湖南省永州市大圩中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

湖南省永州市大圩中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且y=f（x+1）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥1時，f（x）=2x﹣1，則f（），f（），f（）的大小關(guān)系是(

)A．f（）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（）＜f（） C．f（）＜f（）＜f（） D．f（）＜f（）＜f（）參考答案：A【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【專題】探究型；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)y=f（x+1）是偶函數(shù)得到函數(shù)關(guān)于x=1對稱，然后利用函數(shù)單調(diào)性和對稱之間的關(guān)系，進(jìn)行比較即可得到結(jié)論．【解答】解：∵y=f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（﹣x+1）=f（x+1），即函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱．∵當(dāng)x≥1時，f（x）=2x﹣1為增函數(shù)，∴當(dāng)x≤1時函數(shù)f（x）為減函數(shù)．∵f（）=f（+1）=f（﹣+1）=f（），且＜＜，∴f（）＞f（）＞f（），故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．2.給出函數(shù)f（x）=a2x﹣1+2（a為常數(shù)，且a＞0，a≠1），無論a取何值，函數(shù)f（x）恒過定點(diǎn)P，則P的坐標(biāo)是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（，3）參考答案：D【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象變換．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】把已知的函數(shù)解析式變形，然后借助于函數(shù)圖象的平移得答案．【解答】解：∵f（x）=a2x﹣1+2==，而函數(shù)y=（a2）x恒過定點(diǎn)（0，1），∴恒過定點(diǎn)（）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象變換，考查了函數(shù)圖象的平移，是基礎(chǔ)題．3.已知向量，，則＝（

）A.－1 B.0 C.1 D.2參考答案：C【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，則；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題目．4.若函數(shù)f(x)=x3－6bx+3b在(0，1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

（

）

A．(0，1)

B．(－∞，1)

C．(0，+∞)

D．(0，0.5)參考答案：D5.函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為（

）A.1 B.3 C.2 D.4參考答案：A在上是增函數(shù)，的零點(diǎn)個數(shù)為.故選A.點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)的判斷方法有三種：一、直接求零點(diǎn)：令,如果能求出解，有幾個解就有幾個零點(diǎn)；二、零點(diǎn)存在性定理：函數(shù)在連續(xù)的區(qū)間上有定義且，則函數(shù)在上存在零點(diǎn)；三、先把所求的函數(shù)分解成兩個簡單的函數(shù)，再由兩函數(shù)圖象看交點(diǎn)個數(shù)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).6.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的（）A．外接球的半徑為B．表面積為C．體積為D．外接球的表面積為4π參考答案：B7.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是，則使成立的最小正整數(shù)為（

）

A.2009

B.2010

C.2011

D.2012參考答案：B8.（5分）設(shè)=2，則=（） A． B． ﹣ C． ﹣2 D． 參考答案：B考點(diǎn)： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 已知等式左邊分子分母除以cosα，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求出tanα的值，所求式子利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡后，把tanα的值代入計(jì)算即可求出值．解答： ∵==2，∴tanα+1=2tanα﹣2，即tanα=3，則原式===﹣=﹣=﹣．故選B點(diǎn)評： 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．9.直線的傾斜角為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角?！驹斀狻恐本€的斜率，則，所以直線的傾斜角【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的求法，屬于基礎(chǔ)題。10.四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為 的等腰三角形，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：12.已知,且,則 .參考答案：－7∵已知，且，，，兩邊同除以可得，求得（舍去）或.

13.已知集合A是由偶數(shù)組成的，集合B是由奇數(shù)組成的，若a∈A，b∈B，則a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“?”)參考答案：?∈解析：因?yàn)閍是偶數(shù)，b是奇數(shù)，所以a＋b是奇數(shù)，ab是偶數(shù)，故a＋b?A，ab∈A.14.下列四個命題：①若a∥b，a∥α，則b∥α；②若a∥α，b?α，則α∥b；③若a∥α，則a平行于α內(nèi)所有的直線；④若a∥α，a∥b，b?α，則b∥α．其中正確命題的序號是．參考答案：④【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】在①中，b∥α或b?α；在②中，α與b平行或異面；在③中，a與α內(nèi)的直線平行或異面；在④中，由線面平行的判定定理得b∥α．【解答】解：在①中：若a∥b，a∥α，則b∥α或b?α，故①錯誤；在②中：若a∥α，b?α，則α與b平行或異面，故②錯誤；在③中：若a∥α，則a與α內(nèi)的直線平行或異面，故③錯誤；在④中：若a∥α，a∥b，b?α，則由線面平行的判定定理得b∥α，故④正確．故答案為：④．15.（4分）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2+x，則f（﹣3）的值為

．參考答案：﹣12考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，直接求解即可．解答： 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2+x，所以f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（（﹣3）2+3）=﹣12．故答案為：﹣12．點(diǎn)評： 本題可拆式的奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．16.若A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，則＋的最小值為

．參考答案：因?yàn)锳＋B＋C＝，且(A＋B＋C)·(＋)＝5＋4·＋≥5＋＝9，因此＋≥，當(dāng)且僅當(dāng)4·＝，即A＝2(B＋C)時等號成立．17.若平面向量與夾角為60°，，且，則

．參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知冪函數(shù)f（x）=（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求實(shí)數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f（x）的解析式；（2）對于（1）中的函數(shù)f（x），試判斷是否存在整數(shù)m，使函數(shù)g（x）=1﹣mf（x）+（2m﹣1）x，在區(qū)間[0，1]上的最大值為5，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】分類討論；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由冪函數(shù)的定義和單調(diào)性，可得（2﹣k）（1+k）＞0，又k2+k﹣1=1，即可得到k的值和f（x）的解析式；（2）求出g（x）的解析式，討論m的符號，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，解方程可得m的值．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=（k2+k﹣1）x（2﹣k）（1+k）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得（2﹣k）（1+k）＞0，解得﹣1＜k＜2，又k2+k﹣1=1，可得k=﹣2或1，即有k=1，冪函數(shù)f（x）=x2；（2）由（1）可知：g（x）=﹣mx2+（2m﹣1）x+1，當(dāng)m=0時，g（x）=1﹣x在[0，1]遞減，可得g（0）取得最大值，且為1，不成立；當(dāng)m＜0時，g（x）圖象開口向上，最大值在g（0）或g（1）處取得，而g（0）=1，則g（1）=5，即為m=5，不成立；當(dāng)m＞0，即﹣m＜0，g（x）=﹣m（x﹣）2+．①當(dāng)≤0，m＞0時，解得0＜m≤，則g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，因此在x=0處取得最大值，而g（0）=1≠5不符合要求，應(yīng)舍去；②當(dāng)≥1，m＞0時，解得m不存在；③當(dāng)0＜＜1，m＞0時，解得m＞，則g（x）在x=處取得最小值，最大值在x=0或1處取得，而g（0）=1不符合要求；由g（1）=5，即m=5，滿足m的范圍．綜上可知：滿足條件的m存在且m=5．【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)的定義和單調(diào)性的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值的求法，熟練掌握冪函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．19.（本小題滿分15分）設(shè)向量為銳角．（1）若，求的值；（2）若，求的值．參考答案：（1）由題,若，則，

……2分所以．又因?yàn)棣葹殇J角，所以…7分（2）因?yàn)?，所以?/p>

……10分所以，

……15分20.（14分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：BC1∥平面A1CD；（2）求證：A1C⊥AB1；（3）若點(diǎn)E在線段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此時三棱錐C﹣A1DE的體積．參考答案：考點(diǎn)： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定．專題： 綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析： （1）連接AC1交A1C于點(diǎn)F，由三角形中位線定理得BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1CD．（2）利用線面垂直的判定定理證明A1C⊥平面AB1C1，即可證明A1C⊥AB1；（3）證明∠BDE為二面角E﹣CD﹣B的平面角，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，確定DE⊥A1D，再求三棱錐C﹣A1DE的體積．解答： （1）證明：連結(jié)AC1，交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)，又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF，因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（3分）（2）證明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因?yàn)锳A1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分）因?yàn)镃A⊥CB，B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分）因?yàn)锽1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分）（3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，因?yàn)锳C=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB1A1．所以CD⊥DE，CD⊥DB，所以∠BDE為二面角E﹣CD﹣B的平面角．在Rt△DEB中，．由AA1=AC=CB=2，CA⊥CB，所以，．所以，得BE=1．所以點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)．…（11分）又因?yàn)?，，，A1E=3，故，故有DE⊥A1D所以…（14分）點(diǎn)評： 本題主要考查直線與平面平行、垂直等位置關(guān)系，考查線面平行、二面角的概念、求法、三棱錐C﹣A1DE的體積等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．21.{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S7=7，S15=75，Tn為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求Tn.參考答案：略22.規(guī)定[t]為不超過t的最大