1月大數(shù)據(jù)模擬卷02（廣東專用）（解析版）高中數(shù)學(xué)

1月大數(shù)據(jù)精選模擬卷02（廣東專用）

數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z=l-i,510|----1=(）

A.萬B.2C.272D.4

【答案】A

【詳解】

小1mz\—i—i~—i.

由z=1-i，仔----=----=-------=-1-i,

1-zii

則導(dǎo)=卜1一力=J(T)2+(-1)2=6,故選：A.

1-Z

2.設(shè)集合“=卜12—3x—4<0卜^={x||x|<l},則McN等于()

A.(-1,1]B.[-1,1)C.[0,1)D.(0,1]

【答案】A

【詳解】

因?yàn)镸=1x|x2-3x-4<oj=|x|(x-4)(x+l)<o|=1x|-l<x<4j,

N=卜料<1}=1x|-l<x<l|,

所以McN=(—1,1].

3.在△ABC中，點(diǎn)尸為AC中點(diǎn)，點(diǎn)。在上，且而=3反，則麗=()

1一1一1一1——

A.-AB+-ACB.一一AB--AC

4444

C.-AB--ACD.--AB+-AC

4444

【答案】B

【詳解】

1

?.?點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，，=

2

?.?赤=3反，.?麗-麗=3（。呵，

.?.AD=-AB+-AC,

44

DP=AP-AD=-AC--AB--AC=--AB--AC,

24444

4.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為160,則。的值為（）

IX）

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【詳解】

、6

展開式的通項(xiàng)公式為CT=C；(GC)6T=。；尸(_1)，產(chǎn)2『

ax——7

令6—2r=0,解得廠=3,

所以Tr+y=C；*-3（_1）3=160,解得a=—2.

5.函數(shù)/"）=4（2'-2'）的圖象大致為（）

丁+/

【答案】B

【詳解】

/0=4（2-2'）的定義域?yàn)?

{X|XHO}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

X4+A?-4

2

4(2^-2v)-4(2v-2-x)

因?yàn)?(—X)=~f(x),所以/(%)是奇函數(shù),

44-4

(r)+(r)X+X

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除AC,

由/⑴=排除選項(xiàng)D,所以選項(xiàng)B正確,

1+1

6.已知〃<，〃<0,則下列不等式正確的是(

11

A.—<—B.m2>n2

nm

n

C.log“(-m)>log.(f)(0<a<1)D.]_

3

【答案】C

【詳解】

由〃VV0,

得工〉,，故A錯(cuò)誤;

nm

m2<n2,故B錯(cuò)誤;

-n>-m>0，

又利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知:

函數(shù)/(x)=log“x單調(diào)遞減,

所以log“(-m)>logo(-ri),故C正確;

g(x)=K、

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知:單調(diào)遞減,

7

所以(g)，故口錯(cuò)誤.

7.已知拋物線C：產(chǎn)=2/7無(〃>0)的焦點(diǎn)為77,準(zhǔn)線為/,過尸的直線交拋物線于4，B兩點(diǎn)，作AM_U,

BN上l,垂足分別為M，N,若pV困=4,加F|=殍，則|AB|=()

1016

A.—B.4C.5D.—

33

【答案】D

【詳解】

3

解：如圖所不,

由題意知：/：x=—g,

設(shè)A（x.，X）,3（/,必），直線AB：x=my+-^,

則N（_5，y2），

丁=2Px

由VP，

x=my——

1?2

得：y2-2pmy-p2=0,

「?X+%=2p根，y%=一〃2，

...\MFf=/+y2=16,|阿=p2+￡號(hào)，

04=（16"）仁一P1,

解得：P=2,

設(shè)拋物線準(zhǔn)線/交x軸于K,

217T

貝ij|KF|=〃=2,在中，可得cos/M/K=z=Q，ZMFK=-

是等邊三角形,

?，?tn=―—=4G

嗚…+”亍

4

16

|A5|=x,+x+p=m(y+%)+2p=

2T

8.在數(shù)列｛/｝中，如果存在非零的常數(shù)T,使得％+7=%對(duì)于任意正整數(shù)”均成立，那么就稱數(shù)列｛%｝為

周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列｛《,｝的周期.己知數(shù)列｛%｝滿足七“2=區(qū)用一x"|(x”eN),若玉=1,x,>l,

Z=l,毛=縱。7°)，當(dāng)數(shù)列｛七｝除去前三項(xiàng)之外的周期為3時(shí)，則數(shù)列｛當(dāng)｝的前2020項(xiàng)的和S2020為

()

A.673B.678C.1350D.1351

【答案】D

【詳解】

：%+2=氏+1—x,,|(x”GN),且｛七｝除去前三項(xiàng)之外的周期為3,

:.x6=|x5-x4|=|a-l|,x7=x4=1,

'.■Xy=|x6-x5|,Hpi=||a-l|-?|,可得即aNl,；.X6=aT，

?/xs=x5=a,且七=|七一玉,|，即,解得a=l,

七=1,vx5=|x4-x3\,x,>1,X3=2,

一「4=后一回即<1=3一司

可得=3，

x3-|x2-x]\'2=\X2-1|

S2020

則=玉+9+&+672(X4+/+x6)+x4

=1+3+2+672(1+1+0)+1=1351.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得。分.

9.空氣質(zhì)量指數(shù)AQ/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQ/指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如

表:

AQI指數(shù)值0~5051-100101-150151~200201-300>300

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

如圖是某市12月1日?20日AQ/指數(shù)變化趨勢(shì)，則下列敘述正確的是()

5

A.這20天中AQ/指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占工

3

C.該市12月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越好

D.總體來說，該市12月，上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

【答案】AD

【詳解】

對(duì)A：將這20天的數(shù)據(jù)從小到大排序后，第10個(gè)數(shù)據(jù)略小于100,

第11個(gè)數(shù)據(jù)約為120,因?yàn)橹形粩?shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故中位數(shù)略高于100是正確的，故A正確:

對(duì)B：這20天中，AQ/指數(shù)大于150的有5天，故中度污染及以上的天數(shù)占工，故B錯(cuò)誤；

4

對(duì)C：由折線圖可知，前5天空氣質(zhì)量越來越好，從6H開始至15II越來越差，故C錯(cuò)誤；

對(duì)由折線圖可知，上旬大部分AQ/指數(shù)在100以下，中旬AQ/指數(shù)大部分在100以匕故上旬空氣

質(zhì)量比中旬的要好.故D正確.

10.若a>0力>0,a+b=2,則下列不等式恒成立的有（）

A.ah<\B.4a+4b<42

2221

C.a+h>2D.—a"F—b>2

【答案】ACD

【詳解】

解：對(duì)于A,由基本不等式得，2=。+。22而則。6勺1，故A正確；

對(duì)J,B,令a=1,。=1時(shí)，Y[Q+，故+\[b<A/2不成'/->故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由A選項(xiàng)得所以/+/=3+加2-2。。=4-2次;22,故C正確;

21\

--

對(duì)于D,根據(jù)基本不等式的“1”的用法得人

。7

6

=2d1+y-j>—42>/2=—+y/2>2,故D正確；

221ab)222

11.已知函數(shù)/(x)=bin尤一cosx|(sinx+cosx),xeR,則()

A./(x)在上單調(diào)遞增

B./(x)是周期函數(shù)，且周期為2兀

C./(x)有對(duì)稱軸

D.函數(shù)g(x)=〃X)+1在(-71,71)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

【答案】BCD

【詳解】

(454)

當(dāng)sinx>cosx時(shí)即［彳+2攵乃,-^-+2%乃J(左cZ),

/(x)=|sinx-cosx|(sinx+cosx)=(sinx-cosx)(sinx+cosx)

=sin2x-cos2x=-cos2x

3兀兀

當(dāng)sinxKcosx時(shí)即x￡----卜2k7i,—F2k7i(ZwZ),

_44J

/(x)=|sinx-cosx|(sinx+cosx)=(cosx-sinx)(sinx+cosx)

=cos2x-sin2x=cos2x，

_TC_,54_.

-cos2x,—h2kjv<x<---h2kji

所以/(X)=,?4(AeZ),

37r

cos2x,----F2k7r<x<——F22萬

44

作出/(x)圖象，如圖

7

如圖在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A不正確；

/（%）是周期函數(shù)，且周期為2兀，故選項(xiàng)B正確；

/（X）有對(duì)稱軸，為x=：+E（keZ）,故選項(xiàng)C正確；

函數(shù)g（x）=/（x）+l在（-兀,兀）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，為兀，故選項(xiàng)D正確，

12.（多選）如圖，在正方體A8CO-中，A〃_L平面ABQ口垂足為“，則下面結(jié)論正確的

是（）

A.直線4"與該正方體各棱所成角相等

B.直線A”與該正方體各面所成角相等

C.垂直于直線4口的平面截該正方體，所得截面可能為五邊形

D.過直線A"的平面截該正方體所得截面為平行四邊形

【答案】ABD

【詳解】

8

連接4C,根據(jù)正方體的體對(duì)角線與面對(duì)角線垂直，可得AC_LA旦，A.CLAD,即AC，平面ABQI,

所以直線4”與直線4c重:合，

對(duì)于選項(xiàng)A：直線AC與該正方體各棱所成角相等，均為arctana，所以直線A"與該正方體各棱所成

角相等，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)橹本€4c與該正方體各面所成角相等，均為arctan^Z，即直線A”與該正方體各面所

2

成角相等，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：垂直于直線4"的平面與平面Agq平行，截正方體45CO-A/iGR所得截面為三角形

或六邊形，故選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：過直線4C的平面截該正方體所得截面為％ACG為矩形，即過直線A"的平面截該正方體

所得截面為平行四邊形，故選項(xiàng)D正確.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線y=sinx+2cosx在點(diǎn)（下,一2）處的切線方程為.

【答案】x+y+2-〃=0

【詳解】

由y=sinx+2cos%得y'=cosx—2sinx,

則曲線y=sinx+2cosx在點(diǎn)（不，一2）處的切線斜率為左=/仁"=cos萬一2sin乃=一1,

因此所求切線方程為y+2=—（x—萬），即x+y+2—萬=（）.

14.已知平面向量工5滿足同=1,W=2,且（M—X）_L萬，則2與5的夾角為.

7[

【答案】-

3

【詳解】

:.[a-bya=a~-ab=|?|2-|?|-|^|cos<J,^>=l-2cos<萬,5>=0,

—?]—?ri

cos<a,b>=—,又<M,/?>c[0,4],，<%/?>=一,即日與5的夾角為一.

2L」33

15.2020年初,湖北成為全國新冠疫情最嚴(yán)重的省份,面臨醫(yī)務(wù)人員不足,醫(yī)療物資緊缺等諸多困難,全國人

9

民心系湖北,志愿者紛紛馳援.若某醫(yī)療團(tuán)隊(duì)從甲，乙，丙，丁4名醫(yī)生志愿者中，隨機(jī)選取2名醫(yī)生赴湖北支

援,則甲被選中的概率為.

【答案】4

【詳解】

解：某醫(yī)療團(tuán)隊(duì)從甲，乙，丙，丁4名醫(yī)生志愿者中，隨機(jī)選取2名醫(yī)生赴湖北支援，

基本事件有（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。?，（乙，丙），（乙，丁），（丙，?。┕?個(gè).

甲被選中包含的基本事件有（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。┕?個(gè)，

31

甲被選中的概率為P~~2~~■

16.設(shè)拋物線y2=2px（〃>0）的焦點(diǎn)為尸（1,0）,準(zhǔn)線為/,過焦點(diǎn)的直線交拋物線于A6兩點(diǎn)，分別過

A6作/的垂線，垂足為C,。，若耳=4忸耳，則尸的面積為.

25

【答案】-5

4

【詳解】

解：拋物線），2=2a（〃>0）的焦點(diǎn)為尸（1,0）,所以，=1,所以，=2,

如圖所示，過點(diǎn)8作8M/〃，交直線AC于點(diǎn)

由拋物線的定義知|AFblAC\BF\=]BD\,且|AR|=4|3R|,

所以|AB|=5|BF|,

3

所以MM=g|AB|,怛陷=4怛目，

可知：ZAFx^ZBAM,

BM4

所以直線AB的斜率為k=tanNBAM=——=

AM3

4

設(shè)直線A8的方程為y=1（x-l），點(diǎn)A。，yj,B（X2,%）,

4,八

y——（x-1）17

由「3,消去y整理得4/—17X+4=0,所以西+々=一，

.lx4

25

所以|AB|=巷+X）+p=—,

4

10

254

所以|CD|=|AB\sinZBAM=-x-=5,

所以△CD廠的面積為，x5x2=5,

2

25

故答案為：號(hào),5.

4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①acosB=Z?sinA,②k十及ac=a2+片，③sinB+cos8=后這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

在下面的問題中，并解決該問題.

問題：已知AABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,△ABC的面積為2,a=2,求b.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【詳解】

若選擇①acos3=bsinA,由正弦定理得sinAcosB=sinBsin4.

因?yàn)閟inA#0,所以cos3=sin8，tanB=1.

因?yàn)锽e(O,7i),所以8=1.

S.ABc=；acsinB=2，

因?yàn)閍=2,sin8=—>所以c=2\/2.

由余弦定理得〃=a2+c2=2accosB=4+8-8&x』l=4，

2

所以b=2.

II

若選擇②b2+缶c="+c,2,由余弦定理cosB=.

2ac2

因?yàn)锽e（0,7i）,所以8=?.

SAABC=gacsin8=2,

因?yàn)閍=2,sinB=2,所以C=2J5.

2

由余弦定理得b2=a2+c2=2accos8=4+8-872x—=4.

2

所以匕=2.

若選擇③sinB+cosB=血，由和角公式得血5皿（8+弓）=血，

所以sin（8+；]=l.

因?yàn)锽e（O,兀），則8+

ITIT7T

所以8+—=一，所以8=—.

424

SJBC=gacsin8=2,

因?yàn)閍=2，sinB=—,所以°=2夜.

2

由余弦定理得〃=〃+/=2accos8=4+8—8及xl=4，

2

所以b=2.

18.已知數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S"=加J"，數(shù)列｛bg3與｝是公差為一1的等差數(shù)列，4=L

(1)求數(shù)列｛4｝,｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)c“=%”+]+b2n+｝,求數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和Tn.

【詳解】

12

31一〃/曰S],a=1

（1）由s“得見

S,,-Sn_i,n>2

c3-1.

當(dāng)〃=1時(shí),G=E=-y-=1，

當(dāng)〃22時(shí),an=S“一S_=3〃_2,所以〃=1滿足〃22時(shí)的情況,

n]22

所以4=3〃-2,

因?yàn)閘ogsd=log,Z?!-=l—〃，所以a=3「"

(2)因?yàn)?=%用+與用=3(2〃+1)—2+A。"叫=6〃+1+(J

1

所以<=(7+6〃+1)〃?§二，所以=3/+4〃+:11I

9"

19.如圖所示，四棱錐S—ABCD中，AB//CD,AD±DC，CD=2AD=2AB=4,SA=SB=SD=^-

（1）求證：8C_L平面S8D；

（2）若點(diǎn)M是線段SC上的動(dòng)點(diǎn)，平面與平面S3。所成銳二面角的余弦值為叵，求40.

29

【詳解】

解：(1)證明：因?yàn)锳B〃C￡>,AD±DC，AB=AD=2^

所以BD=26，BC=2丘，

乂因?yàn)镃D=4,所以。。2=3。2+3。2,

故BCLBD,

取的中點(diǎn)。，連接。4，OS,

13

因?yàn)镾A=SB=S￡>=指，

所以SO,80,ASOB冬ASOA,

所以S0_LQ4,

因?yàn)镺AnOB=O,所以SO,平面ABCD，

所以BCLSO，

又因?yàn)镾OcBD=O,所以3CL平面S8D.

(2)如圖，以A為原點(diǎn)，分別以A。，和垂直平面A8CO的方向

為》,)，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

X

則A（0，0,0）,8（0,2,0）,C（2,4,0）,。（2,0,0）,S（l.1,2）,

設(shè)西=）無（0W2W1）,則“（2-44-3/1,24）,

由（1）得平面S3。的一個(gè)法向量為萬心=（2,2,0）,

設(shè)n-（x,y,z）為平面ABM的一個(gè)法向量，

A8=（0,2,0）,血=（2-;1,4-3424）

n-AB=0,

由V

[ii-AM=0,

12y=0,

得4

[（2-/l）x+（4-32）y+2/lz=0,

不妨取方=（220,>1-2）.

設(shè)平面SBD與平面ABM所成的二面角為。，

▼,八ri-BC4A

所以c°E麗=2&a儲(chǔ)+（"2）2

14

立I病

，522—42+4129

整體得6萬+4—1=0,解得4=』或/1=—,（舍去）,

32

所以而=（g,3,g）,麗=后+9+[=當(dāng)^.

20.為落實(shí)十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對(duì)市場(chǎng)上兩種設(shè)備的使用壽命進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，隨

機(jī)抽取A型和8型設(shè)備各100臺(tái)，得到如下頻率分布直方圖:

（1）將使用壽命超過2500小時(shí)和不超過2500小時(shí)的臺(tái)數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過2500小時(shí)不超過2500小時(shí)總計(jì)

A型

8型

總計(jì)

根據(jù)上面的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時(shí)與型號(hào)有關(guān)？

（2）用分層抽樣的方法從不超過2500小時(shí)A型和B型設(shè)備中抽取8臺(tái)，再從這8臺(tái)設(shè)備中隨機(jī)抽取3臺(tái),

其中A型設(shè)備為X臺(tái)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望:

（3）已知用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)有一項(xiàng)工作需要10臺(tái)同型號(hào)設(shè)備同時(shí)工作2500小時(shí)才能完成，工作期間設(shè)

備損壞立即更換同型號(hào)設(shè)備（更換設(shè)備時(shí)間忽略不計(jì)）,4型和B型設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為1萬元和0.6萬元，

A型和B型設(shè)備每臺(tái)每小時(shí)耗電分別為2度和6度，電價(jià)為0.75元/度.只考慮設(shè)備的成本和電費(fèi)，你認(rèn)為應(yīng)

選擇哪種型號(hào)的設(shè)備，請(qǐng)說明理由.

15

n^ad-bey

參考公式：K2,n-a+b+c+d-

(a+b)(c+d)(a+c)(Z>+d)

參考數(shù)據(jù):

P(K”)0.0500.0100.001

攵03.8416.63510.828

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時(shí)的有100x(0.()(X)6+0.(X)05+().(X)03)x500=70臺(tái),

則A型不超過2500小時(shí)的有30臺(tái)，同理，8型超過250()小時(shí)的有

100x(0.(X)06+().(X)()3+0.0001)x500=5()臺(tái)，則8型不超過2500小時(shí)的有50臺(tái).

列聯(lián)表如下:

超過2500小時(shí)不超過2500小時(shí)總計(jì)

A型7030100

8型5050100

總計(jì)12080200

因?yàn)?-200x(70x50-30x50)2

?8.333>6.635，

-100x100x120x80

所以有99%的把握認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時(shí)與型號(hào)有關(guān).

(2)由(I)和分層抽樣的定義可知A型設(shè)備有3臺(tái)，8型設(shè)備有5臺(tái),

所以X的取值可能為0，1,2,3,

P")年嘖唳=1)罕。

21

P(X=2)=與CC—15，P(X=3)=VL」i

'，C；56'7Cl56

所以X的分布列為

X0123

16

515151

P

28285656

所以E（X）=Ox上+lx"+2x"+3X-L=2.

\）282856568

（3）由頻率分布直方圖中的頻率估計(jì)概率知：

A型設(shè)備每臺(tái)更換的概率為0.3,所以10臺(tái)A型設(shè)備估計(jì)要更換3臺(tái)；

B型設(shè)備每臺(tái)更換的概率為0.5,所以10臺(tái)B型設(shè)備估計(jì)要更換5臺(tái)，

選擇A型設(shè)備的總費(fèi)用y=（10+3）xl+10x2x0.75x2500xl（r*=16.75（萬元），

選擇8型設(shè)備的總費(fèi)用%=（10+5）x0.6+10x6x0.75x2500x1（）7=20.25（萬元），

所以選擇A型設(shè)備.

21.已知橢圓C：二+4=1（。＞力＞（））的焦距為2百，過左頂點(diǎn)且斜率為巫的直線和以橢圓的右頂

a2b215

點(diǎn)A為圓心，短半軸為半徑的圓相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線AM和AN,分別交橢圓。于M，N兩點(diǎn)，問X軸上是否存在一

定點(diǎn)。，使得NMQA=NNQA成立，若存在，則求出該定點(diǎn)。，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【詳解】

（1）設(shè)右焦點(diǎn)（。,0），右頂點(diǎn)A（a,0）,

因?yàn)?c=26，所以c=＞/3，

因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)（一a,。），

故直線方程為y="5（x+a）,即x-JFy+a=0,

a+a,,3

由題導(dǎo)知7~二=b,~-h-=3>

Vl+15a

解得。=2,b=T,

所以橢圓的方程為工+尸=1.

4-

（2）由（1）可知右頂點(diǎn)A（2,0）,且過點(diǎn)A的直線AM和AN的斜率存在且不為0,

17

設(shè)直線AM和AN的方程分別為y=H%-2)和y=—￡(x—2),設(shè)N(x,y),

KNN

y=k^x-2)

聯(lián)立《2,得(1+4/)*2一16及2%+16公一4=0,

二r+>2=1

14

因?yàn)橹本€AM和橢圓C交于A，M兩點(diǎn),

16公一48P-2

所以2與