重慶育仁中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

重慶育仁中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是單位向量，且夾角為60°，則等于（

）A．1

B．

C．3

D．參考答案：2.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則x﹣y的最大值是（）A．﹣7 B．C．﹣1 D．7參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移求出z最大值即可．【解答】解：約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直線y=x﹣z，由平移可知當(dāng)直線y=x﹣z，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=x﹣z的截距最小，此時(shí)z取得最大值，由，解得A（﹣3，4）代入z=x﹣y得z=﹣3﹣4=﹣1，即z=x﹣y的最大值是﹣1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法．3.設(shè)命題p：?x＜0，x2≥1，則?p為（）A．?x≥0，x2＜1 B．?x＜0，x2＜1 C．?x≥0，x2＜1 D．?x＜0，x2＜1參考答案：B【考點(diǎn)】命題的否定．【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷即可．【解答】解：特稱命題的否定是全稱命題，∴?p：?x∈R，都有x2＜1．故選：B．4.已知雙曲線，則一條漸近線與實(shí)軸所成角的取值范圍是

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.在正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是A．

B．

C．

D．參考答案：B6.如圖2，正三棱柱的主視圖（又稱正視圖）是邊長(zhǎng)為４的正方形，則此正三棱柱的側(cè)視圖（又稱左視圖）的面積為(

)A．

B．

C．

D．16參考答案：A由主視圖可知，三棱柱的高為4，底面邊長(zhǎng)為4，所以底面正三角形的高為，所以側(cè)視圖的面積為，選A.7.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是

A．（，0）

B．（0，1）

C．（1，2）

D．（2，3）

參考答案：C略8.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，M為AB中點(diǎn)，將△ACM沿CM折起，使A、B間的距離為，則M到面ABC的距離為（

）

A．

B．

C．1

D．

參考答案：9.如果，則下列不等式成立的是（

） A． B．C． D．參考答案：D10.是等差數(shù)列，與的等差中項(xiàng)為1，與的等差中項(xiàng)為2，則公差（）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：由已知，，則，.選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)與定義.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則_______.參考答案：因?yàn)椋??！敬鸢浮俊窘馕觥?2.已知樣本7，8，9，x，y的平均數(shù)是9，且xy＝110，則此樣本的方差是

．參考答案：2依題可得x＋y＝21，不妨設(shè)x＜y，解得x＝10，y＝11，所以方差為＝2．13.給出下列命題：⑴是冪函數(shù)；⑵“”是“”的充分不必要條件；⑶的解集是；⑷函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；⑸命題“若，則”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號(hào)是

（寫出所有正確命題的序號(hào)）

參考答案：②③⑤略14.設(shè)函數(shù)f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，則k的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，]【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求導(dǎo)函數(shù)f'（x），函數(shù)f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化成f'（x）≤0在區(qū)間（0，4）上恒成立，討論k的符號(hào)，從而求出所求．【解答】解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函數(shù)f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在區(qū)間（0，4）上恒成立當(dāng)k=0時(shí)，成立k＞0時(shí)，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤，k＜0時(shí)，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范圍是k≤，故答案為：（﹣∞，]．15.已知的二項(xiàng)展開式中,前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列,則

參考答案：16.如圖，A，B兩點(diǎn)都在以PC為直徑的球O的表面上，，，，若球O的表面積為24π，則異面直線PC與AB所成角的余弦值為_____．參考答案：【分析】推導(dǎo)出，，，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．【詳解】?jī)牲c(diǎn)都在以為直徑的球的表面上，解得：且又

，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

平面

又

平面則，，，，設(shè)異面直線與所成角為則：異面直線與所成角的余弦值為本題正確結(jié)果：

17.如圖，直角中，，以為圓心、為半徑作圓弧交于點(diǎn)．若圓弧等分的面積，且弧度，則=

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分15分）已知，若，（1）確定k的值；（2）求的最小值及對(duì)應(yīng)的值．參考答案：(1)

(2)根據(jù)(1)可知

當(dāng)時(shí),即時(shí),取到最小值6.

19.已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}，a4=10，又a1，a2，a6成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=2+2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，可得：a1+3d=10，①，（a1+d）2=a1（a1+5d），②，由①②可解得：a1，d，即可得解．（2）由（1）可知：bn=23n﹣2+2n，利用等比（等差）數(shù)列的求和公式即可得解．【解答】解：（1）∵a4=10，設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，可得：a1+3d=10，①∵a1，a2，a6成等比數(shù)列，可得：（a1+d）2=a1（a1+5d），②∴由①②可解得：a1=1，d=3，∴an=3n﹣2…6分（2）由（1）可知：bn=23n﹣2+2n，所以，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=b1+b2+…+bn=（2+24+27+…+23n﹣2）+2（1+2+…+n）=+2=（8n﹣1）+n（n+1）…12分【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．20.（13分）如圖，已知點(diǎn)A（11，0），函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)P在x軸上的射影為H，且點(diǎn)H在點(diǎn)A的左側(cè)．設(shè)|PH|=t，△APH的面積為f（t）．（Ⅰ）求函數(shù)f（t）的解析式及t的取值范圍；（Ⅱ）求函數(shù)f（t）的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（I）S△APH=PH×AH．其中AH=OA﹣OH，OH等于P的橫坐標(biāo)，P的縱坐標(biāo)即為|PH|=t，利用函數(shù)解析式可求OH．得出面積的表達(dá)式．（II）由（I），面積為．利用導(dǎo)數(shù)工具研究單調(diào)性，求出最值．【解答】解：（I）由已知可得，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t2﹣1，因?yàn)辄c(diǎn)H在點(diǎn)A的左側(cè)，所以t2﹣1＜11，即．由已知t＞0，所以，所以AH=11﹣（t2﹣1）=12﹣t2，所以△APH的面積為．（II），由f'（t）=0，得t=﹣2（舍），或t=2．函數(shù)f（t）與f'（t）在定義域上的情況如右圖：所以當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中有利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問(wèn)題，屬于中檔題．21.已知函數(shù)（1）若，且函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.參考答案：（1）（2）【分析】（1）＝，求其導(dǎo)函數(shù)，利用F（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，得≥0在（0，+∞）上恒成立，得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求最大值可得正實(shí)數(shù)p的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)＝f（x）﹣g（x）＝px﹣，x∈[1，e]，轉(zhuǎn)化為在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x0，使得求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)p分類求的最大值即可.【詳解】（1），.由定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以在上恒成立，所以即，對(duì)任意恒成立，設(shè)，=0的根為x=1得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，即.（2）設(shè)函數(shù)，，因?yàn)樵谏现辽俅嬖谝稽c(diǎn)，使得成立，則，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，舍；②當(dāng)時(shí)，，∵，∴，，，則，舍；③當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，得，綜上，.22.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N

分別是PA、BC的中點(diǎn)．(I)求證：MN∥平面PCD；(II)在棱PC上是否存在點(diǎn)E，使得AE⊥平面PBD?若存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）證明：取PD中點(diǎn)為F，連結(jié)FC，MF．∵,.∴四邊形為平行四邊形，……………3分∴，又平面,…………5分∴MN∥平