專(zhuān)題7.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差（4類(lèi)必考點(diǎn)）（人教A版2019選擇性）（原卷版）

專(zhuān)題7.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差TOC\o"13"\t"正文,1"\h【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】 1【考點(diǎn)1：求離散型隨機(jī)變量的均值】 1【考點(diǎn)2：均值的性質(zhì)】 4【考點(diǎn)3：求離散型隨機(jī)變量的方差】 5【考點(diǎn)4：方差的性質(zhì)】 9【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)稱(chēng)D(X)＝(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．[方法技巧]求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的步驟(1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；(4)利用公式求均值或方差.【考點(diǎn)1：求離散型隨機(jī)變量的均值】【知識(shí)點(diǎn)：求離散型隨機(jī)變量的均值】1．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）有一枚質(zhì)地均勻點(diǎn)數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時(shí)得到每種點(diǎn)數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進(jìn)行三次獨(dú)立投擲，記X為得到最大點(diǎn)數(shù)與最小點(diǎn)數(shù)之差，則X的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．2．（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年10月26日，神舟十七號(hào)載人飛船成功發(fā)射，我國(guó)在航天事業(yè)中取得舉世矚目的成就．為了普及航天知識(shí)，某校舉行了航天知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽中設(shè)置了多選題目（每題4個(gè)選項(xiàng)中有2個(gè)或3個(gè)正確選項(xiàng)），每題全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．已知某一道多選題甲完全不會(huì)，他隨機(jī)選擇2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，該題有2個(gè)正確選項(xiàng)的概率為．記表示甲的得分，則（

）A．甲得2分的概率為 B．若甲選擇2個(gè)選項(xiàng)，則C．若甲選擇3個(gè)選項(xiàng)，則 D．甲得5分的概率為3．（2024·遼寧·二模）小明從4雙鞋中，隨機(jī)一次取出2只，(1)求取出的2只鞋都不來(lái)自同一雙的概率；(2)若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，4．（2024·浙江紹興·二模）盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2的小球各2個(gè).(1)若有放回地隨機(jī)取出2個(gè)小球，求取出的2個(gè)小球上的數(shù)字不同的概率；(2)若不放回地依次隨機(jī)取出4個(gè)小球，記相鄰小球上的數(shù)字相同的對(duì)數(shù)為（如1122，則），求的分布列及數(shù)學(xué)期望.5．（2024·遼寧丹東·一模）不透明的盒中有六個(gè)大小形狀相同的小球，它們分別標(biāo)有數(shù)字，0，1，1，2，2，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)小球．(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；(2)記取出的3個(gè)小球上的數(shù)字之積為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．6．（2024·陜西西安·三模）甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式:當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙.初始時(shí)，球在甲手中.(1)求投擲3次骰子后球在乙手中的概率；(2)設(shè)前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【考點(diǎn)2：均值的性質(zhì)】【知識(shí)點(diǎn)：均值的性質(zhì)】1．（2024高二下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為101a設(shè)，則Y的數(shù)學(xué)期望．2．（2024高二下·甘肅天水·階段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的概率分布如下表，則其數(shù)學(xué)期望；P3．（2024高二下·遼寧·階段練習(xí)）若是離散型隨機(jī)變量，且，其中為常數(shù)，則有，利用這個(gè)公式計(jì)算4．（2024高二下·陜西·階段練習(xí)）某大學(xué)生將參加知識(shí)競(jìng)賽，答題環(huán)節(jié)有6道題目，每答對(duì)一道題得3分，答錯(cuò)一題扣1分，已知該學(xué)生每道題目答對(duì)的概率是，且各題目答對(duì)正確與否相互獨(dú)立，表示該生得分，則．5．（2024高二上·黑龍江雙鴨山·階段練習(xí)）設(shè)的分布列如圖，又，則.1234Pa6．（多選）（2024高三下·江西·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X、Y，且的分布列如下：X12345Pmn若，則（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)3：求離散型隨機(jī)變量的方差】【知識(shí)點(diǎn)：求離散型隨機(jī)變量的方差】1．（2324高二下·江蘇蘇州·期中）若隨機(jī)變量滿足，其中為常數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．12．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知某隨機(jī)變量的分布列如圖表，則隨機(jī)變量X的方差（

）A．120 B．160 C．200 D．2603．（2324高二下·江西贛州·期中）已知隨機(jī)變量的分布列為X4810P0.30.60.1則（

）A．7 B．5 C．4.8 D．4.24．（多選）（2024高二下·江西·階段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下所示，則（

）13A． B． C． D．5．（2024高二上·河南南陽(yáng)·期末）已知，且，記隨機(jī)變量為，，中的最小值，則.6．（2024高二上·廣東廣州·期末）隨機(jī)變量有3個(gè)不同的取值，且其分布列如下：01則的值為．7．（2024高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列是02P隨機(jī)變量的分布列是357P下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．當(dāng)p增大時(shí)，遞減C． D．當(dāng)p增大時(shí)，遞增8．（2024高二下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）為選拔奧運(yùn)會(huì)射擊選手，對(duì)甲?乙兩名射手進(jìn)行選拔測(cè)試.已知甲?乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y，甲?乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求X，Y的概率分布；(2)求X，Y的數(shù)學(xué)期望與方差，以此比較甲?乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人.9．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機(jī)選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金.假設(shè)甲猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金如下表：歌曲猜對(duì)的概率0.80.50.5獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金金額/元100020003000(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對(duì)兩首歌名的概率；(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請(qǐng)你計(jì)算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)基金的期望；為了得到更多的獎(jiǎng)勵(lì)基金，請(qǐng)你給出合理的選擇建議，并說(shuō)明理由.【考點(diǎn)4：方差的性質(zhì)】【知識(shí)點(diǎn)：方差的性質(zhì)】1．（2024高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為：若，則等于（

）A． B．C． D．2．（2024高二下·河南鄭州·期中）若隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（

）01A． B．2 C． D．3．（2024高二下·廣東深圳·期中）已知隨機(jī)變量ξ的取值為i（i