解決問題，旨在培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光觀察世界與用數(shù)學的思維思考世界.體會數(shù)學的應用價值。第二課時(21.2.2公式法、21.2.4一元二次方程根與系數(shù)的關系)作業(yè)1(基礎性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)用公式法解方程：(2)解下列方程：(3)不解方程求下列方程兩個根的和與積.xx2.時間要求(20分鐘)73.評價設計作業(yè)評價表評價指標等級備注ABC答題的準確性C等，答案不正確,有過程不完整；答案不準確，過程錯誤、或無過程。答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。解法的創(chuàng)新性A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。綜合評價等級AAAAABA等；ABB、BBB、AAC綜合評價BC等。4.作業(yè)分析與設計意圖PP過練習體會用求根公式解方程的步驟，明晰用求根公式前要化方程為“一般形式”，確定a、b、c的值時要注意它們的符號；(2)本題是“P12練習1”(2)(3)(5)(6)，因為不同學生的數(shù)學水平參差不齊，學習能力也不同，個性千差萬別，此處遵循“因材施教”原則，對同一問題盡可能多角度設計階梯形題組，使各個層次的學生在各自的起點上都有所收獲；(3)本題前三題是“P16練習”，讓學生體會用一元二次方程根與系數(shù)關系前要化方程為“一般形式”。這部分內(nèi)容為選學內(nèi)容，重在體會關系式。8作業(yè)2(發(fā)展性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)利用判別式判斷下列方程的根的情況：①2x2-3x-=0；②16x2-24x+9=0；(2)求下列方程兩個根的和與積：2.時間要求(20分鐘)3.評價設計作業(yè)評價表評價指標等級備注ABC答題的準確性錯誤、或無過程。答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。解法的創(chuàng)新性A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。綜合評價等級合評價為B等；其余情況綜合評價為C等。4.作業(yè)分析與設計意圖(1)本題是P17習題21.2“復習鞏固”第4題，在本題中學生通過練習體會用一元二次方程根與系數(shù)的關系，明晰根與系數(shù)關系的“一般形式”，確定a、b、c的作用；(2)本題是P17習題21.2“復習鞏固”第7題，本題是習題中帶有星號的題目，是選學內(nèi)容，通過本題的練習旨在讓學生初步理解一元二次方程根與系數(shù)的關系并能靈活運用解題。9第三課時(21.2.3因式分解法)作業(yè)1(基礎性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)解下列方程：③3x2-6x=-3；④4x2-121=0.(2)如圖，把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積擴大了一倍。求小圓形場地的半徑.2.時間要求(15分鐘)3.評價設計作業(yè)評價表評價指標等級備注ABC答題的準確性錯誤、或無過程。答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。解法的創(chuàng)新性A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。綜合評價等級合評價為B等；其余情況綜合評價為C等。4.作業(yè)分析與設計意圖(1)本題是P14練習第1題(1)(2)(3)(4)，在本題中學生通過練習運用提公因式法、公式法進行因式分解進而解一元二次方程，體會“降次”的基本思路明確各種解法的特點，學會根據(jù)題目特點做出適當?shù)倪x擇；(2)本題是P14練習第2題，本題是一個實際問題通過本題的練習旨在讓學生可以根據(jù)具體問題構造出一元二次方程解決問題，體會數(shù)學問題來源于生活又服務于生活.作業(yè)2(發(fā)展性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)解下列方程：①3x(x-1)=2(x-1)；②(x-4)2=(5-2x)2；xxxx3-x)2(2)參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加了商品交易會？2.時間要求(15分鐘)3.評價設計作業(yè)評價表評價指標等級備注ABC答題的準確性錯誤、或無過程。答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。解法的創(chuàng)新性A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。綜合評價等級合評價為B等；其余情況綜合評價為C等。4.作業(yè)分析與設計意圖(1)本題是P14練習第1題(5)(6)和習題21.2“復習鞏固”第6題(3)(4)，在本題的學生解題中容易犯經(jīng)驗主義錯誤，第①③題學生容易方程兩邊同除以一個一次式，從而只得到一個一次方程，第②④題學生容易直接將平方去掉從而得到一個一次方程，通過本題的訓練旨在讓學生理解因式分解的方法解一元二次方程必須先把方程化為一般形式，再分解為兩個一次式的積等于；(2)本題是P17習題21.2“綜合運用”第9題，通過實際問題的訓練使學生能建立數(shù)學模型用所學知識分析問題，解決問題；機動課時作業(yè)1(基礎性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)解方程：2x2+2x-4=0(2)解方程：x2-75x+350=0(3)P18閱讀與思考黃金分割數(shù)畫五角星.2.時間要求(15分鐘)3.評價設計作業(yè)評價表評價指標等級備注ABC答題的準確性錯誤、或無過程。答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。解法的創(chuàng)新性A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。綜合評價等級合評價為B等；其余情況綜合評價為C等。4.作業(yè)分析與設計意圖第(1)題是章前引言中實際問題所列方程，第(2)題時21.1一元二次方程引例中的問題1所列方程.在日常教學中，常出現(xiàn)章前圖的問題得不到解決的情況，把這兩個問題組成題組，更能突出問題解決，也能給學生留下深刻印象.運用數(shù)學知識與方法解決實際問題的實踐性作業(yè)，學生可以通過解決這兩個問題體會數(shù)學來源于生活，并體驗問題解決帶來的樂趣；第(3)題是P18的閱讀與思考，本題可讓學生課下小組交流畫法，并得到至少兩種畫五角形的方法，滲透項目式學習.聯(lián)系七上的數(shù)學活動練習2(人教版七上P144)動手做一個實物五角星，嘗試說明為什么這樣做得到的是五角星.培養(yǎng)學生的模型思想和應用意識.作業(yè)2(發(fā)展性作業(yè))1.作業(yè)內(nèi)容(1)無論p取何值，方程(x-3)(x-20)-p2=0總有兩個不等的實數(shù)根嗎？給出答案并說明理由.(2)上網(wǎng)查閱有關黃金數(shù)與優(yōu)選法、斐波那契數(shù)列等資料.2.時間要求(20分鐘)3.評價設計作業(yè)評價表評價指標等級備注ABC答題的準確性錯誤、或無過程。答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。解法的創(chuàng)新性A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。綜合評價等級合評價為B等；其余情況綜合評價為C等。4.作業(yè)分析與設計意圖(1)本題是P17習題21.2“拓廣探索”第13題，本題含有參數(shù)，目的是通過將方程轉化為一般形式，對判別式的取值進行分析，加強學生對判別式的理解和認識.(2)通過上網(wǎng)查閱資料開闊視野，進一步了解黃金分割數(shù)的應用，使學生認識到現(xiàn)實中的許多現(xiàn)象都可以借助這個奇妙的數(shù)進行研究，激發(fā)學生的求知欲.六、單元質(zhì)量檢測作業(yè)(一)單元質(zhì)量檢測作業(yè)內(nèi)容一、選擇題(單項選擇)1．已知一元二次方程x2+x+1＝0，下列判斷正確()A．該方程有兩個不相等的實數(shù)根B．該方程有兩個相等的實數(shù)根C．該方程無實數(shù)根D．該方程根的情況無法確定2．方程x2+x﹣2＝0的兩個根為()3．下列一元二次方程中，有兩個實數(shù)根的和為2是()AxxB．x2﹣2x+2022＝04．關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0沒有實數(shù)根，則m的值可能是()