構(gòu)造全等三角形證明競(jìng)賽題

構(gòu)造全等三角形證明競(jìng)賽題江西安義人全等三角形是能夠完全重合的兩個(gè)三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。對(duì)于某些競(jìng)賽題，考慮構(gòu)造全等三角形并利用這兩個(gè)相等，可使其解答巧妙、迅捷。與線段相等有關(guān)的競(jìng)賽題例１〔成都市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕如圖１，△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)P，且PD＝PE。求證：AC＝AB。簡(jiǎn)證：連AP。因?yàn)椤螾DA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA，所以△PDA≌△PEA〔HL〕。所以AD＝AE。因?yàn)椤希保?0°－∠CAB＝∠２，所以△ACE≌△ABD〔AAS〕。所以AC＝AB。圖１圖２例２〔天津市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕如圖２，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E。求證：BE＝AD。簡(jiǎn)證：延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)F。因?yàn)椤希保健希?，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，所以△AEB≌△AEF〔ASA〕。所以BE＝FE＝BF。因?yàn)椤希常?0°－∠F＝∠２，BC＝AC,所以△BCF≌△ACD〔ASA〕。所以BF＝AD，BE＝AD。與角相等有關(guān)的競(jìng)賽題例３〔贛州市初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕如圖３，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD是中線，CE⊥BD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F。求證：∠ADF＝∠CDE。簡(jiǎn)證：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。因?yàn)椤希保?0°－∠３＝∠２，AC＝BC，所以△CAG≌△BCD〔ASA〕。所以AG＝CD＝AD，∠G＝∠CDE。因?yàn)椤希矗?5°＝∠５，AF＝AF,所以△ADF≌△AGF〔SAS〕。所以∠ADF＝∠G＝∠CDE。圖３圖４例４〔上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕如圖４，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點(diǎn)E，AE＝〔AD＋AB〕。求證：∠ADC＋∠ABC＝180°。簡(jiǎn)證：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。因?yàn)椤希玻健希?，AC＝AC，所以△ACF≌△ACE〔AAS〕。所以CF＝CE，AF＝AE。因?yàn)锳D＋AB＝２AE，AB＝AE＋EB，所以EB＝AE－AD。因?yàn)镕D＝AF－AD，所以EB＝FD。所以△CEB≌△CFD〔SAS〕。所以∠ABC＝∠5。所以∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠５＝180°。構(gòu)造全等三角形巧證幾何題朱元生全等三角形是初中平幾的重要內(nèi)容之一，在幾何證題中有著極其廣泛的應(yīng)用。然而在許多情況下，給定的題設(shè)條件及圖形并不具有明顯的全等條件，這就需要我們認(rèn)真分析，仔細(xì)觀察，根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘潛在因素，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧構(gòu)全等三角形。借助全等三角形的有關(guān)性質(zhì)，就會(huì)迅速找到證題途徑，直觀易懂，簡(jiǎn)捷明快?，F(xiàn)略舉幾例加以說(shuō)明。一.證線段垂直例1.，如圖1，在中，AB＝2BC，求證：圖1分析與證明：此題可先作的平分線BD交AC于點(diǎn)D，由，又，得到。那么為等腰三角形。再取AB中點(diǎn)E，連DE，借助等腰三角形的性質(zhì)，得到。再由，，BD＝BD，得到。由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到，即。二.證線段的倍分例2.，如圖2，等腰中，，的平分線交AC于D，過(guò)C作BD的垂線交BD的延長(zhǎng)線于E。求證：BD＝2CE〔湖北中考題〕圖2分析與證明：要證BD＝2CE，可延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)F。由BE平分，，得到為等腰三角形。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CE＝EF，即。再由，AB＝AC，，得到，從而由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等立即得到BD＝CF＝2CE。三.證角相等例3.，如圖3，在中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE＝AC，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，求證：圖3分析與證明：由AD是中線，可“延長(zhǎng)中線一倍”，借助中線性質(zhì)構(gòu)全等三角形。延長(zhǎng)AD至G，使DG＝AD，連BG，由DG＝AD，，BD＝CD得到。由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，得到AC＝BG，。而AC＝BE，那么BE＝BG，所以，而，從而得到。四.證角不等例4.：如圖4，在中，，AD是BC邊的中線。求證：圖4分析與證明：由AD是中線，可“延長(zhǎng)中線一倍”，借助中線性質(zhì)構(gòu)全等三角形。延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連BE。由DE＝CD，，BD＝CD，得到。由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，得到BE＝AC，，在中，由，得到，而，所以五.證線段相等例5.：如圖5，在中，D是BC邊的中點(diǎn)，交的平分線于E，交AB于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。求證：BF＝CG。圖5分析與證明：要證BF＝CG，顯然要構(gòu)造三角形找全等。由ED垂直平分BC，連EB、EC，由垂直平分線性質(zhì)可得，EB＝EC。又AE為的平分線，且，，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，從而〔HL〕再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等立即可得BF＝CG。六.證線段不等例6.：如圖6，在中，AB＝AC，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，求證：圖6分析與證明：PB、PC雖在同一三角形中，但與條件無(wú)直接聯(lián)系，可利用圖形變換構(gòu)全等三角形。將繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，得，那么，從而轉(zhuǎn)化為比擬PC與QC的大小，為此只須證即可。由，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等得到，AQ＝AP，PB＝QC，所以，從而，即。由大角對(duì)大邊得到，即七.證線段和差相等例7.：如圖7，在中，，CD是的平分線，求證：BC＝AD＋AC圖7分析與證明：由CD是的平分線，可利用角平分線的對(duì)稱性。在BC上取一點(diǎn)E，使CE＝CA，連DE，由CA＝CE，，CD＝CD，可得。由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，得到AD＝ED，且，而，得到，從而，所以八.證線段和差不等例8.：如圖8，D為的BC邊的中點(diǎn)，，的平分線分別與AB、AC交于點(diǎn)E、F，求證：圖8分析與證明：直接論證，條件缺乏，可設(shè)法將有關(guān)線段集中于同一三角形中，為此延長(zhǎng)FD至M使DM＝FD，利用角平分線性質(zhì)構(gòu)全等三角形，幫助解決。延長(zhǎng)FD至M，使DM＝FD，連結(jié)BM、EM。由DM＝DF，，BD＝CD，得到。由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BM＝CF。由，而，所以；又由，從而。再由，