第11講 用二次函數(shù)解決問題（3大考點）（解析版）

第11講用二次函數(shù)解決問題（3大考點）考點考點考向二次函數(shù)綜合應用主要考察學生靈活運用二次函數(shù)解析式及圖像性質解決二次函數(shù)的綜合應用在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，?？嫉闹饕幸韵聨追N類型：（1）二次函數(shù)的生活應用問題，即實物拋物線型問題，若題目中未給出坐標系，則需要建立坐標系求解，建立的原則：①所建立的坐標系要使求出的二次函數(shù)表達式比較簡單；②使已知點所在的位置適當（如在x軸，y軸、原點、拋物線上等），方便求二次函數(shù)丶表達式和之后的計算求解.（2）二次函數(shù)的實際應用問題，即最值問題.解決最值應用題要注意兩點：①設未知數(shù)，在“當某某為何值時，什么最大（最?。钡脑O問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數(shù)；②求解最值時，一定要考慮頂點（橫、縱坐標）的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi).（3）二次函數(shù)的純幾何面積問題：由于面積等于兩條邊的乘積，所以幾何問題的面積的最值問題通常會通過二次函數(shù)來解決.同樣需注意自變量的取值范圍.（4）二次函數(shù)與一次函數(shù)相結合的應用型問題：分析問題中的數(shù)量關系，列出函數(shù)關系式；研究自變量的取值范圍；確定所得的函數(shù)；檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關的值；解決提出的實際問題.（5）二次函數(shù)的綜合型問題，此類問題是每年中考必考題目，綜合性非常強，常涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、矩形、菱形、線段以及面積的最值問題.考點考點精講一．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式（共3小題）1．（2021秋?通州區(qū)期末）某商場第1年銷售計算機5000臺，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的銷售量為y臺，則y關于x的函數(shù)解析式為（）A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2 C．y＝5000+2x D．y＝5000x2【分析】首先表示出第二年的銷售量為5000（1+x），然后表示出第三年的銷售量為5000（1+x）2，從而確定答案．【解答】解：設每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x，根據(jù)題意得：y＝5000（1+x）2，故選：B．【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)的關系式，解題的關鍵是分別表示出第二年和第三年的銷售量，難度中等．2．（2021秋?阜寧縣期末）一臺機器原價50萬元，如果每年的折舊率是x，兩年后這臺機器的價格為y萬元，則y與x的函數(shù)關系式為y＝50（1﹣x）2．【分析】根據(jù)兩年后機器價值＝機器原價值×（1﹣折舊率）2可得函數(shù)解析式．【解答】解：根據(jù)題意，y與x的函數(shù)關系式為y＝50（1﹣x）2，故答案為：y＝50（1﹣x）2．【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式，根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．3．（2021秋?亭湖區(qū)校級期末）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m．如圖建立平面直角坐標系，則拋物線的關系式是y＝﹣．【分析】設出拋物線方程y＝ax2（a≠0）代入坐標求得a．【解答】解：設出拋物線方程y＝ax2（a≠0），由圖象可知該圖象經(jīng)過（﹣2，﹣2）點，故﹣2＝4a，a＝﹣，故y＝﹣．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用，借助二次函數(shù)解決實際問題．二．二次函數(shù)的應用（共6小題）4．（2022?無錫）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【分析】（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合題意的解，即可得x的值為2；（2）設矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，根據(jù)墻的長度為10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質即得當x＝時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【解答】解：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，經(jīng)檢驗，x＝6時，3x＝18＞10不符合題意，舍去，∴x＝2，答：此時x的值為2；（2）設矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，∵墻的長度為10m，∴0＜x≤，根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴當x＝時，y取最大值，最大值為﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：當x＝時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【點評】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關系式．5．（2022秋?如皋市校級月考）為了落實勞動教育，某學校邀請農(nóng)科院專家指導學生進行小番茄的種植，經(jīng)過試驗，其平均單株產(chǎn)量y千克與每平方米種植的株數(shù)x（2≤x≤8，且x為整數(shù)）構成一種函數(shù)關系．每平方米種植2株時，平均單株產(chǎn)量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克．（1）求y關于x的函數(shù)表達式．（2）每平方米種植多少株時，能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？【分析】（1）由每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，（2）設每平方米小番茄產(chǎn)量為W千克，由產(chǎn)量＝每平方米種植株數(shù)×單株產(chǎn)量即可列函數(shù)關系式，由二次函數(shù)性質可得答案．【解答】解：（1）∵每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克，∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，答：y關于x的函數(shù)表達式為y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x為整數(shù)）；（2）設每平方米小番茄產(chǎn)量為W千克，根據(jù)題意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，∵﹣0.5＜0，∴當x＝5時，W取最大值，最大值為12.5，答：每平方米種植5株時，能獲得最大的產(chǎn)量，最大產(chǎn)量為12.5千克．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關系式．6．（2022?淮安）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、B兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元．（1）求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；（2）當B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降價銷售．經(jīng)市場調研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當B品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)兩次進貨情況，可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）根據(jù)：利潤＝（每臺實際售價﹣每臺進價）×銷售量，列函數(shù)關系式，配方成二次函數(shù)的頂點式可得函數(shù)的最大值；【解答】解：（1）A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)題意得，，解得，答：A種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元；（2）設B品牌粽子每袋的銷售價降低a元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，利潤為w元，根據(jù)題意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴當B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元．【點評】本題主要考查二元一次方程組及二次函數(shù)的實際應用，理解題意準確抓住相等關系，據(jù)此列出方程或函數(shù)關系式是解題的關鍵．7．（2022?淮陰區(qū)校級一模）近年來，電動車駕駛安全越來越被重視．某商店銷售頭盔，每個進價50元．經(jīng)市場調研，當售價為60元時，每月可銷售300個；售價每增加1元，銷售量將減少10個．為了提高銷售量，當售價為80元時，啟用網(wǎng)絡主播直播帶貨，此時售價每增加1元，需支付給主播300元．物價局對此頭盔規(guī)定：售價最高不超過110元．如圖中的折線ABC表示該品牌頭盔的銷售量y（單位：個）與售價x（單位：元）之間的函數(shù)關系．（1）直接寫出點B的坐標（80，100），并求線段BC對應的函數(shù)表達式；（2）啟用網(wǎng)絡主播直播帶貨后，當售價為多少元時，該商家獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）當x＝80時，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即點B（80，100），設線段BC的表達式為：y＝kx+b，將點（80，100）、（110，250）代入上式，即可求解；（2）當60≤x≤80時，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，當80≤x≤110時，w＝（x﹣50）（5x﹣300）＝5（x﹣85）2+2875，分別求取最大值，即可求解．【解答】解：（1）當x＝80時，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即點B（80，100），設線段BC的表達式為：y＝kx+b，將點（80，100）、（110，250）代入上式得：，解得，故線段BC對應的函數(shù)表達式為：y＝5x﹣300；故答案為：（80，100）；（2）設啟用網(wǎng)絡主播直播帶貨后，獲得的利潤為w元，當80≤x≤110時，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，當x＝110時，w取得最大值為6000，故當80≤x≤85時，w隨x的增大而減小，即w≤3000，當85≤x≤110時，w隨x的增大而增大，即w≤15250．故當x＝110時，w的值最大；綜上，當售價為110元時，該商家獲得的利潤最大，最大利潤為6000．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x＝﹣時取得．8．（2022?如皋市二模）某商店銷售一種商品，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量y（件）是售價x（元/件）的一次函數(shù)，其售價、周銷售量、周銷售利潤w（元）的三組對應值如表：售價x（元/件）607080周銷售量y（件）1008060周銷售利潤w（元）200024002400（1）求y關于x的函數(shù)解析式；（2）直接寫出該商品的進價，并求出該商品周銷售利潤的最大值；（3）由于某種原因，該商品進價提高了m元/件（m＞0），物價部門規(guī)定該商品售價不得超過70元/件，該商店在今后的銷售中，周銷售量與售價仍然滿足（1）中的函數(shù)關系．若周銷售最大利潤是2000元，求m的值．【分析】（1）依題意設y＝kx+b，解方程組即可得到結論；（2）該商品進價是50﹣1000÷100＝40，設每周獲得利潤w＝（x﹣40）（﹣2x+220），再利用二次函數(shù)的性質可得到結論；（2）根據(jù)題意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，把x＝70，w＝2000代入函數(shù)解析式，解方程即可得到結論．【解答】解：（1）依題意設y＝kx+b，則有，解得：，所以y關于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+220；（2）該商品進價是60﹣2000÷100＝40，設每周獲得利潤為w元，則有w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+1450，∴當售價是75元/件時，周銷售利潤的最大利潤是2450元；（3）根據(jù)題意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，∵﹣2＜0，對稱軸x＞75，∴拋物線的開口向下，∵x≤70，∴w隨x的增大而增大，當x＝70時，w最大＝2000，即﹣2×702+（300+2m）×70﹣8800﹣220m＝2000，解得：m＝5．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用，重點是掌握求最值的問題．注意：數(shù)學應用題來源于實踐，用于實踐，在當今社會市場經(jīng)濟的環(huán)境下，應掌握一些有關商品價格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數(shù)求最值．9．（2022春?江陰市校級月考）據(jù)統(tǒng)計，某景區(qū)僅有A，B兩個景點，售票處出示的三種購票方式如表所示：購票方式甲乙丙可游玩景點ABA和B門票價格100元/人80元/人160元/人據(jù)預測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬．并且當甲、乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票．①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？【分析】①根據(jù)題意丙種門票價格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）計算，即可求景區(qū)六月份的門票總收入；②設丙種門票價格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元，由題意可得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化簡得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得結果．【解答】解：①由題意得：100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（萬元）．答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元；②設丙種門票價格降低x元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元，由題意，得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化簡，得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，∵﹣0.1＜0，∴當x＝24時，W取最大值，為817.6萬元．答：當丙種門票價格下降24元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，最大值是817.6萬元．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，解決本題的關鍵是掌握二次函數(shù)的應用．三．二次函數(shù)綜合題（共7小題）10．（2022秋?啟東市校級月考）已知二次函數(shù)y＝x2+x﹣（m為常數(shù)）．（1）若該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，2m），求m的值；（2）求證：無論m取何值，二次函數(shù)y＝x2+x﹣的圖象與x軸必有兩個交點；（3）若平行于x軸的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點A，B，且點A，B的橫坐標之和大于1，求m的取值范圍．【分析】（1）把點（1，2m）代入拋物線解析式即可得解；（2）計算判別式的值得到Δ＝+2，利用非負數(shù)的性質得到Δ＞0，然后根據(jù)判別式的意義得到結論；（3）將平行于x軸的直線y＝n與拋物線聯(lián)立得出關于x的方程，由其交點的橫坐標之和大于1可得出有關m的不等式，即可求解．【解答】（1）解：把點P（1，2m）代入拋物線y＝x2+x﹣中，得1+＝2m，解得：m＝；（2）證明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×（﹣）＝+2，∵無論m取何值，m2≥0，∴+2＞0，∴二次函數(shù)y＝x2+x﹣圖象與x軸必有兩個交點．（3）解：設平行于x軸的直線為y＝n，∵直線y＝n與該二次函數(shù)的圖象交于點A，B，∴，整理得，x2+x﹣﹣n＝0，若x1，x2是方程x2+x﹣﹣n＝0的兩根，則x1，x2是直線與拋物線交點A，B的橫坐標，∴x1+x2＝﹣，由題意得，﹣＞1，解得，m＜﹣2．∴m的取值范圍是m＜﹣2．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質；要求學生會利用判別式判斷拋物線與x軸的交點情況以及靈活運用根與系數(shù)的關系解題．11．（2022秋?啟東市校級月考）定義：在平面直角坐標系中，圖形G上點P（x，y）的縱坐標y與其橫坐標x的差y﹣x稱為P點的“坐標差”，記作Zp，而圖形G上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形G的“共享值”．（1）①點A（5，﹣1）的“坐標差”為﹣6；②求拋物線y＝﹣x2+7x的“共享值”；（2）某二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”為﹣1，點B（m，0）與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點，且點B與點C的“坐標差”相等．①直接寫出m＝﹣c；（用含c的式子表示）②求此二次函數(shù)的解析式．（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為原點，點D（4，0），以OD為直徑作⊙M，直線y＝x+b與⊙M相交于點E，F(xiàn)．請直接寫出⊙M的“共享值”為2﹣2．【分析】（1）①根據(jù)“坐標差”定義即可求；②根據(jù)“共享值”定義，利用二次函數(shù)的性質求最值即可；（2）①根據(jù)點B與點C的“坐標差”相等，推出B（﹣c，0），②將B點坐標代入拋物線解析式可得﹣c2﹣bc+c＝0，根據(jù)二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”為﹣1，可求出b的值，進而確定函數(shù)解析式；（3）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可設點E的坐標為（xE，xE+b），點F的坐標為（xF，xF+b），結合“坐標差”的定義可得出ZE＝ZF，作直線y＝x+n（n＞0）與⊙M相切，設切點為N，該直線與x軸交于點Q，利用等腰直角三角形的性質可求出點Q的坐標，再利用待定系數(shù)法可求出n值，結合“共享值”的定義即可找出⊙M的“共享值”．【解答】解：（1）①點A（5，﹣1）的“坐標差”為﹣1﹣5＝﹣6，故答案為：﹣6；②設P（x，y）是拋物線y＝﹣x2+7x上一點，坐標差＝﹣x2+7x﹣x＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，最大值為9，所以拋物線y＝﹣x2+7x的“共享值”為9；（2）①由題知C（0，c），∵點B與點C的“坐標差”相等，∴B（﹣c，0），故答案為：﹣c；②將B點坐標代入拋物線解析式，得﹣c2﹣bc+c＝0，∴c＝1﹣b或0（舍去），∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”為﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值為﹣1，∴＝﹣1，解得b＝3，∴c＝﹣2，∴二次函數(shù)的表達式為y＝﹣x2+3x﹣2；（3）∵點E，F(xiàn)在直線y＝x+b上，∴設點E的坐標為（xE，xE+b），點F的坐標為（xF，xF+b），∴ZE＝xE+b﹣xE＝b，ZF＝xF+b﹣xF＝b，∴ZE＝ZF．作直線y＝x+n（n＞0）與⊙M相切，設切點為N，該直線與x軸交于點Q，如圖所示．∵y﹣x＝x+n﹣x＝n，∴當直線y＝x+n（n＞0）與⊙M相切時，y﹣x的值為⊙M的“共享值”．∵∠NQM＝45°，MN⊥NQ，MN＝2，∴△MNQ為等腰直角三角形，∴MQ＝2，∴點Q的坐標為（2﹣2，0）．將Q（2﹣2，0）代入y＝x+n，得：0＝2﹣2+n，解得：n＝2﹣2，∴⊙M的“共享值”為2﹣2．故答案為：2﹣2．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及等腰直角三角形，解題的關鍵是：（1）①利用“坐標差”的定義求出點A的“坐標差”；②利用二次函數(shù)的性質求出y﹣x的最值；（2）①利用“坐標差”的定義找出m，c的關系；②利用待定系數(shù)法結合“共享值”的定義，找出關于b的方程；（3）①利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征設出點E，F(xiàn)的坐標；②利用切線的性質，找出⊙M上“坐標差”最大的點．12．（2022?淮安）如圖（1），二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），直線l經(jīng)過B、C兩點．（1）求該二次函數(shù)的表達式及其圖像的頂點坐標；（2）點P為直線l上的一點，過點P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點M，再過點M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點N，當PM＝MN時，求點P的橫坐標；（3）如圖（2），點C關于x軸的對稱點為點D，點P為線段BC上的一個動點，連接AP，點Q為線段AP上一點，且AQ＝3PQ，連接DQ，當3AP+4DQ的值最小時，直接寫出DQ的長．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），則PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，由題意可得方程|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，求解方程即可；（3）由題意可知Q點在平行于BC的線段上，設此線段與x軸的交點為G，由QG∥BC，求出點G（2，0），作A點關于GQ的對稱點A'，連接AD與AP交于點Q，則3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用對稱性和∠OBC＝45°，求出A'（2，3），求出直線DA'的解析式和直線QG的解析式，聯(lián)立方程組，可求點Q（，），再求DQ＝．【解答】解：（1）將點B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點坐標（1，4）；（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，設P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，∵PM＝MN，∴|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，解得t＝1+或t＝1﹣或t＝2+或t＝2﹣，∴P點橫坐標為1+或1﹣或2+或2﹣；（3）∵C（0，3），D點與C點關于x軸對稱，∴D（0，﹣3），令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴AB＝4，∵AQ＝3PQ，∴Q點在平行于BC的線段上，設此線段與x軸的交點為G，∴QG∥BC，∴＝，∴＝，∴AG＝3，∴G（2，0），∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，作A點關于GQ的對稱點A'，連接AD與AP交于點Q，∵AQ＝A'Q，∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，∴3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，∴∠A'AG＝45°，∵AG＝A'G，∴∠AA'G＝45°，∴∠AGA'＝90°，∴A'（2，3），設直線DA'的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝3x﹣3，同理可求直線QG的解析式為y＝﹣x+2，聯(lián)立方程組，解得，∴Q（，），∴DQ＝．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，利用軸對稱求最短距離的方法，解絕對值方程，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關鍵．13．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+2ax+c（a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AO＝CO，過點B的直線l與拋物線交于點D，與y軸交于點F．該拋物線的對稱軸EG交直線l于點E，與x軸交于點G，且DE：EF：FB＝1：1：1．（1）求該拋物線的解析式；（2）點M為拋物線上一點，∠MDB＝2∠BCO，求點M的坐標；（3）已知點P為拋物線對稱軸上的點，滿足在直線BD上存在唯一的點Q，使得∠PQG＝45°，求點P的坐標．【分析】（1）過點D作DH⊥x軸交于H，可知DH∥EG∥FO，則HG＝GO＝OB，設OB＝t，求出A（﹣3t，0），B（t，0），C（0，3t），再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設BD與y軸的交點為H，直線DM與y軸交點為F，過點F作FE⊥BD交于E，在OC上截取CG＝BG，則tan∠OGB＝tan∠FDB＝＝，設EF＝3a，則ED＝4a，求出直線BD的解析式可得∠OHB＝45°，GH＝，則EF＝EH＝3a，由此得DH＝2＝7a，進而求出F（0，），在求出直線DM的解析式為，通過聯(lián)立方程組，求出M（，）；作F點關于直線BD的對稱點N，設N（m，n），可得＝﹣+1①，（m+2）2+（n﹣3）2＝4+（﹣3）2②，聯(lián)立①②可得，可求直線DN的解析式為y＝﹣7x﹣11，再聯(lián)立方程組，能求出M（7，﹣60）；（3）作P、Q、G三點的外接圓R，過點R作RH⊥PG交于R，則△PRG是等腰直角三角形，由題意可知圓R與直線BD相切，切點為Q，設P（﹣1，2m），則R（﹣1+m，m），再由S△BEG＝S△BER+S△GER+S△BGR，求m＝2﹣，可得P（﹣1，4﹣2）；當P點與E點重合，Q點與B點重合時，P（﹣1，2）；當P點關于x軸對稱時，P（﹣1，﹣2）；Q點與直線BD與y軸的交點（0，1）重合時，∠PQG＝45°，P（﹣1，1）．【解答】解：（1）過點D作DH⊥x軸交于H，∴DH∥EG∥FO，∵DE：EF：FB＝1：1：1，∴HG＝GO＝OB，設OB＝t，∴BG＝2t，∵EG是對稱軸，∴AO＝3t，∵OC＝AO，∴CO＝3t，∴A（﹣3t，0），B（t，0），C（0，3t），將A、B、C三點代入y＝ax2+2ax+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）可知，B（1，0），C（0，3），A（﹣3，0），D（﹣2，3），設BD與y軸的交點為H，直線DM與y軸交點為F，過點F作FE⊥BD交于E，在OC上截取CG＝BG，∴∠GCB＝∠CBG，∴∠OGB＝2∠OCB，∵∠MDB＝2∠BCO，∴∠MDB＝∠OGB，∴CO＝3，∴OG＝3﹣CG，在Rt△OBG中，CG2＝1+（3﹣GC）2，解得CG＝，∴OG＝，∴tan∠OGB＝，∴tan∠FDB＝＝，設EF＝3a，則ED＝4a，設直線BD的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+1，∴H（0，1），∴OH＝OB＝1，∴∠OHB＝45°，GH＝，∴EF＝EH＝3a，∴BD＝3，∴DH＝2＝7a，∴a＝，∴EF＝，∴FH＝，∴F（0，），設直線DM的解析式為y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，聯(lián)立方程組，解得或，∴M（，）；作F點關于直線BD的對稱點N，設N（m，n），∴FN的中點為（，），∴＝﹣+1①，∵DN＝DF，∴（m+2）2+（n﹣3）2＝4+（﹣3）2②，聯(lián)立①②可得，可求直線DN的解析式為y＝﹣7x﹣11，聯(lián)立方程組，解得或，∴M（7，﹣60）；綜上所述：M點坐標為（，）或（7，﹣60）；（3）作P、Q、G三點的外接圓R，過點R作RH⊥PG交于R，∵∠PQG＝45°，∴∠PRG＝90°，∵PR＝RG，∴△PRG是等腰直角三角形，∵在直線BD上存在唯一的點Q，∴圓R與直線BD相切，切點為Q，設P（﹣1，2m），∵RP＝HR＝HG＝m，∴R（﹣1+m，m），∴S△BEG＝S△BER+S△GER+S△BGR＝×BR×m+BG×m+EG×m＝m×（BE+BG+EG）＝GE×BG，∵B（1，0），E（﹣1，2），G（﹣1，0），∴BE＝2，GB＝2，GE＝2，∴m×（4+2）＝2×2，解得m＝2﹣，∴P（﹣1，4﹣2）；當P點與E點重合，Q點與B點重合時，∠PQG＝45°，∴P（﹣1，2）；當P點關于x軸對稱時，P（﹣1，﹣2）；Q點與直線BD與y軸的交點（0，1）重合時，∠PQG＝45°，∴P（﹣1，1）；綜上所述：P點坐標為（﹣1，4﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，1）．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，三角形外接圓的性質，等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．14．（2022秋?通州區(qū)校級月考）平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2+2m+2與x軸有兩個交點．（1）當m＝﹣2時，求拋物線與x軸交點的坐標；（2）過點P（0，m﹣1）作直線l⊥y軸，拋物線的頂點A在直線l與x軸之間（不包含點A在直線l上），求m的范圍；（3）在（2）的條件下，設拋物線的對稱軸與直線l相交于點B，求△ABO的面積最大時m的值．【分析】（1）將m＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2+2m+2中，令y＝0可得結論；（2）先根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點可知Δ＞0，根據(jù)配方法可得點A的坐標，并根據(jù)已知列不等式可得結論；（3）根據(jù)三角形面積公式并結合配方法可得結論．【解答】解：（1）當m＝﹣2時，y＝x2+4x+4﹣4+2＝x2+4x+2，當y＝0時，x2+4x+2＝0，解得：x＝﹣2，∴拋物線與x軸交點的坐標為（﹣2+，0）和（﹣2﹣，0）；（2）如圖1，∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2+2m+2與x軸有兩個交點，∴Δ＝4m2﹣4×1×（m2+2m+2）＞0，∴m＜﹣1，∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，∴頂點A的坐標為（m，2m+2），∵過點P（0，m﹣1）作直線l⊥y軸，拋物線的頂點A在直線l與x軸之間（不包含點A在直線l上），∴2m+2＞m﹣1，∴m＞﹣3，∴m的范圍是：﹣3＜m＜﹣1；（3）如圖2，∵頂點A的坐標為（m，2m+2），P（0，m﹣1），∴AB＝2m+2﹣（m﹣1）＝m+3，∵△ABO的面積＝?AB?PB＝?（m+3）?（﹣m）＝﹣（m+）2+，當m＝﹣時，△ABO的面積有最大值．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線與x軸的交點，配方法的應用，根的判別式，最大值問題等知識，解題的關鍵是運用數(shù)形結合的思想，并結合配方法解決最大值問題．15．（2022秋?通州區(qū)校級月考）定義：若兩個函數(shù)的圖象關于某一點Q中心對稱，則稱這兩個函數(shù)關于點Q互為“對稱函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關于原點O互為“對稱函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝﹣x+1關于原點O的“對稱函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝x﹣1，函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1關于原點O的“對稱函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2﹣1；（2）已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關于點Q（0，1）互為“對稱函數(shù)”，若函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而減小，求x的取值范圍；（3）已知點A（0，1），點B（4，1），點C（2，0），二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），與函數(shù)N關于點C互為“對稱函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個公共點，直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）結合新定義利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用數(shù)形結合的方法結合圖象，利用新定義的規(guī)定解得即可；（3）利用分類討論的方法分三種情況解答：①當“對稱函數(shù)”的頂點在AB上時，求得函數(shù)N的頂點坐標，利用對稱性求得對稱點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求解；②當兩個函數(shù)的交點在AB上時，利用兩函數(shù)與x軸的交點坐標，求函數(shù)N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③當“對稱函數(shù)”經(jīng)過點B時，將坐標代入函數(shù)N的解析式即可確定a的取值范圍．【解答】解：（1）∵兩個函數(shù)是關于原點O的“對稱函數(shù)”，∴兩個函數(shù)的點分別關于原點中心對稱，設函數(shù)y＝x+1上的任一點為（x，y），則它的對稱點為（﹣x，﹣y），將（﹣x，﹣y）代入函數(shù)y＝x+1得：﹣y＝﹣x+1，∴y＝x﹣1．函數(shù)y＝x+1關于原點O的“對稱函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝x﹣1；同理可得，函數(shù)y＝（x﹣2）2+1關于原點O的“對稱函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝﹣（x+2）2﹣1，故答案為：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；（2）函數(shù)G的解析式為y＝﹣（x+1）2+3，如圖，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而減小，∵“對稱函數(shù)”的開口方向向下，∴在對稱軸的右側y隨自變量x的增大而減小，函數(shù)y＝x2﹣2x在對稱軸的左邊y隨自變量x的增大而減小，∴函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而減小，自變量x的取值范圍為﹣1＜x＜1；（3）①當“伴隨函數(shù)”的頂點在AB上時，如圖，∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a的對稱軸為直線x＝1，∵點C（2，0）為對稱中心，∴函數(shù)N的對稱軸為直線x＝3，∴函數(shù)N的頂點坐標為（3，1），∵（3，1）關于點C（2，0）對稱的點為（1，﹣1），∴將（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：a﹣2a﹣3a＝﹣1，∴a＝；②當兩個函數(shù)的交點在AB上時，如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸的交點為（﹣1，0）和（3，0），∵點C（2，0）為對稱中心，∴函數(shù)N與x軸的交點為（5，0）和（1，0），∴函數(shù)N的解析式為y＝﹣ax2+6ax﹣5a，當y＝1時，，解得：a＝；③當“伴隨函數(shù)”經(jīng)過點B時，如圖，∵點B（4，1），∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，解得：a＝．綜上，圖形W與線段AB恰有2個公共點，a的取值范圍為a＝或a＝或a＞．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質，拋物線與x軸的交點，中心對稱圖形的性質，拋物線上點的坐標的特征，本題是新定義型題目，理解新定義并熟練應用以及熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．16．（2022?天寧區(qū)校級二模）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c，點A（4，﹣3），對稱軸是直線x＝2．頂點為D．拋物線與y軸交于點C，連接AC，過點A作AB⊥x軸于點B，點E是線段AC上的動點（點E不與A、C兩點重合）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式和頂點D的坐標；（2）若直線DE將四邊形OBAC分成面積比為1：3的兩個四邊形，求點E的坐標；（3）如圖2，連接BE，作矩形BEFG，在點E的運動過程中，是否存在點G落在y軸上的同時點F也恰好落在拋物線上？若存在，求出此時AE的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用對稱軸公式求出b＝﹣2，再將點A（4，﹣3）代入y＝x2﹣x+c，即可求函數(shù)的解析式；（2）設E（t，﹣3），求出直線DE的解析式，設直線ED與x軸的交點為F，則F（4t﹣6，0），分兩種情況討論：當S梯形OCEF＝S矩形OCAB時，E（，﹣3）；當S梯形OCEF＝S矩形OCAB時，E（，﹣3）；（3）過點F作MN∥y軸，過點G作GM⊥MN交于M，過點C作CN⊥MN交于N，設E（t，﹣3），分別證明△MGF≌△AEB（AAS），△MFG∽△NEF，從而求出F（t﹣4，），再將F代入拋物線的解析式即可求t＝，再求AE的長即可．【解答】解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴﹣＝2，解得b＝﹣1，∴y＝x2﹣x+c，將點A（4，﹣3）代入y＝x2﹣x+c，∴4﹣4+c＝﹣3，解得c＝﹣3，∴y＝x2﹣x﹣3，∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，∴頂點D（2，﹣4）；（2）令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵AB⊥x軸，∴B（4，0），設E（t，﹣3），設直線DE的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+，設直線ED與x軸的交點為F，則F（4t﹣6，0），當S梯形OCEF＝S矩形OCAB時，∴×（4t﹣6+t）×3＝3×4×，解得t＝，∴E（，﹣3）；當S梯形OCEF＝S矩形OCAB時，∴×（4t﹣6+t）×3＝3×4×，解得t＝，∴E（，﹣3）；綜上所述：E點坐標為（，﹣3）或（，﹣3）；（3）存在點G落在y軸上的同時點F也恰好落在拋物線上，理由如下：過點F作MN∥y軸，過點G作GM⊥MN交于M，過點C作CN⊥MN交于N，∵四邊形BEFG是矩形，∴∠GFE＝∠FEB＝90°，∴∠MFG+∠NFE＝90°，∠MGF+∠MFG＝90°，∴∠MGF＝∠NFE，∵∠FEN+∠BEA＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠BEA＝∠EFN，∴∠MGF＝∠BEA，∵FG＝BE，∴△MGF≌△AEB（AAS），∴MG＝AE，MF＝AB，設E（t，﹣3），∴AE＝4﹣t＝MG，AB＝3＝MF，∵△MFG∽△NEF，∴＝，即＝，∴FN＝，∴F（t﹣4，），∵F在拋物線上，∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）﹣3＝，解得t＝4或t＝，∴點E不與A、C兩點重合，∴t＝，∴AE＝4﹣＝．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，三角形全等的判定及性質，三角形相似的判定及性質是解題的關鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·江蘇省天一中學三模）為了減少空氣污染，國家要求限制塑料玩具生產(chǎn)，這樣有時企業(yè)會被迫停產(chǎn)，經(jīng)過調研預測，某塑料玩具生產(chǎn)公司一年中每月獲得的利潤y（萬元）和月份n之間滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝﹣n2+14n﹣24，則沒有盈利的月份為（）A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月【答案】D【分析】根據(jù)題意可知沒有盈利時，利潤為0和小于0的月份都不合適，從而可以解答本題．【詳解】解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n為整數(shù)，∴當y=0時，n=2或n=12，當y＜0時，n=1，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．2．（2021·江蘇·吳江經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)實驗初級中學九年級月考）如圖，正方形邊長為4，、、、分別是、、、上的點，且．設、兩點間的距離為，四邊形的面積為，則與的函數(shù)圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了動點的函數(shù)圖象，先判定圖中的四個小直角三角形全等，再用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，得函數(shù)y的表達式，結合選項的圖象可得答案．【詳解】解：∵正方形ABCD邊長為4，AE=BF=CG=DH

∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG

∴y=4×4-x（4-x）×4

=16-8x+2x2

=2（x-2）2+8

∴y是x的二次函數(shù)，函數(shù)的頂點坐標為（2，8），開口向上，

從4個選項來看，開口向上的只有A和B，C和D圖象開口向下，不符合題意；

但是B的頂點在x軸上，故B不符合題意，只有A符合題意．

故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，正確地寫出函數(shù)解析式并數(shù)形結合分析是解題的關鍵．3．（2021·江蘇·蘇州市振華中學校九年級月考）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的造型是東方之門的立意基礎，“門”的內(nèi)側曲線呈拋物線型，如圖1，兩棟建筑第八層由一條長60m的連橋連接，在該拋物線兩側距連橋150m處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為30m，如圖2，則此拋物線頂端O到連橋AB距離為（）A．180m B．200m C．220m D．240m【答案】B【分析】以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標系，用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，則可知頂點的坐標，從而可得此拋物線頂端到連橋距離．【詳解】解：以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標系：，，，設拋物線的解析式為，將代入，得：，解得：，，拋物線頂端的坐標為，此拋物線頂端到連橋距離為．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，數(shù)形結合、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．4．（2021·江蘇吳中·二模）用一段長為20m的籬笆圍成一個矩形菜園，設菜園的對角線長為xm，面積為ym2，則y與x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設矩形的長為am，寬為bm，可得a+b＝10（m），由菜園的對角線長為xm，根據(jù)勾股定理a2+b2＝x2，由三角形成立條件與兩數(shù)差平方非負性可得，由公式配方可得即可．【詳解】解：設矩形的長為am，寬為bm，根據(jù)題意，得a+b＝20÷2＝10（m），∵菜園的對角線長為xm，∴a2+b2＝x2，∵x，，∴x2=a2+b2≥,僅當取等號，∴x2≥2×5×5，∴x≥，，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴102＝x2+2ab，∴，∴0≤y＜25，且x＝時，y＝25，∴y與x函數(shù)圖象是二次函數(shù)的圖象，即開口方向向下的拋物線．故選：B．【點睛】本題考查列二次函數(shù)解析式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積，掌握列二次函數(shù)解析式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積是解題關鍵．5．（2021·江蘇吳江·二模）用一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園，設菜園的對角線長為，面積為，則y與x的函數(shù)圖像大致是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設矩形的長為am，寬為bm，根據(jù)矩形的性質可得a+b=10，根據(jù)勾股定理可得a、b、x的關系，從而得出y與x的函數(shù)關系式，然后問題可求解．【詳解】解：設矩形的長為am，寬為bm，由題意得：，∵菜園的對角線長為，∴，∴a2+（10-a）2=x2，

整理，得2a2-20a+100=x2，

易得≤x＜10，

∵（a+b）2=a2+2ab+b2，

∴102=x2+2ab，∴，∴0≤y＜25，且x=時，y=25，∴y與x函數(shù)圖象是二次函數(shù)的圖象，即開口向下的拋物線；故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．6．（2021·江蘇昆山·九年級期中）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為（）A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【答案】A【分析】以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標系，用待定系數(shù)法求得外側拋物線的解析式，則可知點、的橫坐標，從而可得的長．【詳解】解：以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標系：，，設拋物線的解析式為，將代入，得：，解得：，拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，，，，故選：【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，數(shù)形結合、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．7．（2021·江蘇海安·九年級期中）如圖，在矩形中，，，動點P，Q同時從點A出發(fā)，點P沿A→B→C的路徑運動，點Q沿A→D→C的路徑運動，點P，Q的運動速度相同，當點P到達點C時，點Q也隨之停止運動，連接．設點P的運動路程為x，為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致是（）

A． B．

C．D．【答案】C【分析】分0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤7三種情況，分別畫出圖形，列出函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)圖象與性質逐項排除即可求解．【詳解】解：如圖1，當0≤x≤3時，，∴A選項錯誤，不合題意；如圖2，當3＜x≤4時，作QE⊥AB于E，，∴B選項錯誤，不合題意；如圖3，當4＜x≤7時，，∴選項D錯誤，不合題意．故選：C【點睛】本題為根據(jù)點的運動確定函數(shù)圖象，考查了分類討論、列函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象、勾股定理等知識，綜合性較強，根據(jù)題意分類討論，列出函數(shù)關系式是解題關鍵．二、填空題8．（2017·江蘇·創(chuàng)新外國語學校九年級月考）某種商品每件進價為20元，調查表明：在某段時間內(nèi)若以每件x元（，且x為整數(shù)）出售，可賣出件，若使利潤最大，則每件商品的售價應為_______元．【答案】25【分析】本題是營銷問題，基本等量關系：利潤=每件利潤×銷售量，每件利潤=每件售價-每件進價．再根據(jù)所列二次函數(shù)求最大值．【詳解】解：設利潤為w元，則w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，∵20≤x≤30，∴當x=25時，二次函數(shù)有最大值25，故答案是：25．【點睛】本題考查了把實際問題轉化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質進行實際應用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．9．（2021·江蘇昆山·九年級期中）如圖，長為9cm，寬為6cm的大矩形被分割為7個小矩形，除矩形A，B（陰影部分）外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小矩形則矩形A與矩形B面積和的最小值是____．【答案】【分析】設其余5塊形狀、大小完全相同的小矩形的短邊為x，根據(jù)圖形表示出矩形A與矩形B面積，求出面積和的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可．【詳解】解：設其余5塊形狀、大小完全相同的小矩形的短邊為x，根據(jù)圖中各邊關系可得：，，∴，當時，，符合題意，∴矩形A與矩形B面積和的最小值為：，故答案為：．【點睛】題目主要考查了矩形的性質、二次函數(shù)的應用及最值問題，理解題意，表示出兩個矩形的面積是解題關鍵．10．（2021·江蘇昆山·一模）如圖，矩形中AB＝2，AD＝5，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AD向終點D移動，設移動時間為t（s）．連接PC，以PC為一邊作正方形PCEF，連接DE、DF，則面積最小值為_________．【答案】【分析】由題意得：AP=t，PD=5-t，可求得，由正方形的性質得到，代入計算即可求解．【詳解】解：由題意得：AP=t，PD=5-t，∴，∵四邊形PCEF是正方形，∴，∵，∴，∴，∴當t=4時，△DEF的面積最小，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質、二次函數(shù)與動點問題、勾股定理，解題的關鍵是綜合利用相關知識解題．11．（2021·江蘇邗江·二模）定義：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設點P的坐標為，當x<0時，點P的變換點的坐標為；當時，點P的變換點的坐標為．拋物線與x軸交于點C，D（點C在點D的左側），頂點為E，點P在該拋物線上．若點P的變換點在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECP′D是菱形，則滿足該條件所有n值的和為________．【答案】-13【分析】根據(jù)四邊形ECP′D是菱形,點E與點P′關于x軸對稱，可求P′（2，-n）,根據(jù)變換當點P在y軸左側，P（-2，-n）,當點P在y軸右側，P（-n,-2），點P在上，或解方程即可．【詳解】解：∵四邊形ECP′D是菱形,點E與點P′關于x軸對稱，∵E（2，n）,∴P′（2，-n）,當點P在y軸左側，,P的坐標為，點P的變換點的坐標為；∴P（-2，-n）,∵點P在上，∴，∴；當點P在y軸右側，,P的坐標為，點P的變換點的坐標為．∴P（-n,-2），∵點P在上，∴，整理得，因式分解得，解得；∴n=-8或-2或-3．∴-8-2-3=-13，故答案為-13．【點睛】本題考查點的變換，二次函數(shù)性質，菱形性質，掌握點的變換特征，二次函數(shù)性質，菱形性質是解題關鍵．12．（2021·江蘇海安·九年級期中）如圖，小球從長度為8m的斜面頂端由靜止開始沿斜面滾下，速度每秒增加1m/s，則下列說法：①小球每秒滾動1米；②由靜止開始經(jīng)過1秒，小球滾動了0.5米；③小球滾動到斜面底端時需要4秒；④小球滾動的距離S與經(jīng)過的時間t的關系為；其中說法正確的是__________．（填寫序號）【答案】②③④【分析】根據(jù)題意表示出平均速度，根據(jù)滾動距離=平均速度乘以時間得出關系式，解答即可．【詳解】解：∵速度每秒增加1m/s，∴秒后小車的速度為m/s，平均速度為：m/s，∴小球滾動的距離S與經(jīng)過的時間t的關系為：，故④正確；∴小球由靜止開始第秒滾動的距離為：米，故①錯誤，②正確；小球滾動到斜面底端：，解得：（舍），故③正確，故答案為：②③④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意得出小球滾動的距離S與經(jīng)過的時間t的關系是解本題的關鍵．三、解答題13．（2021·江蘇昆山·九年級期中）某數(shù)學實驗小組為學校制作了一個如圖所示的三棱錐模型P﹣ABC，已知三條側棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且棱PB與PC的和為6米，PB＝2PA．現(xiàn)要給該模型的三個側面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的單價為60元/升．（1）設PA的長為x米，三個側面的面積之和為y平方米，試求y（平方米）關于x（米）的函數(shù)關系式；（2）若油漆工的工時費為10元/平方米，該實驗小組預算總費用為410元（即油漆費和工時費）．試通過計算判斷完成該模型的油漆工作是否會超出預算？【答案】（1）y關于x的函數(shù)關系式為y=-2x2+9x；（2）完成該模型的油漆工作不會超出預算．【分析】（1）先根據(jù)PA的長為x米，PB=2PA，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根據(jù)三棱錐的側面積等于三個直角三角形面積公之和列出函數(shù)解析式即可；（2）由（1）解析式，根據(jù)函數(shù)的性質求出最大面積，然后根據(jù)總費用=油漆費和工時費算出最大費用，然后與410比較即可．【詳解】解：（1）∵PA=x米，PB=2PA，PB+PC=6米，∴PB=2x米，PC=（6-2x）米，由題意，得：y=PA?PB+PA?PC+PB?PC=x?2x+x（6-2x）+×2x（6-2x）=x2+3x-x2+6x-2x2=-2x2+9x，∴y關于x的函數(shù)關系式為y=-2x2+9x；（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-）2+，∵-2＜0，∴當x=時，y有最大值，最大值，當y取得最大值時，需要總費用為：×（0.5×60+10）=405（元），∵405＜410，∴完成該模型的油漆工作不會超出預算．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，關鍵是根據(jù)等量關系列出函數(shù)關系式．14．（2021·江蘇新北·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動，如果點P的速度是2cm/s，點Q的速度是lcm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動的時間為ts，Rt△CPQ的面積Scm2．（1）用含t的代數(shù)式表示S．（2）當運動多少秒時，Rt△CPQ的面積等于5cm2？【答案】（1）；（2）當運動1或5秒時，Rt△CPQ的面積等于5cm2【分析】（1）先表示出AP=2t，CP=12-2t，再利用三角形面積公式即可求解；（2）把S=5代入，即可求解．【詳解】解：（1）由題意得：AP=2t，CQ=t，CP=12-2t，∴S=，即：；（2）當S=5時，，解得：t=1或5，答：當運動1或5秒時，Rt△CPQ的面積等于5cm2．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用以及解一元二次方程，根據(jù)數(shù)量關系，列出函數(shù)解析式是解題的關鍵．15．（2021·江蘇·揚州市梅嶺中學九年級月考）為滿足市場需求，某超市在端午節(jié)的前夕購進價格為3元/個的粽子，根據(jù)市場預測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌粽子的售價不能超過進價的.（1）該品牌粽子定價為多少元時，該超市每天的銷售利潤為800元.（2）該超市每天的銷售利潤能否達到1000元，若能，請求出該品牌每個粽子的售價，若不能，請說明理由.【答案】（1）5元；（2）不能，理由見解析．【分析】（1）設每個粽子的定價為x元時，由于每天的利潤為800元，根據(jù)利潤=（定價-進價）×銷售量，列出方程求解即可．（2）設每個粽子的定價為m元，則每天的利潤為w，根據(jù)題意寫出w關于m的二次函數(shù)，通過配方寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質可得答案．【詳解】解：（1）設每個粽子的定價為x元時，每天的利潤為800元，根據(jù)題意得，(x?3)(500?10×)＝800，解得x1=7，x2=5，∵售價不能超過進價的200%，∴x≤3×200%，即x≤6，∴x=5，∴定價為5元時，每天的利潤為800元．（2）不能．設每個粽子的定價為m元，則每天的利潤為w，則有：w=（m-3）（500-10×）=（m-3）（500-100m+400）=-100（m-3）（m-9）=-100（m2-12m+27）=-100[（m-6）2-9]=-100（m-6）2+900∵二次項系數(shù)為-100＜0，m≤6，∴∴當定價為6元時，每天的利潤最大，最大的利潤是900元，不能達到1000元．【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在實際問題中的應用，理清題中的數(shù)量關系正確列式是解題的關鍵．16．（2021·江蘇·南通田家炳中學九年級月考）年受疫情的影響，人們就業(yè)困難，為此政府大力支持創(chuàng)業(yè)，地攤文化風大街小巷．大學畢業(yè)生李強在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件元的學生護眼燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系可近似的看作次函數(shù)：．（1）小明每月獲得的利潤為（元），試問當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（2）如果小明想要每月獲得元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？【答案】（1）當銷售單價定為50元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是4000元；（2）小明想要每月獲得元的利潤，銷售單價應定為40元或60元．【分析】（1）根據(jù)總利潤=每件利潤×件數(shù)，列函數(shù)關系式，將其配方變?yōu)轫旤c式w，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解；（2）由w=3000元，建立一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：（1）每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系為：．∴w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=，∴w，∵a=-10＜0，函數(shù)開口向下，函數(shù)有最大值，當x=50時，w最大=4000元，∴當銷售單價定為50元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是4000元；（2）∵w=3000元，∴w，∴，∴，∴，，經(jīng)檢驗都符合題意，且都是原方程的解．∴小明想要每月獲得元的利潤，銷售單價應定為40元或60元．【點睛】本題考查列二次函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質求最值，一元二次方程的解法，掌握列二次函數(shù)解析式，會用配方法化為頂點式求最值，會一元二次方程的解法是解題關鍵．17．（2021·江蘇射陽·九年級月考）國慶期間，某商場銷售一種商品，進貨價為20元/件，當售價為24元/件時，每天的銷售量為200件，在銷售的過程中發(fā)現(xiàn)：銷售單價每上漲1元，每天的銷量就減少10件．設銷售單價為x（元/件）（x≥24），每天銷售利潤為y（元）．（1）直接寫出y與x的函數(shù)關系式為：；（2）若要使每天銷售利潤為1400元，求此時的銷售單價；（3）若每件小商品的售價不超過36元，求該商場每天銷售此商品的最大利潤．【答案】（1）；（2）此時的銷售單價為30元或34元；（3）該商場每天銷售此商品的最大利潤為1440元．【分析】（1）根據(jù)題意可直接進行求解；（2）由（1）及題意可得，進而求解方程即可；（3）由可得該二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質可求解．【詳解】解：（1）由題意得：y與x的函數(shù)關系式為：；故答案為；（2）由題意得：，解得：；答：此時的銷售單價為30元或34元．（3）由可得，∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，∵每件小商品的售價不超過36元，∴當時，該商場每天銷售此商品的利潤為最大，最大值為1440；答：該商場每天銷售此商品的最大利潤為1440元．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應用，熟練掌握二次函數(shù)的性質及一元二次方程的求解是解題的關鍵．18．（2021·江蘇·宜興市樹人中學九年級期中）某商場將每件進價為80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．經(jīng)過市場調查，發(fā)現(xiàn)這種商品的銷售單價每降低2元，其日銷量可增加16件．設該商品每件降價x元，商場一天可通過A商品獲利潤y元．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式（要展開化簡，不必寫出自變量x的取值范圍）．（2）A商品銷售單價為多少時，該商場每天通過A商品所獲的利潤最大？【答案】（1）y＝﹣8x2＋32x＋2560；（2）98元【分析】（1）商品每件降價x元時單價為（100﹣x）元，銷售量為（128＋8x）件，列出函數(shù)解析式，即可；（2）把二次函數(shù)化為頂點式，進而即可求解．【詳解】解：（1）由題意得，商品每