演講稿高中數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題

一.選擇題（共16小題）

1.若a>b>0,且ab=l,則下列不等式成立的是（）

A.a+—<-^-<log2（a+b））B.-^-<log2（a+b）<a+—

b2a2ab

C.a+—<log2（a+b）D.Iog2（a+b））<a+—<-^-

b2ab2a

2.設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2乂=3丫=52,則（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

3.若x,y滿足<x+y>2,則x+2y的最大值為（）

yCx

A.1B.3C.5D.9

‘2x+3y-340

4.設(shè)x,y滿足約束條件,2x-3y+3）0，則z=2x+y的最小值是（）

y+3）0

A.-15B.-9C.1D.9

5.已知x,y滿足約束條件<3x+y+5<0，則z=x+2y的最大值是（）

x+3）0

A.0B.2C.5D.6

x+3y<3

6.設(shè)x,y滿足約束條件,，則z=x+y的最大值為（）

A.0B.1C.2D.3

<3x+2y-6<0

7.設(shè)x,y滿足約束條件<x>0貝【Jz=x-y的取值范圍是（）

A.E-3,0]B.L-3,2]C.[0,2]D.[0,3]

‘2x+y<3

8.已知變量x,y滿足約束條件.x+2y>3，則z=x-y的最小值為（）

A.-3B.0C.AD.3

2

x-y>0

9.若變量x,y滿足約束條件x+y-340,則目標函數(shù)z=-2x+y的最大值為()

A.1B.-1c.-AD.-3

2

10.若a,bGR,且ab>0,則卜+且的最小值是（）

ab

A.1B.V2C.2D.2A/2

11.已知0<cVl,a>b>l,下列不等式成立的是（）

abcc

A.c>cB.a<bC._5——D.logac>logbC

a-cb-c

12.已知x>0,y>0,Ig2x+lg8y=lg2,則Lq的最小值是（）

x3y

A.2B.2V2C.4D.273

13.設(shè)a>0,b>2,且a+b=3,則的最小值是（）

ab-2

A.6B.2j^C.4V2D.3+2^2

14.已知x,yWR,x2+y2+xy=315,則x?+y2-xy的最小值是（）

A.35B.105C.140D.210

22

15.設(shè)正實數(shù)x,y滿足x>\y>l,不等式恒成立，則m的最

2y-12x-l

大值為（）

A.2企B.4&C.8D.16

16.已知兩正數(shù)x,y滿足x+y=l,則z=&J）（y+工）的最小值為（）

_xy

A.33B.25C.1D.叵

4444

二.解答題(共10小題)

17.已知不等式|2x-31Vx與不等式x2-mx+r)<0的解集相同.

(I)求m-n；

(II)若a、b、c￡(0,1),且ab+bc+ac=m-n,求a+b+c的最小值.

18.已知不等式x2-2x-3V0的解集為A,不等式x2+x-6V0的解集為B.

(1)求ACB；

(2)若不等式x2+ax+bV0的解集為ACB,求不等式ax2+x+bV0的解集.

19.解不等式：————三2.

X2-8X+15

20.已知不等式ax2+x+c>0的解集為{x|l<x<3}.

(1)求a,c的值；

(2)若不等式ax2+2x+4c>0的解集為A,不等式3ax+cmV0的解集為B,且A

UB,求實數(shù)m的取值范圍.

21.(1)已知實數(shù)x,y均為正數(shù)，求證：&+y)(且3))25；

xy

(2)解關(guān)于x的不等式x2-2ax+a2-1V0(a>R).

22.已知a,b,c是全不相等的正實數(shù)，求證：也衛(wèi)盧蛆也目且>3.

abc

23.設(shè)a、b為正實數(shù)，且L+￡2加.

ab

(1)求M+b2的最小值；

(2)若(a-b)2力4(ab)3,求ab的值.

24.已知x,(0,+8),x2+y2=x+y.

(1)求工J的最小值；

xy

(2)是否存在x,y,滿足(x+1)(y+1)=5?并說明理由.

25.某車間計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每噸消耗A原料6噸、B原料4

噸、C原料4噸，乙種產(chǎn)品每噸消耗A原料3噸、B原料12噸、C原料6噸.已

知每天原料的使用限額為A原料240噸、B原料400噸、C原料240噸.生產(chǎn)甲

種產(chǎn)品每噸可獲利900元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸可獲利600元，分別用x,y表示

每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)

(工)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；

(II)每天分別生甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使得利潤最大？并求出此最大

利潤.

26.某家公司每月生產(chǎn)兩種布料A和B,所有原料是三種不同顏色的羊毛.下表

給出了生產(chǎn)每匹每種布料所需的羊毛量，以及可供使用的每種顏色的羊毛的總

JSL

里.

羊毛顏色每匹需要/kg供應(yīng)量/kg

布料A布料B

紅331050

綠421200

黃261800

已知生產(chǎn)每匹布料A、B的利潤分別為60元、40元.分別用x、y表示每月生產(chǎn)

布料A、B的匹數(shù).

(工)用x、y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；

(II)如何安排生產(chǎn)才能使得利潤最大？并求出最大的利潤.

高中數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題

參考答案與試題解析

一.選擇題(共16小題)

1.(2017?山東)若a>b>0,1.ab=l,則下列不等式成立的是()

A.a+—<-^-<log2(a+b))B.-^-<log2(a+b)<a+—

b2a2ab

C.a+—<log2(a+b)D.Iog2(a+b))<a+—<-^-

b2ab2a

【分析】a>b>0,且ab=l,可取a=2,b=L.代入計算即可得出大小關(guān)系.

2

【解答】解:Va>b>0,且ab=l,

???可取a=2,b=—.

2

=E

則44,看;煮'嗨(a+b)=log2(2-F1-)log21-。，2),

.,.-^-<log2(a+b)Va+L

2ab

故選:B.

【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法與性質(zhì)，考查了推理能力與計

算能力，屬于中檔題.

2.(2017?新課標工)設(shè)x、v、z為正數(shù)，且2x=3Y=5z,則()

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

【分析】x、v、z為正數(shù)，令2x=3y=5z=k>l.lgk>0.可得y=211L,z=-^l￡.可

lg2lg3lg5

得5Z=l|vf,根據(jù)加噬>場=a'V2=1^/32>

1吐城?即可得出大小關(guān)系.

另解：X、V、z為正數(shù)，令2x=3v=52=k>l.lgk>0.可得x=AsK,y=llK,

lg2lg3

z=2l上"Z><Ig3=lg9>i,可得2x>3y,同理可得5z>2x.

Ig53y3lg2lg8

【解答】解：X、V、Z為正數(shù)，

令2x=3Y=5z=k>l.lgk>0.

貝1=區(qū)，丫=區(qū)，Z=A1K.

Ig2lg3lg5

.?.3y=9，2x=Jgk；5z='k.

lg炳茂6Ig^B

「好我〉行加，g際百期?

??.lg相淮日九時。.

/.3y<2x<5z.

另解：x、y、z為正數(shù)，

令2x=3￥=5z=k>l.lgk>0.

貝IJx=AlK,y=-Lsk,Z=^^-.

Ig2lg3lg5

2_2§3=1§1>1,可得2x>3y,

3y3lg2lg8

5

旦里Jg2>1.可得5z>2x.

2

2x2lg5ig5

綜上可得：5z>2x>3y.

故選：D.

【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理

能力與計算能力，屬于中檔題.

'x43

3.（2017?北京）若x,y滿足卜+y>2,則x+2y的最大值為（）

《X

A.1B.3C.5D.9

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最優(yōu)解求解目標函數(shù)的最值即

可.

’x43

【解答】解：x,y滿足卜+y>2的可行域如圖：

由可行域可知目標函數(shù)z=x+2y經(jīng)過可行域的A時，取得最大值，由!43,可得

lx=y

A(3,3),

目標函數(shù)的最大值為：3+2X3=9.

【點評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，畫出可行域判斷目標函數(shù)的最優(yōu)解是解

題的關(guān)鍵.

‘2x+3y-3<0

4.(2017?新課標口)設(shè)x,y滿足約束條件.2x-3y+3>0?則z=2x+y的最小值是

?y+3》0

()

A.-15B.-9C.1D.9

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最優(yōu)解求解目標函數(shù)的最小值

即可.

‘2x+3y-340

【解答】解：x、y滿足約束條件2x-393>0的可行域如圖：

.y+3)0

z=2x+y經(jīng)過可行域的A時，目標函數(shù)取得最小值，

由‘k-3解得A(-6,-3),

(2x-3y+3=0

則z=2x+y的最小值是：-15.

故選：A.

【點評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力.

5.（2017?山東）已知x,y滿足約束條件<3x+y+5<0,則z=x+2y的最大值是（）

x+3）0

A.0B.2C.5D.6

【分析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，根據(jù)圖形找出最優(yōu)解是

由!x+3=°解得的點A的坐標，

l3x+y+5=0

代入目標函數(shù)求出最大值.

'x-y+340

【解答】解：畫出約束條件3x+y+5<0表示的平面區(qū)域，如圖所示;

.x+3〉0

由卜+3=0解得A（-3,4）,

13x+y+5=0

此時直線y=-b+工在y軸上的截距最大,

22

所以目標函數(shù)z=x+2y的最大值為

Zmax=-3+2X4=5.

故選：C.

【點評】本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，是中檔題.

x+3y43

6.（2017?新課標I）設(shè)x,y滿足約束條件卜">1,則2=*+丫的最大值為（）

y》o

A.0B.1C.2D.3

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最優(yōu)解求解目標函數(shù)的最大值

即可.

'x+3y43

【解答】解：x,y滿足約束條件卜^>1的可行域如圖：

,則2=*+丫經(jīng)過可行域的A時，目標函數(shù)取得最大值，

由1尸°解得A（3,0）,

（x+3y=3

所以z=x+y的最大值為：3.

故選：D.

【點評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查約束條件的可行域，判斷目標函數(shù)

的最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵.

‘3x+2y-640

7.（2017?新課標HI）設(shè)x,y滿足約束條件x>0則z=x-y的取值范圍是

（）

A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最優(yōu)解求解目標函數(shù)的范圍即

可.

3x+2y-640

【解答】解：x,y滿足約束條件x>0的可行域如圖：

目標函數(shù)2=*-丫，經(jīng)過可行域的A,B時，目標函數(shù)取得最值,

由(x=0解得A(0,3),

[3x+2y-6=0

由[尸°解得B(2,0),

(3x+2y-6=0

目標函數(shù)的最大值為：2,最小值為：-3,

目標函數(shù)的取值范圍：[-3,2].

【點評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，目標函數(shù)的最優(yōu)解以及可行域的作法是

解題的關(guān)鍵.

‘2x+y<3

8.(2017?大石橋市校級學(xué)業(yè)考試)已知變量x,y滿足約束條件x+2y>3,則

x)0

z=x-y的最小值為()

A.-3B.0C.3D.3

2

【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得

到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.

‘2x+y<3

【解答】解：由約束條件x+2y>3作出可行域如圖，

.x》0

y

x

A(0,3),

化目標函數(shù)z=x-y為y=x-z,由圖可知，當直線y=x-z過點A時，直線在y軸

上的截距最大，z有最小值為-3.

故選:A.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

'x-y〉0

9.（2017?天津?qū)W業(yè)考試）若變量x,y滿足約束條件卜+y-340,則目標函數(shù)z=

-2x+y的最大值為（）

A.1B.-1C.-3D.-3

2

【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得

到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案.

化目標函數(shù)z=-2x+y為y=2x+z,由圖可知，當直線y=2x+z過A時，直線在y軸

上的截距最大，為-1.

故選：B.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

10.(2017?明山區(qū)校級學(xué)業(yè)考試)若a,bWR,且ab>0,則互+旦的最小值是()

ab

A.1B.V2C.2D.2V2

【分析】根據(jù)題意，首先由ab>0可得卜>0且旦>0,進而由基本不等式可得反+旦

abab

計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，若a,bGR,且ab>0,

則包>0且旦>0,

ab

卜+旦22但.g=2,

ab[ab

即互+旦的最小值是2；

ab

故選：C.

【點評】本題考查基本不等式的性質(zhì)，注意首先要滿足基本不等式的使用條件.

11.(2017?資陽模擬)已知OVcVl,a>b>l,下列不等式成立的是()

A.ca>cbB.ac<bcC._D.logc>logbC

a-cb-ca

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A、構(gòu)造函數(shù)丫工乂，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

分析可得A錯誤，對于B、構(gòu)造函數(shù)丫=/,由幕函數(shù)的性質(zhì)分析可得B錯誤，對

于C、由作差法比較可得C錯誤，對于D、由作差法利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)分

析可得D正確，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A、構(gòu)造函數(shù)丫4乂，由于0<cVl,則函數(shù)y=cx是減函數(shù)，又由a>b>l,

則有ca>cb,故A錯誤；

對于B、構(gòu)造函數(shù)丫=*。，由于OVcVl,則函數(shù)y=x。是增函數(shù)，又由a>b>l,

則有a，>bc,故B錯誤；

對于C、3-工=&bfc-ab+bc=c(b-a),又由ovcVl,a>b>l,貝U(a

a-cb-c(a-c)(b-c)(a-c)(b-c)

-c)>0、(b-c)>0、(b-a)<0,進而有_3_-工<0,故有

a-cb-ca~cb-c

故c錯誤；

對于D、logaC-logbC=Al￡-A^￡=|gc又由0Vc<l,a>b>l,則有

IgaIgbIgaTgb

lgc<0,lga>lgb>0,則有l(wèi)ogac-logbC=Ai￡-暖Igc(國廠1皇a.)>0,即有|ogaC

IgaIgbIga*Igb

>logbc,故D正確；

故選：D.

【點評】本題考查不等式比較大小，關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)并靈活運用.

12.(2017?全國模擬)已知x>0,y>0,Ig2x+lg8y=lg2,則工J-的最小值是()

x3y

A.2B.2&C.4D.273

【分析】利用對數(shù)的運算法則和基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：VIg2x+|g8v=lg2,Alg(2x*8y)=lg2,：.2X^=2,.\x+3y=l.

?0,y>0,(x+3y)(—4-^)=2+—+^->2+2J—?—=4,當且僅

x3yx3yx3yyx3y

當x=3y=A>時取等號.

2

故選C.

【點評】熟練掌握對數(shù)的運算法則和基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.(2017?錦州一模)設(shè)a>0,b>2,且a+b=3,則2二一的最小值是()

ab-2

A.6B.2y/~2.C.5/^D.3+2^2

【分析】2二_=(2+J_)(a+b-2)=2+1+2(K2)+3,根據(jù)基本不等式即

ab-2ab-2ab-2

可求出

【解答】解：b>2,且a+b=3,

/.a+b-2=1,

1

，2二_=(1+)(a+b-2)=2+1+絕@+1_23+2%，當且僅當a=&(b

a^2ab-2ab-2

-2)時取等號，即b=l+&,a=2-加時取等號，

則?號的最小值是3+2限

故選：D

【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，掌握一正二定三相等，屬于中檔題

14.（2017?烏魯木齊模擬）已知x,yGR,x2+y2+xy=315,則x?+y2-xy的最小值

是（）

A.35B.105C.140D.210

【分析】x,y￡R,x2+y2+xy=315,可得x2+y2=315-xy>2xy,因此xyW105.即

可得出.

【解答】解：Vx,ydR,x2+y2+xy=315,

/.x2+y2=315-xy,315-xy22xy,當且僅當x=y=±{io5寸取等號.

.?.xyW105.

.\x2+y2-xy=315-2xy2315-210=105.

故選:B.

【點評】本題考查了重要不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔

題.

22

15.（2017?和平區(qū)校級二模）設(shè)正實數(shù)x,y滿足x>Ly>l,不等式H+上-

2y-12x-l

2m恒成立，則m的最大值為（）

A.2企B.4&C.8D.16

2222

【分析】不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最小值，可得m

y-12x-ly-12x-l

的最大值.將分母轉(zhuǎn)化為整數(shù)，設(shè)y-1二b,則y=b+1,令2y-l=a,y=—（a+1）,

2

利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：設(shè)y-1=b,則y=b+1,令2y-l=a,y=—（a+1）,a>0,b>0.

2

那么：

4x2y2_（b+1產(chǎn)（a+l）2、c（a+l）（b+1）_

FT+27T-_V+一^>2.-

皿卻=2(左/塞)>2(2柝夫等)=2⑵2)=8(當且僅

當a=b=l即x=2,y=l時取等號.

22

的最小值為8,

y-12x-l

則m的最大值為8.

故選：C.

【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)的運用解決恒成立的問題，利用了換元法

轉(zhuǎn)化求解，多次使用基本不等式式解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

16.(2017春?溫江區(qū)校級月考)已知兩正數(shù)x,y滿足x+y=l,則z=(x+X)(y+—)

xy

的最小值為()

叵

A.患B.空C.1D.

4444

【分析】展開，并根據(jù)x+y=l可以得到2=*了+2_2,可令t=xy,并求出(0,匕，

xy4

而根據(jù)f(t)=t+子的單調(diào)性即可求出f(t)的最小值，進而求出Z的最小值.

【解答】解：Z=(xJ_)(y+L)

xy

=xyl]

xyxy

.?1,(x+y)2-2xy

―---------------------

xyxy

2

=xy4-------2；

xy

令t=xy，貝SO=xy<(^^)24；

由f(t)二七+?在(0,十]上單調(diào)遞減，故當時二亡+3有最小值學(xué)

工時z有最小值空.

24

故選B.

【點評】考查基本不等式的應(yīng)用，注意等號成立的條件，要熟悉函數(shù)

f(x)=x+2(a>0)的單調(diào)性?

X

二.解答題(共10小題)

17.(2017?鄭州二模)已知不等式|2x-3|<x與不等式x2-mx+n<0的解集相

同.

(I)求m-n；

(II)若a、b^cG(0,1),且ab+bc+ac=m-n,求a+b+c的最小值.

【分析】(I)討論2X-320或2x-3<0,求出不等式12x-31<x的解集，得

出不等式x2-mx+n<0的解集，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m、n的值；

(II)根據(jù)a、b、cG(0,1),且ab+bc+ac=l,求出(a+b+c)2的最小值，即

可得出a+b+c的最小值.

【解答】解：(I)當2X-320,即x23時，不等式|2x-3|Vx可化為2x-3

2

<x,

解得xV3,.,.WWxV3；

2

當2X-3V0,即時,不等式|2x-3|Vx可化為3-等Vx,

2

解得x>l,.-.l<x<A；

2

綜上，不等式的解集為｛x|lVxV3｝；

，不等式x2-mx+n<0的解集為｛x[l<x<3｝,

方程x2-mx+n=0的兩實數(shù)根為1和3,

.flTFl+3=4

"ln=lX3=3，

m-n=4-3=1；

(II)a、b>c￡(0,1),且ab+bc+ac=m-n=l,

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

(2ab+2bc+2ac)+2(ab+bc+ac)

2

=3(ab+bc+ca)=3；

Aa+b+c的最小值是

【點評】本題考查了解不等式以及根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了基本不等

式的應(yīng)用問題，是綜合題.

18.(2017春?巢湖市校級期中)已知不等式x2-2x-3V0的解集為A,不等式

x2+x-6<0的解集為B.

(1)求ADB；

(2)若不等式x2+ax+bV0的解集為ACB,求不等式ax2+x+bV0的解集.

【分析】(1)由一元二次不等式的解法分別求出集合A,B,再利用集合的交集

即可求出；

(2)由一元二次方程的實數(shù)根與不等式的解集的關(guān)系及判別式與解集的關(guān)系即

可求出.

【解答】解:(1)由不等式x2-2x-3V0,解得-1VXV3,，A=(-1,3)；

由不等式x2+x-6V0,解得-3Vx<2,，B=(-3,2).

/.AAB=(-1,2).

(2)由不等式x2+ax+bV0的解集為ACB=(-1,2),

...[l-a+b=0解得

l4+2a+b=0lb=-2

不等式-x2+x-2<0可化為x2-x+2>0,

VA=1-4X2=-7<0,

Ax2-x+2>0的解集為R.

【點評】熟練掌握一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵.

19.(2017春?齊河縣校級期中)解不等式：一上——22.

X2-8X+15

【分析】把不等式的右邊移項到左邊，通分后把分子分母都分解因式，得到的式

子小于等于0,然后根據(jù)題意畫出圖形，在數(shù)軸上即可得到原不等式的解集.

【解答】解：不等式移項得：—一-220,

x-8x+15

變形得：(2x-5)(x-6)wo,

(x-3)(x-5)

即2(x-A)(x-6)(x-3)(x-5)WO,且xW3,x#5,

2

根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

根據(jù)圖形得："Wx<3或5<xW6,

2

則原不等式的解集為[反，3）U（5,6].

2

【點評】此題考查了一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化的思想及數(shù)形結(jié)合的思

想.此類題先把分子分母分解因式，然后借助數(shù)軸達到求解集的目的.

20.（2017春?神水縣校級期中）已知不等式ax2+x+c>0的解集為{x|lVxV3}.

（1）求a,c的值；

（2）若不等式ax2+2x+4c>0的解集為A,不等式3ax+cmV0的解集為B,且A

uB,求實數(shù)m的取值范圍.

【分析】（1）由一元二次不等式和對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求

出a、c的值；

（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c>0,再根據(jù)真子集的定義求出

m的取值范圍.

【解答】解:⑴???不等式ax2+x+c>0的解集為{x|lVxV3},

：.l.3是方程ax2+x+c=0的兩根，且aVO,...（1分）

'a<0

1+3」

所以a；...（3分）

1X3=—

a

解得a=-工，c=-3；...（5分）

44

（2）由（1）得a=-L，c=-—,

44

所以不等式ax2+2x+4c>0化為-L<2+2X-3>0,

4

解得2VxV6,

.*.A={x2<x<6},

又3ax+cm<0,即為x+m>0,

解得x>-m,

B={x[x>-m},（8分）

VAcB,

{x2<x<6}u{x|x>-m},

-mW2,即m2-2,

，m的取值范圍是[2,+8).…(io分)

【點評】本題考查了一元二次不等式和對應(yīng)方程的應(yīng)用問題，也考查了真子集的

定義與應(yīng)用問題，是中檔題目.

21.(2017春?雨城區(qū)校級期中)(1)已知實數(shù)X,y均為正數(shù)，求證：

(x+y)(―+-^-)>25;

xy

(2)解關(guān)于x的不等式x2-2ax+a2-1V0(aGR).

【分析】(1)化簡不等式的左邊，利用基本不等式求得最小值即可；

(2)原不等式可化為[x-(a+1)]?[x-(a-1)]<0,求出不等式對應(yīng)方程的

根，再寫出不等式的解集.

【解答】解：(1)證明：a+y)(且建)=4+9+至田13+(至佇)，…(2分)

xyxyxy

又因為x>0,y>0,所以盟〉o,巫〉o，

xy

由基本不等式得，絲3》&叵魚=12,…(4分)

xyVxy

當且僅當空上時，取等號，

xy

即2y=3x時取等號，

所以(x+y)(?3))25；…(5分)

xy

(2)原不等式可化為[x-(a+1)]?[x-(a-1)]<0,...(7分)

令[x-(a+1)]?[x-(a-1)]=0,

彳導(dǎo)Xi=a+1,X2=a-1,

又因為a+l>a-1,…(9分)

所以原不等式的解集為(a-1,a+1).…(10分)

【點評】本題考查了基本不等式與一元二次不等式的解法和應(yīng)用問題，是中檔題.

22.(2017?泉州模擬)已知a,b,c是全不相等的正實數(shù)，求證:

b+c-a,a+c-b,a+b-c

-----+—：---+------0?

abc

【分析】根據(jù)a,b,c全不相等，推斷出互與亙，工與白，工與包全不相等，然

abacbc

后利用基本不等式求得巨落＞2,義咨＞2,義2＞2,三式相加整理求得

abacbc

b+c-a+a+c-b+a+b-c＞3,原式得證.

abc

【解答】解：Ya,b,c全不相等，

.?.旦與且，￡與且，￡與反全不相等

abacbc

.,.旦泠＞2,￡監(jiān)＞2,￡濁＞2

abacbc

三式相加得，且落落落泠/＞6

aabbcc

??■-1）+華諾-1）+（旦+^T）＞3

aabbcc

即b+c-cn+c-ba+b-c3

abc

【點評】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用.使用基本不等式時一

定要把握好〃一定，二正，三相等〃的原則.

23.（2017?泉州模擬）設(shè)a、b為正實數(shù)，且

ab

（1）求a?+b2的最小值；

（2）若（a-b）2,4（ab）3,求ab的值.

【分析】（1）根據(jù)基本不等式得出ab》!（a=b時等號成立），

利用a?+b222ab=2X,=1（a=b時等號成立）求解即可.

（2）根據(jù)上+工^^.

ab

/.a+b=2后ab,

代入得出（a+b）2-4ab24（ab）3,即（2我ab）2-4ab^4（ab）3

求解即可得出ab=l

【解答】解：（1）??）、b為正實數(shù)，且U&2a.

ab

...a、b為正實數(shù)，且上+1^2企22、區(qū)6出時等號成立）.

abVab

即（a=b時等號成立）

Va2+b2^2ab=ox—=1(a=b時等號成立).

2

???a2+b2的最小值為1,

(2)???且L4^2加.

ab

/.a+b=2V2ab

?；(a-b)224(ab)3,

/.(a+b)2-4ab^4(ab)3

即(2&ab)2-4ab>4(ab)3

即(ab)2-2ab+lW0,(ab-1)2^0,

la、b為正實數(shù),

/.ab=l

【點評】本題考查了基本不等式，考查了運用基本不等式求函數(shù)的最值，運用基

本不等式求函數(shù)最值時，要保證：〃一正、二定、三相等〃，此題是基礎(chǔ)題

24.(2017?唐山一模)已知x,y￡(0,+°°),x2+y2=x+y.

(1)求生J的最小值；

xy

(2)是否存在x,y,滿足(x+1)(y+1)=5?并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出!」?的最小值即可；(2)根據(jù)基本不

xy

等式的性質(zhì)得到(x+1)(y+1)的最大值是4,從而判斷出結(jié)論即可.

22

【解答】解：(1)/=x+y=x+y*r=2,

xyxyxyxy

當且僅當x=y=l時，等號成立.

所以工J的最小值為2.

Xy

(2)不存在.

因為x2+y2^2xy,

所以(x+y)2<2(x2+y2)=2(x+y),

/.(x+y)2-2(x+y)WO,

又x,ye(o,+8),所以x+y<2.

從而有（x+1）（y+1）W.]W[g^]2=4,

因此不存在x,y,滿足（x+1）（y+1）=5.

【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，注意應(yīng)用性質(zhì)的條件，本題是一道中檔

題.

25.（2017?天津一模）某車間計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每噸消耗A

原料6噸、B