高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章平面向量的概念及線性運(yùn)算配套文檔理蘇教版

第五章平面向量⑤

第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算

。1?抓住4個考點(diǎn)必考必記夯基固本

對應(yīng)學(xué)生

用書P73

考點(diǎn)梳理

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量宓的大小叫做向量的區(qū)度(或模)，記作

\7B\.

(2)零向量：長度為0的向量叫做零向量,其方向是任意的.

⑶單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又稱為共線向量,任

一組平行向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：0與任一向量平行.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

(6)相反向量：與向量&長度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量.規(guī)定零向量的相

反向量仍是零向量.

2.向量加法與減法運(yùn)算

(1)向量的加法：

①定義：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.

②法則：三角形法則；平行四邊形法則.

③運(yùn)算律：a+6=6+a；(a+Z>)+c=a+(8+c).

⑵向量的減法

①定義：求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.

②法則：三角形法則.

3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

(1)實(shí)數(shù)/與向量a的積是一個向量，記作Aa,它的長度與方向規(guī)定如下：

①|(zhì)才H=|4I|a|；

②當(dāng)。>0時,Aa與a的方向相同；當(dāng)乂<0時,Xa與a的方向相反；當(dāng)八=0時，Aa

=0.

(2)運(yùn)算律：設(shè)H〃GR,則：①2(〃a)=(4〃)a；②(4+〃)a=4a+③八(a

+6)=4a+4b.

4.向量共線定理

向量6與a(aWO)共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)A,使得6=4a.

【助學(xué)?微博】

向量平行與直線平行的區(qū)別

向量平行包括向量共線（或重合）的情況，而直線平行不包括共線的情況，因而要利用向量

平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.

一個考情分析

考查向量的兒何表示是本講的重點(diǎn)，掌握這類問題.首先要理解向量的加法、減法、實(shí)數(shù)

與向量的積的幾何表示，然后結(jié)合平面幾何知識把所求的向量用不共線的己知向量表示出

來.

考點(diǎn)自測

DC

AB

1.（2012?蘇北四市調(diào)研一）如圖，在四邊形加或中，/C和協(xié)相交于點(diǎn)0,設(shè)茄=a,AB

=b,若花=2應(yīng)；則而=（用向量a和b表示）.

解析因?yàn)閼?yīng)1=質(zhì)+應(yīng)三肪+*葩=@+權(quán)，又茄=

所以而=|應(yīng)

2DC,

答案|a+1/?

2.

如圖所示，在平行四邊形四＜力中，則下列結(jié)論：①施=而②而+法=必③港一正礪

④加為=0,其中正確的為.

解析①顯然正確：由平行四邊形法則知②正確；和—訕=葩故③不正確；④中應(yīng)斗為

=礪+應(yīng)=0.

答案①②④

3.設(shè)應(yīng)=x^+y龍且4B,。三點(diǎn)共線（該直線不過端點(diǎn)。，則x+尸.

解析由4B,C三點(diǎn)共線，得存在一個實(shí)數(shù)A,

使砂AAC,即OB-OA=A（OC-應(yīng)）.

所以應(yīng)=（1—4）力+AOC.

又因?yàn)?B=xOA+yOC,所以x+尸（1—，）+4=1.

答案1

如圖，在△47C中，AD,BE,爐分別是a；CA,4?上的中線它們交于點(diǎn)G,則下列等式

中不正確的是.

①反'=可應(yīng)'；②而=2旗③應(yīng)=

O

1—?1—?2—*?1—?

$4G；?TDA+-FC=-BC.

乙J力N

解析由題意知點(diǎn)G為三角形的重心，故施蘢！，③錯誤.

答案③

5.（2012?鎮(zhèn)江調(diào)研）若平面內(nèi)兩個非零向量。，￡滿足|f|=1,且。與￡一。的夾

角為135°,貝力的取值范圍為—

解析如圖，在△曲6中，設(shè)近=a,應(yīng)=￡,則應(yīng)=￡一〃，由題意得I應(yīng)=1,NOAB

=45°,由正弦定理，得二一°.nD,—~—匚-=啦，所以|a.=/sinAOBA,又0°

sinz_UDAsin43

＜/的＜135°,所以|a|G（0,煙.

答案（0,例

021突破3個考向研析案例遞回突破

對應(yīng)學(xué)生

用書P74

考向一考查平面向量的概念

【例1】（2012?浙江卷改編）設(shè)a,6是兩個非零向量，下列正確的是.

①若|a+6|=|a|—b,則a_LZ＞：

②若a_L6,則|a+引=|a—b；

③若|a+引=|a|-g,則存在實(shí)數(shù)人使得6=4a；

④若存在實(shí)數(shù)人使得力=八a,則|a+6=a\~\b\.

解析對于①，可得cos〈a,b)=一1,因此不成立；對于②，滿足aJ_6時|a+

b|=|a|一|引不成立；對于③，可得cos〈2b)=-1,因此成立，而④顯然不一定成

SL.

答案③

［方法總結(jié)］解決這類與平面向量概念有關(guān)的命題真假的判定問題，其關(guān)鍵在于透徹理解

平面向量的概念，還應(yīng)注意零向量的特殊性，以及兩個向量相等必須滿足：①模相等；②

方向相同.

【訓(xùn)練1】判斷下列命題是否正確，不正確的請說明理由.

(1)若向量a與b同向，且1司=量|,則a>6；

(2)若|a|=|目，則a與8的長度相等且方向相同或相反；

⑶若|a|=|6,且a與。方向相同，則a=b；

(4)若向量荔與向量乃是共線向量，則4B,C,〃四點(diǎn)在一條直線上；

(5)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量.

解(1)不正確，因?yàn)橄蛄恐挥懻撓嗟群筒坏?，而不能比較大小.(2)不正確，因?yàn)橄蛄磕?/p>

相等與向量的方向無關(guān).⑶正確.(4)不正確，因?yàn)榕锲呔€，而四與切可以不共線，

即47〃必(5)正確.

考向二考查平面向量的線性運(yùn)算

【例2】(1)(2011?湖南卷)在邊長為1的正三角形1以中，設(shè)瓦7=2施而=3宓，則詼?礪

(2)(2010?天津)如圖，在中，ADVAB,~BC=^,BD,)JZ?|=1,則應(yīng)?而=.

解析⑴選由，澇為基底.則

AD^—CA+^CB,BE——CB-\-\cA,二]〃.龐=(-O+；河?(-⑵+(句=-].

⑵應(yīng)＞'AD=(AB+HC)?~AD=(誦+/勵?~AD=

森?而+/筋?亦=#?\BD?A'D\?cos乙"次I語12=/

答案(D—；(2)/

［方法總結(jié)］在進(jìn)行向量線性運(yùn)算時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四

邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對應(yīng)邊成比例得平面幾何的性質(zhì),

把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

【訓(xùn)練2】

如圖，以向量^=a,應(yīng)=6為邊作。的ZW,瓦旗扇三段①用a、6表示涼永疏

oJ

解\~BA='OA—~0B=a~b,而血=：a—4兒

666

:.0M=0B+Sif=^a+^b.又赤=a+6.

66

/.加=++；切=；"+：勿='①='(3+方).

J乙OJJ

/.MN=ON—〃Q^a+淑一以一息=得一為

336626

-15_>22_11

即OM=-za+^b,ON=-a+-biMN--a--b.

663326

考向三共線向量定理及其應(yīng)用的考查

【例3】（2012?湖州模擬）如圖，在△4%'中，〃為先的中點(diǎn)，G為力〃的中點(diǎn)，過點(diǎn)G

任作一直線〃V分別交力氏4c于機(jī)"兩點(diǎn)，若融標(biāo),AN=yAC,試問：工+,是否為定

xy

值？請證明你的結(jié)論.

解,+'為定值，證明如下：

Xy

設(shè)4?=a,AC=b,則4"=xa,AN=yb,

~AG=^AD=^(AB+~AC)="(a+A),

所以您=而一為/=；(a+b)

—?—?—?

MN=AN—AM=yb~xa=—xa~\~yb.

因?yàn)槟c旃共線，所以存在實(shí)數(shù)4,使麻=4而；所以4(-xa+yb)=—

久xa+4yb,又因?yàn)閍與b

L=_

不共線，所以J］

匕="，

消去，，W-+-=4為定值.

xy

［方法總結(jié)］1.平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線，也可

以由向量共線求參數(shù).利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個公共點(diǎn).

2.對于向量的線性運(yùn)算，不但要掌握幾何法則，還要掌握坐標(biāo)運(yùn)算法則，使二者有機(jī)結(jié)

合起來.

【訓(xùn)練3】設(shè)兩個非零向量a與。不共線.

⑴若於a+6,BC=2a+8b,宓=3(a-6).

求證：A,B,〃三點(diǎn)共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)使4a+6和a+%6共線.

(1)證明,:AB=a+b,BC=2a+Bb,CD=3(a—扮.

：.BD=漆+CD=2a+8b+3(a-6)=5(a+而=5誦.

質(zhì)哄線，又它們有公共點(diǎn)6,B,〃三點(diǎn)共線.

⑵解,/Aa+6與a+妨共線，

,存在實(shí)數(shù)4，使ka+b=A(a+處)，

即(A-A)a=(Ak-l)b.

又a,6是兩不共線的非零向量，

:.A—4=4A-1=0.AJf-1=0.：.k=±\.

。3?揭秘3年高考權(quán)威解讀真題展示

對應(yīng)學(xué)生

用書P75

熱點(diǎn)突破13高考中向量概念與線性運(yùn)算的求解方法

平面向量的概念和線性運(yùn)算是解向量問題的基礎(chǔ)，高考以考查線性運(yùn)算為重點(diǎn)，至多出一

道填空題.解答題往往以線性運(yùn)算、數(shù)量積為載體，考查三角函數(shù)、解三角形等知識，總

體難度不大.三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的主要方法.

向量線性運(yùn)算的解題策略

【示例】(2010?湖北卷改編)已知和點(diǎn)"滿足語+應(yīng)+該=0.若存在實(shí)數(shù)處使得誦

+AC=mA喊立,則m—.

［審題與轉(zhuǎn)化］第一步：由平行四邊形法則，可由法+礪+應(yīng)1=（）,得"是比的重心.

第二步：

如圖，以蕨說為鄰邊作J糜4設(shè)愈與比1交于〃則〃分別是歐與艙的中點(diǎn)，于是

由法1+法+應(yīng)'=而+癥=蕩1+2訪=0,得贏=2麗,所以M是的重心.

［規(guī)范解答］第三步：設(shè)4V交重于〃，由蕩1+忘+癥'=0易得〃是的重心，〃是

a'邊的中點(diǎn)，所以乃=|疵葩+應(yīng)'=2茄=3疝4即卬=3.

［反思與回顧］第四步：在向量運(yùn)算的三角形法則和平行四邊形法則中，構(gòu)造平行四邊

形用平行四邊形法則較為常用.另外，在中，若而+礪+應(yīng)1=0；則材是△力回的重

心.反之也成立，作為結(jié)論要牢記.

高考經(jīng)典題組訓(xùn)練

（2011?四川卷改編）如圖，正六邊形47碗F中，及1+加旗=.

解析因?yàn)橥?應(yīng)所以應(yīng)+而+夠=而+應(yīng)+旗=農(nóng)

答案CF

2.（2012?遼寧卷改編）已知兩個非零向量a,6滿足|a+6|=

\a-b\,則下面結(jié)論：

①a〃6；②a_L6；③,a［=|引；?a+b=a-b.

正確的序號是________.

解析用幾何法，以a,6為鄰邊構(gòu)作平行四邊形，則由|a+引=|a—引，得這個平行四

邊形對角線相等，從而它是矩形，所以僅②正確.

答案②

3.（2010?四川卷改編）設(shè)點(diǎn)"是線段寬的中點(diǎn)，點(diǎn)［在直線比'外，比2=16,\'AB+AC

\=\AB-AC\,則|沏=

解析

?.?瓦?16,二.|瓦1=4,由刖正|=|施一位1,得以誦，應(yīng)為鄰邊構(gòu)作的口/應(yīng)r是矩形,

"是其對角線交點(diǎn)，所以I9=自而=,4=2.

答案2

4.（2010?全國卷n改編）在△1a1中，點(diǎn)〃在邊圈上，5平分N/CB若乃=a,CA=b,

\a=1,\b\=2,則而用a,6表示為.

trr2rrtr99

解析由角平分線性質(zhì)，得|/〃|=2|。6|,即/〃=鼻49,???切=。+力〃=力+不（4—6）=可日

o015

答案|a+|z>

5.（2011?上海卷改編）設(shè)4、4、4、4、4是空間中給定的5個不同點(diǎn)，則使該+疏+

.，就+.就+，麻=0成立的點(diǎn)M的個數(shù)為.

解析特殊化.若麻+加產(chǎn)0,則"是線44的中點(diǎn)；若赭+,麻+麻=0,則"是△444

的重心，由此可得滿足勃11+物2+,的：$+物1|+物5=0的點(diǎn)〃的個數(shù)是1.

答案1

042限時規(guī)范訓(xùn)練階梯訓(xùn)練啦

對應(yīng)學(xué)生

用書P291

分層訓(xùn)練A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練

（時間：30分鐘滿分：60分）

一、填空題（每小題5分，共30分）

1.（2012?淮安調(diào)研）設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a+46與一（6—2a）共線，則A

解析依題意知向量a+才6與2a—6共線，設(shè)a+46=A（2a—6）,則有（1—2衣）a+（〃

‘1—24=011

+4）6=0,所以|,人解得★=$，A~~o-

A+A=0zz

答案一

2.（2013?泰安模擬）設(shè)a、b是兩個不共線向量，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a—2b,若力、

B、〃三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)夕的值是.

解析因?yàn)榻?能+而=2a—6,又4、B、，三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)4，使誦=4應(yīng).

（2=2A,

即,：.p=~l.

一4，

答案T

3.在。4BCU中,點(diǎn)E、尸分別是必和況的中點(diǎn)，若就、=4癥+“荔

其中X,JJeR,貝IjA+p=_____.

解析如圖，設(shè)森=a,訕=b,則

AC=^+Aff=a+Af

~AF=BF=a+~Z?,

~AE—~AD+~DE=^a+b,所以亞+誦'=5(1+6)=/Z,

即於=,癥+|然所以4=〃=1,A+JJ=1.

答案1

4.在中，已知點(diǎn)〃為及7邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)—滿足以+弧存=0.淳=4為，則實(shí)數(shù)4

的值為.

解析如圖所示，由前三入百）,且西+麗蘇二0,則P為以AB、

A

4C為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)，因此力=—2力，則A

=-2.B/I。\

答案一2'、、'/'

、、，/

5.已知。是平面上一定點(diǎn)，4B,。是平面上不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)〃p

滿足尻應(yīng)+4（AB+AC）,4G[0,+8）,則動點(diǎn)尸的軌跡一定通過△｛比■的

心.

解析設(shè)〃是回邊中點(diǎn)，則通+花=2而，于是山條件得蘇三，花，即尸在中線所在直線

4〃上，所以0點(diǎn)軌跡必過△4T的重心.

答案重心

6.（2011?青島模擬）如圖所示，設(shè)。是內(nèi)部一點(diǎn)，且應(yīng)+2南

+20?=0,則△/}a'和△穴的面積之比為

解析以煙，0C為鄰邊作。6?%,0E交BC于D,如題圖，由已

知條件2應(yīng)+2亦=一而，則崩=2宓=4應(yīng)即羽=5應(yīng)因此

SAUIC14〃I_5

s△郎|近,

答案5：1

二、解答題（每小題15分，共30分）

7.如圖，在中，延長的到G使力。=胡，在/上取點(diǎn)〃

使女=；如.設(shè)應(yīng)=a,0B=b,用a,6表示向量。C,DC.

J

解充=應(yīng)計(jì)應(yīng)'=宓+2灑=應(yīng)+2（而一應(yīng)=2而一應(yīng)=2

2r25

—b,DrC=0Cr—0rD=0rC--0B—(2a—b)~7b=2a~^b.

ooo

8.如圖所示，在中，點(diǎn)〃是優(yōu)的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上,且加

=2NC,4"與即相交于點(diǎn)P,求在：掰的值.

解設(shè)BM=e,GV—e-,

則疝U應(yīng)'+扇=-3ft-ei,

前=2e、+m,因?yàn)?R"和8、P、、分別共線，所以存在人

〃eR,使其AAM=-4&-3才&,左〃旃-2〃。+故而=弧於（1+2〃）a

+（34+〃）金，

而加=比+萬=2&+3e2,

A「-15’

A+2〃=2,

所以3八+，=3,所以

3

所以屁，位所以於翔即心：*4：1.

分層訓(xùn)練B級創(chuàng)新能力提升

1.（2012?泰州模擬）如圖所示,在△力優(yōu)1中,已知點(diǎn)〃在AB邊

_-“A——A—?1",??

上，旦AX2DB,CD=~CAA-ACB,貝U』=.

o

解析因?yàn)殄晡魇?/p>

一2一一2,一―、

=CA-￥-AB=CA+-{CB—CA）

oo

1f9r2

—TCA+TCB,所以A--

O?Jo

2

答案3

2.（2012?鎮(zhèn)江調(diào)研）如圖所示，在△/優(yōu)1中，~BD=^DC,AE^A

若AB=a,AC=b,則朦=（用&b表示）.

解析BE=Wl+AE=&4+^Ab

=扇+,（誦+曲=加+|誦+|詼

=一（葩+,＞＜上比=誦+；（南+而

答案-

3.若點(diǎn)。是比所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|宓一龍1=I麗應(yīng)'—2而，則△4?。的形狀為

解析dB+0C-20A=dB-0A+0C-0A=7B+AC,OB-OC=CB=AB-AC,A)^+^|=|J5

-AC\.

故4B,C為矩形的三個頂點(diǎn)，為直角三角形.

答案直角三角形

4.若。是平面上一定點(diǎn)，A,B,，是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足宓=泊+

(——\

ABAC

A——+——AG[0,+8）,則點(diǎn)一的軌跡一定通過△/%的.心.

U而\AC\J

-?-?

解析如圖，設(shè)而=也，＞=—,以后就為鄰邊構(gòu)作。

I湎I而

AMDN,則。4"V是邊長為1的菱形，所以AD平分NBAC,于是

由蘇=4辦口動點(diǎn)P必過的內(nèi)心.

答案內(nèi)

5.已知點(diǎn)G是△/回的重心，"是4?邊的中點(diǎn).

(1)求應(yīng)+市+私

(2)若尸0過△460的重心G,且A4=a,0B=b,0P=ma,0Q=nb,求證：-+-=3.

mn

⑴解因?yàn)槎?為=2威又2密=一急所以而+市+詼=一赤F&?=0.

(2)證明因?yàn)閳鋈齡(a+b),且G是的重心，

r9r1

所以0G=W〃》=W(a+6).由RG,。三點(diǎn)共線，

OO

得瓦〃而，所以有且只有一個實(shí)數(shù)Af使瓦'=AGQ.

又詼=^_^=[(a+8)-/〃a=(；一,

~GQ=~0Q—~0G=nb—^(a+H)=-*+(〃-熱

所以?4+("一孤

fl*

§—"/=一[

又因?yàn)閍、b不共線，所以j

,小一

消去X，整理得3%〃=加+〃，故'+'=

=3.

mn

D,E分別是9/if

6.如圖所示，已知△力%的面積為14cm2,

>一

究上的點(diǎn)，目噂=培=2，求△4PC的面積

DBEC

解設(shè)/夕=a,BC=b,則荏DC=

所以存在力-----------、

因?yàn)辄c(diǎn)4P,￡和點(diǎn)〃P,。均三點(diǎn)共線，p-----B

rr2f龍=1〃a+

和〃，使得力?=4AE—4a+-4b,DP=〃

〃b.

\^=I+|A,

又因?yàn)檎b=乃+蘇2=(|+g〃)a+所以有<|2解得ATH=11

44X(L§=2(cm2),

所以見*=78械=7*14=8(cm),5k收=14：

故S^APC=-14—8—2=4(cm).

第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

0b抓住2個考慮必考必記夯基固本

對應(yīng)學(xué)生

用書P76

考點(diǎn)梳理

1.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

(1)平面向量基本定理

如果8,金是同一-平面內(nèi)的兩個不共線的向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量&有且

只有一對實(shí)數(shù)九，八2,使2=3&+力處.

其中，不共線的向量e”a叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

(2)平面向量的正交分解

一個平面向量用一組基底6,會表示成a=的形式，我們稱它為向量a的分

解.當(dāng)a,6所在直線互相垂直時，這種分解也稱為向量a的正交分解.

(3)平面向量的坐標(biāo)表示

對于向量&當(dāng)它的起點(diǎn)移至原點(diǎn)。時，其終點(diǎn)坐標(biāo)(x,力稱為向量a的坐標(biāo)，記作a=

(x,E.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算

向量aba+ba-b4a

(汨+「，(人一二，

坐標(biāo)（矛1,71）(期72)(，小，/I%)

力+度)力一④

(2)向量坐標(biāo)的求法

已知履小，yi),8(*2,%)，則誦=(及一72—y,),即一個向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)

的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,%),b=(,X2,㈤，其中6WO,

則a與方共線u>a=0枚=>為次一在“=0.

(4)平面向量垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,女)，

貝ijakb<=>a,6=0<=>乂e+.幾匕=0.

【助學(xué)?微博】

兩點(diǎn)注意

平面向量的基本定理是向量用坐標(biāo)表示的理論基礎(chǔ)，要特別注意兩點(diǎn)：一是兩個不共線的

向量才能作為基底；二是任意一個向量用基底表示時的唯一性.

一個考情分析

向量的基本運(yùn)算包括幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算.在高考中經(jīng)?？疾閮蓚€向量平行、垂直的坐標(biāo)

運(yùn)算；向量的幾何運(yùn)算主要利用向量的平行四邊形、三角形法則解題，關(guān)鍵是充分利用幾

何圖形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換和化簡，用已知向量表示出未知向量.

考點(diǎn)自測

1.已知ai+邑-]--Fa“=O,且a〃=(3,4),則a[+a2H-----—

解析ai+a.H-----a?-\=-a?=(-3,—4).

答案(一3,-4)

2.若向量a=(1,1),b=(-1,1)>c—(4,2),用a,b表示c,貝llc=

x—y—4,

解析設(shè)c=xa+y6,則，??c=3ab.

x+y=2,y=-l.

答案3a—b

3.(2012?南京一模)若向量a=(2,3),6=(x,-6),且@〃6,則實(shí)數(shù)x=.

解析a//b,；.2X(—6)—3Xx=0,x——4.

答案一4

4.設(shè)向量a=(L-3),6=(—2,4),若向量4a、3b-2a、c表示的有向線段首尾相接

能構(gòu)成三角形，則向量c=.

解析設(shè)c=(x,y),則4a+(3b—2a)+c=0,

.14—6—2+x=0,]x=4,

?1-12+12+6+y=0,"V=-6.

答案(4,-6)

5.(2012?揚(yáng)州中學(xué)質(zhì)檢三)已知G,G分別是△48G與44員C的重心，且襦就

=e2,C\Ci=&3->則GG=(用ei,ez,e?表示).

解析由44=46；+GG+G4=e/,①為合=3G+GG+G8=ez,②GG=GG+GiG+GC

=e3,③且G,G分別為與△力2氏C重心，即4G+3G+GG=0,&/I2+G員+GC=

①+②+③整理，G\&e2-\~63).

0,W-o

答案~(e；+&+ej

02?突破3個考向研析案例考向突破

對應(yīng)學(xué)生

用書P76

考向一平面向量基本定理的應(yīng)用

【例1】如圖所示，在△/優(yōu)中，〃為回上異于8,C的任一點(diǎn)，”為4/的中點(diǎn)，若劉仁

4葩+IJAC,貝lj4+〃=.

解析由屬〃，C三點(diǎn)共線，可令和x漉+(1-王)而又"是4〃的中點(diǎn)，所以疝三；萬/=

Jx港+1(1—x)而又^=4而+〃花所以4+〃=；x+;(l—x)=1.

乙乙乙乙乙

田d1

答案2

［方法總結(jié)］應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則

進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用.當(dāng)基底確定后,

任一響量的表示都是唯一的.

【訓(xùn)練1］如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起.若應(yīng)?="宿+y就；則x=

>/=■

解析

以"所在直線為x軸，以力為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，令4?=2,則成=(2,0),

應(yīng)‘=(0,2),過〃作"U/8交U的延長線于￡由已知得所=即=4,則蒞)=(2+，5,

"：~AD=xAB^-yAC,：.(2+^3,/)=(2x,2y).

=1+業(yè)

(2+m=2x,r2，

即有VL解得＜L

1^3=2y,_^3

V2

答案1+乎乎

考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例2】(2013?鹽城模擬)已知a,8是兩個不共線的非零向量.

⑴設(shè)為而tb(tQ0,龍；(

=a,==a+b),當(dāng)4B,C三點(diǎn)共線時，求t的值;

O

(2)

七

0D

如圖，若a—~OD,b=7)E,a與b夾角為120°,|a|=h|=l,點(diǎn)夕是以。為圓心的圓弧法

上一動點(diǎn)，設(shè)蘇=x^+y應(yīng)'(x,HR),求x+y的最大值.

解(1)由題意，可設(shè)y!B=kBC,

,得仍一〃=$+《一%,

將力〃=應(yīng)一以=tb~a,BC=OC—OB=~^a+代入上式:

解得Q—3,f=1.

⑵法一以。為原點(diǎn)，勿為x軸建立直角坐標(biāo)系，

則〃(1,。),舊,手)

設(shè)N/W=o(0W。則P(coso,sin。).

由OP=xOD+yOE,得cosa—x—^y,sina—斗y,

21

所以j=^sina,x—cos。+小sina,

所以x+y=cos4+/sina=2sin(。

又OWawg,故當(dāng)。=一■時，x+y的最大值為2.

<5J

法二設(shè)NAOAa(0WaW答)，由宓?應(yīng)=*應(yīng)?應(yīng)+y龐?應(yīng)，OP?OE^xOD-OE+

yOE-赤

2n

可得cosacos|

a=-5+y.

于是x+y=2cos

又OWoW等,故當(dāng)。=一~時，x+y的最大值為2.

OM

[方法總結(jié)]利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則，通過

列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要

注意向量的方向，不要寫錯坐標(biāo).

【訓(xùn)練2】(2012?常州第一學(xué)期期末考試)已知如xWR,向量a=(x,—而,b=(5

+1)x,x).

(1)當(dāng)勿>0時,若|a|〈|引，求X的取值范圍;

⑵若a?6>1—如對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求股的取值范圍.

解(1)\a\~~x+nf,b(?+l)'/+/,

因?yàn)閨a|〈㈤,所以a\X\b\2.

從而X<(Z7/+1)V+Y.

因?yàn)槲?gt;0,所以IM)%/，

解得點(diǎn)一$或>>-￡7.

m+1m+1

即X的取值范圍是(-8,+8).

(2)a?b=(zzz+1)/—/?x

由題意，得(加+l)f-zzzx>l一卯對任意的實(shí)數(shù)x恒成立,

即(///+1)x—mx+m-1>0對任意的實(shí)數(shù)x恒成立.

當(dāng)/zz+l=O,即加=—1時，，顯然不成立，

[/2/+1>0,

所以2.

[m—4/zH-1m—1<0.

解得,2m所以就邛^

而弋~或成—-卜，3

*5o

即0的取值范圍是圖，+8).

考向三平血向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算

【例3】(2012?無錫第一學(xué)期期末考試)期知a=(sina,sin￡),b=(cos(a—B),

ji

—1),c=(cos(a+￡),2),a,工.

(1)若力〃c,求tan”an￡的值；

(2)求a+b?c的值.

解(1)由b〃c,得2cos(。一￡)+cos(。+￡)=0,

所以2cos<7cos￡+2sinasin￡+cosocos￡-sinasin￡=0,

即3cosQCOS￡+sinsin￡=0.又a,￡#在兀十萬(〃￡2),

所以tanotan￡=一3.

(2)才+，?c=sin*a+sin'￡+cos(a—￡)cos(a+￡)—2

=sin2a+sin'^+cos2Qcos“￡—sir?asin2^—2

=sin2a(1—sin27?)+cos2acos2S+sin?￡—2

=(sin2a+cos2a)cos?￡+sir?￡—2

=cos2^+sin2^—2=1—2=—1.

［方法總結(jié)］在向量共線問題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用

坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù)方程求解其

中的參數(shù)值.

【訓(xùn)練3】(2012?南京二模)設(shè)向量a=(2,sin夕)，6=(1,cos夕)，。為銳角.

(1)若3?b=竽，求sin夕+cos，的值；

6

⑵若a〃6,求sin(2，+總的值.

13

他單(1)由a?b=2+sin?cos<^=—,

6

得sincos8=z

6

14

/.(sin0+cos3)2=l+2sin9cos夕=1+彳=W.

OO

又0為銳角，所以sin8+cos。=乎.

(2)山a〃5,得2cos。-sin0=0,所以tan8=2.

21

又，為銳角，所以sin。=詬，cos。=詬，

八八42八3

sin20=2sinOcos0=-cos20=2cos"0—\=

ofb

所以sin(2O+*)=sin2^co^+cos2夕sirr^-=gxJ—乎

\oJoo□Z□z1U

03JL揭秘3年高考權(quán)威解送真題展態(tài)

對應(yīng)學(xué)生

用書P78

熱點(diǎn)突破14利用平面向量基本定理解題的技法

縱觀近幾年的高考試題，高頻考點(diǎn)的主要考查內(nèi)容為平面向量基本定理，以平面圖形為載

體，考查向量的平行四邊形法則和向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算.試題難度較大.

【示例】

如圖，平面內(nèi)有三個向量應(yīng)，OB,0C,其中而與應(yīng)的夾角為120°,而與應(yīng)的夾角為30。，

￡L\OA\=\0B=1,|應(yīng)'|=2m，若應(yīng)'=4而+“宓(4，uSR),貝IJ才+”的值為

［審題與轉(zhuǎn)化］第一步：構(gòu)造以宏為對角線的平行四邊形，利用平面向量基本定理解題

或以。為原點(diǎn)，物為入軸建系，利用坐標(biāo)法求解.

［規(guī)范解答］第二步:

法一如圖，應(yīng)三函+就，|宓|=2,|而11=|就|=4,：.OC^4OA+2OB.

.?.4+〃=6.

法二以。為原點(diǎn)，的為入軸建立直角坐標(biāo)系，則4(1,0),以2m(；0S30°,2#5打30°),

5(cos1200,sin1200).

即4(1,0),C(3,回彳一/g),

A=3,

〃=2,

由龍'=A0A+u0B,得＜.,*久+〃=6.

4=4,

12

［反思與回顧］第三步：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化，將數(shù)與形密切結(jié)

合起來，使很多幾何問題的解決轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算，解題中要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

高考經(jīng)典題組訓(xùn)練

1.(2012?廣東卷)若向量切=(2,3),方=(4,7),則瓦=

解析瓦:=血+左=加一近=(一2,-4).

答案(一2,-4)

2.(2012?重慶卷改編)設(shè)x,yGR,向量a=(x,1),b=(1,y),

c=(2,—4),且a_Lc,b//c,則a+b=.

a_Lc,2x-4=0,

解析山得所以a=(2,1),

b//c,2y+4=0,

b=(1,—2),a+b=(3,—1),故|a+b|=〈lb.

答案Vio

3.(2011?廣東卷改編)已知向量a=(1,2),6=(1,0),c=(3,4),若A為實(shí)數(shù)，(a+

4b)〃c,貝ij4=.

解析a+46=(1+X,2),于是由(a+4a)〃c,

得(1+4)X4—3X2=0,解得A=1.

自1

答案2

4.(2012?安徽卷改編)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。(0,0),0(6,8),將向量原繞點(diǎn)。按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)T后得向量力則點(diǎn)。的坐標(biāo)是

解析山題意，得I蘇1=10,由三角函數(shù)定義，設(shè)2點(diǎn)坐標(biāo)為(lOcose,lOsine),則

cos'=|，sin"=3，則0點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為(10cos(-)，10sin(由三角

知識得

10cos(0+^~^=—7^/2,lOsinf。+年

；.0(-7一回

答案(-7/，-y/2)

5.(2009?天津卷)在四邊形45G9中，為=應(yīng)、=(1,1),△-瓦H■—二瓦:="工質(zhì)，則四

|而||反1\'BD\

邊形4%力的面積為

AB

解析由荔=虎=(1,1)知4?統(tǒng)":

又」-瓦1+」一瓦=逆-麗知四邊形49繆為菱形，月一

|瓦H\'BC\\BD\

乂.(|麗\BC\.3,

.?.NA?C=60°,Bg乖,：.ZBAJ^120Q.

故sinNBAD—,，Si，q邊彩

答案y/s

N上限時規(guī)范如練階梯訓(xùn)練熊力提在

對應(yīng)學(xué)生

用書P293

分層訓(xùn)練A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練

(時間：30分鐘滿分：60分)

一、填空題(每小題5分，共30分)

1.在口力靦中，若祛=(1,3),就'=(2,5),則旌,礪=.

解析葩=瓦=左一宓=(1,2),瓦H乃一荔二(0,-1).

答案(1,2)(0,-1)

2.(2012?揭陽一模)已知a=(1,2),6=(—1,1),若a,(a—，"),則實(shí)數(shù)4=.

解析由a—46=(1+4，2—/)與a=(1,2)垂直，得1+乂+2(2—1)=0,解得八

=5.

答案5

3.在△4%中，a,b,c為內(nèi)角4B,。的對邊，向量卬=(1,4)與〃=(cosA,sinA)

平行，且acosB+bcos1=csinC,則角B=.

解析由"與〃平行，得y[3cosJ—sinJ=0,

所以tanA=yfs,力=彳.又由acosB+bcosA=csinC,

得sinC=l9所以〃=看.

答案T

6

4.已知4(7,1)、以1,4),直線y=；ax與線段四交于C,且應(yīng)'=2CB,則實(shí)數(shù)a=——.

解析設(shè)C(x,力，則47=(x—7,y—1),CB=(1—x,4—y),

x~l=21—X,x=3,1

?.?能=2宓解得，C(3,3).又,：C在直線y=-ax

y-l=24—y，7=3./

,1

上,3*3,**?^=2.

答案2

5.如圖，在四邊形力及力中，16=242=1,4C=小,且看,

""，設(shè)位'=，~AB-\-u~AD,則4+“=

解析建立直角坐標(biāo)系如圖，則由左=/