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第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2基本不等式(共2課時(shí))(第1課時(shí))1.推導(dǎo)并掌握基本不等式,理解這個(gè)基本不等式的幾何意義,并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是:當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等;2.通過實(shí)例探究抽象基本不等式;通過多媒體體會(huì)基本不等式等號(hào)成立條件,掌握運(yùn)用基本不等式求最值;1.從不同角度探索不等式的證明過程,會(huì)用此不等式求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值;2.基本不等式等號(hào)成立條件;一、情境導(dǎo)學(xué)(1)如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,趙爽是為了證明勾股定理而繪制了弦圖。弦圖既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就,又象一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車,歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們。思考1:這圖案中含有怎樣的幾何圖形?思考2:你能發(fā)現(xiàn)圖案中的相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?(2)探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖,在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b(a≠b),那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣,4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積之和小于正方形的面積,我們就得到了一個(gè)不等式:.問題1.思考證明:你能給出它的證明嗎?二、新知探究基本不等式:如果a>0,b>0,我們用、分別代替a、b,可得,通常我們把上式寫作:基本不等式(a>0,b>0)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào))(1)在數(shù)學(xué)中,我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù),稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).此不等式又叫均值不等式。探究1.從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式如果學(xué)生類比重要不等式的證明給出證明,再介紹書上的分析法。分析法證明:證明不等式探究2.理解基本不等式的幾何意義在右圖中,AB是圓的直徑,點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn),AC=a,BC=b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD.你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎?(1)AB表示什么?(2)表示哪個(gè)線段?(3)對(duì)應(yīng)哪個(gè)線段呢?(4)OD與CD的大小關(guān)系如何?典例解析:利用基本不等式求最值例1.基本不等式的使用條件跟蹤訓(xùn)練1.下列不等式中,正確的是()A.a(chǎn)+eq\f(4,a)≥4B.a(chǎn)2+b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a+b,2)D.x2+eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)2.若a>1,則a+eq\f(1,a-1)的最小值是()A.2B.a(chǎn)C.eq\f(2\r(a),a-1)D.33.若a,b都是正數(shù),則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(4a,b)))的最小值為()A.7B.8C.9D.104.已知x>0,y>0,且eq\f(1,x)+eq\f(9,y)=1,則x+y的最小值為________.我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2+b2≥2ab;基本不等式;兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)(),幾何平均數(shù)()及它們的關(guān)系(≥).它們成立的條件不同,前者只要求a、b都是實(shí)數(shù),而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具,又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).參考答案:?jiǎn)栴}1.證明:因?yàn)?,,?dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立探究1:證明:要證只要證只要證只要證顯然,是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),(3)中的等號(hào)成立.探究2:易證Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB即CD=.這個(gè)圓的半徑為,顯然,它大于或等于CD,即,其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合,即a=b時(shí),等號(hào)成立.因此:基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”例1(1)解析:(2)解析:例2.(3).解:∵,當(dāng)且僅當(dāng)2x=(1-2x),即時(shí),取“=”號(hào).∴當(dāng)時(shí),函數(shù)y=x(1-2x)的最大值是.跟蹤訓(xùn)練(1)達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.解析:選D.a<0,則a+eq\f(4,a)≥4不成立,故A錯(cuò);a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B錯(cuò),a=4,b=16,則eq\r(ab)<eq\f(a+b,2),故C錯(cuò);由基本不等式可知D項(xiàng)正確.2.解析:選D.a>1,所以a-1>0,所以a+eq\f(1,a-1)=a-1+eq\f(1,a-1)+1≥2eq\r((a-1)·\f(1,a-1))+1=3.當(dāng)且僅當(dāng)a-1=eq\f(1,a-1)即a=2時(shí)取等號(hào).3.解析:選C.因?yàn)閍,b都是正數(shù),所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(4a,b)))=5+eq\f(b,a)+eq\f(4a,b)≥5+2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a>0時(shí)取等號(hào).4.解析:x+y=(x+y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(9,y)))=10+eq\f(y,x)+eq\f(9x,y)≥10+2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))=10+6=16.2.2基本不等式(第2課時(shí))1.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題;2.圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。重點(diǎn):在實(shí)際問題中建立不等關(guān)系,并能正確運(yùn)用基本不等式求最值;難點(diǎn):注意運(yùn)用不等式求最大(小)值的條件一、小試牛刀1.判斷正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)任意的a,b∈R,若a與b的和為定值,則ab有最大值.()(2)若xy=4,則x+y的最小值為4.()(3)函數(shù)f(x)=x2+eq\f(2,x2+1)的最小值為2eq\r(2)-1.()2.已知x+y=1且x>0,y>0,則eq\f(1,x)+eq\f(1,y)的最小值是()A.2B.3C.4D.6二、新知探究問題1.用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短。最短的籬笆是多少?AABDC結(jié)論1:?jiǎn)栴}2.用段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?結(jié)論2:(三)典例解析均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例1、某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無蓋貯水池,其容積為4800深為3m。如果池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元,怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)為多少元?跟蹤訓(xùn)練1.某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng),其總面積為3000m2,其中場(chǎng)地四周(陰影部分)為通道,通道寬度均為2m,中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地(其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同),塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S平方米.(1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域);(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值,最大值為多少?2.某商品進(jìn)貨價(jià)為每件50元,據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,當(dāng)銷售價(jià)格為每件x(50≤x≤80)元時(shí),每天銷售的件數(shù)為eq\f(105,x-402),若想每天獲得的利潤(rùn)最多,則銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?【歸納總結(jié)】利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式例2已知a,b都是正數(shù),且a+b=1,求證:1+1跟蹤訓(xùn)練3.已知:a,b,c∈R+,求證:eq\f(bc,a)+eq\f(ca,b)+eq\f(ab,c)≥a+b+c.1.已知正數(shù)a、b滿足ab=10,則a+b的最小值是()A.10B.25C.5D.2eq\r(10)2.小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時(shí)速分別為a和b(a<b),其全程的平均時(shí)速為v,則()A.a(chǎn)<v<eq\r(ab)B.v=eq\r(ab)C.eq\r(ab)<v<eq\f(a+b,2)D.v=eq\f(a+b,2)3.某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是________.4.某單位決定投資3200元建一倉庫(長(zhǎng)方體狀),高度恒定,它的后墻利用舊墻不花錢,正面用鐵柵,每米長(zhǎng)造價(jià)40元,兩側(cè)墻砌磚,每米長(zhǎng)造價(jià)45元,頂部每平方米造價(jià)20元,求:①倉庫面積S的最大允許值是多少?②為使S達(dá)到最大,而實(shí)際投資又不超過預(yù)算,那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)?5.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求證:1a1.利用基本不等式來解題時(shí),要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式,要懂得利用基本不等式來求最大(?。┲?.利用基本不等式解決實(shí)際問題的一般步驟:先建目標(biāo)函數(shù),再用基本不等式求函數(shù)的最值,從而得出實(shí)際問題的解。參考答案:一、小試牛刀1.答案:(1)×(2)×(3)√2.解析:法一:eq\f(1,x)+eq\f(1,y)=eq\f(x+y,xy)=eq\f(1,xy)≥eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x+y,2)))2)=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào),法二:eq\f(1,x)+eq\f(1,y)=eq\f(x+y,x)+eq\f(x+y,y)=2+eq\f(y,x)+eq\f(x,y)≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào).答案:C二、探究新知問題1.解:(1)設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為m,寬為m,則籬笆的長(zhǎng)為2()m由,可得,2()等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng),因此,這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為10m時(shí),所用籬笆最短,最短籬笆為40問題2.解:設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為m,寬為m,則2()=36,=18,矩形菜園的面積為,由可得,可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)因此,這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí),菜園的面積最大,最大面積為81三、典例解析例1.解:設(shè)底面的長(zhǎng)為m,寬為m,水池總造價(jià)為元,根據(jù)題意,有由容積為4800可得由基本不等式與不等式性質(zhì),可得即,可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)所以,將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低,最低造價(jià)為297600元跟蹤訓(xùn)練1[解析](1)由已知xy=3000,2a+6=y(tǒng),則y=eq\f(3000,x)(6<x<500),S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a=(2x-10)·eq\f(y-6,2)=(x-5)(y-6)=3030-6x-eq\f(15000,x)(6<x<500).(2)S=3030-6x-eq\f(15000,x)≤3030-2eq\r(6x·\f(15000,x))=3030-2×300=2430.當(dāng)且僅當(dāng)6x=eq\f(15000,x),即x=50時(shí),“=”成立,此時(shí)x=50.y=60,Smax=2430.即設(shè)計(jì)x=50m,y=60m時(shí),運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大,最大值為2430m2.跟蹤訓(xùn)練2.解析:方法一:設(shè)當(dāng)銷售價(jià)格為每件x元時(shí),獲得的利潤(rùn)為y,由題意知,y=(x-50)·eq\f(105,x-402)=(x-50)·eq\f(105,x-502+20x-50+100)=eq\f(105,x-50+\f(100,x-50)+20).∵x-50≥0,∴x-50+eq\f(100,x-50)≥20,∴y≤eq\f(105,20+20)=2500,當(dāng)且僅當(dāng)x-50=eq\f(100,x-50),即x=60或x=40(舍去)時(shí),等號(hào)成立,ymax=2500.方法二:由題意知,y=(x-50)·eq\f(105,x-402),令x-50=t,x=t+50(t≥0),則y=eq\f(105t,t+102)=eq\f(105t,t2+20t+100)=eq\f(105,t+\f(100,t)+20)≤eq\f(105,20+20)=2500,當(dāng)且僅當(dāng)t=eq\f(100,t),即t=10時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)x=60,ymax=2500.答:當(dāng)銷售價(jià)格定為60元時(shí),每天獲得的利潤(rùn)最多,最多利潤(rùn)為2500元.例2.:結(jié)合條件a+b=1,將不等式左邊進(jìn)行適當(dāng)變形,然后利用基本不等式進(jìn)行證明即可.證明:因?yàn)閍>0,b>0,a+b=1,所以同理故5+2ba+ab≥5+4所以跟蹤訓(xùn)練3.證明:由基本不等式:eq\f(bc,a)+eq\f(ca,b)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ca,b))=2c,同理:eq\f(ca,b)+eq\f(ab,c)≥2a,eq\f(ab,c)+eq\f(bc,c)≥2b.三式相加即得:eq\f(bc,a)+eq\f(ca,b)+eq\f(ab,c)≥a+b+c(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”).達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.[解析]a+b≥2eq\r(ab)=2eq\r(10),等號(hào)在a=b=eq\r(10)時(shí)成立,∴選D.2.[解析]設(shè)從甲地到乙地的路程
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