安徽省安慶市2024屆高三模擬考試(二模)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省安慶市2024屆高三模擬考試(二模)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1設(shè)集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，故，由，可得，即或，故或，則.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗，而，可得.故選：B.3.設(shè)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)橢圓C中心的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（）A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗C〖解析〗由橢圓的對(duì)稱性可知P，Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，則四邊形為平行四邊形，由橢圓定義可知：，又，，所以，又過(guò)原點(diǎn)，所以，所以的周長(zhǎng)的最小值為：.故選：C4.在一次學(xué)科核心素養(yǎng)能力測(cè)試活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的成績(jī)（評(píng)分滿分為100分），將所有數(shù)據(jù)按，，，，，進(jìn)行分組，整理得到頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)為（）A.80 B.78 C.76 D.74〖答案〗B〖解析〗由，，故這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)位于之間，設(shè)這次調(diào)查數(shù)據(jù)的第64百分位數(shù)為，則有，解得故選：B.5.設(shè)是公比不為1的無(wú)窮正項(xiàng)等比數(shù)列，則“為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗是公比不為1的無(wú)窮正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，一方面：“為遞減數(shù)列”，等價(jià)于，要使得，只需，即，從而，所以取，其中是指不超過(guò)的最大整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有，另一方面：我們假設(shè)，且“存在正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，”，則當(dāng)越來(lái)越大時(shí)，同理可得，但這與“存在正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，”矛盾，綜上所述，“為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，”的充要條件.故選：C.6.已知點(diǎn)，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B滿足，則與夾角的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)點(diǎn)，可得，因?yàn)?，可得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，如圖所示，設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線的方程為，即，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，設(shè)切線的傾斜角為，則，可得，即與夾角的最大值為.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在上沒有最小值，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，故，即，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，因?yàn)樵谏蠜]有最小值，所以，即，由解得，故，得故選：B.8.如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則（）A.不存在點(diǎn)E，使得B.空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條C.過(guò)點(diǎn)E與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條D.過(guò)點(diǎn)E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條〖答案〗D〖解析〗在長(zhǎng)方體中，，對(duì)于A，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，連接，則，即有，而平面，平面，則，又平面，因此平面，而平面，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，設(shè)，，則平面與直線交于，點(diǎn)在線段上，不含端點(diǎn)，則直線與直線相交，同理直線與直線相交,因此直線、分別與三條直線，，都相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面，而平面，則，又，于是是二面角的平面角，且，顯然的平分線與平面和平面所成角都等于，過(guò)點(diǎn)與此直線平行的直線符合要求，這樣的直線只有1條；半平面與半平面的反向延長(zhǎng)面所成二面角的角平分面與平面和平面所成角都等于，在此角平分面內(nèi)過(guò)點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有2條，因此過(guò)點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有3條，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，直線的方向向量分別為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方向向量為，由直線分別與直線所成角都相等，得，于是，不妨令，有或或或，顯然使得成立的向量有8個(gè)，其余4個(gè)分別與上述4個(gè)向量共線，所以過(guò)點(diǎn)E與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條，D正確.故選：D二、多項(xiàng)選擇題9.已知定義在R上的函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C.函數(shù)為減函數(shù) D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A：令，則有，故，故A正確；對(duì)B：令，，則有，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，則有，其中，，令，，即有對(duì)、，當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)為減函數(shù)，故C正確；對(duì)D：令，則有，又，故，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確.故選：ACD.10.拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B作拋物線C的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.面積的最大值為2C.點(diǎn)E在一條定直線上D.設(shè)直線傾斜角為，為定值〖答案〗CD〖解析〗由拋物線的焦點(diǎn)為，故，即，由題意可知，直線斜率存在，設(shè)，，，聯(lián)立，有，，，，對(duì)A：，當(dāng)時(shí)，即有，故，即，即或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由，，即，有，故，又，故，同理可得，設(shè)點(diǎn)，則有，有，，由，，故，，故點(diǎn)E在一條定直線上且該直線為，故C正確；對(duì)D：由，，則，故有，即，故為定值且該定值為，故D正確.故選：CD.11.滿足，，的數(shù)列稱為盧卡斯數(shù)列，則（）A.存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等差數(shù)列B.存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等比數(shù)列C.D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A：若數(shù)列為等差數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，無(wú)解，故不存在這樣的實(shí)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，即，由，故有恒成立，即有，即，解得，此時(shí)，故存在非零實(shí)數(shù)t，使得為等比數(shù)列，故B正確；對(duì)C：由，則，即有，故C正確；對(duì)D：由，故，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________．〖答案〗〖解析〗對(duì)，有，令，則，則有.故〖答案〗為：.13.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為M，底面直徑．圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合于一點(diǎn)O，則該圓錐的全面積為__________．〖答案〗〖解析〗畫出圓錐的軸截面如圖所示，由O為圓錐的內(nèi)切球球心，則有為的角平分線，由O為圓錐的外接球球心，則，故，故，又，故為等邊三角形，故，，則.故〖答案〗為：.14.剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點(diǎn)生活或配合其他民俗活動(dòng)的中國(guó)民間藝術(shù)．其傳承賡續(xù)的視覺形象和造型格式，蘊(yùn)涵了豐富的文化歷史信息，表達(dá)了廣大民眾的社會(huì)認(rèn)知、道德觀念、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、生活理想和審美情趣，具有認(rèn)知、教化、表意、抒情、娛樂、交往等多重社會(huì)價(jià)值．現(xiàn)有如圖所示剪紙圖案，其花紋中就隱含方程為的曲線C（稱為星形線），則曲線C的內(nèi)切圓半徑為__________；以曲線C上點(diǎn)為切點(diǎn)的直線被坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)等于__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)在曲線上，則、、亦在曲線上，故曲線關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)對(duì)稱，故只需研究第一象限內(nèi)部分，當(dāng)，時(shí)，由曲線上，故有，即有，則可設(shè)，，，即，，則，由，則，則，即曲線C的內(nèi)切圓半徑為；當(dāng)，時(shí)，可化為，，則曲線上的點(diǎn)的切線方程為：，令，則有，令，則有，則.即曲線C上點(diǎn)為切點(diǎn)的直線被坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)等于.故〖答案〗為：；.四、解答題15.如圖，在平面凸四邊形中，.（1）求；（2）若，，求.解：（1）由已知得：，故，所以．因?yàn)椋?，由三角形?nèi)角范圍知；（2）由，，故為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，在中，，由正弦定理得，故，由于，所以，故，在中，由余弦定理得，即，得.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，令，得（舍去），?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）方法1：由條件可知，于是，解得．當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是．方法2：由條件可知對(duì)任意的恒成立，令，，只需即可．，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，于是，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是．17.如圖，將邊長(zhǎng)為2的菱形沿其對(duì)角線對(duì)折，使得點(diǎn)A、D分別位于邊長(zhǎng)為2的等邊所在平面的兩側(cè)，且，．設(shè)E是的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接、，如圖所示．因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以也是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，在等邊中，O是的中點(diǎn)，可得且，又因?yàn)椋傻?，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面；又因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫妫?）解：由（1）知，，．因?yàn)镺是等邊的邊中點(diǎn)，可得．所以，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，故，所以，且，又因?yàn)椋?，故平面，則D在平面內(nèi)，可得，所以，，設(shè)平面的法向量為，顯然可令；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，即，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面的夾角的正弦值為．18.樹人高中擬組織學(xué)生到某航天基地開展天宮模擬飛行器體驗(yàn)活動(dòng)，該項(xiàng)活動(dòng)對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)和航天知識(shí)素養(yǎng)有明確要求．學(xué)校所有3000名學(xué)生參加了遴選活動(dòng)，遴選活動(dòng)分以下兩個(gè)環(huán)節(jié)，當(dāng)兩個(gè)環(huán)節(jié)均測(cè)試合格可以參加體驗(yàn)活動(dòng)．第一環(huán)節(jié)：對(duì)學(xué)生身體體能指標(biāo)進(jìn)行測(cè)試，當(dāng)測(cè)試值時(shí)體能指標(biāo)合格；第二環(huán)節(jié)：對(duì)身體體能指標(biāo)符合要求的學(xué)生進(jìn)行航天知識(shí)素養(yǎng)測(cè)試，測(cè)試方案為對(duì)A，B兩類試題依次作答，均測(cè)試合格才能符合遴選要求．每類試題均在題庫(kù)中隨機(jī)產(chǎn)生，有兩次測(cè)試機(jī)會(huì)，在任一類試題測(cè)試中，若第一次測(cè)試合格，不再進(jìn)行第二次測(cè)試．若第一次測(cè)試不合格，則進(jìn)行第二次測(cè)試，若第二次測(cè)試合格，則該類試題測(cè)試合格，若第二次測(cè)試不合格，則該類試題測(cè)試不合格，測(cè)試結(jié)束．經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，該校學(xué)生身體體能指標(biāo)服從正態(tài)分布．參考數(shù)值：，，．（1）請(qǐng)估計(jì)樹人高中遴選學(xué)生符合身體體能指標(biāo)的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）；（2）學(xué)生小華通過(guò)身體體能指標(biāo)遴選，進(jìn)入航天知識(shí)素養(yǎng)測(cè)試，作答A類試題，每次測(cè)試合格的概率為，作答B(yǎng)類試題，每次測(cè)試合格的概率為，且每次測(cè)試相互獨(dú)立．①在解答A類試題第一次測(cè)試合格的條件下，求測(cè)試共進(jìn)行3次的概率．②若解答A、B兩類試題測(cè)試合格的類數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）．所以符合該項(xiàng)指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為：人．（2）①記表示解答A類試題第一次測(cè)試合格，，分別表示解答B(yǎng)類試題第一次和第二次測(cè)試合格，測(cè)試共進(jìn)行3次記為事件M，則，．②設(shè)X的取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望．19.取整函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其定義如下：設(shè)，不超過(guò)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作，函數(shù)稱為取整函數(shù)．另外也稱是x的整數(shù)部分，稱為x的小數(shù)部分．（1）直接寫出和的值；（2）設(shè)a，，證明：，且，并求在b的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；（3）對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù)a，a能唯一寫為，其中為質(zhì)數(shù)，為整數(shù)，且對(duì)任意的，，i，，稱該式為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式，例如100的標(biāo)準(zhǔn)分解式為．證明：在的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)因數(shù)（，，）的指數(shù)．（1）解：由，故，故，；（2）解：因?yàn)椋仁絻蛇呁瑫r(shí)乘b，得，因?yàn)閍，b