第04講 圖形的軸對稱、等腰三角形（2大考點(diǎn)5種解題方法）（解析版）

第04講圖形的軸對稱、等腰三角形（2大考點(diǎn)5種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．軸對稱的性質(zhì)（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．二．軸對稱圖形（1）軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．（3）常見的軸對稱圖形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等．三．作圖-軸對稱變換幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對稱點(diǎn)；③連接這些對稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對稱圖形．四．軸對稱-最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．五．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．軸對稱的性質(zhì)（共4小題）1．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到：AD＝DE，AC＝CE，結(jié)合已知條件和三角形周長公式解答．【解答】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對稱，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周長＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．2．（2021秋?臨海市期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對稱，連接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一個角是50°，則∠B＝50或65度．【分析】連接AP、BP，由點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對稱，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分兩種情況：①當(dāng)∠CPQ＝∠CQP＝50°時，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②當(dāng)∠PCQ＝50°時，同理可得∠ABC＝65°．【解答】解：連接AP、BP，如圖：∵點(diǎn)P為AB和BC垂直平分線的交點(diǎn)，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于AC對稱，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①當(dāng)∠CPQ＝∠CQP＝50°時，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②當(dāng)∠PCQ＝50°時，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，綜上所述，∠ABC為50°或65°，故答案為：50或65．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及軸對稱的性質(zhì)．3．（2021秋?溫州校級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)B′落在AC的延長線上，若BC垂直平分AB′，則的值為（）A． B． C． D．2【分析】證明∠ACB＝90°，∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，可得結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)B′落在AC的延長線上，∴DB＝DB′，∠B＝∠B′，∠DAB＝∠DAC，∵BC垂直平分AB′，∴DA＝DB′，∠ACB＝90°，∴∠B′＝∠DAC＝∠DAB＝∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝∠DAB＝∠DAC＝30°，∴AD＝DB＝2CD，∴＝2，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明∠ACB＝90°，∠B＝30°．4．（2021秋?椒江區(qū)校級期中）如圖，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E為CD的中點(diǎn)，若∠AEB＝120°，則AB的最大值為14．【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于AE的對稱點(diǎn)A′，點(diǎn)D關(guān)于BE的對稱點(diǎn)D′，連接CA'、EC'、ED'、C'D'、D'B，證明△C′ED′為等邊三角形，即可解決問題．【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于AE的對稱點(diǎn)C′，點(diǎn)D關(guān)于BE的對稱點(diǎn)D′，連接CA'、EC'、ED'、C'D'、D'B，∵∠AEB＝120°，∴∠AEC+∠DEB＝60°，∴∠CEC′+∠DED′＝60°，∴∠C′ED′＝60°，∵EC′＝ED′，∴△C′ED′為等邊三角形∵AB≤AC′+C′D′+D′B＝CA+CE+BD＝2+4+8＝14，∴AB的最大值為14，答案為：14．【點(diǎn)評】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題，屬于中考?？碱}型．二．軸對稱圖形（共2小題）5．（2021秋?開化縣期末）如圖圖案中，成軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B．是軸對稱圖形，故本選項符合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．6．（2021秋?湖州期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，從空白的小正方形中再選擇一個涂黑，使得3個涂黑的正方形成軸對稱圖形，則選擇的方法有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【分析】將空白部分小正方形分別涂黑，任意一個涂黑共7種情況，其中涂黑1，3，5，6，7有5種情況可使所得圖案是一個軸對稱圖形．【解答】解：如圖，將圖中剩余的編號為1至7的小正方形中任意一個涂黑共7種情況，其中涂黑1，3，5，6，7有5種情況可使所得圖案是一個軸對稱圖形，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．三．作圖-軸對稱變換（共6小題）7．（2021秋?衢江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A（﹣3，1），B（﹣1，0）．（1）根據(jù)上述信息在圖中畫平面直角坐標(biāo)系，并求出△ABC的面積；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，作出△ABC關(guān)于y軸對稱圖形△A1B1C1．【分析】（1）利用分割法把三角形面積看成矩形面積減去周圍三個三角形面積即可．（2）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．【解答】解：（1）如圖所示，△ABC的面積＝2×3﹣×2×2﹣×1×2＝3；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．8．（2021秋?東陽市期末）如圖都是3×3的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條線段MN，使MN與AB關(guān)于某條直線對稱，且M、N為格點(diǎn)．（2）在圖②中，畫一個△DEF，使△DEF與△ABC關(guān)于某條直線對稱，且D、E、F為格點(diǎn)，并寫出符合條件的三角形共有4個．【分析】根據(jù)要求利用軸對稱的性質(zhì)作出圖形即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）如圖①所示，線段MN即為所求（答案不唯一）；（2）如圖②所示，△DEF即為所求（答案不唯一），符合條件的三角形共有4個，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．9．（2021秋?開化縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)：A（﹣1，1），B．（﹣3，3）．（2）在圖中作△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1．（3）求△ABC的面積．【分析】（1）結(jié)合圖形可得答案；（2）分別作出三個頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（3）用矩形的面積減去四周三個三角形的面積即可．【解答】解：（1）由圖知A（﹣1，1）、B（﹣3，3），故答案為：（﹣1，1）、（﹣3，3）；（2）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（3）△ABC的面積為3×5﹣×1×5﹣×2×2﹣×3×3＝6．【點(diǎn)評】本題主要考查作圖—軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應(yīng)點(diǎn)．10．（2021秋?嵊州市期末）已知點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱．（1）在所給的平面直角坐標(biāo)系中作出△ABC．（2）求線段BC的長．【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出點(diǎn)B，點(diǎn)C即可；（2）利用勾股定理求出即可．【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求；（2）BC＝＝2．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．11．（2021秋?臺州期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)分別為A（1，3），B（4，5），C（1，5），先將△ABC以第一象限的角平分線所在直線為對稱軸通過軸對稱得到△A′B′C′，再將△A′B′C′以x軸為對稱軸通過軸對稱得到△A″B″C″．（1）畫出△A″B″C″；（2）寫出A″，B″，C″三點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）一般地，某一點(diǎn)P（x，y）經(jīng)過這樣的兩次軸對稱變換后得到的點(diǎn)P″的坐標(biāo)為（y，﹣x）．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可畫出△A″B″C″；（2）結(jié)合（1）即可寫出A″，B″，C″三點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）結(jié)合（2）即可寫出點(diǎn)P″的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△A″B″C″即為所求；（2）A″（3，﹣1），B″（5，﹣4），C″（5，﹣1）；（3）點(diǎn)P″的坐標(biāo)為（y，﹣x）．故答案為：（y，﹣x）．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．12．（2021秋?余姚市期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的位置如圖所示，（1）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A′B′C′（其中點(diǎn)A′，B′，C′分別是點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)，不?畫法）；（2）寫出點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)．【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可；（2）根據(jù)點(diǎn)的位置寫出坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求；（2）A′（﹣1.3），B′（﹣3，0），C′（﹣4，4）．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．四．軸對稱-最短路線問題（共5小題）13．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖所示，點(diǎn)P為∠O內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在∠O的兩邊上，若△PAB的周長最小，則∠O與∠APB的關(guān)系為（）A．2∠O＝∠APB B．∠O＝2∠APB C．∠O+∠APB＝180° D．2∠O+∠APB＝180°【分析】作點(diǎn)P關(guān)于OM的對稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于ON的對稱點(diǎn)P''，其中P'P''交OM于A，交ON于B，此時△PAB的周長最小值等于P'P''的長，由軸對稱的性質(zhì)可知△OP'P''是等腰三角形，所以P'OP''＝2∠AOP，推出∠P'＝∠P''＝＝，所以∠APB＝∠P'+∠P''＝180°﹣2∠AOB，即得出答案．【解答】解：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OM的對稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于ON的對稱點(diǎn)P''，連接OP'，OP''，P'P''，其中P'P''交OM于A，交ON于B，此時△PAB的周長最小值等于P'P''的長，由軸對稱性質(zhì)可知：OP＝OP'，OP＝OP''，∠AOP＝∠AOP'，∠BOP＝∠BOP''，∴∠P'OP''＝2∠AOB，∴∠P'＝∠P''＝＝，∴∠APB＝∠P'+∠P''＝180°﹣2∠AOB，即2∠O+∠APB＝180°，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，將△PAB的周長最小值轉(zhuǎn)化為P'P''的長是解題的關(guān)鍵．14．（2021春?郯城縣期中）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）A．1 B．1.5 C． D．【分析】作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過M′點(diǎn)作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值，再根據(jù)AD是∠BAC的平分線可知M′H＝M′N′，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過M′點(diǎn)作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分線，∴M′H＝M′N′，∴BH是點(diǎn)B到直線AC的最短距離（垂線段最短），∵AB＝2，∠BAC＝45°，∴BH＝AB?sin45°＝2×＝．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．15．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分別為B，C，P為線段BC上一點(diǎn)，連結(jié)PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，則AP+DP的最小值為15．【分析】作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'D交BC于點(diǎn)P，過A點(diǎn)作AM⊥CD交于點(diǎn)M，此時AP+PD的值最小，在Rt△A'DM中，A'D＝＝15，則A'D即為所求．【解答】解：作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'D交BC于點(diǎn)P，過A點(diǎn)作AM⊥CD交于點(diǎn)M，∵AP＝A'P，∴AP+PD＝A'P+PD＝AD，此時AP+PD的值最小，∵AB＝5，DC＝4，BC＝12，∴AM＝12，DM＝5+4＝9，在Rt△A'DM中，A'D＝＝＝15，∴AP+PD的最小值是15，故答案為：15．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（2021秋?諸暨市期中）如圖，△ABC中，AD垂直BC于點(diǎn)D，且AD＝BC，BC上方有一動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之和最小時，∠PBC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】由三角形面積關(guān)系得出P在與BC平行，且到BC的距離為AD的直線l上，l∥BC，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接B'C交l于P，則BB'⊥l，PB＝PB'，此時點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之和最小，作PM⊥BC于M，則BB'＝2PM＝AD，證明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．【解答】解：∵，∴P在與BC平行，且到BC的距離為AD的直線l上，∴l(xiāng)∥BC，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B'，連接B'C交l于P，如圖所示：則BB'⊥l，PB＝PB'，此時點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之和最小，作PM⊥BC于M，則BB'＝2PM＝AD，∵AD⊥BC，AD＝BC，∴BB'＝BC，BB'⊥BC，∴△BB'C是等腰直角三角形，∴∠B'＝45°，∵PB＝PB'，∴∠PBB'＝∠B'＝45°，∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識；熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?義烏市期中）如圖，A、B兩個小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，它們到河流的距離AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)要在河流邊修建一自來水廠分別向兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元．（1）請在河流上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）最低費(fèi)用為多少？【分析】（1）根據(jù)題意，要使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，則自來水廠與A、B兩個小鎮(zhèn)的距離和最小，所以作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)E，連接BE，則BE與直線l的交點(diǎn)即是水廠的位置M．（2）首先根據(jù)勾股定理，求出BE的長度是多少，即可判斷出鋪設(shè)水管的長度最短是多少；然后根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，用每千米的費(fèi)用乘以鋪設(shè)的水管的長度，求出最低費(fèi)用為多少即可．【解答】解：（1）根據(jù)分析，水廠的位置M為：（2）如圖2，，在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），∴BE＝（千米），∴鋪設(shè)水管長度的最小值為50千米，∴鋪設(shè)水管所需費(fèi)用的最小值為：50×3＝150（萬元）．答：最低費(fèi)用為150萬元．【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．（2）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．（3）此題還考查了總價、單價、數(shù)量的關(guān)系：總價＝單價×數(shù)量，單價＝總價÷數(shù)量，數(shù)量＝總價÷單價，要熟練掌握．五．等腰三角形的性質(zhì)（共7小題）18．（2021秋?嵊州市期末）如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延長BC到D，在∠ACD內(nèi)作射線CE，使得∠ECD＝15°．過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為F．若AF＝，則AB的長為（）A． B．2 C．4 D．6【分析】過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，則CA平分∠HCF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得AH＝AF，即可得AB的長．【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵CA＝CB，∠ACB＝110°，∴∠ACH＝∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，∵∠ECD＝15°．∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，∴∠ACH＝∠ACF＝55°，∴CA平分∠HCF，∵AF⊥CE，CH⊥AB，∴AH＝AF＝，∴AB＝2AH＝2．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解決問題的關(guān)鍵是得出CA平分∠HCF．19．（2021秋?臺州期末）如圖，已知AB＝AD，AE＝AC＝BC，∠1＝∠2，∠C＝40°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．40° B．65° C．70° D．75°【分析】證明△EAD≌△CAB，由全等三角形的性質(zhì)即可得∠C＝∠E＝40°，∠B＝∠ADE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝70°，即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠EAD＝∠CAB，在△EAD和△CAB中，，∴△EAD≌△CAB（SAS），∴∠C＝∠E＝40°，∠B＝∠ADE，∵AC＝BC，∠C＝40°，∴∠B＝70°，∴∠ADE＝70°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．20．（2021秋?縉云縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，E為AC上一點(diǎn)，且AE＝AD，∠BAD＝50°，求∠CDE的度數(shù)．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝50°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝65°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝25°．【解答】解：∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝50°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝65°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°．【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．21．（2021秋?東陽市期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D為BC邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在AC邊上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝28°，則∠CDE＝（）A．14° B．35° C．20° D．30°【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+28°，∠AED＝∠C+∠EDC，再根據(jù)∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+28°，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C+∠EDC，∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∴∠C+∠EDC＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+28°﹣∠EDC，解得∠EDC＝14°．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．22．（2021秋?東陽市期末）若等腰三角形中有兩邊長分別為4和5，則這個三角形的周長為（）A．13 B．12 C．12或13 D．13或14【分析】因?yàn)檠L沒有明確，所以分①4是腰長，②5是腰長兩種情況求解．【解答】解：①4是腰長時，能組成三角形，周長＝4+4+5＝13；②5是腰長時，能組成三角形，周長＝5+5+4＝14．所以，它的周長是13或14．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是分①4是腰長，②5是腰長兩種情況求解．23．（2021秋?長興縣期中）已知一個三角形的三條邊的長分別為：n+6，3n，n+2（n為正整數(shù)）．若這個三角形是等腰三角形，求它的三邊的長．【分析】由于n+2≠n+6，所以當(dāng)這個三角形是等腰三角形時，分兩種情況進(jìn)行討論：①n+2＝3n；②n+6＝3n．求出n的值后，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解．【解答】解：①如果n+2＝3n，解得n＝1，三角形三邊的長為3，3，7，3+3＜7，不符合三角形三邊關(guān)系；②如果n+6＝3n，解得n＝3，三角形三邊的長為5，9，9，符合三角形三邊關(guān)系．綜上所述，它的三邊的長為5，9，9．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系．24．（2021秋?溫州期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連結(jié)CD，BE，BD＝BC＝BE．（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度數(shù)；（2）設(shè)∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【解答】解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，∴∠ABC＝80°．在△BDC中，BD＝BC，∴，∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°．（2）設(shè)∠BCD＝x°，∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°．∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，∴2α＝β．【點(diǎn)評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2020·浙江紹興市·）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用軸對稱圖形的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．2．（2020·臺州市書生中學(xué)八年級期中）下面選項中的四邊形不是軸對稱圖形的是（）A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，符合題意；B、是軸對稱圖形，不合題意；C、是軸對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，不合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（2020·浙江八年級期末）下列圖形屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故符合題意；B、不是軸對稱圖形，故不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱圖形的識別，掌握識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合是解題的關(guān)鍵．4．（2019·浙江寧波市·八年級期中）下列圖形不是軸對稱圖形的是（）A．線段 B．等腰三角形 C．角 D．有一個內(nèi)角為的直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，結(jié)合各選項所給圖形的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、線段是軸對稱圖形，故本選項不符合；B、等腰三角形是軸對稱圖形，故本選項不符合；C、角是軸對稱圖形，故本選項不符合；D、有一個內(nèi)角為60°的直角三角形不是軸對稱圖形，故本選項符合；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)定義判斷出圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，難度一般．5．（2021·浙江）若等腰三角形的頂角為，則它腰上的高線與底邊的夾角等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出底角的度數(shù)，再利用直角三角形兩銳角互余即可求出．【詳解】解：根據(jù)題意，底角=（180°-α）=90°-，∴夾角為90°-（90°-）=．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的兩銳角互余；本題的結(jié)論可以記住，分析別的問題時可直接應(yīng)用．6．（2021·浙江八年級期末）如圖，，點(diǎn)B和點(diǎn)C是對應(yīng)頂點(diǎn)，，記，當(dāng)時，與之間的數(shù)量關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)表示出∠OBC，整理即可．【詳解】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，∴∠BAC=∠OAD=α，在△ABC中，∠ABC=（180°-α），∵BC∥OA，∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，∴β+（180°-α）=90°，整理得，α=2β．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江八年級期末）在中，，若，則為（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠A=40°，∴∠C=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·浙江八年級期末）如圖所示，是將長方形紙片沿折疊得到的，圖中（包括實(shí)線、虛線在內(nèi)）共有全等三角形（）對A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】從最簡單的開始找，因?yàn)閳D形對折，所以首先△CDB≌△C′DB，由于四邊形是長方形所以，△ABD≌△CDB．進(jìn)而可得另有2對，分別為：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，如此答案可得．【詳解】解：∵△BDC′是將長方形紙片ABCD沿BD折疊得到的，∴C′D=CD，BC′=BC，∵BD=BD，∴△CDB≌△C′DB（SSS），同理可證明：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，△ABD≌△CDB三對全等．所以，共有4對全等三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．做題時要由易到難，循序漸進(jìn)．9．（2021·臨海市外國語學(xué)校）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB，CD．若CD∥BE，∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．65° D．70°【答案】A【分析】如圖，延長，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，由平角的定義可得，由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得．【詳解】如圖，延長，折疊，，，，，，，，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角的定義，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2021·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）八年級期末）下列四個標(biāo)志是關(guān)于安全警示的標(biāo)志，在這些標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可．軸對稱圖形：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，符合題意；B、不是軸對稱圖形，不符合題意；C、不是軸對稱圖形，不符合題意；D、不是軸對稱圖形，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．11．（2020·浙江省臨海市臨海中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC紙片中，AB=9cm，BC=5cm，AC=7cm，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△ADE的周長為是（）A．9cm B．11cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到：DE=CD，BE=BC=5cm，求出AE=4cm，根據(jù)△ADE的周長為AD+DE+AE=AC+AE代入數(shù)值計算即可得解．【詳解】由折疊得：DE=CD，BE=BC=5cm，∵AB=9cm，∴AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm，∴△ADE的周長為AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查折疊的性質(zhì)：折疊前后對應(yīng)邊相等，正確理解折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題12．（2021·諸暨市濱江初級中學(xué)八年級期中）已知等腰三角形有一邊長為5，一邊長為2，則周長為_____．【答案】12【分析】由等腰形三角形有一邊長為5，一邊長為2，即可分別從若5為腰長，2為底邊長與若2為腰長，5為底邊長去分析求解即可求得答案．【詳解】解：∵等腰三角形有一邊長為5，一邊長為2，①若5為腰長，2為底邊長，則第三邊的長為5，∵5，5，2能組成三角形，∴此時周長為：5+5+2=12；②若2為腰長，5為底邊長，則第三邊的長為2，∵2+2=4＜5，∴不能組成三角形，故舍去；∴周長為12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的三邊關(guān)系．此題比較簡單，注意分類討論思想的應(yīng)用．13．（2021·浙江八年級期末）如圖，在中，的中垂線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，如果的周長為22，那么的周長為_______．【答案】34【分析】由AB的中垂線DE交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，可得AD=BD，又由BC=10，△DBC的周長為22，可求得AC的長，繼而求得答案．【詳解】解：∵AB的中垂線DE交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，∴AD=BD，∵△DBC的周長為22，∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=22，∵BC=10，∴AC=12，∵AB=AC，∴AB=12，∴△ABC的周長為12+12+10=34，故答案為：34．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．（2021·浙江）已知等腰的一個內(nèi)角為，則的度數(shù)為________．【答案】70°或40°或55°【分析】分∠B是頂角和底角，再分情況討論，根據(jù)三角形內(nèi)角和與等腰三角形底角相等計算可得．【詳解】解：若∠B是頂角，當(dāng)∠B=70°，則∠A=∠C=（180°-70°）÷2=55°；當(dāng)∠A=∠C=70°，則∠B=（180°-70°×2）=40°；若∠B是底角，當(dāng)∠B=70°，則頂角為（180°-70°×2）=40°，當(dāng)頂角為70°，則∠B=（180°-70°）÷2=55°，故答案為：70°或40°或55°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)已知角為頂角和底角，分類討論．15．（2020·浙江紹興市·）將圖1中紙片的A點(diǎn)以為折線往下折，A點(diǎn)恰好落在上，如圖2所示，再分別以圖2的為折線，將C，D兩點(diǎn)往上折，使得A、B、C、D、E五點(diǎn)均在同一平面上，如圖3所示，若圖1中的，則圖3中的度數(shù)____度．【答案】68【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和折疊的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：由圖2知，∠BAC+∠EAD=180°-124°=56°，∴圖3中∠CAD=180°-56°×2=68°，故答案為：68．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，結(jié)合圖形解答，需要學(xué)生具備一定的讀圖能力和空間想象能力．16．（2020·浙江八年級期末）如圖，將正方形沿對折，使得與重合，得到折痕后展開點(diǎn)分別在邊上，再沿折疊，使得點(diǎn)落到點(diǎn)．折痕與相交于點(diǎn)．若，則為________度．【答案】67.5°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠DAC=∠BAC，∠AEF=∠A′EF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A′ED=∠DAC=45°，∠COF=∠A′EF，從而計算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，由第一次折疊可知：∠DAC=∠BAC=45°，∠AEF=∠A′EF，∵A′E∥AC，∴∠A′ED=∠DAC=45°，∠COF=∠A′EF，∴∠COF=∠A′EF=∠AEF=（180°-45°）=67.5°，故答案為：67.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊和平行線的性質(zhì)得到相等的角．17．（2021·浙江八年級期末）在中，，將一塊足夠大的直角三角尺按如圖所示放置，頂點(diǎn)P在線段上滑動，三角尺的直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，并且與的夾角，斜邊交于點(diǎn)D．在點(diǎn)P的滑動過程中，若是等腰三角形，則夾角的大小是_____【答案】50°或80°或20°【分析】分三種情況考慮：當(dāng)PC=PD；PD=CD；PC=CD，分別求出夾角α的大小即可．【詳解】解：∵△PCD是等腰三角形，∠PCD=120°-α，∠CPD=40°，①當(dāng)PC=PD時，∴∠PCD=∠PDC==70°，即120°-α=70°，∴∠α=50°；②當(dāng)PD=CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD=∠CPD=40°，即120°-α=40°，∴α=80°；③當(dāng)PC=CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP=∠CPD=40°，∴∠PCD=180°-2×40°=100°，即120°-α=100°，∴α=20°，此時點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D和A重合，綜合所述：當(dāng)△PCD是等腰三角形時，α=50°或80°或20°．故答案為：50°或80°或20°．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．18．（2021·浙江八年級期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，關(guān)于直線，對稱，的角平分線交邊于點(diǎn)G、連接，當(dāng)?shù)闹档扔赺______時，為等腰三角形．【答案】10°，25°或40°【分析】首先由軸對稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三種情況討論解答即可，當(dāng)GD=GF時，就可以得出∠GDF=80°，根據(jù)∠ADG=40°+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出結(jié)論；當(dāng)DF=GF時，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，當(dāng)DF=DG時，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對稱，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．①當(dāng)GD=GF時，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．②當(dāng)DF=GF時，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．③當(dāng)DF=DG時，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴當(dāng)θ=10°，25°或40°時，△DFG為等腰三角形．故答案為：10°，25°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形的全等是關(guān)鍵．19．（2020·浙江杭州市·）給出如下三個圖案，它們具有的公共特點(diǎn)是：________．（寫出1個即可）【答案】都是軸對稱圖形【分析】利用已知圖形的特征分別得出其公共特征．【詳解】解：答案不唯一，例如：都是軸對稱圖形，故答案為：都是軸對稱圖形．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵是正確把握軸對稱圖形的特征．20．（2020·浙江紹興市·八年級月考）如圖，在銳角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是_____________．【答案】6【分析】作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過M′點(diǎn)作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值，再根據(jù)AD是∠BAC的平分線可知M′H=M′N′，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過M′點(diǎn)作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分線，∴M′H=M′N′，∴BH是點(diǎn)B到直線AC的最短距離（垂線段最短），∵AB=，∠BAC=45°，∴BH=AH∴∴BH=6．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．21．（2020·浙江金華市·）如圖，在中，，，為邊上的點(diǎn)，連接．如果將沿直線翻折后，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)到的距離是________．【答案】【分析】過點(diǎn)M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先證明MP＝MQ，求出AC的長度，運(yùn)用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解決問題．【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為N，由題意得：∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；過點(diǎn)M作MP⊥AC，MQ⊥AB，則MP＝MQ，設(shè)MP＝MQ=x，∵