一元一次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和例題講解

2013年7月12日誠志教育初中數(shù)學(xué)培訓(xùn)材料匯總初中一元一次方程知識(shí)點(diǎn)匯總（一）、方程的有關(guān)概念1.方程：含有未知數(shù)的等式就叫做方程.2.一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)(元)x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50x=1800，2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程.（例1）3．方程的解：使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.（例2）注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果，它是一個(gè)數(shù)值(或幾個(gè)數(shù)值)，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無解的過程.⑵方程的解的檢驗(yàn)方法，首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計(jì)算它們的值，其次比較兩邊的值是否相等從而得出結(jié)論.（二）、等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)(1)：等式兩邊都加上(或減去)同個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等.

等式的性質(zhì)(1)用式子形式表示為：如果a=b，那么a±c=b±c等式的性質(zhì)(2)：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，等式的性質(zhì)(2)用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么eq\f(a,c)=eq\f(b,c)（三）、移項(xiàng)法則：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)．（例3）（四）、去括號(hào)法則1.括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同．2.括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)改變．（五）、解方程的一般步驟（例4）1.去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù))2.去括號(hào)(按去括號(hào)法則和分配律)3.移項(xiàng)(把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊，移項(xiàng)要變號(hào))4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)5.系數(shù)化為1(在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=eq\f(b,a)).一．列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審題：弄清題意．（2）找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系．（3）設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值．（5）檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫出答案．二、一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用1.和、差、倍、分問題：增長量＝原有量×增長率現(xiàn)在量＝原有量＋增長量（1）倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率……”來體現(xiàn).（2）多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現(xiàn).例1.1：兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？解：設(shè)x年后，兄的年齡是弟的年齡的2倍，則x年后兄的年齡是15+x，弟的年齡是9+x．由題意，得2×（9+x）=15+x18+2x=15+x，移向得：2x-x=15-18∴x=-3答：3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍．（點(diǎn)撥：-3年的意義，并不是沒有意義，而是指以今年為起點(diǎn)前的3年，是與3年后具有相反意義的量）例1.2.一個(gè)數(shù)的3倍比它的2倍多10，若設(shè)這個(gè)數(shù)為x，可得到方程__3x-2x=10________.例1.3.用一根長80厘米的繩子圍成一個(gè)長方形，且這個(gè)長方形的長比寬多10厘米，則這個(gè)長方形的長和寬各是__25_____、____15____.面積是____375cm___.分析:設(shè)寬為X，則長為X+102(x+10)+2x=802x+20+2x=804x=60x=15面積=25*15=3752.等積變形問題：（1）“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常用等量關(guān)系為：①形狀面積變了，周長沒變；②原料體積＝成品體積.（2常見幾何圖形的面積、體積、周長計(jì)算公式，依據(jù)形雖變，但體積不變．①圓柱體的體積公式V=底面積×高＝S·h＝②長方體的體積V＝長×寬×高＝abc例2.1將一個(gè)裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入一個(gè)內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，≈3.14）．解：設(shè)圓柱形水桶的高為x毫米，依題意，得 ·（）2x=300×300×80例2.2.一根內(nèi)徑為3㎝的圓柱形長試管中裝滿了水，現(xiàn)把試管中的水逐漸滴入一個(gè)內(nèi)徑為8㎝、高為1.8㎝的圓柱形玻璃杯中，當(dāng)玻璃杯裝滿水時(shí)，試管中的水的高度下降了＿＿11＿＿㎝.分析：解：設(shè)水在圓柱形長試管中的水位為高度為x,由此可列方程如下：×8×8×1.8=×3×3×xX=12.8cm試管中的水高度下降了：12.8-1.8=11cm3.工程問題：工程問題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和＝總工作量＝1

例3.1.一件工程，甲獨(dú)做需15天完成，乙獨(dú)做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨(dú)完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？解：設(shè)乙還需x天完成全部工程，設(shè)工作總量為單位1，由題意得，(EQ\f(1,15)+EQ\f(1,12))×3+EQ\f(x,12)=1X=33|5例3.2.甲、乙工程隊(duì)從相距100m的馬路兩端開始挖溝，甲工程隊(duì)每天挖溝的進(jìn)度是乙工程隊(duì)的2倍少1m，若5天完工，兩隊(duì)每天各挖幾米？分析：解：設(shè)乙隊(duì)每天挖x米，甲隊(duì)每天挖2x-1米5（2x-1）+5X=10010x-5+5x=100X=7米甲：14-1=13米乙：7米4.行程問題：路程＝速度×?xí)r間時(shí)間＝路程÷速度速度＝路程÷時(shí)間（1）相遇問題：相遇路程=速度和*相遇時(shí)間S1+s2=(v1+v2)*t（2）追及問題：追及路程=速度差*追及時(shí)間（3）航行問題：順流速度＝靜水速度＋水流速度逆流速度＝靜水速度－水流速度順流路程＝順流速度*順流時(shí)間逆流路程＝逆流速度*逆流時(shí)間抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系．例4.1.甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行90公里，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行140公里。（1）慢車先開出1小時(shí)，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時(shí)后兩車相遇？（2）兩車同時(shí)開出，相背而行多少小時(shí)后兩車相距600公里？（3）兩車同時(shí)開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時(shí)后快車與慢車相距600公里？（4）兩車同時(shí)開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時(shí)后快車追上慢車？（5）慢車開出1小時(shí)后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時(shí)追上慢車？解：設(shè)快車開出x小時(shí)后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480x=39\23解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(140+90)x+480=600x=12\23解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600公里，由題意得，(140－90)x+480=600x=12\5解：設(shè)x小時(shí)后快車追上慢車。由題意得，140x=90x+480x=48\5解：設(shè)快車開出x小時(shí)后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480x=57\5例4.2.一只輪船航行于甲乙兩港之間，順?biāo)ィ?小時(shí)到達(dá)；逆水返回，5小時(shí)到達(dá)。已知兩港間相距80千米，求輪船在靜水中的速度和水流速度。解答：設(shè)船在靜水中的速度為x千米一小時(shí)，因?yàn)椋核魉俣?順流速度-靜水速度=靜水速度-逆流速度所以可以列方程：80|4-x=x-80\5X=18水流速度：20-18=2千米一小時(shí)5.商品銷售問題（1）商品利潤率＝×100%（2）商品銷售額＝商品銷售價(jià)×商品銷售量（3）商品的銷售利潤＝（銷售價(jià)－成本價(jià)）×銷售量(4)利潤=進(jìn)價(jià)*利潤率（5）售價(jià)=進(jìn)價(jià)*（1+利潤率）=標(biāo)價(jià)*（折扣數(shù)\10）（4）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售．有關(guān)關(guān)系式：商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率（5）商品利潤=商品售價(jià)—商品進(jìn)價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率—商品進(jìn)價(jià)例5.1.工藝商場按標(biāo)價(jià)銷售某種工藝品時(shí)，每件可獲利45元；按標(biāo)價(jià)的八五折銷售該工藝品8件與將標(biāo)價(jià)降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.該工藝品每件的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)分別是多少元？解：設(shè)該工藝品每件的進(jìn)價(jià)是元,標(biāo)價(jià)是（45+x）元.依題意，得:8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x（360+8x）*0.85-8x=120306+6.8x-8x=120-1.2x=-186x=155進(jìn)價(jià)155標(biāo)價(jià)2006.儲(chǔ)蓄問題⑴顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅⑵利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息本息=本金*（1+利率*期數(shù)）利息稅=利息×稅率（20%）純利息=本金*利率*期數(shù)*（1-利息稅率）利潤＝×100%例6.1．小剛的爸爸前年買了某公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅后，共得本息和約4700元，問這種債券的年利率是多少（精確到0.01%）．解答：設(shè)這種債券的年利率是x，根據(jù)題意有4500+4500×2×x×（1-20%）=4700x=0.027777=0.037.數(shù)字問題（1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c．十位數(shù)可表示為10b+a，百位數(shù)可表示為100c+10b+a．然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程（其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）(2)數(shù)字問題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)