高三數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升之?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)講解與真題分析（等比數(shù)列概念及其求和公式的應(yīng)用）

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)講解與真題分析

01數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

【目標(biāo)要求】

學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)解讀

1①了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法是數(shù)列的基礎(chǔ)

表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式)知識(shí)，是研究等差、等比數(shù)列的前提，更

是函數(shù)知識(shí)的感性升華，理解數(shù)列的概

念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推

公式是給出數(shù)列的一種方法，并且能夠根

據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng)，

2②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)分析、解決有關(guān)數(shù)列的問(wèn)

的一類函數(shù)..

題；注意提高由特殊到一般的化歸能力，

歸納、猜測(cè)的創(chuàng)新能力，推理與論證的邏

輯思維能力。

【核心知識(shí)點(diǎn)】

1、按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。

注意.：(1)數(shù)列中的數(shù)是按一定順序排列的，在這個(gè)定義中，只強(qiáng)調(diào)有11質(zhì)序，而不強(qiáng)

調(diào)有規(guī)律。

(2)數(shù)列｛a,,｝與a“是不同的，｛aa｝表示數(shù)列q，生,勺…，而僅表示數(shù)列｛a“｝的

第n項(xiàng)是an<,

(3)、數(shù)列中的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是不同的，數(shù)列中的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的

數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值.,也就是相當(dāng)于而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置記號(hào)，它

是自變量的值，相當(dāng)于/(〃)中的n0

2、如果數(shù)列｛a,,｝的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式

就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

注意：(1)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式；，如果一個(gè)數(shù)列僅.僅給出前面有限的幾

項(xiàng)，那么得到的通項(xiàng)公式或遞推公式并不是唯一的，只要符合這幾項(xiàng)的公式都可。(2)

有的數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上并丕唯二。(3)當(dāng)不易直.接發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)，可以拆成若干

部分的和差積商或充分挖掘題目條件求解。

3.如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前n項(xiàng)),且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前n項(xiàng))間的關(guān)系

可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。

說(shuō)明：1、遞推公式與通項(xiàng)公式都可以揭示數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，因此遞推公式在以后學(xué)習(xí)

中以及高考中有著及其重要的地位。2、并不是所有數(shù)列都可以寫出遞推式，正如有的

函數(shù)并不一定有解析式一樣。如乃的近似值，它是沒(méi)有遞推式的。

4.求通項(xiàng)公式的方法歸納

(1)、根據(jù)初始值以及遞推公式寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式：

在給出初始值與遞推公式的情況下，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：一是根據(jù)避

值歸納猜測(cè)出其通項(xiàng)公式；二是從一般入手，利用遞推法；

(2)、根據(jù)前n項(xiàng)和5?求遞推式或數(shù)列s“與??關(guān)系求通項(xiàng)公式常用兩種思路：一是先

求出，再利用公式4=s“—s,i(〃22)求;二是利用遞推法,由公式

a,=sn-s?_t(n>2)將它轉(zhuǎn)化為an的遞推式,再求an…

【重難點(diǎn)突破】

考點(diǎn)一考查見(jiàn)與s“的關(guān)系

s(n-n

數(shù)列通項(xiàng)公式，公式4=1適合任何數(shù)列，這個(gè)關(guān)系是考查

1s,-5,1(H>2)

數(shù)列常見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)，引起大家對(duì)公式的關(guān)注，提高應(yīng)用意識(shí)。

例1設(shè)數(shù)列｛。“｝的前n項(xiàng)和=rr,則4的值為

(A)15(B)16(C)49(D)64

變式訓(xùn)練題：若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“=1—1O〃(〃=1,2,3,)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式

為；數(shù)列｛次/“｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第_________________項(xiàng).

考點(diǎn)二考查數(shù)列的通項(xiàng)公式

求數(shù)列的通項(xiàng)公式就是尋找一列數(shù)的排列規(guī)則，也就是找每一個(gè)數(shù)與它的序號(hào)間的對(duì)應(yīng)

關(guān)系.如：歸納猜想法(通過(guò)寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察、猜測(cè)通項(xiàng)公式)、分離法(將與

自然數(shù)有關(guān)的兩式相減，從中提取通項(xiàng))、累積(加)法(它適用于2=/5)的遞推

式求通項(xiàng))等?！?/p>

例2已知數(shù)列,｛%｝滿足4=33,a,.-%=2〃,貝！!?的最小值為.

變式訓(xùn)練題：古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)。比如：

e

他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角

形數(shù)；類似的，稱圖2中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角

形數(shù)又是正方形數(shù)的是

A.289B.1024C.1225D,1378

考點(diǎn)三考查數(shù)列的周期性

在數(shù)列中，,若存在正整數(shù)k,都有4+*=4，則數(shù)列｛4｝是周期函數(shù)，其周期為

k?

例3、五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：

①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1,第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1,之后每位同學(xué)

所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；

②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次

已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總

次

數(shù)為.

【課堂鞏固，夯實(shí)基礎(chǔ)】

一.選擇題

L,已知數(shù)列｛q｝對(duì)任意的p,^GN滿足ap+q=ap+aq，且%=-6，那么為）等于

（）

A.-165B.-33C.-30D.-21

2.數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為，若?！?一^，則Ss等于（）

A.1B.一C.-D.—

6r630

3設(shè)數(shù)列百，石，療，…，則后是這個(gè)數(shù)列的（）

A、第6項(xiàng)B、第7項(xiàng)C、第8項(xiàng)D、第9項(xiàng)

4.數(shù)列｛《,｝中，4=—2/+29〃+3,則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是（）

A、107B、108C、108-D、109

8

5.已知數(shù)列｛%｝,滿足=0,。向=%（〃”）,則以=（）

+1

A、0B、-百C、百D、一

6.在數(shù)列｛q｝中，q=2,4+I=%+ln（l+,），貝Ua.=（）

n

A.2+InnB.2+(〃-l)ln〃C.24-nInHD.l+〃+ln〃

7.已知數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)為=〃蕓(neN*)，則在數(shù)列｛%｝的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最

n-V98

小項(xiàng)分別為()

A、加.B、.C、a1。,。9■D、4]0,。30.

8.已知數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和Sn=3n(A-n)-6,若數(shù)列｛aj單調(diào)遞減，則人的

取值范圍是()

A.(-oo,2)B.(-oo,3)C.(-oo,4)D.(-oo,5)

二.填空題

9.設(shè)數(shù)列｛?！埃校?=2,a“+|=an+n+l,則通項(xiàng)q,=。

11.已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S“，S,="C；T)(對(duì)于所有〃21)，且4=54,

則

q的數(shù)值是_________.

[2a0-<T6

12、數(shù)列｛4｝滿足*M=\",2若4=-,則%=________

2a?-11/°/7

6^24~~■!MMUUVMMI

三.解答題

〃2

13.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為％,求

n+1

(1)0.98是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？

(2)判斷該數(shù)列的增減性。

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)講解與真題分析

01數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

【目標(biāo)要求】

學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)解讀

1①了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法是數(shù)列的基礎(chǔ)

表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）知識(shí)，是研究等差、等比數(shù)列的前提，更

是函數(shù)知識(shí)的感性升華，理解數(shù)列的概

念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推

公式是給出數(shù)列的一種方法，并且能夠根

據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng)，

2②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)分析、解決有關(guān)數(shù)列的問(wèn)

的一類函數(shù).題；注意提高由特殊到一般的化歸能力，

歸納、猜測(cè)的創(chuàng)新能力，推理與論證的邏

輯思維能力。

【核心知識(shí)點(diǎn)】

1、按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。

注意：（1）數(shù)列中的數(shù)是按一定順序排列的，在這個(gè)定義中，只強(qiáng)調(diào)有順序，而不強(qiáng)

調(diào)有規(guī)律。

（2）數(shù)列他“｝與a”是不同的,｛4｝表示數(shù)列a”外，……，而％僅表示數(shù)列｛4｝的

第n項(xiàng)是an0

(3)、數(shù)列中的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是不同的，數(shù)列中的項(xiàng)是指這.個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的

數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，也就是相當(dāng)于而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置記號(hào)，它

是自變量的值，相當(dāng)于/(〃)中的no

2、如果數(shù)列｛4｝的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式

就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

注意：(1)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式；，如果一個(gè)數(shù)列僅僅給出前面有限的幾

項(xiàng)，那么得到的通項(xiàng)公式或遞推公式并不是唯一的，只要符合這幾項(xiàng)的公式都可。(2)

有的數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上并丕唯二。(3)當(dāng)不易直接發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)，可以拆成若干

部分的和差積商或充分挖掘題目條件求解.

3.如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前n項(xiàng))，且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前n項(xiàng))間的關(guān)系

可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。

說(shuō)明：L遞推公式與通項(xiàng)公式都可以揭示數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，因此遞推公式在以后學(xué)習(xí)

中以及高考中有著及其重要的地位。2、并不是所有數(shù)列都可以寫出遞推式，正如有的

函數(shù)并不一定有解析式一樣。如萬(wàn)的近似值，它是沒(méi)有遞推式的。

4.求通項(xiàng)公式的方法歸納…

(1)、根據(jù)初始值以及遞推公式寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式：

在給出初始值與遞推公式的情況下，求數(shù)列的通項(xiàng)公式-常用的方法有：一是根據(jù)初始

值歸納猜測(cè)出其通項(xiàng)公式；二是從一般入手，利用遞推法；

(2)、根據(jù)前n項(xiàng)和s,,求遞推式或數(shù)列.y?與an關(guān)系求通項(xiàng)公式常用兩種思路：一是先

求出s…再利用公式4=s“-”(〃22)求；二是利用遞推法,由公式

an=5?-s?_,(n>2)將它轉(zhuǎn)化為an的遞推式，再求an。

【重難點(diǎn)突破】

考點(diǎn)一考查％與S”的關(guān)系

S(n—1)

數(shù)列通項(xiàng)公式，公式%=［。W*聆適合任何數(shù)列，這介關(guān)系是考查

ls“-S“T(n>2)

數(shù)列常見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)，引起大家對(duì)公式的關(guān)注，提高應(yīng)用意識(shí)。

例1設(shè)數(shù)列｛風(fēng)｝的前n項(xiàng)和S,,=",則小的值為

(A)15(B)16(C)49(D)64

5.A

【答案】A-

【解析】直接根據(jù)4=5“一51(〃之2)即可得出結(jié)論.q=58-57=64—49=15.@#

網(wǎng)

變式訓(xùn)練題：若數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和5,,=〃2—10〃(〃=1,2,3,)，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式

為；數(shù)列｛叫)中數(shù)值最小的項(xiàng)是第______________項(xiàng).

【答案】an=2/1-11.；3

22

【解析】當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-SnA=n-10n-(?-l)+10(n-l)=2?-ll

當(dāng)n=l時(shí)，凡=勺，所以q=2〃-11.

2

nan=(2〃—11)〃=2n—lb?,所以〃=?=2.75,nan最小，由于〃eZ，且n=3

距離對(duì)稱軸〃=日較近，所以n=3時(shí)，使得最小。

故通項(xiàng)公式為%=2“-11.數(shù)列｛nan｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng)。

考點(diǎn)二考查數(shù)列的通項(xiàng)公式

求數(shù)列的通項(xiàng)公式就是尋找一列數(shù)的排列規(guī)則，也就是找每一個(gè)數(shù)與它的序號(hào)間的對(duì)應(yīng)

關(guān)系.如：歸納猜想法（通過(guò)寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察、猜測(cè)通項(xiàng)公式）、分離法（將與

自然數(shù)有關(guān)的兩式相減，從中提取通項(xiàng)）、累積（加）法（它適用于2=/（〃）的遞推

式求通項(xiàng)）等。

例2已知數(shù)列｛4｝滿足%=33,4用-a.=2〃,則組的最小值為.

【答案』f

變式訓(xùn)練題：古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)。比如：

他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角

形數(shù)；類似的，稱圖2中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角

形數(shù)又是正方形數(shù)的是

A.289B.1024C.1225D.1378

【答案】C

知際】而薪而不兩編蔻3而標(biāo)三二誓「，商同靛薇薄嬴i標(biāo)1

jox

蜥求即是三角形數(shù)又是止方形數(shù)，邸新給的選項(xiàng)中只有122s滿足外,=上產(chǎn)=原=35?=1225,■

故選C._.

考點(diǎn)三考查數(shù)列的周期性

在數(shù)列｛q｝中，若存在正整數(shù)k,都有%+?=”“，則數(shù)列｛4｝是周期函數(shù)，其周期為

k。

例3、五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：

①第T立同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1,第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1,之后每位同學(xué)

所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；

②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次

已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總

次

數(shù)為.

【答案】5

【解析】方法一：（猜想法）由題意可知其構(gòu)成如下數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,89,144，…，通過(guò)觀察可知其每隔4個(gè)數(shù)必有一個(gè)數(shù)能被3整除，因?yàn)?/p>

100-4=25故拍手總數(shù)為25次，又據(jù)題意五個(gè)同學(xué)排成一圈，故應(yīng)該為25+5=5；

方法二：（直接法）用a?表示第n個(gè)人報(bào)的數(shù)字，依題意有：…“._

a

4+2=n+4+1=an+an+an_｝=2an+（an-an_2）=3an—a,.，則可得《心是否為3

的倍數(shù)由a,-所決定的，且a,,+2與4-2剛好間隔周期為4,依題意得：甲同學(xué)報(bào)的數(shù)為

3的倍數(shù)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)凡一2為3的倍數(shù)時(shí)，為_(kāi)2最小為3,而且甲同學(xué)報(bào)的數(shù)的下標(biāo)的

周期是5,則甲同學(xué)報(bào)的數(shù)的下標(biāo)既要滿足周期為5,又是4的倍數(shù),則甲同學(xué)報(bào)的數(shù)

的下標(biāo)符合條件的只有：“6，46M56，%6M96，共5個(gè)，答案為5.

【課堂鞏固，夯實(shí)基礎(chǔ)】

一.選擇題

1.已知數(shù)列｛4,｝對(duì)任意的p,qeN滿足4*=4，+%,且電=《,那么《0等于

)

A.-165B.-33C.-30D.-21

【答案】C

【解析】：由已知4=4+%=T2,=4+4=-24,《0=%+。2=-30

2.數(shù)列｛a,J的前〃項(xiàng)和為S“，若=丁二，則S5等于（）

B-ic-lDM

A.1

【答案】B

1金11

【解析】由4=—-----,何a——―-------,

w(w+l)“nn+1

°八1、A1、,11、A1、

S=a+a+a+o+a=(1+(---)+(---)

sx2345工/DJ?■J

1115

+0_》=1'=$所以選怪B。

3設(shè)數(shù)列瓜亞行，…網(wǎng)后是這個(gè)數(shù).列的（）

A、第6項(xiàng)B、第7項(xiàng)C、第8項(xiàng)D、第9項(xiàng)

【答案】C

【解析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為4=心工,令j2〃+l=g,解得n=8.

4.數(shù)列｛4｝中，a?=-21+29/1+3,則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是()

A、107B、108C、108-D、109

8

【答案】B

【解析】氏=-2(〃-?2+竽，所以當(dāng)門=7時(shí)，%有最大值108,故選B.

4o

5.已知數(shù)列｛凡｝,滿足％=0,。向=乍士(〃€乂)，則心=()

+1

ZT

A、0Bs-V3C、6Ds—

2

【答案】B

【解析】由q==~r=-----(〃CN+)得%=-&A==o,。5=、行，

yj3an+1

……，由此可知數(shù)列｛4｝呈周期變化，目三個(gè)一循環(huán)，所以44=%=-0.

6.在數(shù)列｛4｝中，4=2,a,M=a“+ln(l+L),則4=()

n

A.2+InnB.2+(n-l)lnnC.2+/?InnD.l+〃+ln〃

【答案】A

【解析】%=q+ln(l+!),%=w+ln(l+!)，…，%=G〃T+10(1+-^)

12n-\

234n

=4=4+ln(；)J)(卓(—；)=2+ln〃,學(xué)@#

123n-\

7,已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)冊(cè)=幾:5￡N*），則在數(shù)列｛%｝的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最

n-V98

小項(xiàng)分別為（）

【答案】D

r曲+匚、+〃—J97-\/98—V97,\-t--rmh

【解析】由an=----7==1+--------7=—,故點(diǎn)(n,a“)(〃GN)在函數(shù)y=

H-V98n-V98

1+叵二普的圖象上，因（〃GN*）,如圖，由函數(shù)的單調(diào)性知/，。9?分別為數(shù)列

X-V98

｛%｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)。

n

8.已知數(shù)列｛叫的前n項(xiàng)和sn=3（A-n）-6,若數(shù)列單調(diào)遞減,則A的取值范

圍是（）

A.(-oo,2)B.(-co,3)C.(-oo,4)D.(-oo,5)

【答案】A

二.填空題

9.設(shè)數(shù)列｛〃“｝中，4=2,4用=a“+〃+1,則通項(xiàng)a”=,

【答案】-7+1

2

[解析]:4=2,a,用=%+〃+1...4=4"+(〃-1)+1,=4_2+(〃-2)+1,

=約-3+(〃—3)+11I%=劣+2+1,出=4+1+1,a]=2=1+1

將以上各式相加得：?！?[(〃-1)+(〃-2)+(〃-3)++2+1]+〃+1

(H-l)r(n-l)+ll(n-l)n〃("+1)

=-————--=U〃+i=^^——2_+〃+i=_\——i+i。

222

11.已知數(shù)列僅“｝的前n項(xiàng)和為S“，1=弋-1)(對(duì)于所有〃N1)，且%=54,

則

%的數(shù)值是_________.

【答案】2

r旃柘】甲1<6.i、j《?,—I)_q(33—1)%(34-33)

【解析】因?yàn)?S3+%?所以-—-F54]即—-54,

解得二2.

八1

[laQ^an<-6

12、數(shù)列｛4｝滿足%M,2若%=-,則%=________

7

124T-<an<\

2n

a24=-----------

【答案】|5;A3學(xué)@#

77

0<t7.<—

"261

【解析】因?yàn)椤［?,]=—>一,

—<a<172

2"

1

a32a,-l=2x--i=2<—

72772

3

a=2a-=y.所以數(shù)列的周期T=3.所以％4=2。3=

47'

三.解答題

-n2

13.已知數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式為%=多一，求

n+1

(1)0.98是不是該數(shù)列中的項(xiàng)？

(2)判斷該數(shù)列的增減性。

【解析】(1)由*=g-=0.98得〃2一0.9加2=0.98,即小

=49,所以n=7,

+1

即0.98是該數(shù)列中的第7項(xiàng)。

(n+1)2n22%+1

(2)因?yàn)?。用一a“=0.

(n+l)2+l~n2+\-[(H+1)2+1](H2+1)

所以％M>??.故此函數(shù)是單調(diào)遞增數(shù)列。

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)講解與真題分析

02等差數(shù)列以及等差數(shù)列求和

【目標(biāo)要求】

學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)解讀

1①理解等差數(shù)列的概念.

深刻理解等差數(shù)列的定義，緊扣從"第二項(xiàng)

②掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前

起"和"差是同一常數(shù)"這兩點(diǎn).

n項(xiàng)和公式.

等差數(shù)列中,已知五個(gè)元素aXlanin.d.

S,中的任意三個(gè)，便可求出其余兩個(gè).

證明數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列的兩種基本方法

是：(1)利用定義，證明an-an-x(n>2)

為常數(shù)；(2)利用等差中項(xiàng)，即證明2an=an

-i+%+i(n>2).

等差數(shù)列⑥中，當(dāng)a<0,d>0時(shí)，數(shù)列

｛&｝為遞增數(shù)列,5有最小值；當(dāng)白>0,d

<0時(shí)，數(shù)列｛&J為遞減數(shù)列，S,有最大值；

當(dāng)廬0時(shí)，｛aj為常數(shù)列.

2③能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列.是特殊的函數(shù)，可以看成是一個(gè)

數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)在正整數(shù)集(或其子集)上的函數(shù)，等差

解決相應(yīng)的問(wèn)題.數(shù)列的通項(xiàng)公式的變形有：

1

④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)a,=an(〃1)J；d="(n>2);

n-l

系.a-a

d=%這些變形有著廣泛應(yīng)用，且

n-m

有明顯的幾何意義，如氏=dn+(a1-d)

表示斜率為d的直線上的點(diǎn);故等差數(shù)列

的圖象上的點(diǎn)是直線y=dx+(a1-d)上

均勻排開(kāi)的一群孤立的點(diǎn)。利用函數(shù)思想

結(jié)合圖象解決數(shù)列是重要的解題技巧。

【核心知識(shí)點(diǎn)】

一、考點(diǎn)透視

對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的考查的題型即有客觀題，也有解答題，難度為容易題、中等題，

客觀題突出"小而巧"，主要考查數(shù)列的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，解答題都為：大而全。在考

查等差數(shù)列性質(zhì)中考查與其它知識(shí)的交匯，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論思想。利用好性質(zhì)

可以起到快速準(zhǔn)確解決問(wèn)題的目的。

幾個(gè)常見(jiàn)性質(zhì)：1、數(shù)列｛4+燈，｛cflJ(c^O),｛《“,｝(meN*)等，也為等差數(shù)

列，公差分別為列cd,md,若數(shù)列｛"｝為等差數(shù)列，則｛4+2｝,｛凡-2｝也是等

差數(shù)列。

2、若加+〃=k+l(m,n,k,leN')，則am+an=ak+a,……

3、若根wN*,則S,“,邑,“一5m，邑,邑,“…構(gòu)成新的等差數(shù)列，公差為md.

4、若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則S偶一5奇=〃&?=&(〃22);

S偶an+\

5、若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n+l,則

S奇一S偶=為十],5偶=〃。“+],S奇=(力4-=——?

3奇幾+1

注：在等差數(shù)列中，經(jīng)常遇到求有關(guān)的奇數(shù)項(xiàng)和(偶數(shù)項(xiàng)和)及其與項(xiàng)數(shù)n有關(guān)的

問(wèn)題。我們可以選用以上的公式來(lái)解決，但是我們往往記不住這些公式，這時(shí)就需要結(jié)

合等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式來(lái)進(jìn)行突破。

【真題印證】

(2018全國(guó)1,4)

(2018?新課標(biāo)I)記Sn為等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和.若3s3=Sz+S4,a,=2,則a5=()

A.-12B.-10C.10

考法2等差數(shù)列數(shù)列的性質(zhì)

【真題印證】

“078?庚西一槨J等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,若2a8=6+a”,則Sg=()

OA.27.B.36OC.45

考法3.等差數(shù)列的判斷和證明

【真題印證】黑龍江哈爾濱高三模擬)數(shù)列滿足

(2018?｛aMan=6--J-(neN\n

an-l

22).

(1)求證：數(shù)列｛-、｝是等差數(shù)列；

an-3

若求數(shù)歹的前項(xiàng)的和.

(2)ai=6,U｛lgan｝999

訓(xùn)練題3

（2。18?貴州凱里市高三三模）已知數(shù)列⑸｝滿足am=2an+2m，且時(shí)2.

（I）證明：數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列；

2n

（n）設(shè)數(shù)列c=M_]og言?,求數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)和Sn.

nri2n

【典例剖析】一…

1、利用性質(zhì)求解通項(xiàng)問(wèn)題：

例1、設(shè)數(shù)列｛an｝和電｝都是等差數(shù)列，公差分別為1和3,如果j=an+bJnwN"）

且q=4,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。

2、求某些項(xiàng)的值（或項(xiàng)和的值）

例2、設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5,,若S3=9,S<,=36，則%+4+為=（）

A.63B.45C.36D.27

2

例3、已知數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和Sn=n+n，則q+牝+為+…+/2

3、求對(duì)應(yīng)項(xiàng)的比

例4、已知等差數(shù)列｛4｝、也』的前n項(xiàng)和分別為S“，Tn,若工=辦￥,求答

Tn〃+4b5

例5、已知兩個(gè)等差數(shù)列｛qj和他』的前〃項(xiàng)和分別為和紇，且,=△一，則

n+3

使得》*為整數(shù)的正整數(shù)〃的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

4、判斷項(xiàng)數(shù)情況

例6、若他“｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)4>0,a2Go3+。20M>。，巴財(cái)，a20M<。，則使前n項(xiàng)

和5“>0成立的最大自然數(shù)n是（）

A、4005B、4006C、4007D、4008

例7、在等差數(shù)列｛q｝中，若4尸0,n>l,且a“i-a/+a,㈤=o,=38,

則整數(shù)m的值等于（）

A、38B、20C、19D、10

5、求公差

例8、已知｛叫是等差數(shù)列，q°=10,其前10項(xiàng)和%=70,則其公差d=（）

“2c1「1、2

A.—B.—C.—D.一

3333

6、判斷項(xiàng)的情況等

例9、已知等差數(shù)列伍“｝的前n項(xiàng)和為377,項(xiàng)數(shù)為n為奇數(shù)，且前n項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)和

與偶數(shù)項(xiàng)和之比為7:6,求中間項(xiàng)。

專題專項(xiàng)訓(xùn)練題

一.選擇題

1.若等比數(shù)列｛?！埃凉M足an>0（〃eN+）,公比q=3,且qa2a3…%）=3"，”

則qa4a7…“28的值為（）

A、1B、35C、310D、3'5

2.設(shè)口｝是等差數(shù)列，若4=3,%=13,則數(shù)列｛q｝前8項(xiàng)和為（）

A、128，B、80C、64D、56

3.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若$3=9,鼠=36,貝!l/+4+/=（）

A.63B.45C.36D.27

4.設(shè)S“是等差數(shù)列｛為｝的前八項(xiàng)和，若”=1，則?等于（）

a

39S5

A、1B、-1C、2D.-

2

A7_1_1

n

5.設(shè)數(shù)列｛a“｝和｛2｝都是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為A“，紇，且才=訴h,

則叫1的值為（）一

Ki

7,3,4、78

A—R—C-D—

'4'2'3'11

6.在等差數(shù)列｛%｝中，若#0,n>l,且a,,-+區(qū),用=0,S2m_,-38,

則整數(shù)m的值等于（）

A、38B、20C、19D、10

二.填空題

7.已知｛an｝為等差數(shù)列，生+/=22,4=7，則％=.

2

8.已知數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和Sn=n+n，則q+4+%+…+%=.

9.已知等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為，若2=2,則專1的值是________.

10.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，若$4210,S5W15則4的最大值為.

三.解答題

11.等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32:27,求

公差d。

12.已知等差數(shù)列｛4｝滿足4+%,-=2〃€N*),設(shè)S,,是數(shù)列■?,的前〃項(xiàng)和，

記/(〃)=邑"-5”(”V);

(1)求4；

(2)比較/(〃+1)與/(〃)(其中neN*)的大小；

(3)如果函數(shù)8(力=唾2》-12/(冷卜6［。,可)對(duì)一切大于1的正整數(shù)〃其函數(shù)值都

小于零，那么應(yīng)滿足什么條件。一，

13.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為S?,已知兀=84,S20=460,求先

2019年高考提升之?dāng)?shù)學(xué)考點(diǎn)講解與真題分析

02等差數(shù)列以及等差數(shù)列求和

【目標(biāo)要求】

學(xué)習(xí)目標(biāo)目標(biāo)解讀

1①理解等差數(shù)列的概念.

深刻理解等差數(shù)列的定義，緊扣從"第二項(xiàng)

②掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前

起"和"差是同一常數(shù)"這兩點(diǎn).

n項(xiàng)和公式.

等差數(shù)列中，已知五個(gè)元素cm,d,

S”中的任意三個(gè)，便可求出其余兩個(gè).

證明數(shù)列｛”“｝是等差數(shù)列的兩種基本方法

是：(1)利用定義,證明an-a?-i(n>2)

為常數(shù)；(2)利用等差中項(xiàng)，即證明2a?=an

-i+4”+i(n>2)__

等差數(shù)列｛&｝中，當(dāng)&<0,d>0時(shí)，數(shù)列

｛4｝為遞增數(shù)列，S,有最小值；當(dāng)句>0,d

<0時(shí)，數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，S,有最大值；

當(dāng)廬0時(shí),｛4｝為常數(shù)列.

2③能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以看成是一個(gè)

數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)在正整數(shù)集(或其子集)上的函數(shù)，等差

解決相應(yīng)的問(wèn)題.數(shù)列的通項(xiàng)公式的變形有：

@了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)4=an—(n-V)d;d=———(n>2);

n-1

系.

d=上&?這些變形有著廣泛應(yīng)用，且

n-m

有明顯的幾何意義，如=d〃+(cii—d)

表示斜率為d的直線上的點(diǎn)；故等差數(shù)列

的圖象上的點(diǎn)是直線y=dx+（勾-d）上

均勻排開(kāi)的,一群孤立的點(diǎn)。利用函數(shù)思想

結(jié)合圖象解決數(shù)列是重要的解題技巧。

【核心知識(shí)點(diǎn)】

一、考點(diǎn)透視

對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的考查的題型即有客觀題，也有解答題，難度為容易題、中等題，

客觀題突出"小而巧"，主要考查數(shù)列的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，解答題都為：大而全。在考

查等差數(shù)列性質(zhì)中考查與其它知識(shí)的交匯，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論思想。利用好性質(zhì)

可以起到快速準(zhǔn)確解決問(wèn)題的目的。

幾個(gè)常見(jiàn)性質(zhì)：1、數(shù)列｛%+身，｛-0）,｛。““｝（加€"*）等，也為等差數(shù)

列,公差分別為d,cd,md,若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，則｛4+2｝,｛巴-2｝也是等

差數(shù)列.

2、若加+〃=左+/(m,n,k,lGN")，則am4-an=ak+ar

3、若mwN*,則2m…構(gòu)成新的等裁列,公差為md.

4、若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則S偶一5奇=〃&m=&（〃22）；

s偶凡+i

5、若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n+1則S奇一S偶=%”S偶=〃?,S奇=（鹿+1）??+1^=-^-

3卷n+1

注：在等差數(shù)列中，經(jīng)常遇到求有關(guān)的奇數(shù)項(xiàng)和（偶數(shù)項(xiàng)和）及其與項(xiàng)數(shù)n有關(guān)的

問(wèn)題。我們可以選用以上的公式來(lái)解決，但是我們往往記不住這些公式，這時(shí)就需要結(jié)

合等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式來(lái)進(jìn)行突破。

【真題印證】

(2018全國(guó)1,4)

（2018?新課標(biāo)I）記Sn為等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和.若3s3=Sz+S4,ai=2,則a5=（）

A.-12B.-10C.10

【答案】B

解：；Sn為等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和，3S3=S2+S4,a1=2,

.'.3x(3a1一^—=ai+a[+d+4ai+—■—d,

22

把3尸2,代入得d=?3

.as=2+4x(-3)=-10.

故選：B.

【歸納點(diǎn)撥】

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前八項(xiàng)和公式，共含有五個(gè)

量“，知其中三個(gè)量就能通過(guò)列方程（組）