2023中考數學真題專項匯編特訓 專題18矩形菱形正方形(共20道)(原卷版+解析)

專題18矩形菱形正方形（20道）一、單選題1．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，菱形的頂點A的坐標為，．將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形，其中點的坐標為（

）

A． B． C． D．3．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點E為延長線上一點，F為的中點，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點G，連接．若，，則（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.54．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點，，是線段上的一個動點，過點作垂足為，連接，有下列四個結論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對角線相交于點O，E，F分別為，上的一點，且，連接．若，則的度數為(

)

A． B． C． D．二、解答題6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．

7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點在對角線上，點在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；(2)如圖②，若，過點作交于點，在不添加任何軸助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角（除外），使寫出的每個角都與相等．8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對角線于點M，N，連接．

(1)求證：；(2)若．求證：四邊形是菱形．9．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：①作線段的垂直平分線，交于點D，交于點O；②在直線上截取，使，連接．（保留作圖痕跡）(2)猜想證明：作圖所得的四邊形是否為菱形？并說明理由．10．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．11．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是邊上的中線，點在的延長線上，連接，過點作交的延長線于點，連接、，求證：四邊形是菱形．

12．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，為線段的中點，連接，，延長，交于點，連接，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．13．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點是的中點，將矩形沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，連接交于點．

(1)若，求的度數；(2)連接EF，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．14．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點E，F分別在，上，，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)，，，求的長．15．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形中，點E是對角線上一點，連接，且．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．16．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，延長至D，使得，過點A，D分別作，，與相交于點E．下面是兩位同學的對話：

小星：由題目的已知條件，若連接，則可證明．小紅：由題目的已知條件，若連接，則可證明．

(1)請你選擇一位同學的說法，并進行證明；(2)連接，若，求的長．17．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）將兩個完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內按如圖所示位置擺放．點A，E，B，D依次在同一直線上，連結、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，當四邊形是菱形時．的長為__________．三、填空題18．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖在正方形中，點E在上，連接，，F為的中點連接．若，則的長為．

19．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點E在邊上，點F是AE的中點，，則的長為．

20．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點P在對角線上，過點P作，交邊于點M，N，過點M作交于點E，連接．下列結論：①；②四邊形的面積不變；③當時，；④的最小值是20．其中所有正確結論的序號是．

專題18矩形菱形正方形（20道）一、單選題1．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據直線三角形斜邊中線的性質可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點C關于直線的對稱點M，則，點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點M，N分別是的中點，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點C關于直線的對稱點M，連接，，則，當點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點睛】本題考查矩形的性質，直線三角形斜邊中線的性質，中位線的性質，平行四邊形的判定與性質，軸對稱的性質，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關鍵是牢固掌握上述知識點，熟練運用等量代換思想．2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，菱形的頂點A的坐標為，．將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形，其中點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作軸于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性質可得．【詳解】解：如圖，過作軸于，

∵菱形的頂點A的坐標為，．∴，，∴，∴，，∴，∵將菱形沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，∴；故選A【點睛】本題考查的是菱形的性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的應用，圖形的平移，熟練的求解B的坐標是解本題的關鍵．3．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點E為延長線上一點，F為的中點，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點G，連接．若，，則（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質求得，在中，利用勾股定理即可求解.【詳解】解：∵矩形中，∴，∵F為的中點，，∴，在中，，故選：C.【點睛】本題考查了矩形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線的長等于斜邊的一半”是解題的關鍵.4．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點，，是線段上的一個動點，過點作垂足為，連接，有下列四個結論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【答案】D【分析】根據正方形的性質和三角形全等即可證明，通過等量轉化即可求證，利用角平分線的性質和公共邊即可證明，從而推出①的結論；利用①中的部分結果可證明推出，通過等量代換可推出③的結論；利用①中的部分結果和勾股定理推出和長度，最后通過面積法即可求證④的結論不對；結合①中的結論和③的結論可求出的最小值，從而證明②不對.【詳解】解：為正方形，，，，，.,,，，.平分，.，.，，垂直平分，故①正確.由①可知，，，，，，由①可知，.故③正確.為正方形，且邊長為4，，在中，.由①可知，，，.由圖可知，和等高，設高為，，，，.故④不正確.由①可知，，，關于線段的對稱點為，過點作，交于，交于，最小即為，如圖所示，

由④可知的高即為圖中的，.故②不正確.綜上所述，正確的是①③.故選：D.【點睛】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角形面積法，解題的關鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運用相關知識點.5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對角線相交于點O，E，F分別為，上的一點，且，連接．若，則的度數為(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據正方形的性質得到，，然后結合得到，然后證明出，最后利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】∵四邊形是正方形∴，∵∴，∴∴又∵，∴∴∴∴故選：C．【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．二、解答題6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF，垂足為O，分別交AD，BC于E，F，連接BE，DF．求證：四邊形BFDE是菱形．

【答案】證明見解析.【詳解】【分析】根據平行四邊形的性質以及全等三角形的判定方法證明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE為菱形．【詳解】∵在?ABCD中，O為對角線BD的中點，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）,∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∵EF⊥BD，∴四邊形BFDE為菱形．【點睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，得出OE=OF是解題關鍵．7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形是平行四邊形，點在對角線上，點在邊上，連接，，．

(1)如圖①，求證；(2)如圖②，若，過點作交于點，在不添加任何軸助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角（除外），使寫出的每個角都與相等．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質得，，進而有，從而利用即可證明結論成立；（2）先證四邊形是菱形，得，又證，得，由（）得得，根據等角的補角相等即可證明．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，由（）得，∴，∵，∴．

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定及性質、等邊對等角、全等三角形的判定及性質以及等角的補角相等．熟練掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對角線于點M，N，連接．

(1)求證：；(2)若．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【分析】（1）連接，交于點，證明，推出四邊形為平行四邊形，得到，即可得證；（2）先證明四邊形是菱形，得到，進而得到，即可得證．【詳解】（1）證明：連接，交于點，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質．熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．9．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：①作線段的垂直平分線，交于點D，交于點O；②在直線上截取，使，連接．（保留作圖痕跡）(2)猜想證明：作圖所得的四邊形是否為菱形？并說明理由．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)四邊形是菱形，見解析【分析】（1）①根據垂直平分線的畫法作圖；②以點O為圓心，為半徑作圓，交于點E，連線即可；（2）根據菱形的判定定理證明即可．【詳解】（1）①如圖：直線即為所求；②如圖，即為所求；

；（2）四邊形是菱形，理由如下：∵垂直平分，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．【點睛】此題考查了基本作圖－線段垂直平分線，截取線段，菱形的判定定理，熟練掌握基本作圖方法及菱形的判定定理是解題的關鍵．10．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據定理證出，再根據全等三角形的性質即可得證．【詳解】證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了矩形的性質、三角形全等的判定與性質等知識點，熟練掌握矩形的性質是解題關鍵．11．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是邊上的中線，點在的延長線上，連接，過點作交的延長線于點，連接、，求證：四邊形是菱形．

【答案】證明見解析【分析】先根據等腰三角形的性質，得到垂直平分，進而得到，，，再利用平行線的性質，證明，得到，進而得到，即可證明四邊形是菱形．【詳解】證明：，是邊上的中線，垂直平分，，，，，，，在和中，，，，，四邊形是菱形．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，菱形的判定，靈活運用相關知識點解決問題是解題關鍵．12．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，為線段的中點，連接，，延長，交于點，連接，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)證明，見解析(2)【分析】（1）根據平行四邊形的性質，得，根據平行線的性質，得，；再根據為線段的中點，全等三角形的判定，則，根據矩形的判定，即可；（2）過點作于點，根據勾股定理，求出的長，再根據四邊形的面積等于，即可．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵為線段的中點，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形．（2）過點作于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴四邊形的面積等于，∵，，∵點是對角線的中心，∴，∴，∴平行四邊形的面積為：．

【點睛】本題考查矩形，平行四邊形，全等三角形的知識，解題的關鍵是矩形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．13．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點是的中點，將矩形沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，連接交于點．

(1)若，求的度數；(2)連接EF，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)的度數為(2)矩形，理由見詳解【分析】（1）根據點是的中點，沿所在的直線折疊，可得是等腰三角形，根據三角形的外角的性質即可求解；（2）如圖所示，連接，點是上的一點，根據矩形和折疊的性質可得四邊形是平行四邊形，如圖所示，連接，，過點作于點，可證四邊形是平行四邊形，再根據折疊的性質得，由此即可求證．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，點是的中點，∴，∵沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，∴，∴，則是等腰三角形，∴，∵，即，∴，∴的度數為．（2）解：如圖所示，連接，點是上的一點，

∵四邊形是矩形，∴，，即，∵沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，∴，，是的角平分線，由（1）可知，，∴，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，則，，如圖所示，連接，，過點作于點，

∵點是的中點，，∴點是線段的中點，則，∴在中，，∴，∴，，∵沿所在的直線折疊，的對應點分別為，，∴，，，在中，，∴，∴，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形．【點睛】本題主要考查矩形的性質，矩形的判定，折疊的性質，全等三角形的判定和性質的綜合，掌握矩形折疊的性質，全等三角形的判定和性質，圖形結合分析是解題的關鍵．14．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點E，F分別在，上，，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行四邊形的性質求出，證明四邊形是平行四邊形，然后根據對角線相等的平行四邊形是矩形得出結論；（2）證明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：由（1）知四邊形是矩形，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質以及解直角三角形，熟練掌握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．15．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形中，點E是對角線上一點，連接，且．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接與交于O，先由平行四邊形對角線互相平分得到，再利用證明得到，進而證明，得到，由此即可證明平行四邊形是菱形；（2）先由菱形的性質得到，再解，得到，利用勾股定理求出，則，，則．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接與交于O，∵四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；

（2）解：∵四邊形是菱形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴（負值舍去），∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質與判定，平行四邊形的性質，解直角三角形，全等三角形的性質與判定，勾股定理等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．16．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，延長至D，使得，過點A，D分別作，，與相交于點E．下面是兩位同學的對話：

小星：由題目的已知條件，若連接，則可證明．小紅：由題目的已知條件，若連接，則可證明．

(1)請你選擇一位同學的說法，并進行證明；(2)連接，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）選擇小星的說法，先證四邊形是平行四邊形，推出，再證明四邊形是矩形，即可得出；選擇小紅的說法，根據四邊形是矩形，可得，根據四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；（2）根據，可得，再用勾股定理解即可．【詳解】（1）證明：①選擇小星的說法，證明如下：如圖，連接，

，，四邊形是平行四邊形，，，，又，點D在的延長線上，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，；②選擇小紅的說法，證明如下：如圖，連接，，

由①可知四邊形是矩形，，四邊形是平行四邊形，，．（2）解：如圖，連接，

，，，，在中，，，解得即的長為．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理等，解題的關鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定方法．17．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）將兩個完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內按如圖所示位置擺放．點A，E，B，D依次在同一直線上，連結、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，當四邊形是菱形時．的長為__________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意可知易得，即，依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；（2）如圖，在中，由角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得，；由菱形得對角線平分對角得，再由三角形外角和易證即可得，最后由求解即可．【詳解】（1）證明：由題意可知，，，，四邊形地平行四邊形；（2）如圖，在中，，，，，，四邊形是菱形，平分，，，，，，，故答案為：．

【點睛】本題考查了全等三角形的性質，平行四邊形的判定，菱形的性質，角所對的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三