高中數(shù)學(xué)必修5導(dǎo)學(xué)案

11t；abc

§1.1.1正弦定理從而----=-----=-----.

sinAsinBsinC

類似可推出，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系

i.掌握正弦定理的內(nèi)容；式仍然成立.請你試試導(dǎo).

2.掌握正弦定理的證明方法；

3.會運(yùn)用正弦定理解斜三角形的兩類基本問題.

心學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備新知：正弦定理

試驗(yàn)：固定△ABC的邊在?個三角形中，各邊和它所對角的的比

CB及乙B,帆4c繞著相等，即

頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動.a_b_c

sinAsinBsinC

思考：ZC的大小與它的對邊AB的長度之間有怎

樣的數(shù)量關(guān)系？試試：

(1)在AA8c中，淀成立的等式是().

A.?sinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.asinB=/?sinAD.acosB=bcosA

(2)已知△48C中，a=4fb=8,Z4=30°,貝ij

顯然，邊48的長度隨著其對角/C的大小的增大ZB等于.

而.能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表

示出來？［理解定理］

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的

正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)

k使a=ZsinA,,c=ksinC；

二、新課導(dǎo)學(xué)

(2)等價(jià)于____________,

派學(xué)習(xí)探究sinAsinBsinC

探究1：在初中，我們已學(xué)cbac

----=----，----=-----.

過如何解直角三角形，下面sinCsinBsinAsinC

就首先來探討直角三角形(3)正弦定理的基本作用為：

中，角與邊的等式關(guān)系.如①已知三角形的任意兩角及其?邊可以求其他邊，

圖，在RtAABC中，設(shè)

BC=a,AC=b9AB=Cf

根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義,②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對甭可以

有q=sinA,—=sinB,XsinC=1=->求其他角的正弦值，

ccc

如sinA=—sinB；sinC=.

從而在直角三角形ABC中，，—b

sinAsinBsinC(4)一般地，已知三角形的某些邊和角，求其它

的邊和角的過程叫作解三角形.

(

探究2：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否

派典型例題

仍然成立？

例1.在AABC中，已知A=45",B=60,a=42cm,

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：解三角形.

當(dāng)AA8C是銳角三角形時，設(shè)邊A8上的高是

CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，

有C￡>=asinB=bsinA,貝

sinAsinB

同理可得，=，—，

sinCsinB

2013年下學(xué)期?高二月日班級：姓名：第一章解三角形痣P

—=—=—=2/?,其中2R為外接圓直徑.

sinAsinBsinC

變式：在A48C中，已知8=45°,C=60°,

〃=12cm,解一:角形.

※自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.在A48C中，若竺1=2,則&48。是（）.

cos8a

A.等腰二角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

2.已知△ABC中，A：8：C=I：1：4,

則a：方：c等于（）.

A.1：1：4B.1：1：2

例2.在A48C中，《Ml/^,A=45',a=2,bB,C.C.1：1：V3D.2：2：6

3.在△ABC中，若sinA>sin8,則A與8的大小

關(guān)系為（）.

A.A>BB.A<B

C.A>BD.4、8的大小關(guān)系不能確定

4.已知△ABC中，sinA:sinB:sinC=1:2:3,則

a.b.c=_________.

5.已知AA8C中，/A=60。，a=G，則

Q+b+c_

sinA+sin8+sinC

心課后作業(yè)

1.已知△ABC中，AB=6,N4=30°,ZB=120°,

變式：在AA8C中，目淑行,8=60°,c=l,aA,C-解此三角形.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.正弦定理：—

sinAsinBsinC2.已知△ABC中，sinA：sinB：sinC=k:伙+1）:

2.正弦定理的證明方法：①三角函數(shù)的定義,2k（k網(wǎng),求實(shí)數(shù)上的取值范圍為.

還有②等積法，③外接圓法，④向量法.

3.應(yīng)用正弦定理解三角形：

①已知兩角和一邊；

②已知兩邊和其中一邊的對角.

派知識拓展

2

§1.1.2余弦定理

［理解定理］

一?一一學(xué)習(xí)目標(biāo)一(1)若C=90°,貝iJcosC=—,這時

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是

1.掌握余弦定理的兩種表示形式；

余弦定理的特例.

2.證明余弦定理的向量方法：

(2)余弦定理及其推論的基本作用為：

3.運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求

心學(xué)習(xí)過程出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角.

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在一個三角形中，各和它所對角試試：

的—的一相等，即==?(1)ZVIBC中，。=34，c=2,8=150°,求匕.

復(fù)習(xí)2：在△ABC中，已知c=10,A=45。，C=30。,

解此三角形.

(2)"尤中，a=2,%=&,c=6+1，求A.

思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？

派典型例題

例1.在ZXABC中，已知°=豆，。=亞，8=45',

二、新課導(dǎo)學(xué)

求A,C和c.

派探究新知

問題：在A4BC中，AB、BC、CA的長分別為c、

同理可得:a2=b2+c2-26ccosA，

c1=a2+h2-2a/?cosC.

新知：余弦定理：三角形中任何一邊的—等于其

他兩邊的的和減去這兩邊與它們的夾角的

的積的兩倍.

變式：在△ABC中，若4B=6，AC=5,且cosC

Q

思考：這個式子中有幾個量？=—,則BC=.

從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個10

量，能否由三邊求出一角？

從余弦定理，又可得到以下推論：

2013年下學(xué)期?高二月日班級：姓名：第一章解三角形痣P

若/+從=。2,則角C是直角；

若/+從<02,則角。是鈍角；

若/+/>c2,則角C是銳角.

例2.在aABC中，已知三邊長〃=3,b=4,卷學(xué)習(xí)評價(jià)

c=V37,求三角形的最大內(nèi)角.

※自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.?般D.較差

派當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.已知°=6，c=2,B=150°,則邊b的長為

（）.

A.—B.V34C.—D.V22

22

2.已知三角形的三邊長分別為3、5、7,則最大角

為（）.

A.60B.75C.120D.150

3.已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x,則x的

取值范圍是（）.

A.^5<x<V13B.y/13<x<5

C.2<x<y/5D.V5<x<5

4.在△ABC中，1而1=3,1AC1=2,而與急的

夾角為60°,則衣1=.

變式：在AABC中，若/=/+〃+兒，求角A.5.在△ABC中，已知三邊a、b、c滿足

b2+a2-c2^ab,則NC等于_______.

心課后作業(yè)

13

1.在△ABC中，已知4=7,b=8,cosC=—,求

14

最大角的余弦值.

三、總結(jié)提升2.在△48C中，A8=5,8C=7,AC=8,求而?脛

X學(xué)習(xí)小結(jié)的值.

1.余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同

規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知三邊，求三角；

②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.

派知識拓展

在△ABC中，

4

思考：解的個數(shù)情況為何會發(fā)生變化？

§1.1正弦定理和余弦定理（練習(xí)）新知：用如下圖示分析解的情況（A為銳角時）.

a.一學(xué)習(xí)目標(biāo)一

1.進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；

2.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解

三角形時，有兩解或一解或無解等情形.

心學(xué)習(xí)過程試試：

1.用圖示分析（A為直角時）解的情況?

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在解三角形時

已知三邊求角，用定理；

已知兩邊和夾角，求第三邊，用定理;

已知兩角和一邊，用定理.2.用圖示分析（A為鈍角時.）解的情況？

復(fù)習(xí)2：在AABC中，已知A=-,a=25&,b

6

=50五,解此三角形.

派典型例題

例1.在△48C中，已知a=80,6=100,4=45。,

試判斷此三角形的解的情況.

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

探究：在△A8C中，已知下列條件，解三角形.

①A——，a=25,b=50；

6

②A=-b=50亞;

693

③A=—,67=50,b=50y[2.

6

變式：在AABC中，若a=l,c=-,ZC=40°,

2

則符合題意的b的值有個.

2013年下學(xué)期?高二月日班級:姓名:第一章解三角形

女

n月0"

.Kb,那么可以分下面三種情況來討論:

z)若

(1

va>hsinA,則有兩解;

z.若

(2

\)a=bsinA,則只有一解；

z)若

(3

xa<hsinA,則無解.

例2.在AABC中，A=60°,b=\,求

a+b+c

的值.※自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

sinA+sin8+sinC

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.已知°、匕為△ABC的邊，A、B分別是a、b的

對角，且期4=2,則上心的值=（）.

sinB3b

2,已知在AABC中，sitvl：sinB:sinC=3：5：7,

那么這個三角形的最大角是（）.

A.135°B.90°C.120°D.150°

3.如果將直角三角形三邊增加同樣的長度，則新三

角形形狀為（）.

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加長度決定

4.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:5:6,則cosB

變式：在△ABC中，若Q=55,b=l6,且

-afesinC=22073,求角C.5.已知△ABC中，hcosC=ccosB,試判斷△ABC

2的形狀.

/課后作業(yè)

1.在AABC中，a=xcm,b-2cm,ZB=45°,

如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范

圍.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.已知三角形兩邊及其夾角（用余弦定理解決）；

2.已知三角形三邊問題（用余弦定理解決）；

已知三角形兩角和一邊問題（用正弦定理解決）;

3.2.在AABC中，其三邊分別為。、b、c,且滿足

4.已知三角形兩邊和其中一邊的對角問題（既可用

—absinC="+"----,求角C.

正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、兩解和

24

無解三種情況）.

派知識拓展

在AABC中，已知a,b,A，討論三角形解的情況：

①當(dāng)4為鈍角或直角時，必須才能有且只有

一解；否則無解；

②當(dāng)4為銳角時，

如果那么只有一解；

6

分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個

不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題

題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，

§1.2應(yīng)用舉例一①測量距離再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已

知角算出AC的對角，

.0.…學(xué)習(xí)目標(biāo)…應(yīng)用正弦定理算出AB邊.

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決

一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題

心學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：燧ABC中，ZC=60°,a+b=273+2,

c=2&,則/A為.

新知1：基線

在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的叫基線.

例2.如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)）,

復(fù)習(xí)2：在△ABC中，sinA=sin8+smC,判斷三

設(shè)計(jì)種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法.

cosB+cosC

角形的形狀.

分析：這是例1的變式題，研究的―—

是兩個的點(diǎn)之間的距離

測量問題.

首先需要構(gòu)造三角形，所以需要已

確定C、。兩點(diǎn).

根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與

一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和8C,

再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X典型例題

例1.如圖，設(shè)4、8兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)

之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊

選定一點(diǎn)C,測出AC的距離是55m,NB4c=51。，

ZACB=75°.求A、8兩點(diǎn)的距離（精確到0.bn）.

H

提問1：AABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運(yùn)用

哪個定理比較適當(dāng)？

變式：若在河岸選取相距40米的C、。兩點(diǎn)，測得

NBCA=60°,ZAC￡>=30°,NCDB=45°,ZBDA

=60°.

提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？

2013年下學(xué)期?高二月日班級:姓名：第一章解三角形碉夕

則球的半徑等于(~

A.5cm

B.5近c(diǎn)m

C.5(72+l)cm

練：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于aD.6cm

?〃?，燈塔4在觀察站C的北偏東30°,燈塔B在2.臺風(fēng)中心從4地以每小時20千米的速度向東北

觀察站C南偏東60°,則A、B之間的距離為多少？方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),

城市8在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)

內(nèi)的時間為().

A.0.5小時B.1小時

C.1.5小時D.2小時

3.在AABC中，已知

(a2+/>2)sin(A-2?)=(a2-〃)sin(A+B),

則AABC的形狀().

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

4.在AA8C中,已知a=4,b=6,C=120°,貝sHin已

的值是.

5.一船以每小時15km的速度向東航行，船在4處

看到一個燈塔8在北偏東60。，行駛4h后，船到

達(dá)C處，看到這個燈塔在北偏東15。，這時船與燈

塔的距離為km.

三、總結(jié)提升0課后作業(yè)

派學(xué)習(xí)小結(jié)1.隔河可以看到兩個目標(biāo)，但不能到達(dá)，在岸邊選

1.解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：取相距的C、。兩點(diǎn)，并測得/ACB=75°,

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示NBCD=45°,ZADC=30°,ZADB=45°,A、

意圖B、C、。在同一個平面，求兩目標(biāo)4、8間的距離.

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量

與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解

斜三角形的數(shù)學(xué)模型；

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出

三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，

從而得出實(shí)際問題的解.

2.基線的選?。?/p>

測量過程中，要根據(jù)需要選取合適的基線長度，

使測量具有較高的精確度.

2.某船在海面A處測得燈塔C與A相距1073海里，

且在北偏東30。方向；測得燈塔B與A相距1576海

※自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().里，且在北偏西75。方向.船由4向正北方向航行

A.很好B.較好C.一般D.較差到D處，測得燈塔B在南偏西60。方向.這時燈塔

派當(dāng)堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計(jì)分：C與。相距多少海里？

1.水平地面上有一個球，現(xiàn)用如下方法測量球的大

小，用銳角45。的等腰直角三角板的斜邊緊靠球

面，P為切點(diǎn)，一條直角邊AC緊靠地面，并使

8

建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的

方法.

分析：選擇基線”G,使“、G、8三點(diǎn)共線,

要求48,先求4E

§1.2應(yīng)用舉例一②測量高度在AACE中，可測得角,關(guān)鍵求AC

在A4CO中，可測得角，線段，又有a

故可求得AC

1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決

一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測量的問題；

2.測量中的有關(guān)名稱.

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在AABC中,則A4BC的

cosBa3

形狀是怎樣？

派典型例題

復(fù)習(xí)2：在A48c中，a、b、c分別為NA、NB、例1.如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A

NC的對邊,若a:b:c=l:l:石，求A.RC的值.的俯角a=54%0',在塔底C處測得4處的俯角

〃=50。匕已知鐵塔BC部分的高為27.3加，求出

山高CD（精確到1m）

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角…從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水

平轉(zhuǎn)角：

坡度一沿余坡向上的方向與水平方向的夾角；

仰角與俯角一視線與水平線的夾角當(dāng)視線在水平

線之上時，稱為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱

為俯角.

探究：AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為

2013年下學(xué)期?高二月日班級：姓名：第一章解三角形飛

；中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?

派知識拓展

在湖面上高九處，測得云之仰角為a,湖中云之

影的俯角為p，則云高為hsm（a+‘）.

sin（a-p）

例2.如圖，一?輛汽車在一條水平的公路上向正東…⑥一一學(xué)習(xí)詡fL.

行駛，到4處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂。在東偏

南15°的方向上，行駛5Am后到達(dá)B處，測得此山※自我評價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

頂在東偏南25°的方向上，仰角為8’，求此山的高A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.在AABC中，下列關(guān)系中一定成立的是（）.

A.a>bsinAB.a=bs\nA

C.a<hsinAD.a>hsinA

2.在△ABC中，AB=3,BC=V13,AC=4,貝?勉AC

上的高為（）.

在ABCQ中，已知8?；?C都可求出CD,根據(jù)

A.—B.—C.-D.373

條件，易計(jì)算出哪條邊的長？222

3.。、C、8在地面同一直線上，OC=100米，從。、

C兩地測得A的仰角分別為30。和45°,則4點(diǎn)離地

面的高48等于（）米.

A.100B.504

C.50（百-1）D.50（5/3+1）

4.在地面上C點(diǎn),測得一塔塔頂A和塔基B的仰角

分別是60。和30。,已知塔基B高出地面20皿，則

塔身AB的高為m.

5.在AABC中，b=2五,a=2,且三角形有兩

解，則4的取值范圍是.

變式：某人在山頂觀察到地面上有相距2500米的

A、8兩個目標(biāo)，測得目標(biāo)A在南偏西57°,俯角心課后作業(yè)

是60°,測得目標(biāo)B在南偏東78°,俯角是45°,

試求山高.1.為測某塔AB的高度，在一幢與塔43相距20m

的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30°,測得塔基

8的俯角為45°,則塔AB的高度為多少機(jī)？

2.在平地上有A、B兩點(diǎn)，A在山的正東，8在山

的東南，且在A的南25°西300米的地方，在4

側(cè)山頂?shù)难鼋鞘?0°,求山高.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學(xué)會審

題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的背景資料

10

北

南

分析：

§1.2應(yīng)用舉例一卷測量角度首先由三角形的內(nèi)角和定理求出角NABC,

然后用余弦定理算出AC邊，

再根據(jù)正弦定理算出4c邊利AB邊的夾角ZCAB.

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決

一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題.

心學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)1：在△A8C中，已知c=2,C==，且

3

—afesinC=5/3,求a,b.

復(fù)習(xí)2：設(shè)AABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,

例2.某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里

b,c,且4=60°,c=3,求3的值.的C處有一艘走私船，正沿南偏東75°的方向以10

c

海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14

海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該

沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私

船？A"

二、新課導(dǎo)學(xué)

派典型例題

例1.如圖，一艘海輪從4出發(fā)，沿北偏東75。的

方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),

沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.

如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎

樣的方向航行，需要航行多少距離?（角度精確到

0.T,距離精確到O.Olnmile）

2013年下學(xué)期?高二月日班級：姓名:第一章解三角形

利用正弦定理或余弦定理解之.；

2.已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時