人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教案13. 3 . 2 等邊三角形

13.3.2等邊三角形

【教學(xué)目標(biāo)】

知識與能力

1.了解等邊三角形是特殊的等腰三角形.

2.了解等邊三角形的定義，掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法，并能夠運

用性質(zhì)和判定方法解決相關(guān)問題.

3.掌握直角三角形中30。角所對直角邊與斜邊的關(guān)系，能利用含30°角的

直角三角形的性質(zhì)解決簡單的實際問題.

過程與方法

經(jīng)歷探究等邊三角形的性質(zhì)和判定方法的過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.

情感態(tài)度與價值觀

積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲,在數(shù)學(xué)活動中獲得成

功的體驗,建立自信心.

【重點難點】

重點：等邊三角形的性質(zhì)和判定方法及其運用；利用含30°角的直角三角

形的性質(zhì)解決實際問題.

難點:能夠運用等邊三角形相關(guān)性質(zhì)和判定解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

如圖，將兩個含有30°角的三角板放在一起，借助這個圖形，

1.你能判斷出新組合的三角形是什么三角形嗎？

2.你能找到每個三角板中的最短的直角邊與斜邊之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

oo

二、探究歸納

活動1:問題回顧

什么是等邊三角形?它與以前學(xué)過的等腰三角形有何關(guān)系？

學(xué)生回答:三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，它是一種特殊的等腰

三角形.

活動2:探究等邊三角形的性質(zhì)

1.請同學(xué)們畫一個等邊三角形，用量角器量出各個內(nèi)角的度數(shù)，并提出猜

想.

2.你能否用已知的知識,通過推理得到你的猜想是正確的？

等邊三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等邊對等角的性

質(zhì)得至I」NA=NB=C,又由NA+NB+NC=180°,從而推出NA=NB=

ZC=60°.

3.上面的條件和結(jié)論如何敘述？

等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60°.

三個角都相等的三角形是等邊三角形.

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，也稱為正三角形.

4.(1)教師引導(dǎo)學(xué)生動手,通過動手折疊，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)等邊三角形是軸對稱

圖形嗎?它有幾條對稱軸？

(2)通過折疊你發(fā)現(xiàn)等邊三角形的角有哪些性質(zhì)，你能證明嗎？

總結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生歸納等邊三角形的性質(zhì)

⑴等邊三角形是軸對稱圖形,有三條對稱軸.

⑵等邊三角形的三個角都相等,并且每一個角都等于60°.

5.由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可以推出等邊三角形也具有“三線

合一”的性質(zhì).

活動3:探究等邊三角形的判定

問題：（1）一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？

⑵一個等腰三角形滿足什么條件就是等邊三角形？

教師引導(dǎo)學(xué)生從兩個角度思考判定等邊三角形需要滿足的條件：

問題（1）：對于三角形來說：

⑴邊:三邊相等的三角形是等邊三角形

⑵角：三角相等的三角形是等邊三角形

問題⑵：對于等腰三角形來說,分兩種情況：

探究：［1］如果頂角是60°:

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,頂角是60。，等腰三角形的兩個底角的和就是

180°-60°=120°，再根據(jù)等腰三角形兩個底角是相等的，所以每個底角

分別是1200+2=60°,則三個內(nèi)角分別相等，根據(jù)等角對等邊，則此時等

腰三角形的三條邊是相等的，即頂角為60°的等腰三角形為等邊三角形.

點撥:如果等腰三角形的頂角是60°,那么這個三角形是等邊三角形.

［2］如果底角是60°:

同樣根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等角對等邊、等邊對等角的性質(zhì)，可得等腰

三角形的底角是60°,那么這個三角形也是等邊三角形.

點撥:在等腰三角形中，不論底角是60°,還是頂角是60°,那么這個等腰

三角形都是等邊三角形.即：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

總結(jié):等邊三角形常用的判定方法：

邊:三邊相等的三角形是等邊三角形

角：三角相等的三角形是等邊三角形

邊角：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

活動4:探究含30°角的直角三角形的性質(zhì)

探究:用含30°角的直角三角尺擺出了如下兩個三角形.

其中，圖⑴是等邊三角形，因為4ABD0Z^ACD,所以AB=AC,又因為RtAABD

中，NBAD=30°,所以NABD=60°,有一個角是60°的等腰三角形是等邊三

角形.

圖⑴中，NB=NC=60°,NBAC=NBAD+NCAD=30°+30°=60°,所以NB=

ZC=

NBAC=60°,即aABC是等邊三角形.

問題：師：同學(xué)們從不同的角度說明了自己拼成的圖⑴是等邊三角形.由

此你能得出在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系嗎？

［生］在直角三角形中，30。角所對直角邊是斜邊的一半.

師:我們僅憑實際操作得出的結(jié)論還需證明，你能證明它嗎？

［生］可以，在圖⑴中，我們已經(jīng)知道它是等邊三角形,所以AB=BC=AC.而N

ADB

=90°,即ADLBC.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得BD=DC=-BC.

2

所以BD』AB,即在RtAABD中，ZBAD=30°,它所對的邊BD是斜邊AB的一

2

半.

定理證明：

定理:在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于

斜邊的一半.

已知：如圖①,在RtAABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.求證:BC3AB.

2

分析:從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā),延長BC至D,使CD=BC,連接AD.

證明：在aABC中，NACB=90°,NBAC=30°,則NB=60°.

延長BC至D,使CD=BC,連接AD（如圖②）

因為NACB=90°,所以NACD=90°.

因為AC=AC,

所以△ABCZAADC（SAS）.

所以AB=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.

所以AABD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）.

所以BC=CD=-BD=-AB.

22

活動5.應(yīng)用舉例

例1:求證:三個角都相等的三角形是等邊三角形.

已知：如圖,在4ABC中，NA=NB=NC.

A

求證:AABC是等邊三角形.

證明：因為NA=NB,

所以BC=AC（等角對等邊）.

又因為NA=NC,

所以BC=AB（等角對等邊）.

所以AB=BC=AC,即4ABC是等邊三角形.

例2:已知:如圖，AABC是等邊三角形,DE/7BC,交AB,AC于D,E.

求證:ZXADE是等邊三角形.

證明：因為AABC是等邊三角形（已知），

所以NA=NB=NC（等邊三角形各角相等）.

因為DE〃BC,

所以NADE=NB,NAED=NC（兩直線平行，同位角相等）.

所以NA=NADE=NAED.

所以4ADE是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角形）.

例3:如圖,課外興趣小組在一次測量活動中，測得NAPB=60°,AP=BP=200m,

他們便得出一個結(jié)論:A,B之間距離不少于200m,他們的結(jié)論對嗎？

P

分析:我們從該問題中抽象出AAPB,由已知條件NAPB=60°且AP=BP,結(jié)合

本節(jié)課探究結(jié)論知AAPB為等邊三角形.

解：在4APB中，AP=BP,NAPB=60°,

所以NPAB=NPBA)(180°-ZAPB)

2

=-(180°-60°)=60°.

2

于是NPAB=ZPBA=ZAPB.

從而AAPB為等邊三角形,AB的長是200m,由此可以得出興趣小組的結(jié)論

是正確的.

例4:如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點,立柱BC、DE垂直

于橫梁AC,AB=7.4m,ZA=30°,立柱BC、DE要多長？

AEC

分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtAAED與RtAACB中，由于NA=30°,所以

DE=|AD,

BC=-AB,又由D是AB的中點，所以AD=-AB.

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解：因為DE_LAC,BCJ_AC,NA=30°,由定理知

BC=-AB,DE=-AD,

22

所以BC/X7.4=3.7(m).

2

又AD二-AB,

2

所以DE=-AD=-X3.7=1.85(m).

22

答:立柱BC的長是3.7m,DE的長是1.85m.

例5:等腰三角形的底角為15°,腰長為2a,求腰上的高.

已知：如圖，在4ABC中,AB=AC=2a,ZABC=ZACB=15°,CD是腰AB上的高.

求CD的長.

D

BC

分析:觀察圖形可以發(fā)現(xiàn),在RtAADC中,AC=2a,而NDAC是4ABC的一個外

角，則NDAC=15°X2=30°,根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊

的一半,可求出CD.

解：因為NABC=NACB=15°,

所以NDAC=NABC+NBCA=30°.

所以CD/AC=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直

2

角邊等于斜邊的一半）.

三、交流反思

1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握探索的步驟:觀察一一歸納一一猜想一一證明.

2.通過本節(jié)課類比等腰三角形的性質(zhì)和判定探究等邊三角形的性質(zhì)和判

定.

四、檢測反饋

1.如圖，AABC是等邊三角形，點D在AC邊上，ZDBC=35°,則NADB的度數(shù)

為

A

D

A.25°B.60°

C.85°D.95°

2.如圖，AC=BC=10cm,ZB=15°,AD±BC于點D,則AD的長為()

A

BCD

A.3cmB.4cm

C.5cmD.6cm

3.如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中N

a+NB的度數(shù)是()

A.180°B.220°

C.240°D.300°

4.某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示的4ABC空地上種植草皮以美

化環(huán)境，已知NA=150°,這種草皮每平方米售價a元,則購買這種草皮至少

需要（）

20>30m

BC

A.300a元B.150a元

C.450a元D.225a元

5.如圖，在4ABC中，AB=AC,NB=30°,點D在BC上，且AD1AC.若AD=1,貝1J

BC的長為.

6.已知，如圖，房屋的頂角NBAC=100°,過屋頂A的立柱AD_LBC.屋椽

AB=AC,求頂架上NB、NC、/BAD、NCAD的度數(shù).

7.已知：如圖，AABC是等邊三角形,BD是中線,延長BC到E,使CE=CD.

求證:DB=DE.

8.等邊AABC中，點P在4ABC內(nèi)，點Q在Z\ABC外，且NABP=NACQ,BP=CQ,

問AAPQ是什么形狀的三角形?試說明你的結(jié)論.

五、布置作業(yè)

教科書第83頁第12,14,15題

六、板書設(shè)計

13.3.2等邊三角形