2021年遼寧省沈陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

2021年遼寧省沈陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，每小題2分，共

20分）

1.9的相反數(shù)是（）

A.-B.--C.9D.-9

99

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)可得答案.

【詳解】解：9的相反數(shù)是一9,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互

為相反數(shù)）的概念.

2.下圖是由6個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體，這個(gè)幾何體的主視圖是（）

A.||II]B.。莊

E0

【答案】B

【解析】

【分析】利用主視圖的定義進(jìn)行判斷即可，即從幾何體的正面觀察得出視圖.

【詳解】解：從幾何體的正面看，底層是四個(gè)小正方形，上層的左端是一個(gè)小正方形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，正確把握觀察的角度是解題的關(guān)鍵.畫(huà)簡(jiǎn)單

組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過(guò)仔細(xì)觀察和想象，再畫(huà)它的三視圖.

3.據(jù)報(bào)道，截至2021年5月24日16時(shí)，沈陽(yáng)市新冠疫苗累計(jì)接種3270000劑次，將數(shù)據(jù)

3270000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.32.7xlO5B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.

3.27xlO6

【答案】D

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為ax10",其中L,〃為整數(shù),

且〃比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：3270000=3.27x106.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為ax10",其中L,IaK10，

確定。與〃的值是解題的關(guān)鍵.

4.下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）

A.a"?/=a'B.6a—2a—4oC.+cr—D.

（-=—a%2

【答案】B

【解析】

【分析】依據(jù)同底數(shù)基的乘法法則、合并同類(lèi)項(xiàng)法則、同底數(shù)幕的除法法則以及積的乘方法

則進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A.a4-a2=a6,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.6a—2a=4ci.故本選項(xiàng)正確；

C.a6^a2=a4,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.（一/加2=。%2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)幕的乘法法則、合并同類(lèi)項(xiàng)法則、同底數(shù)器的除法法則以及

積的乘方法則的運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握合并同類(lèi)項(xiàng)的法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為

系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

5.如圖，直線“，6被直線c所截，若W/b,Zl=70°,則N2的度數(shù)是（）

A.70°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

【解析】

分析】由已知條件。/〃，可得4=N3=70°,由平角的性質(zhì)可得N2+N3=180°代入

計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：如圖，

,/al1b,

.?.Nl=N3=70°,

?.?N2+N3=180°,

/.Z2=180°-Z3=180°-70°=110°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

6.信息技術(shù)課上，在老師的指導(dǎo)下，小好同學(xué)訓(xùn)練打字速度（字/min），數(shù)據(jù)整理如下：

15,17,23,15,17,17,19,21,21,18,對(duì)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.眾數(shù)是17B.眾數(shù)是15C.中位數(shù)是17D.中位數(shù)

是18

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的概念求解可得.

【詳解】解：以上數(shù)據(jù)重新排列為：15,15,17,17,17,18,19,21,21,23,

...眾數(shù)為17、中位數(shù)為工士曳=17.5,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是眾數(shù)和中位數(shù)的概念；熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，AABC與"46位似，位似中心是點(diǎn)O,若04:。4,=1:2,則AABC與

△A4G的周長(zhǎng)比是（）

A\

A.1:2B.1:3C.1:4D.1：V2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到A43cs△4耳G,AC//4C,進(jìn)而得出

AAOCs/xAOG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：?.?A46C與△AgG位似，

.-.AABC^AA5IQ-AC//“1,

.?.AAOCsZiAOG,

.ACOA1

...△ABC與△的周長(zhǎng)比為1:2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形是相似圖形、位

似圖形的對(duì)應(yīng)邊平行是解題的關(guān)鍵.

8.一次函數(shù)y=-3x+l的圖象不經(jīng)過(guò)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解答即可.

【詳解】：-3<0,1>0,

圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于產(chǎn)質(zhì)+ba為常數(shù)，原0),當(dāng)％>o,

b>0,y=Ax+匕的圖象在一、二、三象限；當(dāng)％>0,b<0,)=H+6的圖象在一、三、四象限；

當(dāng)AVO,6>0,y=Ax+6的圖象在一、二、四象限；當(dāng)ZVO,6<0,產(chǎn)fcr+b的圖象在二、三、

四象限.

9.下列說(shuō)法正確是（）

A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)一定是奇數(shù)

B.“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用壽命，采用抽樣調(diào)查的方式

D.若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，s甲2=0.3,s乙2=0Q2,則甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定

【答案】C

【解析】

【分析】依據(jù)隨機(jī)事件、抽樣調(diào)查以及方差的概念進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)不一定是奇數(shù)，故原說(shuō)法錯(cuò)誤,

不合題意；

B.“從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到大王”是隨機(jī)事件，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意;

C.了解一批冰箱的使用壽命，適合采用抽樣調(diào)查的方式，說(shuō)法正確，符合題意；

D.若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，4=0.3,si=0.02,則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，故原說(shuō)

法錯(cuò)誤，不合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件、抽樣調(diào)查以及方差的概念，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)

大小的一個(gè)量.方差越大，則各數(shù)據(jù)與平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小；反之，則它

與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

10.如圖，AAHC是OO的內(nèi)接三角形，AB=2&，ZACB=60°,連接04,OB,則

A8的長(zhǎng)是（）

71r.2乃4萬(wàn)

A.—B.—C.nD.

33~T

【答案】D

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)。作QDLA6于。，根據(jù)垂徑定理求出AO,根據(jù)圓周角定理求出NAOB,

根據(jù)正弦的定義求出OA,根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作。D_LAB于。,

由圓周角定理得：NAO5=2NAC8=120。,

.."AOD=60°,

AD_V3

OA==2

sinZAOD垂）

2

I_120萬(wàn)x2_4乃

"*B~180"T"

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式是解

題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，合計(jì)18分)

11.分解因式：ax2+2ax+a=.

【答案】a(x+1)2

【解析】

【詳解】ax2+2ax+a

=a(X2+2X+1)

=a(x+1)3

x-5<l

12.不等式組、「八的解集是

3x-5>0」

【答案】|?x<6

【解析】

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小找不到確定不等式組的解集.

【詳解】解：解不等式得：x<6,

解不等式3無(wú)一5..0,得：%...-,

3

則不等式組的解集為：”x<6,

故答案為：—?x<6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同

大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

⑶化簡(jiǎn)：(右一占)《一4)=---------

【答案】1

【解析】

【分析】先將小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后再算括號(hào)外面的.

1Q

【詳解】解：(----T2--)-U+4)

x—4x—16

x+4—8

=-----------(x+4)

(x+4)(x-4)

x—4

=-----------(x+4)

(x+4)(x-4)

=1,

故答案為：L

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵,

注意運(yùn)算順序.

k

14.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=70)圖象上的一

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A分別作40_L無(wú)軸于點(diǎn)M,ANLy軸于點(diǎn)N.若四邊形AMON的面積為12,

則k的值是

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)攵的幾何意義得到網(wǎng)=12,然后根據(jù)反比例函數(shù)的性

質(zhì)確定k的值.

【詳解】解：：四邊形AMON的面積為12,

■.?反比例函數(shù)圖象在二四象限，

:.k<0,

：.k=-n,

故答案為：一12.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)函數(shù)攵的幾何意義：在反比例函數(shù)y=K圖象中任取一點(diǎn)，

X

過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向％軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|心.

15.某超市購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可銷(xiāo)售20件.經(jīng)

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活用品的銷(xiāo)售單價(jià)每提高1元，其銷(xiāo)售量相應(yīng)減少4件，那么將銷(xiāo)售價(jià)定

為元時(shí)，才能使每天所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)最大.

【答案】11

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)定為X元(X..9),每天所獲利潤(rùn)為y元，

則y=[20_4(x_9)]<x_8)

=-4JC2+88X-448

=-4(11)2+36,

所以將銷(xiāo)售定價(jià)定為11元時(shí)，才能使每天所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，

故答案為11.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

16.如圖，AA3c中，AC=3,BC=4,4B=5.四邊形AfiER是正方形，點(diǎn)。是直

2

線6C上一點(diǎn)，且8=1.P是線段￡>E上一點(diǎn)，且=過(guò)點(diǎn)P作直線/于8C平

行，分別交A3，AZX于點(diǎn)G,H,則GH的長(zhǎng)是一.

【答案】:或式.

39

【解析】

【分析】結(jié)合勾股定理逆定理判斷AA3C是直角三角形，通過(guò)證明△GBA/S&BC4,

^AGH^MBD,然后利用相似三角形的性質(zhì)求解，然后分當(dāng)點(diǎn)。位于C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)

。位于C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，進(jìn)行分類(lèi)討論.

【詳解】解：「AABC中，AC=3,BC=4,AB=5,

AC2+BC2=25>AB?=25，

AC2+BC2=AB2,

.,.AA8C為直角三角形，

①當(dāng)點(diǎn)。位于。點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖：

設(shè)直線/交房于點(diǎn)M，

-.-uIBC,

=7777,ZMGB=ZABC,

BED]E

2

又???四邊形ABEr是正方形，且尸。

:.BE=AB=5,ZEBA=90°,

?BM2

即n----=-,

53

解得：BM,

3

ZMGB=ZABC,ZEBA=ZACB=90°,

:.AGBMs.CA,

.GBBC

GB4

103，

J

40

解得：GB=—,

9

/.AG-AB—GB——,

9

■.■1//BC,

GHAG

?/CD,=1,

BD]=BC—CD]=3,

5

GH9f

~T~~5

解得：GH=-；

3

5

也9

--

55

5

解得

9-

綜上，GH的長(zhǎng)為L(zhǎng)或之，

39

故答案為：一或一.

39

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，證明出

/^GBM^^BCA，特別注意分類(lèi)思想的運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

三、解答題（第17小題6分，第18、19題各8分，共22分）

17.計(jì)算：—2021）°—3tan30°+1—.

【答案】4

【解析】

【分析】首先計(jì)算零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值和絕對(duì)值，然后計(jì)算乘法,

最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可.

【詳解】解：（7-2021）°-3121130。+卜一6|+己）-2

=l-3x—+V3-1+4

3

=1-73+73-1+4

=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)暴，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，特殊角三角函數(shù)值，絕對(duì)

值的化簡(jiǎn)，掌握特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

3

18.如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)M,N分別是邊8C,OC上的點(diǎn)，BM=—BC,

4

3

DN=-DC.連接AM，AN,延長(zhǎng)AN交線段8C延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

4

(1)求證：4ABM當(dāng)LAND；

(2)若A￡>=4,則ME的長(zhǎng)是.

7

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)

【解析】

3

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得A8=AD=BC=CD,NB=NT>,根據(jù)-

4

3

DN=—DC,可得BM=DN,利用S4s即可證明；

4

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明根據(jù)相似的性質(zhì)可求得CE的長(zhǎng)度，進(jìn)而可

求ME.

【詳解】解：(1)證明：???四邊形ABC。為菱形，

AB=AD=BC=CD,ZB=ZD,

33

DN=-DC,

44

/.BM=DN,

在AA8”和AA￡W中，

AB^AD

<NB=ND,

BM=DN

AABM=AADN(SAS),

(2)?.?四邊形ABC。為菱形,

/.AD/ICE,

:.QAN=/CEN,

\'ZAND^ZCNE,

.'.^AND^AENC,

AD_DN

CE~~CN

3

DiV^-DC

4

3

AD_DN

一

一1-

C遷~~CN

4_3

在二T

3

?：BM=—BC,

4

4

7

：.ME=MC+CE=-.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，通過(guò)菱形

的性質(zhì)得到是關(guān)鍵.

19.某品牌免洗洗手液按劑型分為凝膠型、液體型，泡沫型三種型號(hào)（分別用A,B,C依

次表示這三種型號(hào)）.小辰和小安計(jì)劃每人購(gòu)買(mǎi)一瓶該品牌免洗洗手液，上述三種型號(hào)中的

每一種免洗洗手液被選中的可能性均相同.

（1）小辰隨機(jī)選擇一種型號(hào)是凝膠型免洗洗手液的概率是.

（2）請(qǐng)你用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求小辰和小安選擇同一種型號(hào)免洗洗手液的概率.

【答案】（1）（2）?

33

【解析】

【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：（1）小辰隨機(jī)選擇一種型號(hào)是凝膠型免洗洗手液的概率是4，

3

故答案為：—；

3

（2）列表如下：

ABc

A(AA)(5,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(8,0(GC)

由表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中小辰和小安選擇同一種型號(hào)免洗洗手液有3種結(jié)果,

31

所以小辰和小安選擇同一種型號(hào)免洗洗手液的概率為一=

93

點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可

能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)

點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

四、解答題（每小題8分，共16分）

20.學(xué)史明理，學(xué)史增信，學(xué)史崇德，學(xué)史力行，在建黨100周年之際，某校對(duì)全校學(xué)生進(jìn)

行了一次黨史知識(shí)測(cè)試，成績(jī)?cè)u(píng)定共分為A,B,C,。四個(gè)等級(jí)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的

成績(jī)進(jìn)行調(diào)查，將獲得的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

學(xué)生成績(jī)等級(jí)條形統(tǒng)計(jì)圖

ABCD成績(jī)等級(jí)

學(xué)生成績(jī)等級(jí)扇型統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問(wèn)題：

(1)在這次調(diào)查中一共抽取了名學(xué)生；

(2)請(qǐng)根據(jù)以上信息直接在答題卡上補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，。等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是度；

(4)根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)該校2000學(xué)生中有多少名學(xué)生的成績(jī)?cè)u(píng)定為C等級(jí).

【答案】⑴80；(2)見(jiàn)解析；(3)36；(4)600名

【解析】

【分析】(1)根據(jù)A等級(jí)的人數(shù)以及所占的百分比即可求出本次調(diào)查中共抽取的學(xué)生數(shù)；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果和扇形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出B等級(jí)的人數(shù)，然后即可將

條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

(3)根據(jù)。等級(jí)的人數(shù)以及抽取的學(xué)生數(shù)計(jì)算出。等級(jí)所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；

(4)求出C等級(jí)所占整體的百分比即可求出相應(yīng)的人數(shù).

【詳解】解：(1)324-40%=80(名)，

故答案為：80；

(2)B等級(jí)的學(xué)生為：80x20%=16(名)，

（4）2000x—=600（名），

80

答：估計(jì)該校2000學(xué)生中有600名學(xué)生的成績(jī)?cè)u(píng)定為C等級(jí).

【點(diǎn)睛】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，理解兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)量關(guān)系

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

21.某校團(tuán)體操表演隊(duì)伍有6行8列，后又增加了51人，使得團(tuán)體操表演隊(duì)伍增加的行、

列數(shù)相同，求增加了多少行或多少列？

【答案】增加了3行3列.

【解析】

【分析】設(shè)增加了x行，則增加的列數(shù)為x,用增加后的總?cè)藬?shù)一原隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)=51列

出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)增加了x行，則增加的列數(shù)為x,

根據(jù)題意，得：（6+x）（8+x）-6*8=51,

整理，得：X2+14x-51=0>

解得西=3,x2=-17（舍），

答：增加了3行3列.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等

關(guān)系.

五、解答題（本題10分）

22.如圖，AB是0。的直徑，AZ）與交于點(diǎn)A,點(diǎn)E是半徑Q4上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)

O,A重合）.連接交于點(diǎn)C,連接C4,CB.若C4=CD,ZABC=Z￡>.

（1）求證：AD是。。的切線.

（2）若A6=13,C4=CO=5,則AO的長(zhǎng)是

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）——

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到NACB=90°,在利用等腰三角形的性質(zhì)以及等量代換

可得NC4D+NB4C=90°,進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的判定可得CE=C4=8=5,再根據(jù)勾股定理和相似三角形求出

答案即可.

【詳解】解：（1）QAB是。。的直徑，

:.ZACB=90°,

.-.ZBAC+ZABC=90°.

又YCA=CD,

.?.ZD=NC4D,

又ZABC=ND,

：.ZCAD+ZBAC=90°,

即。4J_AD,

.?.AD是。。的切線；

（2）由（1）可得NA8C+NB4c=9（）°=NO+NZ汨4,

:.ZBAC^ZDEA,

：.CE=CA=CD=5,

=10,

在RtAABC中，由勾股定理得，

BC=JAB?-AC?=7i32-52=12，

???ZACB=ZZME=90°,ZABC=ZD,

AABC0°A￡Z>A,

ABBC

——=,

EDAD

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理以及相似三角形，掌握切線的判定方法和圓周角

定理、相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的前提.

六、解答題（本題10分）

23.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線夕=丘+15（比H0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（3,6）,與

3

x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.線段C。平行于x軸,交直線y=于點(diǎn)。，連接OC,A。.

(1)填空：k=.點(diǎn)A的坐標(biāo)是(,)；

(2)求證：四邊形。4DC是平行四邊形；

(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿對(duì)角線以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)。

為止；動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，沿對(duì)角線。。以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，直

到點(diǎn)。為止.設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為1秒.

①當(dāng)f=l時(shí)，ACFQ的面積是.

②當(dāng)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)至四邊形C7為。為矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)f的值.

【答案】(1)一3,5,0；(2)見(jiàn)解析；(3)①12；②5—J證或5+J1U.

【解析】

【分析】(1)代入。點(diǎn)坐標(biāo)即可得出左值確定直線的解析式，進(jìn)而求出A點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(2)求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)CD=Q4,CD//OA,即可證四邊形04。。是平行四邊形：

(3)①作于“，設(shè)出〃點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理計(jì)算出C4的長(zhǎng)度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)

時(shí)間求出PQ的長(zhǎng)度即可確定ACPQ的面積：

②根據(jù)對(duì)角線相等確定PQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)P、。的位置分情況計(jì)算出，值即可.

【詳解】解：⑴?.?直線丁=依+15(%工0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3,6),

3攵+15=6,

解得％=—3,

即直線的解析式為y=-3x+15,

當(dāng)y=0時(shí)，x=5>

/.A(5.0),

(2)?.?線段CO平行于x軸，

.?.￡)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與。點(diǎn)一樣，

3

又Q￡>點(diǎn)在直線y=；x上，

當(dāng)y=6時(shí)，x=8,

即￡>(8,6),

.-,CD=8-3=5.

?.-04=5,

OA——CD，

5L-.-OAHCD,

???四邊形Q4DC是平行四邊形;

33,

：.CH2=(m-3)2+(-m-6)2,DH2=(m-8)2+(-/?-6)",

由勾股定理，得CH?+,

Ep(jn—3)~+(—m—6)'+(zn—8)'+(―m—6)'——5",

44

24

整理得加=行或8(舍去)，

;.CH=3,

?.?OD=V82+62=10>

二當(dāng)，=1時(shí)，PQ=OD-t-t^10-1-1=8,

???SACPQ=gPQCH=gx8x3=12,

②?.?00=10,

當(dāng)啖小5時(shí)，PQ=10-2/,

當(dāng)或才10時(shí)，PQ=2t-\Q,

當(dāng)點(diǎn)P，。運(yùn)動(dòng)至四邊形CPAQ為矩形時(shí)，PQ=AC,

AC=7（5-3）2+62=2回，

當(dāng)嗯小5時(shí)，10—2f=2屈，

解得/=5-而，

當(dāng)5和10時(shí)，2-10=2而，

解得f=5+而，

綜上，當(dāng)點(diǎn)P,。運(yùn)動(dòng)至四邊形CQ4Q為矩形時(shí)f的值為5-J而或5+J市.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)

和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

七、解答題（本題12分）

24.在AABC中，AB=AC，△C￡）七中，CE=CD（CENCA）,BC=CD,ZD=a,

NAC8+N￡CD=180°,點(diǎn)B,C,E不共線，點(diǎn)P為直線。石上一點(diǎn)，且PB=PD.

（1）如圖1,點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上，則NECD=,ZABP=,（用

含a代數(shù)式表示）：

（2）如圖2,點(diǎn)A,E在直線8C同側(cè)，求證：BP平分NABC；

E

（3）若NA8C=60°,BC=V3+1＞將圖3中的繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)

5PL0E時(shí)，直線PC交3。于點(diǎn)G,點(diǎn)M是P。中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出GM的長(zhǎng).

【答案】（1）180°-加，?；（2）見(jiàn)解析；（3）GM的長(zhǎng)為也上2或!.

22

【解析】

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

（2）如圖2中，連接30.證明N~BC=NCDE=a,可得結(jié)論.

（3）分兩種情形：如圖3—1中，設(shè)3尸交AC于J.圖3—2中，設(shè)PC交BC于K，當(dāng)

BP_LPC時(shí)，利用三角形的中位線定理，可得求出P8,可得結(jié)論.

2

詳解】（1）解：如圖1中,

圖1

?:CE=CD,

ZD=AE=a，

.-.ZECD=180°-2a,

，ZECB=NE+ND=2a,

?.?AB=AC,

:.ZABC=ZACB^2a,

?;PB=PD，

：./PBD=Z￡>=a,

ZABP=ZABC-ZPBD=a，

（2）證明：如圖2中，連接B￡）.

圖2

,;CB=CD,PB=PD，

:./CBD=NCDB,ZPBD=/PDB，

:."BC=/PDC=a,

,/ZABC=la,

:.ZABP=/PBC=a,

:.PB平分NABC.

（3）解：如圖3-1中，設(shè)成交AC于人

?;BP上PD,BP=PD，

.?.△P8D是等腰直角三角形，

?;CB=CD,PB=PD，

，PG垂直平分線段BG,

BG=DG,

?;PM=MD，

:.GM=LpB,

2

?rZABC=ZACB=60。，

ZECD=180°-60°=120°.AACB是等邊三角形，

?;CE=CD,

:.NCDE=30。,

..ZPBC=ZPDC=30°,

:.ZBJC=90°,

1

.rr6+1p.Ac3+g

222

?;NCPD=/CPJ=45。,

；.pj=JC=^^~,

2

:.PB=BJ+PJ=6+2,

百+2

/.GM----------

2

如圖3—2中，設(shè)PC交3C于K,當(dāng)時(shí)，同法可證GM=」PB.

2

D

ZPBC=30°,/GPB=ZPBC+ZPCB=45°,

:.PCB=/PCD=T5。,

Z/CCE=120°-15°-15°=90°，

vZE=30°,CE=CB=6+l，

：.CK牟金

出3

:.KB=BC-CK=2^

3

:.PB=BKcos300=^x—=l，

32

：.GM=-PB=-,

22

綜上所述，GM的長(zhǎng)為迫土2或!.

22

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的中位線

定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用特殊三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，

屬于中考?jí)狠S題.

八、解答題（本題12分）

25.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)