八年級數(shù)學(xué)下冊專題1 7 .5 勾股定理全章七類必考壓軸題

專題17.5勾股定理全章七類必考壓軸題

【人教版】

必考點(diǎn)1「勾股定理與網(wǎng)格問題

1.（2022春?北京海淀?八年級人大附中校考期中）小兵在學(xué)習(xí)了勾股定理的趙爽弦圖后，嘗試用小正方形

做類似的圖形，經(jīng)過嘗試后，得到如圖：長方形A8c。內(nèi)部嵌入了6個全等的正方形，其中點(diǎn)M,N,P,

。分別在長方形的邊A8,BC,C。和AQ上，若AB=23,BC=32,則小正方形的邊長為.

【答案】V53

【分析】如圖，作出輔助線，每個小正方形都分為四個全等的直角三角形和一個正方形，假設(shè)小直角三角形

長邊直角邊長為從短邊直角邊長為a,找出等量關(guān)系，列二元一次方程組解出八b,再由勾股定理算出原

圖中的小正方形邊長.

【詳解】解：如圖，作輔助線，發(fā)現(xiàn)每個小正方形都分為四個全等的直角三角形和一個正方形，假設(shè)小直角

三角形長邊直角邊長為,短邊直角邊長為。，由題意，得

(3b+Q=23

(4b+2a=32'

解得：

小正方形的邊長為：cr+b2=y/22+72=V53,

故答案為：V53.

【點(diǎn)睛】此題考查了用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到等量關(guān)系求解.

2.(2022秋?浙江?八年級期末)在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中.每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).

以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形4BCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點(diǎn)E,F,G,H都是

格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖.例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方

形4BCD的邊長為疑，此時(shí)正方形EFGH的面積為52.問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形4BCD的邊長為而時(shí)，

正方形EFGH的面積的所有可能值是(不包括52).

【答案】36或50

【分析】設(shè)四個全等的直角三角形的直角邊邊長分別為“，b.利用分類討論的思想，在格點(diǎn)上找出各點(diǎn)位置,

即找出邊的位置，即可求出面積.

【詳解】設(shè)四個全等的直角三角形的直角邊邊長分別為a,b.則正方形EFGH的邊長為a+〃，

即S正方形EFGH=(a+b)2.

...在網(wǎng)格中找出。和b的線段，且線段的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上即可.

分情況討論：

①a=5,b=1,如圖，

JE^EFGH=(a+6)2=62=36.

②a=VT3,b=A/T3,如圖，

S=(。+曠2

^^EFGH=(2V13)=52.

③a=2V2,b=3近,如圖，

^^SJE^BFGH=(a+b)2=(571)2=50.

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題干中不包括52,

故S/方施FGH的值為36或50.

故答案為：36或50.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理.利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?山東東營?八年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的邊長為1,剪一剪，拼成一個正方形，那

么這個正方形的邊長是—.

【答案】V5

【分析】由圖可知每個小正方形的邊長為1,面積為1,得出拼成的小正方形的面積為5,進(jìn)一步開方得出拼

成的正方形的邊長為通.

【詳解】分割圖形如下：

HdSnn

故這個正方形的邊長是遍.

故答案為近.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的剪拼和勾股定理，熟知勾股定理，能夠構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（2022春?全國?八年級統(tǒng)考期末）圖中的虛線網(wǎng)格是等邊三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1

的等邊三角形.

(1)邊長為1的等邊三角形的高=—;

(2)圖①中的口ABCD的對角線AC的長=

(3)圖②中的四邊形EFGH的面積=.

【答案】yV138V3

【詳解】分析：(1)利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出高；

(2)要求AC的長，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出.

(3)要求四邊形EFGH的面積，先將其分割，然后求每部分的面積，再相加和即可.

詳解：(1)邊長為I的等邊三角形的高=

Y42

(2)過點(diǎn)A作AKJ_BC于K(如圖①)，

由圖①知尸ABCD的面積等于24個小等邊三角形的面積和，由(1)知每個小等邊三角形的面積為

Ux絲ABCD=24X絲6瘋又S。ABCD=BCAK,B-AK=6序4=越，又在RtAABK

22442

中,AB=3,BK=AM82-AK2=|,KC=|,

/.AC=C4K2+KC2=g.

(3)如圖②所示，將四邊形EFGH分割成五部分，以FG為對角線構(gòu)造口FPGM,

,.七FPGM含有6個小等邊三角形，

???SaFGM=3S小等邊坨形,

同理可得SADGH=4S小等造.角形理AEFC=9S小等邊角形,SAEDH=8S小等邊m形，又S網(wǎng)邊形CMGD=8S小等邊:.角形,

由(2)知小等邊三角形的面積為手，

4

點(diǎn)睛：此題主要考查了等邊三角形的性偵的應(yīng)用和勾股定理，平行四邊形的面積和三角形的面積，利用等

腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)和分割圖形是解題關(guān)鍵.

5.（2022秋?福建三明?八年級統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為遙，V10,

V13,求這個三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）,

再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（HP△ABC三個頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示.這樣不需求△ABC

的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.

（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；

思維拓展：

（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若△ABC三邊的長分別為述a,2&a,V17a（a>0）,

請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積.

探索創(chuàng)新：

（3）若AABC三邊的長分別為+lb*,+4.2,2,4m2+於（m>o,n>0,且mRn）,試運(yùn)用構(gòu)

【答案】⑴/（2）畫圖見解析，3a2；⑶構(gòu)圖見解析，5mn

【分析】（I）利用割補(bǔ)法求解可得；

（2）在網(wǎng)格中利用勾股定理分別作出邊長為近a、2或a、V17a（a>0）的首尾相接的三條線段，再利用割補(bǔ)

法求解可得；

（3）在網(wǎng)格中構(gòu)建邊長為67九和6九的矩形，同理作出邊長為，而+16n2、y/924-4n2,2ylm+幾2的三角形,

最后同理可得這個三角形的面積.

【詳解】解：（1）448C的面積為3x3—工xlx2—工xlx3-工x2x3=Z,

2222

故答案為：I；

(2)如圖，AB=2y/2a,BC=回,AC=V17a,

2

由圖可得：S/ABC=2ax4a-|xax2a—1x2ax2a-|xax4a=3a；

故答案為：3a2；

(3)構(gòu)造44BC所示，AB=V(2m)2+(2n)2=2y/m2+n2,

AC=Jzn2+(4幾)2=y/m216n2,

BC=y/(3rn)24-(2n)2=V9m24-4n2,

=3mx4n--IxmTx4n--x3mx2n--1x2mx2n=57nH.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了勾股定理及作圖的知識，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)理解問題背景，熟練

掌握勾股定理，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答.

6.（2022秋?全國?八年級期中）方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多

邊形稱為“格點(diǎn)多邊形

（1）在圖1中確定格點(diǎn)。，并畫出一個以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對稱圖形（一種情況即

可）：

（2）直接寫出圖2中△FG"的面積是；

（3）在圖3中畫一個格點(diǎn)正方形，使其面積等于17.

【答案】（1）見解析；（2）9：（3）見解析.

【分析】（1）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)分析得出答案；

（2）利用AFGH所在矩形面積減去周圍三角形面積，進(jìn)而得出答案;

（3）利用勾股定理作出g,結(jié)合正方形的性質(zhì)得出答案.

【詳解】解：（1）如圖1所示，四邊形ABCD即為所求；

圖1

（2）如圖2所示:

圖2，

△FGH的面積=矩形ABHC的面積-△AFG的面積-△BGH的面積-△FCH的面積

111

=5x6一一x1x3--x3x5--x4x6=9.

222

（3）如圖3所示：四邊形ABCD即為所求；

圖32

【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖-軸對稱變換和勾股定理等知識，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

7.（2022春?山東濟(jì)寧?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在8x4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出

格點(diǎn)C,且使8c=5,并且直接寫出對應(yīng)三角形的面積.

【答案】見解析；5=10：S=y；S=12

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，角的分類去求解即可

【詳解】解：鈍角三角形時(shí)，如圖，

'."BC1.BD,BC=5,

...△ABC是鈍角三角形，

根據(jù)平行線間的距離處處相等，得8c邊上高為BD=4,

A5=lBCxBD=lx4X5=10；

直角三角形時(shí)，如圖，

取格點(diǎn)尸使得8尸=4,FC=3,

根據(jù)勾股定理，得BC=>/32+42=5,

\'AE=BF=4,EB=FC=3,ZAEB=ZBFC=90°,

?*.△BFC,

:?/EAB=/FBC,

VZEAB+ZEBA=90°,

JZFBC+ZEBA=90°,

/.ZABC=90%

.?.△ABC是直角三角形,

根據(jù)勾股定理，得A8=停寸=5,

1125

：.S=-BAxBC=-x5x5=絲；

222

銳角三角形時(shí)，如圖，取格點(diǎn)M使得8M=3,CM=4,

根據(jù)勾股定理，得30/32+42=5,

根據(jù)直角三角形時(shí)的作圖，知道NA8290。，

???乙ABCV/ABN,

JNA8CV90。

?；AB=BC,

??.△ABC是等腰三角形，

???Zv4=ZC<90°,

???△A8C是銳角三角形,

/.S=-x4x6=12；

2

【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格上的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定，平行線間的

距離處處相等，根據(jù)題意，運(yùn)用所學(xué)構(gòu)造符合題意的格點(diǎn)線段是解題的關(guān)鍵.

必考點(diǎn)2N勾股定理與折疊問題

1.（2022秋?浙江寧波?八年級?？计谥校┤鐖D，在ZL4BC中，力B=4C,點(diǎn)。在線段4c上，現(xiàn)將44BC沿著BD

翻折后得到44BD,A'B交4c于點(diǎn)E,4D〃BC且4'D=BC,若BD=2網(wǎng),則4ABC的面積為.

A

【答案】4V15

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)得到SA4BD=SAH80=SAA，ED+SAEBD，由且4。=8C,依據(jù)平行線的性質(zhì)

及ASA,可得44。后名48(;已通過等量代換得到SABCD=SMBO,從而得到C。=4。設(shè)為4a,依據(jù)等量代

換得至UCD=4a=BC,依據(jù)三角形外角的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到8E=BC=4a,連接B與

EC的中點(diǎn)F,依據(jù)三線合一求出兩個有公共直角邊的直角三角形，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于a的方程，解出可求

得△4BC的底和高，再運(yùn)用三角形面積公式即可.

【詳解】解：設(shè)AL>=4a,

'：AB=AC,

Z-C=Z-ABC,

?.?將△ABC沿著BD翻折后得到△A'BD,

二?SA4BD=SA4，BD=SAA，ED+SAEBD，=AD=4a,乙DBE=/.DBA,

"：A'D//BC,

：./LA'DE=^C,乙A'=LCBE,

又"。=BC=4a,

.?.△ADE絲△BCE(ASA),

?'?DE=EC--DC>SAA，DE=SRBCE，

又?S&BCD—SABCE+S&EBD，^H.ABD=^^A'ED+^AEBD

,?S&BCD=S^ABD'

CD-AD=4a,

：

.DE=EC=-2DC=2a,

CD=4a=BC,

:.乙CBD=乙CDB,

又?：(CBD=(CBE+乙DBE,乙CD8=44+4084，乙DBE=LDBA,

?"CBE=Z_i4,

XVz^EC=180°-ZC-Z.EBC,AABC=180°-zC-乙A,乙C=UBC

/.Z-BEC=Z.ABC—Z-C9

：.BE=BC=4a,

如下圖，連接B與EC的中點(diǎn)F,則FC=FE=^EC=a,DF=DE+FE=3a,

A

：.BF1AC,

2222

：.BD-DF=BF=BC-FC2,即（26）2-（3a）2=BF2=（4a）2_a2（。＞0）,

解得a=1,

：.BF=yJ15,AC^AD+DC=8a=8,

故答案為：4715.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)、等腰三角形的等邊對等角的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、三角形等角對等邊的

性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)Q是AC

的中點(diǎn)，三角形BC。、三角形8CE是等腰三角形，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于a的方程.

2.（2022秋?浙江?八年級期末）AABC中，AB=4V2,AC=6,乙4=45。，折疊AABC,使點(diǎn)C落在4B邊

上的點(diǎn)。處,折痕EF交AC于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)。由B向4連續(xù)移動過程中，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長記為m,則BC=,

m=_______

【答案】2遮20-12V2

【分析】過8作BM_L4C，垂足為根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出8M，再利用勾股定理求出BC的長

度，分三段分別求出點(diǎn)E的運(yùn)動路徑長度，再相加即可.

【詳解】解：過8作8例，AC,垂足為M,如圖1,

：.BM=AM=^4,

'：AC=6,

ACM=6-4=2,

：.BC="M2+BM2=2V5；

①：由折疊可知：EF垂直平分CD,

當(dāng)。與8重合時(shí)，此時(shí)4E最小，

如圖2,作BGLA8,垂足為G,連接E/8,

圖2

設(shè)4E1=%,

???乙4=45°,

???AG=E1G=^==^-x,E1C=6—x,

???E/垂直平分CB,

：.E]B=EXC=6—x,

???在Rt2k%GB中，EB=E。+GB2,

即(6-%)2=(5%)_(4或_曰%),

解得：X=1(負(fù)值舍去)，

：.AEr=1；

②???ED=EC,

.?.當(dāng)AE最大時(shí)，EC最短，

.?.EO最短，

.?.當(dāng)EO_LA8時(shí)，E。為垂線段，取最小值,

，如圖3,作后2。2,48,垂足為4，

設(shè)A%=y,則=D2E2=專=

/.E2C=6-y,

，場尸垂直平分C2，

/.E2D2=E2C,

?42二

?-—y=6-y,

：.y=12-6vL

：.AE2=12-6V2,

.”從最近到最遠(yuǎn)走了12-6底一1=11-6V2；

③當(dāng)。從。2點(diǎn)繼續(xù)向人移動，增加，

.?.AE減小，

...當(dāng)。與A重合時(shí)，如圖4,

圖4

此時(shí)E3O3=E3c=gac=gx6=3,

AE3=3,

.?.￡從場到邑運(yùn)動了12-6/-3=9-6或，

點(diǎn)E從Ei運(yùn)動到E2,再運(yùn)動到E3,

路徑長為11-6V2+9-6V2=20-12VL

故答案為：2花；20-12V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)點(diǎn)。運(yùn)動的情

況分別得出點(diǎn)E相應(yīng)的運(yùn)動情況，逐步求解.

3.（2022秋?河南周口?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，乙4cB=90。，AC=2,BC=4,點(diǎn)E

為AB的中點(diǎn)，D為BC邊上的一動點(diǎn)，把AACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)4AEF為直角三角形

時(shí)，CD的長為.

【答案】2或|

【分析】本題以三角形為基礎(chǔ)，考查內(nèi)容包含中點(diǎn)的用法，可立刻推邊等；動點(diǎn)圖形翻折問題，可得到角等

以及邊等，解答本題需以題目要求直角三角形為前提，采取分類討論方法，通過構(gòu)造輔助線、假設(shè)未知數(shù)

并結(jié)合勾股定理求解.

【詳解】（1）當(dāng)NAFE=90。時(shí)

作EM_LBC垂足為M.,作ANJ_ME于N,如下圖所示：

ZC=ZEMB=90°

???EM〃AC

vAE=EB

MB=MC=-BC=2

2

???EM=-AC=1

2

ZC=ZCMN=ZN=90°

???四邊形ACMN是矩形

VAC=CM=2

???四邊形ACMN是正方形

在RTAABC中,AC=2,BC=4

.?.AB=2V5,AE=V5

在RTAAFE中，VAE=V5,AF=AC=2

AFE=1

設(shè)CD=FD=x,在RT^EDM中，：DE=l+x,EM=1,DM=2-x

：.DE2=DM2+EM2

(1+x)2=(2-x)2+l2

2

X=3

2

?-CD=3

(2)當(dāng)NAFE=90。時(shí)，如下圖所示

ZAFD=90°

/.F,E,D三點(diǎn)共線

在RTAAFE中，VAE=V5,AF=AC=2

.?.EF=1

XVDE=1

，EF=ED

XVEA=EB,ZAEF=ZBED

所以△AFE=ABDE(SAS)

...NBDE=NAFE=90°

故四邊形AFCD是矩形

又：AF=AC

所以四邊形AFCD是正方形

，CD=AC=2

【點(diǎn)睛】本題主要考查動點(diǎn)翻折問題，需要著重注意分類討論，思考要全面，求解過程嘗試?yán)酶钛a(bǔ)法將圖

形補(bǔ)成常見模型以便求解.

4.（2022春?遼寧沈陽?八年級統(tǒng)考期末）在△力BC中，4BAC=9（T,NC=30O,AB=3,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

點(diǎn)E在BC邊上，將ACDE沿著。E翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，當(dāng)FEI4c時(shí)，F(xiàn)E=.

【分析】分點(diǎn)F在AC上方和4c下方，分別畫圖圖形，求出8c=6,AC=3V3,根據(jù)30。直角三角形的性質(zhì),

即可得出答案.

【詳解】解：①如圖:

?在ABC中：/.BAC=90。,"=30°,AB=3,

：.BC=2AB=6/B=60°,

.'.AC=V62-32=3V3.

?.?點(diǎn)力為4c的中點(diǎn)，

/.CD=-AC

22

\9FE1.AC,

，乙EMD=乙FMD=90°.

."EMD=乙4=90°,

：.EM||AB,

￡.MEC=Z.B=60°.

由折疊可知：DF=CD=芋,/F=ZC=30°,Z1=Z.2=：4MEC=30°,

?.?在RtZ\MD尸中：ZF=30°,

.'.MD=-FD=—,

24

.“畫痔吟

?.?在RtAMED中：41=30。，

.?.EC=23哈

：,FE=EM+MF=^=l.

②如圖所示，

???將△CDE沿著DE翻折，F(xiàn)ELAC,

：.EF||AB,

:,乙FEB=CB=60°,

：.Z.FEC=120°

,折疊，

.??kFED=MED=120°,

?.?ZC=30°

J.Z-EDC=乙EDF=30°,

:,乙DNC=LFNE=9。。,

???nDANJ=1-DCkC=1-AA/C-=3v—3,

244

：.NE=-DE,DE2=NE2+DN2

2

門口nr26z2V33y[33

???EF=DE=——rlDN=——x——=-

3342

故答案為：g或

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，30。直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握以上知識點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

5.（2022秋?廣東深圳?八年級深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）統(tǒng)考期末）如圖，將長方形紙片力BCD沿MN折疊,

使點(diǎn)A落在邊上點(diǎn)A處，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為。，連接AD'交邊CD于點(diǎn)E,連接C。，若48=9,AD=6,

%點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則線段E。的長為

【答案】弼2.25

4

【分析】連接M4',勾股定理求得。N,進(jìn)而證明△AD'N三設(shè)EC=a,4'E=b,根據(jù)NC=6,以及

Rt△4EC三邊關(guān)系建立方程組，解方程組求解即可.

【詳解】解：如圖，連接N4,

???折疊

DN=D'N,AD=A'D',/.A'D'N=ZD

???四邊形4BCD是長方形，AB=9,AD=6,

???DC=AB=9,BC=AD=6,4D=ABCD=90°

設(shè)。N=x

則NC=DC-DN=9-x

???4是BC的中點(diǎn)，BC=AD=6

CA'=-BC=3

2

在Rt"CN中，A'N2=CN2+A'C2

在Rt△力'D'N中，A'N2=ND'2+AD'2

：.CN2+A'C2=ND'2+AD'2

即(9一X)2+32=7+62

解得x=3

ND=ND'=A'C=3,NC=A'D'=6

y.'：AND'A'=Z.A'CD=90°

:.△A'D'N三△NC4

???乙NAD'=AA'NC

：.A'E=NE

vA'D'=CN

CE=ED'

設(shè)EC=a,A'E=b

在Rt"EC中

A'E2-EC2=A'C2

即接一。2=32①

又CE+EN=CN=6

EC+A'E=EC+EN=a+b=6?

由①可得(6+a)(h-a)=9③

將②代入③得b-a=|?

②-④得2a=|

解得a=；

4

即EC=：

,9

.??EDr=CE=-

4

故答案為：；

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊問題，因式分解，三角形全等的性質(zhì)與判定，解二元一次方程組，掌握

折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?遼寧沈陽?八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=25,AC=1075,4P垂直直線BC于點(diǎn)P.

（1）當(dāng)8。=25時(shí)，求4P的長；

（2）當(dāng)AP=20時(shí),

①求8C的長；

②將△力CP沿直線4C翻折后得到△ACQ,連接BQ,請直接寫出ZiBCQ的周長為.

【答案】⑴20

⑵①25或5；②5"1+35或候+15

【分析】（1）根據(jù)雙勾股列方程即可求出CP，進(jìn)而求得ZP的長；

（2）分情況討論當(dāng)A4BC是銳角三角形時(shí)，當(dāng)A4BC是鈍角三角形時(shí)，分別求出BC的長和△BCQ的周長.

【詳解】（1）如圖：

'：AP1BC

：.AP2=AB2-BP2,AP2=AC2-CP2,

設(shè)CP=x,^\BP=BC-PC=25-x

；.(10>/5)2-x2=252-(25-x)2,

解得：x=10

：.AP=J252-(25-10)2=20

（2）①當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí),

B

當(dāng)4P=20時(shí),

BP=\lAB2-AP2=V252-202=15；

CP=\/AC2-AP2=J(10V5)2-202=10；

：.BC=BP+PC=25

當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖:

'：AB=25>AC=10V5,AP=20

PC=yjAC2-AP2=10,BP=>JAB2-AP2=15

：.BC=BP-PC=5

綜上所述：8c=25或5

②當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，由①知，AB=BC=25,BP=15,PC=10,如圖，AC與BP交于MM過Q點(diǎn)

作QH1BC,

由折疊可知：QC=PC=10,PQ1AC,PQ=2MP

：.S^ACP=\CP-AP=\AC-MP,

x10x20=ix10V5-MP,

22

：.MP=4后

：.PQ=2Mp=8A/5,

設(shè)HC=x,則HP=PC+HC=10+x,

"：HQ2=QC2-HC2=PQ2-HP2

A102-x2=(8V5)2-(10+X)2,

解得：x=6,

HQ=V102-62=8

：.BQ=yjHB2+HQ2=7(25+6)2+82=5A/41

二ABCQ的周長為：BQ+BC+CQ=BQ+BC+PC=5V41+35

當(dāng)AABC是鈍角三角形時(shí)，如圖，

同理可得：CQ=PC=10,PQ=2MP=8V5,BC=5,CQ=PC=10

設(shè)HC=x,則HP=PC+HC=10+x,

'：HQ2=QC2-HC2=PQ2-HP2

：.102-x2=(8V5)2-(10+x)2,

解得：x=6,

：.HB=CH-CB=6-5=1,HQ=V102-62=8

BQ=yjHB2+HQ2=Vl2+82=V65

；.△BCQ的周長為：BQ+BC+CQ=BQ+BC+PC=V65+15

綜上所述：ABCQ的周長為5困+35或病+15.

【點(diǎn)睛】本題考查等枳法求高，雙勾股定理的求直角三角形邊長，解題的關(guān)鍵是在做題時(shí)注意分類討論.

必考點(diǎn)3Z以弦圖為背景的計(jì)算

1.(2022春.浙江.八年級期末)勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了以

勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定

理.在RtAZBC中，/.BAC=90°,/4C=a,AB=b(_a<b).如圖所示作矩形HFPQ,延長CB交HF于點(diǎn)G.若

正方形BCCE的面積等于矩形BEFG面積的3倍，峭勺值為()

D.4

2

【答案】D

【分析】設(shè)BC=c,利用勾股定理得到又加=c2,再說明ABMGsMBA,得到GB=根據(jù)S正方形&3=

3s矩形BEFG，結(jié)合。2+爐=?2可得a2+b2=3ab,整理得：?)2一票+1=0,解一元二次方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)8C=c,

在Rt△ABC中，Z.BAC=90。,"=a,AB=b(a<6)

由勾股定理可得：AC2+AB2=BC2,\l\lc2=a2+b2,

?.?四邊形BCDE是正方形，

,S正方形BCDE=BCz=c2,

?.?四邊形ABML是正方形，四邊形BEFG是矩形，

：.AB=BM,NMGB=NABM=BAC=9O°,

VZBMG+NMBG=ZMBG+NABC=ZABC+ZACB,

，NBMG=ZABC,NMBG=NACB,

:.叢BMGs叢CBA,

.GBBMABRGBb

??—=——，,RnJ———

ACBCBCac

：.GB=

c

,四邊形BEFG是矩形，四邊形3CDE是正方形,

:.BC=BE=c,

：'S^FEBG=GBBE=?xc=ab,

'：slEmcDE=BE?=c2=a2+h2

又S正方形BCPE=3s矩形BEFG

/.a24-h2=3ah

...兩邊同除以爐可得：鏟+1=芍

整理得：0）2+1=0，

解得：？=畔

D2

?.ZVb

...一a=-3—--^5

b2

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形和矩形的面積公式等知識點(diǎn)，熟練掌握相

關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋.廣東深圳.八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國算書《網(wǎng)醉算經(jīng)》中

就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1,是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面

積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，/BAC=90。，AB=3,BC=5,點(diǎn)D,E,F,G,H,

I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）

A.121B.110C.100D.90

【答案】B

【分析】延長48交長尸于點(diǎn)。，延長AC交GM于點(diǎn)P,可得四邊形40LP是正方形，然后求出正方形的邊長，再

求出矩形KLM/的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：如圖，延長4B交KF于點(diǎn)。，延長4c交GM于點(diǎn)P,則四邊形04LP是矩形.

???乙CBF=90°,

???&ABC+Z.OBF=90°,

又???直角44BC中，AABC+LACB=90°,

:.Z-OBF=乙ACB,

在40BF和N4CB中，

（Z.BAC=Z.BOF

{Z.ACB=乙OBF，

（BC=BF

???40B尸會2L4CBOL4S）,

???AC=OB,

同理：AACB=APGCf

???PC=AB,

:.OA=AP,

所以，矩形40LP是正方形，

邊長40=AB+AC=3+4=7,

所以，/CL=3+7=10,LAf=4+7=11,

因此，矩形KLM/的面積為10x11=110,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?全國?八年級期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要

紐帶.數(shù)學(xué)家歐幾里得利用下圖驗(yàn)證了勾股定理.以直角三角形A8C的三條邊為邊長向外作正方形AC，/,

正方形A8E。，正方形BCGF,連接B/,CD,過點(diǎn)C作C/_LDE于點(diǎn)J,交.AB于點(diǎn)、K.設(shè)正方形4C”/的

面積為Si，正方形8CGF的面積為52,矩形AK〃)的面積為S3,矩形KJEB的面積為S4,下列結(jié)論中:①8/，CD；

②S/：SzAC￡>=2：1；③S/-&=S3-52；@SIS4=S3S2,正確的結(jié)論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】利用正方形的性質(zhì)證明△A8&ZMOC,得出NA/8=NACO,即可得出NCN/=NMW,即可判斷①,

利用/絲△4DC,即可求出AA8/的面積，即可判斷②，由勾股定理和S汁S4=SnABE。，即可判斷③，

由③S/-S=S穌2，兩邊平方，根據(jù)勾股定理可得AC?一BC2二^^一^依，然后計(jì)算2+2_

(522+S32)=0,即可判斷④.

【詳解】解：?.?四邊形ACm和四邊形ABEO為正方形，

：.AI=AC,AD=AB,NCA/=/BAD=90。，

,:ZBAf^ZBAC+ZCAI,/DAC=NBAC+NBAD,

：.ZBAI^ZDAC,

：.AAB/^AADC(SAS),

NA/B=NACD,

■:NCN/=NG4/=90°,

J.B1VCD,

故①正確；

SAACD=SAA/B=|X4/XAC.S正方彩ACH1=SI=AIXAC，

：.Si：SAACD=2：I,

故②正確；

2:22

：S/=4C2,S2=BC,S3+S4=S正方形ADEB=AB?,AC+BC=AB,

?**S[+S2=S3+S4,

/.S[-S4=S3-S2,

故③正確；

?：SiS=S3$.

222

.-.S1+S4-25^4=S2+S32-2S2s3，

22

'：S,=AC,S2=BC,S3=AK?KJ=AK,AB,S4=BK?KJ=BK,AB,

2242222422

*SI+S4=AC+ABBK,S2+S3=BC+AKAB,

\'AB2=AC2+BC2,AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2,

AC2-AK2=BC2-BK2,

UVAC2-BC2=AK2-BK2,

2222422422

Si+S4-(S2+S3)=AC+ABBK-(BC+AKAB')

=AC4-BC4+AB2(BK2-4K2)

222

=04c2+BC)(AC-BC)-AB201c2_gC2)

=AB2{AC2-BC2)-AB2(AC2-BC2)

=0?

/.S”4=S2?S3,

故④正確,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的條件，勾股定理的運(yùn)用，完全

平方公式的變形.

4.（2022秋?江蘇?八年級期中）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其

中A,B,C,D四個小正方形的面積之和等于8,則最大正方形的邊長為_.

【答案】2

【分析】分別設(shè)A,B,C,D四個小正方形的邊長為a,b,c,d,根據(jù)題圖可得出相應(yīng)等式.

【詳解】分別設(shè)A,B,C,D四個小正方形的邊長為a,b,c,d,根據(jù)題意得:

（a2+b2+c2+d2=8（l）

tVa2+c2=Vb2+d2@

題目中需要求■量的值，則由①式得+02=4,則最大正方形的邊長為krm=2

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是學(xué)會設(shè)未知數(shù)解題，同時(shí)利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.

5.（2022秋.江蘇揚(yáng)州.八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢

達(dá)哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了

定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；

②如圖1,大正方形的面積是17,小正方形的面積是5,如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2

的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積.

（2）如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形

中面積關(guān)系滿足工+S2=S3的有個；

（3）如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別

為S］、S2,直角三角形面積為S3,請判斷Si、52、S3的關(guān)系.

【答案】（1）①見解析；②29

(2)3

(3區(qū)+S2=S3

【分析】(1)①將圖中各個幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1

中：a2+b2=c2=17,(b—a)2=5,即可得2ab=12,圖2中大正方形的面積為：(a+h)2,據(jù)此即可

作答；

(2)根據(jù)題意得：a2+b2=c2,再分別計(jì)算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；

(3)結(jié)合題意，首先分別以。為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形

的面積，根據(jù)圖形特點(diǎn)表示出(S1+S2),結(jié)合勾股定理，即可得到答案.

【詳解】(1)①證明：

在圖I中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.

即C2=|ab?4+(b—a)2,化簡得小+fa2=c2.

在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.

即(a+bp=c24-|ah-4,化簡得小+fo2=c2.

在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和.

E《(Q+b)(a+b)=^ab-2+|c2,化簡得a24-fe2=c2.

②在圖1中：a2+Z?2=c2=17,(b—a)2=5,

圖2中大正方形的面積為：(a+b)2,

V(b—a)2=5,a2—2ab4-b2=5,

A17-2ab=5,2ab=12,

/.(a+b)2=小+2ab+h2=17+12=29,

???圖2中大正方形的面積為29.

(2)根據(jù)題意得:a2+&2=c2,

如圖4：

S2

Si

S3

圖4

2S=2

即有：SI=Q2,S2=bf3c

4-=S;

SrS23

如圖5：

=y7r22-TIC2,

2\2/8=-na,8S2=-n8b,S3=

,2222y2

\-8na-^-87ib=-8n('<a+b7)=8-nc,

5i+=S3；

S2

如圖6：

下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：

正axyz的邊長為小過頂點(diǎn)x作xviYZ,v為垂足，如圖,

X

在正AXVZ中，有乙丫=60。，XZ=XY=YZ=u,

'：XV1YZ,

：.YV=VZ=-YZ=-u,Z.XVY=90°,

22

：.在RtAXYU中，有XU=>JXY2-YV2=Ju2-gu)2=yu,

二正AXYZ的面積為：S=^xYZxXV=—u2,

24

?1.-V3aV32rV3,2r2

??eSi=-vxax—=——a,52=—b，S=百——cz

1224z4334

?.?在+立/=3(a2+b2)=在c2

Si+s2=s3；

，三個圖形中面積關(guān)系滿足Si+S2=S3的有3個

故答案為：3；

(3)關(guān)系：Si+S2=S3,理由如下：

以“為直徑的半圓面積為：；X兀償="。2,

2\2/o

2

以匕為直徑的半圓面積為：jx/rg)=2,

以C為直徑的半圓面積為：；X兀仔丫=/c2,

2\2/8

三角形的面積為：S3=|ab,

222

；.Si+S2=^na+^nb+S3-\nc,

222

即:Si+S2=-7r(a+b—c)+S3,

結(jié)合(1)的結(jié)論：a2+h2=c2

Si+S2=S3.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理

的性質(zhì)，從而完成求解.

必考點(diǎn)4N勾股定理的證明方法

1.（2022秋.江蘇南京?八年級南京市第二十九中學(xué)校考期中）在RtAABC中，NACB=90。，BC=a,AC

=b,AB=c.將RSABC繞點(diǎn)。依次旋轉(zhuǎn)90。、180。和270。，構(gòu)成的圖形如圖所示.該圖是我國古代數(shù)學(xué)

家趙爽制作的“勾股圓方圖“，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002

年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù).

（1）請利用這個圖形證明勾股定理；

（2）請利用這個圖形說明次+/澳必，并說明等號成立的條件；

（3）請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長為x,寬為y的長方形，其周長為8,求當(dāng)x,y取何值時(shí)，該

長方形的面積最大？最大面積是多少？

【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)且僅當(dāng)“=人時(shí)，等號成立；（3）當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，長方形的面積最

大，最大面積是4.

【分析】1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個

直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式.

（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可.

（3）利用（2）中的結(jié)論求得當(dāng)x,y取何值時(shí)，該矩形面積最大以及其最大面積.

【詳解】解：（1）因?yàn)檫呴L為c的正方形面積為

它也可以看成是由4個直角三角形與1個邊長為（a-b）的小正方形組成的，

它的面積為4x｝力+（。_b）2=a2+b2,

所以c^—^+b2.

（2）'：（a-b）2>0,

a2+h2-2ab>0,.,.a2+h2>2ab,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.

（3）依題意得2（x+y）=8,，x+y=4,長方形的面積為町，

由（2）的結(jié)論知與匕^十丁二^+丫尸-2