蘇教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《正方形》（基礎(chǔ)+提高）鞏固練習(xí)+知識(shí)講解

【鞏固練習(xí)】

一.選擇題

1.正方形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

2.（2015?漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.四條邊相等B.對(duì)角線互相垂直平分

C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線相等

3.如圖，正方形八1^口的邊長(zhǎng)為4。團(tuán)，則圖中陰影部分的面積為（）c〃，.

A.6B.8C.16D.不能確定

4.在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點(diǎn)E、F、G、H.這樣得到的四邊形EFGI1

中，是正方形的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.無(wú)窮多個(gè)

5.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E,使ME=MC,以

DE為邊作正方形DEFG,點(diǎn)G在邊CD上，則DG的長(zhǎng)為（）

A.>/3-1B.3-y/sC.y/5+1D.■s/s-1

6.（2016?揚(yáng)州二模）如圖，在正方形ABCD中,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，NEAF=45°,

△ECF的周長(zhǎng)為4,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（）

二.填空題

7.若正方形的邊長(zhǎng)為則其對(duì)角線長(zhǎng)為,若正方形ACEF的邊是正方形ABCD的對(duì)

角線，則正方形ACEF與正方形ABCD的面積之比等于__.

8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,若不增加任何

字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是.

9.如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把AABC沿著AD方向平移,

得到△A'B'C,若兩個(gè)三角形重疊部分的面積是1cm2,則它移動(dòng)的距離AA等于

10.（2016春邛日泉期中）李燕在商場(chǎng)里看到一條很漂亮的絲巾，非常想買(mǎi).但她拿起來(lái)看

時(shí)感覺(jué)絲巾不太方.商店老板看她猶豫不決的樣子，馬上過(guò)來(lái)拉起一組對(duì)角，讓李燕看

另一組對(duì)角是否對(duì)齊（如圖所示）.李燕還有些疑惑，老板又拉起另一組對(duì)角讓李燕檢

驗(yàn).李燕終于買(mǎi)下這塊紗巾.你認(rèn)為李燕買(mǎi)的這塊紗巾是正方形的嗎？（填是或

否）.

11.如圖.邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)45°,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是.

D\~

R'

12.（2015?長(zhǎng)春）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上.若AABE的面積為8,CE=3,則線

段BE的長(zhǎng)為.

三.解答題

13.已知：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、M、N分別在AB、BC、AD邊上，CE=MN,

/MCE=35°,求/ANM的度數(shù).

14.（2015?鐵力市二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),PELBC于點(diǎn)E；PF±CD

于點(diǎn)F,連接EF,給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②APLEF；③/PFE=NBAP；④PD=EC；

⑤PB'+PD'ZPA:正確的有幾個(gè)？.

15.如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后，得到正方形EFCG,EF

交AD于H,求DH的長(zhǎng).

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】D；

【解析】正方形的對(duì)稱軸是兩對(duì)角線所在的直線，兩對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線，對(duì)稱軸共4

條.

2.【答案】D；

【解析】正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線互相垂直平分且

相等，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分

一組對(duì)角；

因此正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對(duì)角線相等；故選：D.

3.【答案】B；

【解析】陰影部分面積為正方形面積的一半.

4.【答案】D；

【解析】在正方形四邊上任意取點(diǎn)E、F、G、H,AII=DG=CF=BE,能證明四邊形EFGH為

正方形，則說(shuō)明可以得到無(wú)窮個(gè)正方形.

5.【答案】D；

【解析】利用勾股定理求出CM=即ME的長(zhǎng)，有DM=DE,所以可以求出DE=6-1,

進(jìn)而得到DG的長(zhǎng).

6.【答案】A；

【解析】解：將ADAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到aBAF'位置，

由題意可得出：ZXDAF絲z^BAF',

.,.DF=BF',NDAF=/BAF',

AZEAFZ=45°,

在4FAE和△EAF，中，

'AF=AF'

<NFAE=NEAF'，

AE=AE

.,.△FAE^AEAF,(SAS),

.?.EF=EF',

VAECF的周長(zhǎng)為4,

.?.EF+EC+FC=FC+CE+EF,=FC+BC+BF,=DF+FC+BC=4,

；.2BC=4,

；.BC=2.

故選A.

DF

45°

二.填空題

7.【答案】41a,2：1；

【解析】正方形ACEF與正方形ABCD的邊長(zhǎng)之比為血：1.

8.【答案】AC=BD或AB_LBC；

【解析】I?在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA.^.四邊形ABCD是菱形.?.要使四邊形ABCD

是正方形，則還需增加一個(gè)條件是AC=BD或AB_LBC.

9.【答案】1;

【解析】移動(dòng)距離為3'C=x,重疊部分面積為CEXB'C=\,所以x（2—x）=l,得

X—1)2=0,所以x=l.

10.【答案】否;

【解析】解：根據(jù)老板的方法，只能說(shuō)明這塊紗巾的兩組對(duì)角分別相等，四條邊都相等,

也就是說(shuō)紗巾的兩條對(duì)角線是對(duì)稱軸，這只能保證紗巾是菱形，并不能保證它

是正方形.因?yàn)檎叫蔚膶?duì)稱軸共有四條，除了兩條對(duì)角線外，還有兩條是對(duì)

邊中點(diǎn)的連線.所以只要拉起一組對(duì)邊的中點(diǎn)將紗巾對(duì)折，看另一組對(duì)邊是否

重合（圖②）.若另一組對(duì)邊不能重合，那么此紗布不是正方形；若另一組對(duì)邊

能重合，那么此紗布一定是正方形.

故答案為：否.

②

①

11.【答案】V2-1；

【解析】D'E=D'C=41-\,重疊部分面積為2xgxlx（后—1）=啦—1.

12.【答案】5；

【解析】解：過(guò)E作EMLAB于M,

???四邊形ABCD是正方形，

.\AD=BC=CD=AB,

/.EM=AD,BM=CE,

VAABE的面積為8,

.\1XABXEM=8,

2

解得:EM=4,

即AD=DC=BC=AB=4,

VCE=3,

由勾股定理得：BE=^42+3

故答案為：5.

三.解答題

13?【解析】

解：作NF_LBC于F.

VABCD是正方形，

；.CD=BC=FN

則在RtABEC和RtAFMN中,NB=NNFM=90°,

.CE=MN

BC=FN

ARtABEC^RtAFMN

，ZMNF=ZMCE=35°

.../ANM=90°-/MNF=55°

14.【解析】

解：①正確,連接PC,可得POEF,PC=PA,/.AP=EF；

②正確；延長(zhǎng)AP,交EF于點(diǎn)N,則NEPN=/BAP=/PCE=/PFE,可得AP_LEF；

③正確；ZPFE=ZPCE=ZBAP；

④錯(cuò)誤，PD=J^PF=&CE；⑤正確，PB2+PD=2PA2.

所以正確的有3個(gè)：①②③.

15.【解析】

解：如圖，連接CH,

正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°,

.,.ZBCF=30°,則NDCF=60°,

在RtZ\CDH和RtACFH中，

CHCH

CD=CF

/.RtACDH^RtACFH,

AZDCH=ZFCH=-ZDCF=30°,

2

在RtZ\CDH中，DH=x,CH=2x,CD=\5x=3,

；.DH=G

正方形（基礎(chǔ)）

責(zé)編：杜少波

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；

2.掌握正方形的性質(zhì)及判定方法.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、正方形的定義

四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

要點(diǎn)詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形,

更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.

要點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)

正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

1.邊一一四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；

2.角一一四個(gè)角都是直角；

3.對(duì)角線一一①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.

要點(diǎn)詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四

個(gè)等腰直角三角形.

要點(diǎn)三、正方形的判定

正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是

直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互

相垂直（即菱形）.

要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系

類型一、正方形的性質(zhì)

C1、（2015?揚(yáng)州校級(jí)-模）如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂

點(diǎn)E、F分別在BC和CD上.下列結(jié)論：①CE=CF；②/AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方.

.??=2+V3.其中正確的個(gè)數(shù)為（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及

三角形內(nèi)角和為1800判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)可以判斷③的正誤，利用

解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷④的正誤.

【答案】C.

【解析】

解：...四邊形ABCD是正方形，

，AB=AD,

「△AEF是等邊三角形，

.*.AE=AF,

在RSABE和RSADF中，

[AB=AD,

lAE=AF，

ARtAABE^RtAADF(HL),

；.BE=DF,

VBC=DC,

ABC-BE=CD-DF,

；.CE=CF,

???①說(shuō)法正確；

VCE=CF,

??.△ECF是等腰直角三角形，

，NCEF=45°,

VZAEF=60°,

，NAEB=75°,

???②說(shuō)法正確；

如圖，連接AC,交EF于G點(diǎn)，

Z.ACIEF,且AC平分EF,

VZCAF^ZDAF,

；.DF邦G,

.?.BE+DFWEF,

③說(shuō)法錯(cuò)誤；

VEF=2,

.*.CE=CF=V2>

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,

在RtZ\ADF中，

a2+(a-5/2)2=4,

解得a=忌捉,

2

則a=2+V3>

S正方形ABaFZ+J"^,

④說(shuō)法正確，

正確的有①②④.

【總結(jié)升華】本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形

的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點(diǎn)麻煩.

舉一反三：

【變式1】已知：如圖，E為正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，F(xiàn)是CD邊上一點(diǎn)，且CE

=CF,連接DE,BF.求證：DE=BF.

【答案】

證明：?.?四邊形ABCD是正方形,

，BC=DC,ZBCD=90°

???E為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，

，/DCE=90°,

/.ZBCD=ZDCE.

在ABCF和aDCE中，

BC=DC

ZBCF=ZDCE，

CF=CE

AABCF^ADCE（SAS）,

，BF=DE.

【變式2］（2015?咸寧模擬）如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE,AC,BE相交

于點(diǎn)F,則/BFC為（）

A.75°B.60°C.55°D.45°

【答案】B；

提示：??,四邊形ABCD是正方形，

AZBAD=90°,AB=AD,ZBAF=45°,

?「△ADE是等邊三角形，

AZDAE=60°,AD=AE,

???NBAE=90°+60°=150°,AB=AE,

AZABE=ZAEB=1(180°-150°)=15°,

2

ZBFC=ZBAF+ZABE=450+15°=60°；

故選：B.

C2、(2016?貴陽(yáng))如圖，點(diǎn)E正方形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，AEBF是等

腰直角三角形，其中NEBF=90°,連接CE、CF.

(1)求證：Z\ABF絲Z\CBE；

(2)判斷4CEF的形狀，并說(shuō)明理由.

【思路點(diǎn)撥】(1)由四邊形ABCD是正方形可得出AB=CB,ZABC=90°,再由aEBF是等腰直

角三角形可得出BE=BF,通過(guò)角的計(jì)算可得出/ABF=NCBE,利用全等三角形的判定定理SAS

即可證出△ABF^Z\CBE；

(2)根據(jù)AEBF是等腰直角三角形可得出NBFE=NFEB,通過(guò)角的計(jì)算可得出NAFB=135°,

再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出NCEB=NAFB=135°,通過(guò)角的計(jì)算即可得出/CEF=90°,

從而得出4CEF是直角三角形.

【答案與解析】

(1)證明：：四邊形ABCD是正方形，

.\AB=CB,ZABC=90°,

?.?△EBF是等腰直角三角形，其中NEBF=90°,

.?.BE=BF,

ZABC-ZCBF=ZEBF-ZCBF,

AZABF=ZCBE.

'AB=CB

在AABF和ACBE中，有，ZABF=ZCBE>

BF=BE

.".△ABF^ACBE(SAS).

(2)解：ACEF是直角三角形.理由如下：

VAEBF是等腰直角三角形，

.\ZBFE=ZFEB=45°,

；./AFB=180°-NBFE=135°,

又,:AABF^ACBE,

.,.ZCEB=ZAFB=135°,

AZCEF=ZCEB-ZFEB=135°-45°=90°,

.?.△CEF是直角三角形.

【總結(jié)升華】本題考查了正方形的性質(zhì).全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)

以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)判定定理SAS證明△ABFZ/\CBE；(2)通過(guò)角的計(jì)

算得出/CEF=90°.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)正方形和等腰三

角形的性質(zhì)找出相等的邊，再通過(guò)角的計(jì)算找出相等的角，以此來(lái)證明兩三角形全等是關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，AB=2BC,分別以AB,BC為邊做正方形ABEF

和正方形BCMN連接FN,EC.求證：FN=EC.

【答案】

證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，

AB=BE=EF,BC=BN,NFEN=NEBC=90°,

VAB=2BC,BPBC=BN=-AB

2

即N為BE的中點(diǎn)，

2

.?.EN=NB=BC,

.?.△FNE絲△ECB,

???FN=EC.

類型二、正方形的判定

^^3、如圖所示，在Rtz^ABC中，NC=90°,ZBAC,/ABC的平分線相交于點(diǎn)D,且DE

LBC于點(diǎn)E,DFLAC于點(diǎn)F,那么四邊形CEDF是正方形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案與解析】

解：是正方形，理由如下：

作DG_LAB于點(diǎn)于

,?AD平分NBAC,DF±AC,DG±AB,

DF=DG.

同理可得：DG=DE.DF=DE.

DF1AC,DEIBC,/C=90°,

...四邊形CEDF是矩形.

DF=DE.

四邊形CEDF是正方形.

【總結(jié)升華】(1)本題運(yùn)用了“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”來(lái)判定正方形.(2)證明正

方形的方法還可以直接通過(guò)證四條邊相等加一個(gè)直角或四個(gè)角都是直角來(lái)證明正方形.

舉一反三：

【變式】如圖，點(diǎn)0是線段AB上的一點(diǎn)，OA=OC,0D平分NAOC交AC于點(diǎn)D,OF平分NC0B,

CF1OF于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形CDOF是矩形；

(2)當(dāng)NA0C多少度時(shí)，四邊形CDOF是正方形？并說(shuō)明理由.

【答案】

(1)證明：；0D平分/AOC,OF平分NC0B(已知)，

.,.ZA0C=2ZC0D,ZC0B=2ZC0F,

VZA0C+ZB0C=180°,

.".2ZC0D+2ZC0F=180o,

.,.ZCOD+ZCOF=900,

AZDOF=90°；

；OA=OC,OD平分NAOC（已知），

/.OD±AC,AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)）,

.,.ZCD0=90°,

VCF10F,

；.NCF0=90°

四邊形CDOF是矩形；

（2）當(dāng)/A0C=90°時(shí)，四邊形CDOF是正方形；理由如下：

VZA0C=90°,AD=DC,

；.OD=DC；

又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則

四邊形CDOF是正方形；

因此，當(dāng)NAOC=90°時(shí)，四邊形CDOF是正方形.

類型三、正方形綜合應(yīng)用

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，邊長(zhǎng)為。為大于0的常數(shù)）的正方形ABQ）的

對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸

的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)0）,頂點(diǎn)C、D都在第一象限.

（1）當(dāng)NBA0=45°時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求證：無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在NA0B

的平分線上；

【答案與解析】

解：（1）當(dāng)/BA0=45°時(shí)，ZPA0=90°,

也AB工

在RtZ\AOB中，0A=3旦a,在RtAAPB中，PA=也

2222

V2V2、

點(diǎn)P的坐標(biāo)為-----Q,-----Q

22

7

（2）如圖過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為M、N,

則有NPMA=/PNB=NNPM=NBPA=90°,

ZBPN+NBPM=ZAPM+NBPM=90°

.".ZAPM=ZBPN,又PA=PB,

APAM^APBN,

PM=PN,

又,:PNXON,PM10M

于是，點(diǎn)P在NAOB的平分線上.

【總結(jié)升華】根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造全等的直角三角形是解題關(guān)鍵.

【鞏固練習(xí)】

一.選擇題

1.如圖，將一邊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折疊至DC邊上的點(diǎn)E,使DE=5,折

2.（2015?南湖區(qū)一模）將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動(dòng)

這個(gè)四邊形，使它形狀改變.當(dāng)/B=90°時(shí)（如圖甲），測(cè)得對(duì)角線BD的長(zhǎng)為證.當(dāng)

ZB=60°時(shí)（如圖乙），則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為（）

A.近B.V3C.2D.V5

3.如圖，點(diǎn)0（0,0）,8（0,1）是正方形OBgC的兩個(gè)頂點(diǎn)，以它的對(duì)角線0旦為一邊作正方

形04紿G，以正方形。隹約G的對(duì)角線為一邊作正方形。8283c2,再以正方形

。名與C2的對(duì)角線為一邊作正方形0484G，…，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)線的坐標(biāo)是

)

C.(T0,O)D.(-8x/2,0)

4.（2016春?嘉祥縣期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5,

則四邊形EFGH的面積是（)

A.30B.34C.36D.40

5.如圖，四邊形ABCD中，AD=DC,ZADC=ZABC=90°,DE1AB,若四邊形ABCD面積為

16,則DE的長(zhǎng)為（）

6.正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段DK上，且G為

BC的三等分點(diǎn)，R為EF中點(diǎn)，正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4,則ADEK的面積為（）

A.10

D

二.填空題

7.延長(zhǎng)正方形ABCD的BC邊至點(diǎn)E,使CE=AC,連結(jié)AE,交CD于F,那么NAFC的度數(shù)為

,若BC=4cm,則4ACE的面積等于.

8.在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，EFLAC,EG1BD,垂足分別為F、G,如果AB=5后cm,

那么EF+EG的長(zhǎng)為

9.已知：如圖，^ABC中，/ACB=90°,點(diǎn)0為AABC的三條角平分線的交點(diǎn)，OD1BC,

OE1AC,OFJ_AB,點(diǎn)D,E,F分別是垂足,且BC=8an,CA=6c〃z,則點(diǎn)0到三邊AB,

AC和BC的距離分別等于cm.

10.如圖所示，直線。經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A,分別過(guò)頂點(diǎn)B、D作DEJ.。于點(diǎn)E、BF_LQ

于點(diǎn)F,若DE=4,BF=3,則EF的長(zhǎng)為

a

11.點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°,得線段PE,連接BE,則/CBE=°

12.（2015?潮南區(qū)一模）如圖所示，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形

ACEF,再以AE為邊作第三個(gè)正方形AEGM,…已知正方形ABCD的面積8=1,按上述方法

所作的正方形的面積依次為S”S3,-S?（n為正整數(shù)），那么第8個(gè)正方形面積

S8=.

三.解答題

13.（2015?西城區(qū)二模）如圖，將正方形0ABC放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0是原點(diǎn)，若

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,遮），則點(diǎn)C的坐標(biāo)？

14.（2016?嶗山區(qū)一模）己知：如圖，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的點(diǎn)，連接AE、CE.

（1）求證：AE=CE；

（2）若將AABE沿AB對(duì)折后得到aABF；當(dāng)點(diǎn)E在BD的何處時(shí)，四邊形AFBE是正方形？

請(qǐng)證明你的結(jié)論.

15.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q.

(1)試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有AADQ絲ZXABQ；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的上；

6

(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P

運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，4ADQ恰為等腰三角形.

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】B；

【解析】過(guò)P作PFLBC于F,可證△PFQgaADE,貝UPQ=JI汨予=13.

2.【答案】B；

【解析】解：如圖甲，

VAB=BC=CD=DA,ZB=90°,

四邊形ABCD是正方形，

連接BD,則AB，AD2=BD2,

.\AB=AD=1,

如圖乙，ZB=60°，連接BD,

...△ABD為等腰三角形，ZABD=30°,

.".AB=AD=1,

??.BD=V3

故選B.

3.【答案】A；

【解析】B2(2,0),B4(0,-4),B6(-8,0).

4.【答案】B；

【解析】解：；四邊形ABCD是正方形，

.?.ZA=ZB=ZC=ZD=90°，AB=BC=CD=DA,

；AE=BF=CG=DH,

，AH=BE=CF=DG.

在△AEH、ABFE.ACGF和△DHG中，

，AE=BF=CG=DH

<NA=/B=NC=ND，

AH=BE=CF=DG

.,.△AEH^ABFE^ACGF^ADHG(SAS),

；.EH=FE=GF=GH,ZAEH=ZBFE,

...四邊形EFGH是菱形，

VZBEF+ZBFE=90°,

.?.ZBEF+ZAEII=90",

AZHEF=90°,

四邊形EFGH是正方形，

VAB=BC=CD=DA=8,AE=BF=CG=DH=5,

EH=FE=GF=GH=Jg2+32=734.

四邊形EFGH的面積是：J前XJ拓=34,

故選B.

5.【答案】C；

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于F,利用互余關(guān)系可得NA=NFCD,

又/AED=NF=90°,AD=DC,利用AAS可以判斷△ADEgZXCDF,，DE=DF,

S四邊形ABC。=§正方形DEBF=16,DE=4.

B

6.【答案】D；

【解析】連DB,GE,FK,則DB〃GE〃FK,再根據(jù)G為BC的三等分點(diǎn)，R為EF中點(diǎn)，正

方形BEFG的邊長(zhǎng)為4可求出S^DGE=SAGEB，^ACKE=*^AGFE,再由

S陰影=S正方形GBEF即可求出答案?

二.填空題

1

7.【答案】112.5°,8A/2cm；

180—135

【解析】/AEC=/CEA=---------=22.5°,/AFC=90°+22.5°=112.5°,面積等

2

于亞x4=8顯病.

2

8.【答案】5cm；

【解析】AC=BD=5收X0=1O,EF+EG=-BD=5.

2

9.【答案】2；

【解析】0D=0E=0F,可知四邊形0DCE是正方形，設(shè)CD=CE=x,BD=BF=y,AE=AF

=z,所以x+y=8,y+z-\0,x+z=6,解得x=2,即0點(diǎn)到三邊的距

離.

10.【答案】7；

【解析】因?yàn)锳BCD是正方形，所以AB=AD,ZABC=ZBAD=90°,則有NABF=/DAE,

又因?yàn)镈E_La、BF_La,根據(jù)AAS易證aAFB名ZXAED,所以AF=DE=4,BF=

AE=3,所以EF=7.

11.【答案】45；

【解析】過(guò)E點(diǎn)作EFJ_AB的延長(zhǎng)線于F,易證4ADP也ZXFPE；BF=EF,所以/CBE=/

EBF=45°.

12.【答案】128；

【解析】根據(jù)題意可得：第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是第(n-1)個(gè)的加倍；故面積是第(n

-1)個(gè)的2倍，已知第一個(gè)面積為1；則那么第8個(gè)正方形面積Sk2J128.

故答案為128.

三.解答題

13.【解析】

解：作AD，軸于D,作CELx軸于E,如圖所示:

則NADO=/OEC=90°,

.?.Zl+Z2=90°,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,遮)，

OD=1,AD=J§,

?.?四邊形OABC是正方形，

AZA0C=90°,OC=AO,

.,.Zl+Z3=90°,

Z3=Z2,

在△OCE和aAOD中，

rZ0EC=ZAD0

-Z3=Z2，

OC=AO

.".△OCE^AAOD(AAS),

.,.OE=AD=V3，CE=OD=1,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-遮，1).

14?【解析】

(1)證明：‘四邊形ABCD是正方形,

；.AB=CB,ZBAD=ZABC=90",ZABE=ZCBE=45°,

在aABE和ACBE中，

'AB=CB

<ZABE=ZCBE，

BE=BE

.".△ABE^ACBE(SAS),

.\AE=CE.

(2)解：點(diǎn)E在BD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFBE是正方形；理由如下:

由折疊的性質(zhì)得：ZF=ZAEB,AF=AE,BF=BE,

VZBAD=90",E是BD的中點(diǎn)，

/.AE=1BD=BE=DE,

2

VAE=CE,

/.AE=BE=CE=DE=AF=BF,

J四邊形AFBE是菱形，E是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，

AAE1BD,

AZAEB=90°,

???四邊形AFBE是正方形.

15.【解析】

(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

，AD=AB,ZDAC=ZBAC=45°,AQ=AQ

AAADQ^AABQ(SAS)；

(2)以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)Q作QE，y軸于點(diǎn)E,軸于點(diǎn)F.

八4

?,.QE=—

3

44

丁點(diǎn)Q在正方形對(duì)角線AC上***Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(―,—)

44

二過(guò)點(diǎn)D(0,4),兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+4,當(dāng)y=0時(shí)，x=2

即P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，AADQ的面積是正方形ABCD面積的,；

6

(3)若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA此時(shí)AADQ是等腰

三角形；

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA=DQ,4ADQ是等腰三角形；

③如圖，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)到CP=x時(shí)，有AD=AQ

VAD/7BC/ADQ=NCPQ.

又：NAQD=/CQP,ZADQ=ZAQD,

.\ZCQP=ZCPQ.

/.CQ=CP=x.

VAC=4V2,AQ=AD=4.

/.x=CQ=AC—AQ=4-J2—4.

3

即當(dāng)CP=4j^-4時(shí)，Z\ADQ是等腰三角形.

正方形（提高）

責(zé)編：杜少波

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；

2.掌握正方形的性質(zhì)及判定方法.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、正方形的定義

四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

要點(diǎn)詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形,

更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個(gè)角是直角的菱形.

要點(diǎn)二、正方形的性質(zhì)

正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對(duì)邊平行；

2.角一一四個(gè)角都是直角；

3.對(duì)角線一一①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

4.是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心.

要點(diǎn)詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對(duì)角線將正方形分為四

個(gè)等腰直角三角形.

要點(diǎn)三、正方形的判定

正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是

直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互

相垂直（即菱形）.

要點(diǎn)四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系

類型一、正方形的性質(zhì)

C1、如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,E、F分別在0D、0C上，且

DE=CF,連接DF、AE,AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M.

求證：AM±DF.

D

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)DE=CF,可得出OE=OF,繼而證明AAOE四△DOF,得出/OAE=/ODF,

然后利用等角代換可得出/DME=90°,即得出了結(jié)論.

【答案與解析】

證明：???ABCD是正方形，

.?.OD=OC,

又；DE=CF,

.,.OD-DE=OC-CF,即OE=OF,

在RtZXAOE和RtZ\DOF中，

AO^DO

<ZAOD=NDOF,

OE=OF

/.△AOE^ADOF,

/.Z0AE=Z0DF,

VZ0AE+ZAE0=90°,ZAEO=ZDEM,

.,.Z0DF+ZDEM=90°,

即可得AMJ_DF.

【總結(jié)升華】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)

全等的證明得出/OAE=/ODF,利用等角代換解題.

舉一反三：

【變式1】如圖四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、K分別在BC,AB上，點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上，

且CE=BK=AG.以線段DE、DG為邊作QDEFG.

(1)求證：DE=DG,且DE_LDG.

(2)連接KF,猜想四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想.

【答案】

證明：（1）：四邊形ABCD是正方形，

DC=DA,/DCE=NDAG=90°.

又；CE=AG,

ADCE^ADAG,

ZEDC=ZGDA,DE=DG.

又：ZADE+ZEDC=90°,

，ZADE+ZGDA=90°,

DEIDG.

(2)四邊形CEFK為平行四邊形.

證明：設(shè)CK,DE相交于M點(diǎn)，

,/四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，

二AB〃CD,AB=CD,EF=DG,EF〃DG；

?/BK=AG,KG=AB=CD.

/.四邊形CKGD為平行四邊形.

CK=DG=EF,CK〃DG〃EF

???四邊形CEFK為平行四邊形.

【高清課堂417083正方形例9】

【變式2】如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，0卜Oz是其中兩個(gè)正方形的中心,

則陰影部分的面積是一

【答案】2；

提示：陰影部分面積等于正方形面積的一半.

類型二、正方形的判定

C2、(2016?普寧市模擬)如圖，矩形ABCD中，AD=6,DC=8,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、

G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2.

(1)已知DG=6,求AE的長(zhǎng)；

(2)已知DG=2,求證:四邊形EFGH為正方形.

【思路點(diǎn)撥】(1)先根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理列出表達(dá)式：HG2=DH，DG2,HE2=AH2+AE2,

再根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到等式Dlf+DG'AH'+AEZ,最后計(jì)算AE的長(zhǎng)；

(2)先根據(jù)已知條件，用HL判定RtaDHG也RtZXAEH,得到菱形的一組鄰邊相等，進(jìn)而判

定該菱形為正方形.

【答案與解析】

解：(1)VAD=6,AH=2

.\DH=AD-AH=4

?；四邊形ABCD是矩形

.?.NA=ND=90°

.?.在RtaDHG中，HG=DH2+DG2

在RtZ\AEH中，HE2=AH2+AE2

?..四邊形EFGH是菱形

.".IIG=HE

/.DH2+DG2=AH2+AE2

即42+62=22+AEZ

.*.AE=V48=4V3

(2)VAH=2,DG=2

.\AH=DG

?.?四邊形EFGH是菱形

.*.HG=HE

在RtADlIG和RtAAEH中

[HG=EH

|DG=AH

.".RtADHG^RtAAEH(HL)

二ZDHG=ZAEH

VZAEH+ZAHE=90°

.,.ZDHG+ZAI1E=9O°

ZGHE=90°

???四邊形EFGH是菱形

四邊形EFGH是正方形

【總結(jié)升華】本題主要考查了矩形、菱形的性質(zhì)以及正方形的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握:

矩形的四個(gè)角都是直角，菱形的四條邊都線段，有一組鄰邊相等的菱形是正方形.在解題時(shí)

注意，求直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，一般都需要考慮運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解.

舉一反三：

【變式】(2015春?上城區(qū)期末)如圖，矩形ABCD中，AD=6,DC=8,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E,

G,H分別在矩形ABCD的邊AB,CD,DA上，AH=2,連結(jié)CF.

(1)若DG=2,求證：四邊形EFGH為正方形；

(2)若D6=6,求AFCG的面積.

【答案】

(1)證明：?.?四邊形EFGH為菱形,

.*.11G=EH,

VAH=2,DG=2,

.\DG=AH,

在RtADHG和aAEH中,

(HG=EH

IDG=AH

.,.RtADHG^AAEH,

AZDHG=ZAEH,

,/ZAEH+ZAHG=90"，

：.ZDHG+ZAHG=90°,

ZGHE=90°,

?.?四邊形EFGH為菱形，

...四邊形EFGH為正方形；

(2)解:作FQ_LCD于Q,連結(jié)GE,如圖,

?.?四邊形ABCD為矩形，

；.AB〃CD,

ZAEG=ZQGE,BPZAEH+Z1IEG=ZQGF+ZFGE,

?..四邊形EFGH為菱形,

.*.1IE=GF,HE〃GF,

NHEG=NFGE,

NAEH=NQGF,

在aAEH和△QGF中

，ZA=ZQ

<NAEH=NQGF，

HE=FG

.?.△AEH空△QGF,

.".AI1=QF=2,

VDG=6,CD=8,

.\CG=2,

AFCG的面積=&G?FQ=』X2X2=2.

22

類型三、正方形綜合應(yīng)用

3、E、F分別是正方形ABCD的邊AD和CD上的點(diǎn)，若/EBF=45°.

(1)求證:AE+CF=EF.

(2)若E點(diǎn)、F點(diǎn)分別是邊DA、CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，結(jié)論(1)仍成立嗎？若成立，請(qǐng)

證明，若不成立，寫(xiě)出正確結(jié)論并加以證明.

【答案與解析】

證明：(1)延長(zhǎng)DC,使CH=AE,連接BU,

:四邊形ABCD是正方形，

ZA=ZBCH=90",又AB=BC,CH=AE,

RtABAE^RtABCH,

Z1=Z2,BE=B1I.

又,:Z1+Z3+Z4=9O0,/4=45°,

Zl+Z3=45°,N2+/3=45°,

BE=BH,

在AEBF和△HBF中，<NEBF=NHBF,

BF=BF,

：.AEBF^AHBF,

EF=FH=FC+CH=AE+CF.即AE+CF=EF.

(2)如圖所示：不成立，正確結(jié)論：EF=CF—AE.

證明：在CF上截取CH=AE,連接BH.

：四邊形ABCD是正方形，

在RtZXEAB和RtZXHCB中，

AE=CH,

<NEAB=NHCB=90：

AB=BC,

：.RtAEAB^RtAHCB,

BE=BILZEBA=ZHBC.

ZHBC+/ABH=90°,ZEBA+/ABH=90°.

又；ZEBF=45°,ZIIBF=45°,

即/EBF=/HBF.

BE=BH,

在AEBF和△HBF中■ZEBF=NHBF,

BF=BF,

，AEBF^AHBF,

EF=FH=CF-CH=CF-AE,即EF=CF-AE.

【總結(jié)升華】本題主要考察正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵在于用“截長(zhǎng)補(bǔ)

短”的方法正確地作出輔助線.

如圖①所示，已知A、B為直線/上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線/上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC,

分別以AC、BC為邊向AABC外作正方