專題11 有理數(shù)的乘法-2024年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接 （解析版）

第第⑤一個數(shù)與幾個數(shù)的和相乘，通常用分配律可簡化計算。如：12×（）例1．（2023秋·云南紅河·七年級統(tǒng)考期末）在簡便運算時，把變形成最合適的形式是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)乘法分配律解答即可．【詳解】A．；B．變形錯誤；C．；D．變形錯誤；顯然A比C計算簡單．故選A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的簡便運算，熟練掌握乘法的分配律是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·江西宜春·七年級統(tǒng)考期中）計算時，有以下兩種方法．方法一：．方法二：．參考以上方法，計算：(1)；(2)．【答案】(1)40(2)6【分析】（1）逆用乘法的分配律計算即可；（2）利用乘法的分配律計算即可．【詳解】（1）．（2）．【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算，熟練掌握乘法的分配律是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2022·河南焦作·七年級?？计谥校┯煤啽惴椒ㄓ嬎悖?1)(2)(3)(4)【答案】(1)2(2)(3)0(4)【分析】（1）利用乘法的交換律求解即可；（2）利用乘法分配律求解即可；（3）利用乘法分配律的逆運算求解即可；（4）把原式變形為，然后利用乘法分配律求解即可；【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的簡便計算，熟知有理數(shù)乘法運算律是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023秋·山西晉中·七年級統(tǒng)考期末）計算，運算中運用的運算律為（

）．A．乘法交換律B．乘法分配律C．乘法結(jié)合律D．乘法交換律和乘法結(jié)合律【答案】D【分析】解答時，運用了乘法交換律和乘法結(jié)合律．【詳解】∵運用的運算律為乘法交換律和乘法結(jié)合律，故選D．【點睛】本題考查了用運算律進(jìn)行有理運算，熟練掌握運算律的使用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·廣西七年級期中）計算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律進(jìn)行計算即可求解；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：（3）解：【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，乘法分配律，熟練掌握有理數(shù)的運算法則與運算律是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·重慶七年級期中）利用運算律做較簡便的計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)0【分析】（1）將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再利用乘法結(jié)合律計算；（2）利用乘法分配律展開計算；（3）利用乘法分配律合并計算．【詳解】（1）解：；（2）；（3）【點睛】本題主要考查了乘法運算律，解答的關(guān)鍵是掌握乘法結(jié)合律和分配律．考點5、有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用【解題技巧】有理數(shù)運算相關(guān)的實際應(yīng)用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發(fā)生改變。能夠熟練的分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)解題的方法和技巧。例1．（2023春·廣西南寧·七年級校考開學(xué)考試）定義一種新運算：，例如，那么的值為（）A．14 B． C．5 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意列出算式，再進(jìn)一步計算即可．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法運算，解題的關(guān)鍵是理解題干中的新定義法則．例2．（2022秋·江蘇淮安·七年級?？计谀┬聛喩虉鲈?023年“元旦”期間舉行促銷活動，根據(jù)顧客按商品標(biāo)價的一次性購物總額，規(guī)定相應(yīng)的優(yōu)惠方法如下：①如果不超過600元，則不予優(yōu)惠；②如果超過600元，但不超過900元，則按購物總額給予8折優(yōu)惠；③如果超過900元，則其中900元給予8折優(yōu)惠，超過900元的部分給予6折優(yōu)惠，促銷期間，小王和媽媽分別看中一件商品，若各自單獨付款，則應(yīng)分別付款560元和640元；若合并付款，則她們總共只需付款___________元．【答案】996或1080/1080或996【分析】根據(jù)題意可知付款560元時，其實際標(biāo)價為為560或700元，付款640元，實際標(biāo)價為800元，分兩種情況分別計算求出一次購買標(biāo)價1360元或1500元的商品應(yīng)付款即可．【詳解】解：由題意知付款560元，實際標(biāo)價為560或560×=700（元），付款640元，實際標(biāo)價為（元），如果一次購買標(biāo)價（元）的商品應(yīng)付款：（元）；如果一次購買標(biāo)價（元）的商品應(yīng)付款：（元）．故答案是：996或1080．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，注意顧客付款560元時，要分兩種情況考慮：有可能原價就是560元，也有可能符合優(yōu)惠②，此時的結(jié)論也會有差別，另外注意計算的準(zhǔn)確性．例3．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期中）某自行車廠計劃一周生產(chǎn)自行車1400輛，平均每天生產(chǎn)200輛，但由于種種原因，實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù)）：星期一二三四五六日增減(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠星期六生產(chǎn)自行車多少輛；(2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠本周實際生產(chǎn)自行車多少輛；(3)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)最最少的一天多生產(chǎn)自行車多少輛；(4)該廠實行每周計件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得50元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每輛另獎15元；少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【答案】(1)216輛(2)該廠本周實際生產(chǎn)1408輛(3)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最低的一天多26輛(4)該廠工人這一周工資總額是70520元【分析】（1）計算平均每天產(chǎn)量與周六與計劃出入的和；（2）先計算出該廠每天與計劃出入的和，再加上一周的自行車計劃產(chǎn)量；（3）最高一天的產(chǎn)量減最少一天的產(chǎn)量；（4）該廠一周工資=實際自行車產(chǎn)量超額自行車產(chǎn)量．【詳解】（1）解：星期六生產(chǎn)自行車輛數(shù)：（輛）；（2）解：（輛）．答：該廠本周實際生產(chǎn)1408輛；（3）解：（輛）．答：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最低的一天多26輛；（4）解：（元）．答：該廠工人這一周工資總額是70520元．【點睛】本題考查有理數(shù)運算在實際生活中的應(yīng)用．認(rèn)真審題，準(zhǔn)確的列出式子是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·廣西柳州·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）存有酒精溶液容器的蓋子不小心被打開了，第一天酒精蒸發(fā)了，第二天蒸發(fā)了剩下的，這時，容器內(nèi)剩下的酒精占原來的（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意列出算式，再進(jìn)一步計算即可．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則．變式2．（2023秋·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運算程序中，若開始輸入的x的值為2，結(jié)果輸出的是1，返回進(jìn)行第二次運算則輸出的是﹣4，…，則第2020次輸出的結(jié)果是（）A．﹣1 B．3 C．6 D．8【答案】A【分析】先根據(jù)數(shù)據(jù)運算程序計算出第1-8次的輸出結(jié)果，再歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】第1次運算輸出的結(jié)果為，第2次運算輸出的結(jié)果為，第3次運算輸出的結(jié)果為，第4次運算輸出的結(jié)果為，第5次運算輸出的結(jié)果為，第6次運算輸出的結(jié)果為，第7次運算輸出的結(jié)果為，第8次運算輸出的結(jié)果為，歸納類推得：從第2次運算開始，輸出結(jié)果是以循環(huán)往復(fù)的，因為，所以第2020次運算輸出的結(jié)果與第4次輸出的結(jié)果相同，即為，故選：A．【點睛】本題考查了程序圖與有理數(shù)計算的規(guī)律性問題，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．變式3．（2022秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）國慶期間，商場和商場同時做促銷活動．商場的活動規(guī)則是全場一律折商場的活動規(guī)則如下表：購物金額優(yōu)惠辦法購物不超過200元按原價購買購物超過200元且不超過500元的部分按原價打9折購物超過500元的部分按原價打8折(1)小聰去商場購物元，按活動規(guī)則實際應(yīng)付多少元；(2)小明準(zhǔn)備購物元，請通過計算幫小明分析，該去哪個商場購買合算．【答案】(1)元(2)小明準(zhǔn)備購物元，該去商場購買合算．【分析】（1）根據(jù)商場優(yōu)惠方案列式計算即可；（2）根據(jù)兩個商場優(yōu)惠方案列式計算即可求解．【詳解】（1）解：∵商場的活動規(guī)則是全場一律9.5折∴實際應(yīng)付（元）（2）去商場，實際應(yīng)付（元）去商場，實際應(yīng)付（元）∵∴小明準(zhǔn)備購物元，該去商場購買合算．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算的應(yīng)用，理解商場優(yōu)惠方案，列出算式是解題的關(guān)鍵．考點6、有理數(shù)乘法的新定義問題【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認(rèn)識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學(xué)知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.例1．（2022秋·山東日照·七年級?？计谀┮阎獮橛欣頂?shù)，定義運算符號為※：當(dāng)時，；當(dāng)時，．則等于（

）A．5 B．1 C． D．10【答案】A【分析】原式根據(jù)題中的新定義化簡，計算即可求出值．【詳解】故選：A【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·湖南婁底·七年級校聯(lián)考期末）若定義一種新運算，規(guī)定，則________．【答案】【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．【詳解】解：∵，∴，故答案為：2．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．變式1．（2023秋·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算“”，規(guī)定：等式右邊的運算就是加、減、乘、除四則運算，例如：，．則的值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新運算的運算法則，先計算，再計算即可得解．【詳解】解：由題意，得：，∴；故選D．【點睛】本題考查定義新運算．理解并掌握新運算的運算法則，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·浙江寧波·七年級校考期中）小尚同學(xué)與小志同學(xué)約定了一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定．小尚同學(xué)嘗試計算，現(xiàn)在請小志同學(xué)計算______________．【答案】【分析】根據(jù)新定義的含義可得，再計算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是新定義運算，理解新定義的含義，再列出正確的運算式是解本題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·浙江湖州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）記符號表示不超過x的最大整數(shù)，如，，．(1)分別寫出和的值；(2)計算：．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用符號的意義解答即可；（2）利用符號的意義分別求得三個的值，再利用乘法法則運算即可．【詳解】（1），；（2）．【點睛】本題考查有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的乘法法則，理解并熟練利用符號的意義是解題的關(guān)鍵．考點7、倒數(shù)的概念與運用【解題技巧】倒數(shù)的概念：乘積是的兩個數(shù)互為倒數(shù)．（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)．（2）沒有倒數(shù)．（3）互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積一定是，即，互為倒數(shù)，則；反之亦然．例1．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）的倒數(shù)是（

）A．2023 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)求解即可．【詳解】解：的倒數(shù)是，故選：B．【點睛】本題考查倒數(shù)，熟知倒數(shù)的定義是解答的關(guān)鍵．例2．（2022秋·山東七年級期中）下列說法正確的是（

）A．兩個正數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)必大于1B．一個假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)一定小于本身C．如果一個數(shù)的倒數(shù)是它本身，那么這個數(shù)一定是1D．如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么它們的積一定是1【答案】D【分析】利用特殊值分別分析再結(jié)合倒數(shù)的定義分析得出答案．【詳解】A、因為1的倒數(shù)是1，1和1互為倒數(shù)，故說法錯誤；B、一個假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于本身，故此選項錯誤；C、一個數(shù)的倒數(shù)是它本身的數(shù)有很多，除1外，還有分子和分母相同的假分?jǐn)?shù)，故此選項錯誤；D、如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，這個就排除了兩個數(shù)不為0的情況，所以如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么它們的積一定是1，故此選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，利用特殊值分別分析是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023春·四川成都·九年級?？茧A段練習(xí)）數(shù)的相反數(shù)為的倒數(shù)，則的值為（

）A．2022 B． C． D．【答案】D【分析】先求出的倒數(shù)，再求出倒數(shù)的相反數(shù)，可得a值．【詳解】解：的倒數(shù)為，∴的相反數(shù)為a，即為，故選D．【點睛】本題考查了相反數(shù)和倒數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握各自的定義和求法．變式2．（2023·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）與互為倒數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，∴的倒數(shù)為：；A、，不符合題意；B、，符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查有理數(shù)的運算，倒數(shù)．熟練掌握互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023·河北滄州·?？既＃┤簦瑒t下列說法正確的是（

）A．與互為倒數(shù) B．與互為相反數(shù) C．與相等 D．與相等【答案】A【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴與互為倒數(shù)，故選A．【點睛】本題考查了倒數(shù)，熟知倒數(shù)是指兩個數(shù)的乘積等于1，那么這兩個數(shù)互為倒數(shù)是解題的關(guān)鍵．A級（基礎(chǔ)過關(guān)）1．（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）計算的結(jié)果等于(

)A． B．2 C． D．15【答案】A【分析】按照有理數(shù)的乘法法則計算即可．有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．【詳解】解：原式，故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．注意符號不要搞錯．2．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十中學(xué)?？级＃┫铝惺阶佑嬎憬Y(jié)果和相等的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將各個式子進(jìn)行計算，再對計算結(jié)果進(jìn)行比較即可得出答案．【詳解】解：，，，，，下列式子計算結(jié)果和相等的是，故選：C．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東泰安·九年級?？茧A段練習(xí)）與實數(shù)的絕對值的積為的是（

）A．2023 B． C． D．【答案】D【分析】先求出的絕對值，再根據(jù)有理數(shù)乘法計算法則求解即可．【詳解】解：，∵，∴與實數(shù)的絕對值的積為的是，故選D．【點睛】本題主要考查了絕對值，有理數(shù)乘法，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）若，則（

）0A．> B．< C．= D．≥【答案】A【分析】根據(jù)多個有理數(shù)的乘法法則解答即可．【詳解】解：∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了多個有理數(shù)的乘法法則，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；幾個有理數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)為0，積就為0．5．（2022秋·廣東佛山·七年級?？茧A段練習(xí)）下列算式中，積為正數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“幾個非0數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)有奇數(shù)個負(fù)因數(shù)時，積為負(fù)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)個負(fù)因數(shù)時，積為正數(shù)”逐項判斷即可求解．【詳解】解：A.積為負(fù)，不合題意；B.積為正數(shù)，符合題意；C.積為0，不合題意；D.積為負(fù)數(shù)，不合題意．故選：B【點睛】本題考查了確定多個有理數(shù)相乘的積的符號，熟知“幾個非0數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)有奇數(shù)個負(fù)因數(shù)時，積為負(fù)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)個負(fù)因數(shù)時，積為正數(shù)”是解題關(guān)鍵．6．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）的倒數(shù)的相反數(shù)是()A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義以及相反數(shù)的定義解答即可．只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．【詳解】解：的倒數(shù)是，的相反數(shù)是．∴的倒數(shù)的相反數(shù)是．故選：D．【點睛】本題主要考查了倒數(shù)以及相反數(shù)，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023春·福建福州·九年級校考期中）對于一個實數(shù)，如果它的倒數(shù)不存在，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：∵實數(shù)的倒數(shù)不存在，∴．故選：D．【點睛】本題考查倒數(shù)的定義：兩個數(shù)的乘積是，則它們互為倒數(shù)，沒有倒數(shù)．理解倒數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．8．（2022綿陽市·七年級假期作業(yè)）某原料供應(yīng)商對購買其原料的顧客實行如下優(yōu)惠辦法：（1）一次購買金額不超過1萬元，不予優(yōu)惠；（2）一次購買金額超過1萬元，但不超過3萬元，九折優(yōu)惠；（3）一次購買超過3萬元的，其中3萬元九折優(yōu)惠，超過3萬元的部分八折優(yōu)惠．某公司分兩次在該供應(yīng)商處購買原料，分別付款7800元和25200元．如果該公司把兩次購買的原料改為一次購買的話，那么該公司一共可少付款（

）A．3360元 B．2780元 C．1460元 D．1360元【答案】D【分析】首先確定第二次購買時應(yīng)付的錢數(shù)（打折前），計算出一次性購買時的金額，減去前兩次購買時所花的錢數(shù)即可．【詳解】解：如果購買金額是3萬元，則實際付款是:30000×0.9=27000元>25200元；∴第二次購買的實際金額不超過3萬，應(yīng)享受9折優(yōu)惠：25200÷0.9=28000，∴兩次購買金額和是:7800+28000=35800元，如一次性購買則所付錢數(shù)是:30000×0.9+5800×0.8=31640元，∴可少付款7800+25200-31640=33000-31640=1360（元）．故選D．【點睛】本題主要考查分段付費問題，確定第二次購買時應(yīng)付的錢數(shù)（打折前），是本題的解題關(guān)鍵．9．（2022·新安七年級月考）計算時，可以使運算簡便的是()A．乘法交換律 B．乘法分配律 C．加法結(jié)合律 D．乘法結(jié)合律【答案】B【分析】根據(jù)乘法分配律簡便運算即可.【詳解】用乘法分配律可簡便運算，==-12+27-6=9故選B【點睛】本題考查有理數(shù)乘法的簡便運算，熟練掌握運算技巧是解題的關(guān)鍵.10．（2022·山西呂梁·七年級期末）有理數(shù)的乘法運算，除了用乘法口訣外，現(xiàn)有一種“劃線法”：如圖1，表示的乘法算式是12×23=276；圖2表示的是123×24=2952．則圖3表示的乘法算式是___．【答案】31×42=1302【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，從左到右是一個乘數(shù)的高位到個位，從下到上是另一個乘數(shù)的數(shù)高位到個位，由此可求解．【詳解】解：31×42=1302，故答案為：31×42=1302．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘法，通過觀察所給的圖形，結(jié)合乘法算式，找到運算規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·浙江·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上所對應(yīng)的點的位置如圖，則的符號為________（填“正”或“負(fù)”或“零”）【答案】負(fù)【分析】由數(shù)軸判斷出，，再確定和符號即可．【詳解】解：由數(shù)軸知：，，∴和∴，即的符號為負(fù)故答案為：負(fù)．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩個有理數(shù)大小以及有理數(shù)的乘法，明確負(fù)數(shù)乘以正數(shù)積小于0是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）已知，為有理數(shù)，如果規(guī)定一種新的運算“※”，規(guī)定：當(dāng)時，※，當(dāng)時，※，計算：________．【答案】【分析】根據(jù)新定義，先計算和，再相減即可．【詳解】∵，，∴，，∴，故答案為．【點睛】本題考查了新定義下的有理數(shù)的混合運算，正確理解題目所給運算法則是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·七年級單元測試）計算：__________．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，熟練掌握有理數(shù)的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·浙江溫州·七年級?？茧A段練習(xí)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)加法結(jié)合律以及加法交換律進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算以及相關(guān)運算律，熟練掌握相關(guān)運算法則以及運算律是解本題的關(guān)鍵．15．（2022秋·海南·七年級?？茧A段練習(xí)）計算.(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法進(jìn)行計算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減法進(jìn)行計算即可求解；（3）先根據(jù)有理數(shù)的乘法進(jìn)行計算，然后計算減法即可求解；（4）根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·陜西榆林·七年級校考期末）某食堂購進(jìn)30袋大米，每袋以50千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的記為正，不足的記為負(fù)，稱重記錄如下表：與標(biāo)準(zhǔn)重量偏差（單位：千克）0123袋數(shù)5103156(1)這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差多少千克？(2)這30袋大米的總重量比標(biāo)準(zhǔn)總重量多或少了多少千克？(3)大米的單價是每千克元，食堂購進(jìn)大米總共花了多少錢？【答案】(1)5千克(2)9千克(3)元【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)及題意列式計算，即可求解；（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)及題意列式計算，即可求解；（3）首先求得大米的總重量，再乘以單價，即可求解【詳解】（1）解：（千克），答：這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差5千克（2）解：（千克），答：這30袋大米的總重量比標(biāo)準(zhǔn)總重量多了9千克（3）解：這30袋大米的總重量為（千克），食堂購進(jìn)大米總共花了（元）．答：食堂購進(jìn)大米總共花了元．【點睛】本題考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，根據(jù)題意，準(zhǔn)確列出算式是解決本題的關(guān)鍵．B級（能力提升）1．（2022秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）對于，因數(shù)“3”增加1后，積的變化是（

）A．增加3 B．增加4 C．減少3 D．減少4【答案】D【分析】根據(jù)因數(shù)因數(shù)積，分別計算和當(dāng)因數(shù)“3”增加1后的積，再比較即可求解．【詳解】解：，當(dāng)因數(shù)“3”增加1后，積為：，，積的變化是：減少4，故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)乘法問題的應(yīng)用，注意靈活應(yīng)用因數(shù)和積的關(guān)系解答即可．2．（2022秋·浙江金華·七年級?？计谥校┤簦瑒t的值可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可以寫成，再利用乘法分配律即可得到結(jié)果．【詳解】解：故選：B．【點睛】本題考查乘法分配律、有理數(shù)的乘法，掌握是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江溫州·七年級校考階段練習(xí)）從，，，2，7，3這六個數(shù)中取其中3個不同的數(shù)作為因數(shù)，則積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則解決此題．【詳解】解：根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，從，，，2，7，3這六個數(shù)中取個不同的數(shù)，，，此時積為，故選：C．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）已知四個互不相等的整數(shù)a、b、c、d的乘積等于14，則它們的和等于（

）A． B．5 C．9 D．5或【答案】D【分析】因為14的整數(shù)因數(shù)只有，，，，四個不相等的整數(shù)相乘等于14，所以這四個數(shù)只可能是，，中的四個數(shù)，然后分情況求出它們的和即可．【詳解】解：∵14的整數(shù)因數(shù)只有，，，，四個不相等的整數(shù)相乘等于14，∴這四個數(shù)可能是1，，2，或1，，，7，∴或，即它們的和等于5或，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是分析出14的整數(shù)因數(shù)有哪些．5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）下列各數(shù)中，倒數(shù)是它本身的數(shù)是（

）A．1 B．0 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可進(jìn)行求解．【詳解】解：倒數(shù)是它本身的數(shù)是1；故選A．【點睛】本題主要考查倒數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·福建福州·八年級?？计谀┥钪谐Ｓ玫氖M(jìn)制是用0~9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進(jìn)一，例：，；計算機也常用十六進(jìn)制來表示字符代碼，它是用來表示0~15，滿十六進(jìn)一，它與十進(jìn)制對應(yīng)的數(shù)如表：十進(jìn)制012…891011121314151617…十六進(jìn)制012…89ABCDEF1011…例：十六進(jìn)制對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為，那么十六進(jìn)制中對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為（）A．28 B．62 C．367 D．334【答案】C【分析】根據(jù)題干十六進(jìn)制與十進(jìn)制的運算方法求解．【詳解】解：由題意得．故選：C．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵是正確理解十六進(jìn)制與十進(jìn)制的關(guān)系．7．（2022秋·浙江·七年級校考期中）定義新運算“*”為：，則當(dāng)時，計算的結(jié)果為_____．【答案】8【分析】利用定義計算即可．【詳解】解：∵，∴故答案為：8．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，能夠讀懂新定義并按照定義進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．8．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知，，則，的大小關(guān)系是______．【答案】/【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則得出，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，熟練掌握有理數(shù)的乘法運算中的符號問題是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·浙江金華·七年級?？茧A段練習(xí)）若有四個不同的正整數(shù)，，，滿足，那么的值是________．【答案】2023【分析】若和的值分別取，則與的值為，依此可求，，，，再代入計算即可求解．【詳解】解：∵，，，表示4個不同的正整數(shù)，且，∴、、、四個數(shù)的值可分別取為，1，，2，∴，∴，∴，故答案為：2023．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，判斷出相乘的積是4的四個因數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．10．（2023·湖北宜昌·?？家荒＃┯谜?fù)數(shù)表示氣溫的變化量，上升為正，下降為負(fù)，登山隊攀登一座山峰，每登高氣溫的變化量為，登高后，氣溫下降______．【答案】9【分析】根據(jù)題意知，氣溫變化量為乘以攀登高度，即可求解．【詳解】解：根據(jù)“每登高1km氣溫的變化量為”知：攀登后，氣溫變化量為：下降為負(fù)，所以下降，故答案為：9．【點睛】本題考查了分析信息的能力，正負(fù)數(shù)的意義，有理數(shù)的計算，根據(jù)題意分析得出變化量，再結(jié)合正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·成都市·七年級期中）用表示，例1995！=，那么的個位數(shù)字是_____________．【答案】3【分析】先分別求出，，，，，的值，再歸納類推出規(guī)律，由此即可得．【詳解】，，，，，，由此可知，的個位數(shù)字都是0（其中，且為整數(shù)），則的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，因為，其個位數(shù)字是3，所以的個位數(shù)字是3，故答案為：3．【點睛】本題考查了有理數(shù)乘法的應(yīng)用，正確發(fā)現(xiàn)運算的規(guī)律是解題關(guān)鍵．12．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知算式“”．(1)嘉嘉將數(shù)字“5”抄錯了，所得結(jié)果為，則嘉嘉把“5”錯寫成了________；(2)淇淇不小心把運算符號“×”錯看成了“+”，求淇淇的計算結(jié)果比原題的正確結(jié)果大多少？【答案】(1)3(2)比原題的正確結(jié)果大11【分析】（1）將數(shù)字“5”改成空格，采用有理數(shù)的運算可以得到結(jié)果．（2）重新計算得結(jié)果，再作差運算得到結(jié)果．【詳解】（1）所以把“5”錯寫成了“3”（2）原題正確結(jié)果，淇淇的結(jié)果：，，所以結(jié)果比原題的正確結(jié)果大11．【點睛】本題采用靈活的形式進(jìn)行有理數(shù)的混合運算，須小心審題，看清題目的要求，正確提取信息和計算是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習(xí)）某水果超市最近新進(jìn)了一批百香果，每斤8元，為了合理定價，在第一周試行機動價格，賣出時每斤以10元為標(biāo)準(zhǔn)，超出10元的部分記為正，不足10元的部分記為負(fù)，超市記錄第一周百香果的售價情況和售出情況：星期一二三四五六日每斤價格相對于標(biāo)準(zhǔn)價格（元）+3售出斤數(shù)2035103015550(1)第一周超市售出的百香果單價最高的是星期___________，最高單價是___________元；(2)這一周超市出售此種百香果的收益如何？（盈利或虧損的錢數(shù)）？(3)超市為了促銷這種百香果，決定從下周一起推出兩種促銷方式：方式一：購買不超過5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售價10元；為了給小明釀百香果蜜，張阿姨決定買35斤百香果，通過計算說明哪種方式購買更省錢．【答案】(1)六；15(2)這一周超市出售此種百香果盈利135元(3)選擇方式一購買更省錢【分析】（1）通過看圖表的每斤價格相對于標(biāo)準(zhǔn)價格，可直接得結(jié)論；（2）計算總進(jìn)價和總售價，比較即可；（3）計算兩種購買方式，比較得結(jié)論．【詳解】（1）解：這一周超市售出的百香果單價最高的是星期六，最高單價是（元）．故答案為：六；15．（2）解：（元），（元），（元）；答：這一周超市出售此種百香果盈利135元．（3）解：方式一：（元），方式二：（元），∵，∴選擇方式一購買更省錢．【點睛】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用及有理數(shù)的計算．計算本題的關(guān)鍵是看懂圖表，理解圖表．盈利就是總售價大于總進(jìn)價，虧損就是總售價小于總進(jìn)價．14．（2022秋·山東菏澤·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）用簡便方法計算(1)(2).【答案】(1)；(2)99900.【分析】（1）將寫成，再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計算即可；（2）將寫成，再利用乘法分配律的逆運算進(jìn)行計算即可求得結(jié)果.【詳解】解：(1)；(2)原式.【點睛】此題考查有理數(shù)的乘法分配律及其逆運算，（1）中將帶分?jǐn)?shù)拆分成與其相近的整數(shù)加減其它分?jǐn)?shù)表示的方法，再根據(jù)乘法分配律計算很簡便；（2）中要將每組乘法中的一個因式寫成同一個數(shù)的形式，再利用乘法分配律的逆運算進(jìn)行運算，以達(dá)到簡便的目的.15．（2022·吉林初一月考）已知、為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運算，滿足．（1）_________；（2）求的值．（3）新運算是否滿足加法交換律，若滿足請說明理由：若不滿足，請舉出一個反例．【答案】（1）-6；（2）；（3）不滿足，舉例見解析【分析】（1）根據(jù)新定義列式計算即可；（2）根據(jù)新定義分兩步列式計算即可；（3）根據(jù)新運算可知運用交換律出的結(jié)果和原來的結(jié)果不同，所以不滿足，舉例說明即可．【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6（2）（3）∵新運算∴運用加法加法交換律可得：假設(shè)，則=3×4-3=9=4×3-4=8∴不能用交換律．【點睛】本題考查有理數(shù)的運算，解題關(guān)鍵是掌握新定義規(guī)定的運算法則、有理數(shù)乘方法則等知識．C級（培優(yōu)拓展）1．（2022·福建泉州·七年級?？茧A段練習(xí)）若，，則，按從小到大的順序為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)，正數(shù)與正數(shù)比較大小的法則進(jìn)行解答即可【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：A【點睛】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知有理數(shù)比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵2．（2022秋·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期中）若，試求應(yīng)滿足的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值都是非負(fù)數(shù)，再由，可得、為異號，或、有一個為0，或同時為0，即當(dāng)時，成立．【詳解】∵，∴、為異號，或、有一個為0，或同時為0，即當(dāng)時，成立故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值具有非負(fù)性，進(jìn)而分析即可．3．（2023春·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)軸上點A、B、C、D所表示的數(shù)分別是a、b、c、d，若，，則原點的位置在（

）A．點A的左邊 B．線段上 C．線段上 D．線段上【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸上點A、B、C、D的位置得出，結(jié)合，得出，或，，再結(jié)合可得出原點的位置在線段上．【詳解】∵，，∴，或，，∵，∴，，∴原點的位置在線段上．故選：D．【點睛】本題考查了數(shù)軸，掌握數(shù)軸上點的特點及有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江·七年級期中）如果四個互不相同的正整數(shù)滿足，則的最大值為（）A．40 B．53 C．60 D．70【答案】B【分析】由題意確定出的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】∵四個互不相同的正整數(shù)，滿足，∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，則有：，，，，解得：，則．故選：B．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）《算法統(tǒng)宗》是我國明代數(shù)學(xué)著作，它記載了多位數(shù)相乘的方法，如圖1給出了的步驟：①將34，25分別寫在方格的上邊和右邊；②把上述各數(shù)字乘積的十位（不足寫0）與個位分別填入小方格中斜線兩側(cè)；③沿斜線方向?qū)?shù)字相加，記錄在方格左邊和下邊；④將所得數(shù)字從左上到右下依次排列（滿十進(jìn)一）．若圖2中a，b，c，d均為正整數(shù)，且c，d都不大于8，則b的值為________，該圖表示的乘積結(jié)果為_________．【答案】2或3或【分析】如圖2所示，由題意得，，由此可得，進(jìn)而求出，；如圖2-1所示，的結(jié)果十位數(shù)為1，則或，由此討論b的值求解即可.【詳解】解：如圖2所示，由題意得，，∵都是自然數(shù)，且，∴，∴，∴；如圖2-1所示，∵的結(jié)果十位數(shù)為1，∴或，當(dāng)時，符合題意，此時的乘積為；當(dāng)時，符合題意；，此時的乘積為；故答案為：2或3；或【點睛】此題主要考查有理數(shù)運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到運算特點進(jìn)行求解．6．（2022秋·廣西南寧·七年級?？茧A段練習(xí)）若“”表示一種新運算，規(guī)定，則______．【答案】【分析】根據(jù)新運算可得，再代入，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴．故答案為：【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新運算是解本題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇蘇州·七年級校考期中）在數(shù)、1、、5、中任取兩個數(shù)相乘，其中最大的積是______，最小的積是______；任取三個數(shù)相乘，其中最大的積是______，最小的積是______．【答案】1575【分析】根據(jù)乘法法則，當(dāng)偶數(shù)個負(fù)數(shù)相乘時積為正，當(dāng)奇數(shù)個負(fù)數(shù)相乘時積為負(fù)，即可解決最大積和最小積的問題．【詳解】解：任取兩個數(shù)相乘，其中最大的積是，最小的積是，任取三個數(shù)相乘，其中最大的積是，最小的積是，故答案為：15，，75，．【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的乘法，解題關(guān)鍵要掌握有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的乘法法則．8．（2022秋·重慶·七年級期末）對于正整數(shù)n，階乘符號表示從n到1的整數(shù)的乘積（例如：），則滿足方程的N的值為_______．【答案】10【分析】根據(jù)階乘符號表示從n到1的整數(shù)的乘積，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了方程的解，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握階乘符號表示從n到1的整數(shù)的乘積，進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·福建福州·七年級?？计谥校?）觀察下面的運算過程，寫出或補全每步運算的依據(jù)．計算：．解：（減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的①）（加法交換律）（②）（同號兩數(shù)相加，取相同符號，并把絕對值相加）．（絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值③的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值）（2）計算：．解法1：；解法2：．對比兩種解法，思考并回答以下問題：從運算順序上比較，解法1是④；解法2是先去括號，然后再相加減；解法2用到的運算律是⑤，其中運算更