天津市部分區(qū)2024屆高三質(zhì)量調(diào)查（二）數(shù)學試卷 （解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市部分區(qū)2024屆高三質(zhì)量調(diào)查（二）數(shù)學試卷參考公式：·如果事件，互斥，那么．·如果事件，相互獨立，那么．·棱柱的體積公式，其中表示棱柱的底面面積，表示棱柱的高．·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高．一、選擇題1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，故選：A2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由，當時，則；當時，則；因為，則可知，所以；故“”是“”的必要不充分條件，故B項正確.故選：B.3.若，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，所以.故選：B.4.在數(shù)列中，若（），則的值為（）A.1 B.3 C.9 D.27〖答案〗D〖解析〗當時，，當時，，所以，當時，，所以.故選：D.5.函數(shù)的圖象如圖所示，則的〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖象知，該函數(shù)圖象關于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且，對于A，，為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，為奇函數(shù)，當時，，因為，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，故C正確；對于D，當時，，，所以時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故D錯誤，故選：C.6.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，且與拋物線（）的焦點重合，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，拋物線的準線方程為，又因為，則點，又因為點在雙曲線的漸近線上，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.7.某校舉辦了數(shù)學知識競賽，把1000名學生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）按，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的為（）A.的值為0.015 B.估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為80C.估計這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為87 D.估計成績低于80分的有350人〖答案〗C〖解析〗易知，解得，所以A錯誤；由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在區(qū)間，用區(qū)間中點表示眾數(shù)即85，所以B錯誤；由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為，前三組頻率之和為，故第60百分位數(shù)落在區(qū)間，設第60百分位數(shù)為，則，解得，所以C正確；成績低于80分的頻率為，所以估計總體有，故D錯誤.故選：C.8.在各棱長均為2的正三棱柱中，上下底面的中心分別為，，三個側(cè)面的中心分別為，，，若在該三棱柱中挖去兩個三棱錐和，則剩余部分的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示：因為三個側(cè)面中心分別為，所以三棱錐和三棱錐的底面面積為，高為正三棱柱的高的一半，故挖去的幾何體的體積為，三棱柱的體積為，故剩余幾何體的體積為.故選：A.9.已知函數(shù)，關于有下面四個說法：的圖象可由函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度得到；在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，的取值范圍為；在區(qū)間上有個零點．以上四個說法中，正確個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因為，即.對于，函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度，得到，所以正確；對于，，則，先減后增，所以錯誤；對于，當，則，當且僅當時，即時，，當且僅當時，即，，所以的取值范圍為，所以正確；對于，由，則，則當時，，所以在上有個零點，所以錯誤.故選：B.第Ⅱ卷二、填空題10.已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.11.的展開式中，常數(shù)項為___________.(用數(shù)字作答)〖答案〗〖解析〗由題意二項式展開式的通項為，令，可得展開式的常數(shù)項為.故〖答案〗為：.12.過點的直線與圓相交于，兩點，且與拋物線相切，則______．〖答案〗〖解析〗由題可知直線的斜率存在，可設直線的方程為，由，消去得，因為直線與拋物線相切，所以，解得，即直線方程為：，化為一般式為，又因為圓的圓心為，半徑，則圓心到直線距離為，所以.故〖答案〗為：.13.盒子里有大小和形狀完全相同的4個黑球和6個紅球，每次從中隨機取一個球，取后不放回．在第一次取到黑球的條件下，第二次取到黑球的概率是______；若連續(xù)取2次球，設隨機變量表示取到的黑球個數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗設第一次取到黑球為事件，第二次取到黑球為事件，則，，所以；由題意可得的取值為，，所以，故〖答案〗為：；.14.在中，，是的中點，延長交于點．設，，則可用，表示為__________，若，,則面積的最大值為______．〖答案〗〖解析〗由點是的中點，則；設，，則，，，，所以，得,,所以，即，因為，所以，，即，即，當時，即時等號成立，所以面積的最大值為.故〖答案〗為：；.15.已知函數(shù)若，，且，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗當時，可得，易知在R上單調(diào)遞減，不滿足題意；當時，當時，，對稱軸為，當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減;當時，，當時，開口向上，大致圖象如圖所示：所以函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，且，使得成立，滿足題意;當時：當時，函數(shù)的開口下，對稱軸，①當，即時，易知函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，大致圖象如圖所示：由此可知，，且，使得成立，滿足題意;②當時，即時，此時函數(shù)的大致圖象如圖所示：易知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以不存在，且，使得成立;綜上，的取值范圍為：，故〖答案〗為：.三、解答題16.在中，角，，的對邊分別為，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由余弦定理得，所以．（2）由正弦定理得，即，解得（3）在中，，所以因為，所以為銳角，，所以，17.如圖，平面，，，，，為的中點．（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）設是棱上的點，若與所成角的余弦值為，求的長．（1）證明：因為平面，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：由已知可得，，，，，因為為的中點，所以，所以，，所以，所以，所以.（2）解：，，設平面的法向量，則，即，令得，所以．平面的法向量，設平面與平面夾角為，，所以平面與平面夾角的余弦值為．（3）解：設且（），，則，，，所以，所以，，所以，化簡得，解得或（舍），因為，所以．18.設橢圓（）的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，且，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于點，與軸交于點，且滿足，若三角形（為坐標原點）的面積是三角形的面積的倍，求直線的方程．解：（1）依題意，，，令橢圓半焦距為c，由，得，，所以橢圓的方程為.（2）顯然直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，，由消去得：，則，解得，，又，由（1）知，，，由，得，即，解得，所以直線的方程.19.已知是等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項和為，且，（）．（1）求和的通項公式；（2）求；（3）設數(shù)列滿足（），證明：．（1）解：設的公差為，由題意，，，，所以，當時，，所以，所以，當時，，，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）解：；（3）證明：，所以，設，則，，所以，因為，所以，所以．20.已知函數(shù)，．（1）若曲線在處的切線的斜率為2，求的值；（2）當時，證明：，；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．（1）解：由，可知，因為在處的切線斜率為2，所以，所以，．（2）證明：當時，，要證，即證，兩