第11講 用二次函數(shù)解決問(wèn)題（3大考點(diǎn)）（解析版）

第11講用二次函數(shù)解決問(wèn)題（3大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向二次函數(shù)綜合應(yīng)用主要考察學(xué)生靈活運(yùn)用二次函數(shù)解析式及圖像性質(zhì)解決二次函數(shù)的綜合應(yīng)用在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，常考的主要有以下幾種類(lèi)型：（1）二次函數(shù)的生活應(yīng)用問(wèn)題，即實(shí)物拋物線型問(wèn)題，若題目中未給出坐標(biāo)系，則需要建立坐標(biāo)系求解，建立的原則：①所建立的坐標(biāo)系要使求出的二次函數(shù)表達(dá)式比較簡(jiǎn)單；②使已知點(diǎn)所在的位置適當(dāng)（如在x軸，y軸、原點(diǎn)、拋物線上等），方便求二次函數(shù)丶表達(dá)式和之后的計(jì)算求解.（2）二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，即最值問(wèn)題.解決最值應(yīng)用題要注意兩點(diǎn)：①設(shè)未知數(shù)，在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（最小）”的設(shè)問(wèn)中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；②求解最值時(shí)，一定要考慮頂點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)）的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi).（3）二次函數(shù)的純幾何面積問(wèn)題：由于面積等于兩條邊的乘積，所以幾何問(wèn)題的面積的最值問(wèn)題通常會(huì)通過(guò)二次函數(shù)來(lái)解決.同樣需注意自變量的取值范圍.（4）二次函數(shù)與一次函數(shù)相結(jié)合的應(yīng)用型問(wèn)題：分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；研究自變量的取值范圍；確定所得的函數(shù)；檢驗(yàn)x的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關(guān)的值；解決提出的實(shí)際問(wèn)題.（5）二次函數(shù)的綜合型問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題是每年中考必考題目，綜合性非常強(qiáng)，常涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、矩形、菱形、線段以及面積的最值問(wèn)題.考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式（共3小題）1．（2021秋?通州區(qū)期末）某商場(chǎng)第1年銷(xiāo)售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果每年的銷(xiāo)售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的銷(xiāo)售量為y臺(tái)，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為（）A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2 C．y＝5000+2x D．y＝5000x2【分析】首先表示出第二年的銷(xiāo)售量為5000（1+x），然后表示出第三年的銷(xiāo)售量為5000（1+x）2，從而確定答案．【解答】解：設(shè)每年的銷(xiāo)售量比上一年增加相同的百分率x，根據(jù)題意得：y＝5000（1+x）2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)的關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是分別表示出第二年和第三年的銷(xiāo)售量，難度中等．2．（2021秋?阜寧縣期末）一臺(tái)機(jī)器原價(jià)50萬(wàn)元，如果每年的折舊率是x，兩年后這臺(tái)機(jī)器的價(jià)格為y萬(wàn)元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝50（1﹣x）2．【分析】根據(jù)兩年后機(jī)器價(jià)值＝機(jī)器原價(jià)值×（1﹣折舊率）2可得函數(shù)解析式．【解答】解：根據(jù)題意，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝50（1﹣x）2，故答案為：y＝50（1﹣x）2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來(lái)確定．3．（2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)期末）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2m，水面寬4m．如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是y＝﹣．【分析】設(shè)出拋物線方程y＝ax2（a≠0）代入坐標(biāo)求得a．【解答】解：設(shè)出拋物線方程y＝ax2（a≠0），由圖象可知該圖象經(jīng)過(guò)（﹣2，﹣2）點(diǎn)，故﹣2＝4a，a＝﹣，故y＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．二．二次函數(shù)的應(yīng)用（共6小題）4．（2022?無(wú)錫）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，求此時(shí)x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？【分析】（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長(zhǎng)為＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合題意的解，即可得x的值為2；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是ym2，根據(jù)墻的長(zhǎng)度為10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質(zhì)即得當(dāng)x＝時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2．【解答】解：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長(zhǎng)為＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6時(shí)，3x＝18＞10不符合題意，舍去，∴x＝2，答：此時(shí)x的值為2；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是ym2，∵墻的長(zhǎng)度為10m，∴0＜x≤，根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，y取最大值，最大值為﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：當(dāng)x＝時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關(guān)系式．5．（2022秋?如皋市校級(jí)月考）為了落實(shí)勞動(dòng)教育，某學(xué)校邀請(qǐng)農(nóng)科院專(zhuān)家指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小番茄的種植，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，其平均單株產(chǎn)量y千克與每平方米種植的株數(shù)x（2≤x≤8，且x為整數(shù)）構(gòu)成一種函數(shù)關(guān)系．每平方米種植2株時(shí)，平均單株產(chǎn)量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（2）每平方米種植多少株時(shí)，能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？【分析】（1）由每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，（2）設(shè)每平方米小番茄產(chǎn)量為W千克，由產(chǎn)量＝每平方米種植株數(shù)×單株產(chǎn)量即可列函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）∵每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克，∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，答：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x為整數(shù)）；（2）設(shè)每平方米小番茄產(chǎn)量為W千克，根據(jù)題意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，∵﹣0.5＜0，∴當(dāng)x＝5時(shí)，W取最大值，最大值為12.5，答：每平方米種植5株時(shí)，能獲得最大的產(chǎn)量，最大產(chǎn)量為12.5千克．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．6．（2022?淮安）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種品牌粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費(fèi)用為7000元；第二次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費(fèi)用為8100元．（1）求A、B兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元；（2）當(dāng)B品牌粽子銷(xiāo)售價(jià)為每袋54元時(shí)，每天可售出20袋，為了促銷(xiāo)，該超市決定對(duì)B品牌粽子進(jìn)行降價(jià)銷(xiāo)售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若每袋的銷(xiāo)售價(jià)每降低1元，則每天的銷(xiāo)售量將增加5袋．當(dāng)B品牌粽子每袋的銷(xiāo)售價(jià)降低多少元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【分析】（1）A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是x元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)兩次進(jìn)貨情況，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)：利潤(rùn)＝（每臺(tái)實(shí)際售價(jià)﹣每臺(tái)進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量，列函數(shù)關(guān)系式，配方成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得函數(shù)的最大值；【解答】解：（1）A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是x元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)題意得，，解得，答：A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元；（2）設(shè)B品牌粽子每袋的銷(xiāo)售價(jià)降低a元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大，利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴當(dāng)B品牌粽子每袋的銷(xiāo)售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程組及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意準(zhǔn)確抓住相等關(guān)系，據(jù)此列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．7．（2022?淮陰區(qū)校級(jí)一模）近年來(lái)，電動(dòng)車(chē)駕駛安全越來(lái)越被重視．某商店銷(xiāo)售頭盔，每個(gè)進(jìn)價(jià)50元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，每月可銷(xiāo)售300個(gè)；售價(jià)每增加1元，銷(xiāo)售量將減少10個(gè)．為了提高銷(xiāo)售量，當(dāng)售價(jià)為80元時(shí)，啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨，此時(shí)售價(jià)每增加1元，需支付給主播300元．物價(jià)局對(duì)此頭盔規(guī)定：售價(jià)最高不超過(guò)110元．如圖中的折線ABC表示該品牌頭盔的銷(xiāo)售量y（單位：個(gè)）與售價(jià)x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)（80，100），并求線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨后，當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，該商家獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【分析】（1）當(dāng)x＝80時(shí)，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即點(diǎn)B（80，100），設(shè)線段BC的表達(dá)式為：y＝kx+b，將點(diǎn)（80，100）、（110，250）代入上式，即可求解；（2）當(dāng)60≤x≤80時(shí)，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，當(dāng)80≤x≤110時(shí)，w＝（x﹣50）（5x﹣300）＝5（x﹣85）2+2875，分別求取最大值，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)x＝80時(shí)，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即點(diǎn)B（80，100），設(shè)線段BC的表達(dá)式為：y＝kx+b，將點(diǎn)（80，100）、（110，250）代入上式得：，解得，故線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝5x﹣300；故答案為：（80，100）；（2）設(shè)啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨后，獲得的利潤(rùn)為w元，當(dāng)80≤x≤110時(shí)，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，當(dāng)x＝110時(shí)，w取得最大值為6000，故當(dāng)80≤x≤85時(shí)，w隨x的增大而減小，即w≤3000，當(dāng)85≤x≤110時(shí)，w隨x的增大而增大，即w≤15250．故當(dāng)x＝110時(shí)，w的值最大；綜上，當(dāng)售價(jià)為110元時(shí)，該商家獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6000．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷(xiāo)售利潤(rùn)的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x＝﹣時(shí)取得．8．（2022?如皋市二模）某商店銷(xiāo)售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷(xiāo)售量y（件）是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其售價(jià)、周銷(xiāo)售量、周銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）的三組對(duì)應(yīng)值如表：售價(jià)x（元/件）607080周銷(xiāo)售量y（件）1008060周銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）200024002400（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）直接寫(xiě)出該商品的進(jìn)價(jià)，并求出該商品周銷(xiāo)售利潤(rùn)的最大值；（3）由于某種原因，該商品進(jìn)價(jià)提高了m元/件（m＞0），物價(jià)部門(mén)規(guī)定該商品售價(jià)不得超過(guò)70元/件，該商店在今后的銷(xiāo)售中，周銷(xiāo)售量與售價(jià)仍然滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系．若周銷(xiāo)售最大利潤(rùn)是2000元，求m的值．【分析】（1）依題意設(shè)y＝kx+b，解方程組即可得到結(jié)論；（2）該商品進(jìn)價(jià)是50﹣1000÷100＝40，設(shè)每周獲得利潤(rùn)w＝（x﹣40）（﹣2x+220），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，把x＝70，w＝2000代入函數(shù)解析式，解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）依題意設(shè)y＝kx+b，則有，解得：，所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+220；（2）該商品進(jìn)價(jià)是60﹣2000÷100＝40，設(shè)每周獲得利潤(rùn)為w元，則有w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+1450，∴當(dāng)售價(jià)是75元/件時(shí)，周銷(xiāo)售利潤(rùn)的最大利潤(rùn)是2450元；（3）根據(jù)題意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+220）＝﹣2x2+（300+2m）x﹣8800﹣220m，∵﹣2＜0，對(duì)稱(chēng)軸x＞75，∴拋物線的開(kāi)口向下，∵x≤70，∴w隨x的增大而增大，當(dāng)x＝70時(shí)，w最大＝2000，即﹣2×702+（300+2m）×70﹣8800﹣220m＝2000，解得：m＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，重點(diǎn)是掌握求最值的問(wèn)題．注意：數(shù)學(xué)應(yīng)用題來(lái)源于實(shí)踐，用于實(shí)踐，在當(dāng)今社會(huì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，應(yīng)掌握一些有關(guān)商品價(jià)格和利潤(rùn)的知識(shí)，總利潤(rùn)等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數(shù)求最值．9．（2022春?江陰市校級(jí)月考）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某景區(qū)僅有A，B兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如表所示：購(gòu)票方式甲乙丙可游玩景點(diǎn)ABA和B門(mén)票價(jià)格100元/人80元/人160元/人據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬(wàn)、3萬(wàn)和2萬(wàn)．并且當(dāng)甲、乙兩種門(mén)票價(jià)格不變時(shí)，丙種門(mén)票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲種門(mén)票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)乙種門(mén)票的游客改為購(gòu)買(mǎi)丙種門(mén)票．①若丙種門(mén)票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門(mén)票總收入；②問(wèn)：將丙種門(mén)票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門(mén)票總收入有最大值？最大值是多少萬(wàn)元？【分析】①根據(jù)題意丙種門(mén)票價(jià)格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）計(jì)算，即可求景區(qū)六月份的門(mén)票總收入；②設(shè)丙種門(mén)票價(jià)格降低m元，景區(qū)六月份的門(mén)票總收入為W萬(wàn)元，由題意可得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化簡(jiǎn)得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果．【解答】解：①由題意得：100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（萬(wàn)元）．答：景區(qū)六月份的門(mén)票總收入為798萬(wàn)元；②設(shè)丙種門(mén)票價(jià)格降低x元，景區(qū)六月份的門(mén)票總收入為W萬(wàn)元，由題意，得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化簡(jiǎn)，得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，∵﹣0.1＜0，∴當(dāng)x＝24時(shí)，W取最大值，為817.6萬(wàn)元．答：當(dāng)丙種門(mén)票價(jià)格下降24元時(shí)，景區(qū)六月份的門(mén)票總收入有最大值，最大值是817.6萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的應(yīng)用．三．二次函數(shù)綜合題（共7小題）10．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝x2+x﹣（m為常數(shù)）．（1）若該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2m），求m的值；（2）求證：無(wú)論m取何值，二次函數(shù)y＝x2+x﹣的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）若平行于x軸的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之和大于1，求m的取值范圍．【分析】（1）把點(diǎn)（1，2m）代入拋物線解析式即可得解；（2）計(jì)算判別式的值得到Δ＝+2，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到Δ＞0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（3）將平行于x軸的直線y＝n與拋物線聯(lián)立得出關(guān)于x的方程，由其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和大于1可得出有關(guān)m的不等式，即可求解．【解答】（1）解：把點(diǎn)P（1，2m）代入拋物線y＝x2+x﹣中，得1+＝2m，解得：m＝；（2）證明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×（﹣）＝+2，∵無(wú)論m取何值，m2≥0，∴+2＞0，∴二次函數(shù)y＝x2+x﹣圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)．（3）解：設(shè)平行于x軸的直線為y＝n，∵直線y＝n與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，B，∴，整理得，x2+x﹣﹣n＝0，若x1，x2是方程x2+x﹣﹣n＝0的兩根，則x1，x2是直線與拋物線交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，∴x1+x2＝﹣，由題意得，﹣＞1，解得，m＜﹣2．∴m的取值范圍是m＜﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)；要求學(xué)生會(huì)利用判別式判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況以及靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題．11．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形G上點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y﹣x稱(chēng)為P點(diǎn)的“坐標(biāo)差”，記作Zp，而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱(chēng)為圖形G的“共享值”．（1）①點(diǎn)A（5，﹣1）的“坐標(biāo)差”為﹣6；②求拋物線y＝﹣x2+7x的“共享值”；（2）某二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”為﹣1，點(diǎn)B（m，0）與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等．①直接寫(xiě)出m＝﹣c；（用含c的式子表示）②求此二次函數(shù)的解析式．（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)D（4，0），以O(shè)D為直徑作⊙M，直線y＝x+b與⊙M相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙M的“共享值”為2﹣2．【分析】（1）①根據(jù)“坐標(biāo)差”定義即可求；②根據(jù)“共享值”定義，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；（2）①根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，推出B（﹣c，0），②將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得﹣c2﹣bc+c＝0，根據(jù)二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”為﹣1，可求出b的值，進(jìn)而確定函數(shù)解析式；（3）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（xE，xE+b），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（xF，xF+b），結(jié)合“坐標(biāo)差”的定義可得出ZE＝ZF，作直線y＝x+n（n＞0）與⊙M相切，設(shè)切點(diǎn)為N，該直線與x軸交于點(diǎn)Q，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出n值，結(jié)合“共享值”的定義即可找出⊙M的“共享值”．【解答】解：（1）①點(diǎn)A（5，﹣1）的“坐標(biāo)差”為﹣1﹣5＝﹣6，故答案為：﹣6；②設(shè)P（x，y）是拋物線y＝﹣x2+7x上一點(diǎn)，坐標(biāo)差＝﹣x2+7x﹣x＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，最大值為9，所以拋物線y＝﹣x2+7x的“共享值”為9；（2）①由題知C（0，c），∵點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等，∴B（﹣c，0），故答案為：﹣c；②將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得﹣c2﹣bc+c＝0，∴c＝1﹣b或0（舍去），∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“共享值”為﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值為﹣1，∴＝﹣1，解得b＝3，∴c＝﹣2，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+3x﹣2；（3）∵點(diǎn)E，F(xiàn)在直線y＝x+b上，∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（xE，xE+b），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（xF，xF+b），∴ZE＝xE+b﹣xE＝b，ZF＝xF+b﹣xF＝b，∴ZE＝ZF．作直線y＝x+n（n＞0）與⊙M相切，設(shè)切點(diǎn)為N，該直線與x軸交于點(diǎn)Q，如圖所示．∵y﹣x＝x+n﹣x＝n，∴當(dāng)直線y＝x+n（n＞0）與⊙M相切時(shí)，y﹣x的值為⊙M的“共享值”．∵∠NQM＝45°，MN⊥NQ，MN＝2，∴△MNQ為等腰直角三角形，∴MQ＝2，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2﹣2，0）．將Q（2﹣2，0）代入y＝x+n，得：0＝2﹣2+n，解得：n＝2﹣2，∴⊙M的“共享值”為2﹣2．故答案為：2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）①利用“坐標(biāo)差”的定義求出點(diǎn)A的“坐標(biāo)差”；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y﹣x的最值；（2）①利用“坐標(biāo)差”的定義找出m，c的關(guān)系；②利用待定系數(shù)法結(jié)合“共享值”的定義，找出關(guān)于b的方程；（3）①利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；②利用切線的性質(zhì)，找出⊙M上“坐標(biāo)差”最大的點(diǎn)．12．（2022?淮安）如圖（1），二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），直線l經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為直線l上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)M，再過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)N，當(dāng)PM＝MN時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖（2），點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)Q為線段AP上一點(diǎn)，且AQ＝3PQ，連接DQ，當(dāng)3AP+4DQ的值最小時(shí)，直接寫(xiě)出DQ的長(zhǎng)．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），則PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，由題意可得方程|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，求解方程即可；（3）由題意可知Q點(diǎn)在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點(diǎn)為G，由QG∥BC，求出點(diǎn)G（2，0），作A點(diǎn)關(guān)于GQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接AD與AP交于點(diǎn)Q，則3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用對(duì)稱(chēng)性和∠OBC＝45°，求出A'（2，3），求出直線DA'的解析式和直線QG的解析式，聯(lián)立方程組，可求點(diǎn)Q（，），再求DQ＝．【解答】解：（1）將點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，4）；（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，設(shè)P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，∵PM＝MN，∴|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，解得t＝1+或t＝1﹣或t＝2+或t＝2﹣，∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+或1﹣或2+或2﹣；（3）∵C（0，3），D點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴D（0，﹣3），令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），∴AB＝4，∵AQ＝3PQ，∴Q點(diǎn)在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點(diǎn)為G，∴QG∥BC，∴＝，∴＝，∴AG＝3，∴G（2，0），∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，作A點(diǎn)關(guān)于GQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接AD與AP交于點(diǎn)Q，∵AQ＝A'Q，∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，∴3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，∴∠A'AG＝45°，∵AG＝A'G，∴∠AA'G＝45°，∴∠AGA'＝90°，∴A'（2，3），設(shè)直線DA'的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝3x﹣3，同理可求直線QG的解析式為y＝﹣x+2，聯(lián)立方程組，解得，∴Q（，），∴DQ＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離的方法，解絕對(duì)值方程，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．13．（2022?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+2ax+c（a＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AO＝CO，過(guò)點(diǎn)B的直線l與拋物線交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)F．該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸EG交直線l于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)G，且DE：EF：FB＝1：1：1．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，∠MDB＝2∠BCO，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，滿足在直線BD上存在唯一的點(diǎn)Q，使得∠PQG＝45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸交于H，可知DH∥EG∥FO，則HG＝GO＝OB，設(shè)OB＝t，求出A（﹣3t，0），B（t，0），C（0，3t），再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)BD與y軸的交點(diǎn)為H，直線DM與y軸交點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥BD交于E，在OC上截取CG＝BG，則tan∠OGB＝tan∠FDB＝＝，設(shè)EF＝3a，則ED＝4a，求出直線BD的解析式可得∠OHB＝45°，GH＝，則EF＝EH＝3a，由此得DH＝2＝7a，進(jìn)而求出F（0，），在求出直線DM的解析式為，通過(guò)聯(lián)立方程組，求出M（，）；作F點(diǎn)關(guān)于直線BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，設(shè)N（m，n），可得＝﹣+1①，（m+2）2+（n﹣3）2＝4+（﹣3）2②，聯(lián)立①②可得，可求直線DN的解析式為y＝﹣7x﹣11，再聯(lián)立方程組，能求出M（7，﹣60）；（3）作P、Q、G三點(diǎn)的外接圓R，過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PG交于R，則△PRG是等腰直角三角形，由題意可知圓R與直線BD相切，切點(diǎn)為Q，設(shè)P（﹣1，2m），則R（﹣1+m，m），再由S△BEG＝S△BER+S△GER+S△BGR，求m＝2﹣，可得P（﹣1，4﹣2）；當(dāng)P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，P（﹣1，2）；當(dāng)P點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，P（﹣1，﹣2）；Q點(diǎn)與直線BD與y軸的交點(diǎn)（0，1）重合時(shí)，∠PQG＝45°，P（﹣1，1）．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸交于H，∴DH∥EG∥FO，∵DE：EF：FB＝1：1：1，∴HG＝GO＝OB，設(shè)OB＝t，∴BG＝2t，∵EG是對(duì)稱(chēng)軸，∴AO＝3t，∵OC＝AO，∴CO＝3t，∴A（﹣3t，0），B（t，0），C（0，3t），將A、B、C三點(diǎn)代入y＝ax2+2ax+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）可知，B（1，0），C（0，3），A（﹣3，0），D（﹣2，3），設(shè)BD與y軸的交點(diǎn)為H，直線DM與y軸交點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥BD交于E，在OC上截取CG＝BG，∴∠GCB＝∠CBG，∴∠OGB＝2∠OCB，∵∠MDB＝2∠BCO，∴∠MDB＝∠OGB，∴CO＝3，∴OG＝3﹣CG，在Rt△OBG中，CG2＝1+（3﹣GC）2，解得CG＝，∴OG＝，∴tan∠OGB＝，∴tan∠FDB＝＝，設(shè)EF＝3a，則ED＝4a，設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+1，∴H（0，1），∴OH＝OB＝1，∴∠OHB＝45°，GH＝，∴EF＝EH＝3a，∴BD＝3，∴DH＝2＝7a，∴a＝，∴EF＝，∴FH＝，∴F（0，），設(shè)直線DM的解析式為y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，聯(lián)立方程組，解得或，∴M（，）；作F點(diǎn)關(guān)于直線BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，設(shè)N（m，n），∴FN的中點(diǎn)為（，），∴＝﹣+1①，∵DN＝DF，∴（m+2）2+（n﹣3）2＝4+（﹣3）2②，聯(lián)立①②可得，可求直線DN的解析式為y＝﹣7x﹣11，聯(lián)立方程組，解得或，∴M（7，﹣60）；綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（7，﹣60）；（3）作P、Q、G三點(diǎn)的外接圓R，過(guò)點(diǎn)R作RH⊥PG交于R，∵∠PQG＝45°，∴∠PRG＝90°，∵PR＝RG，∴△PRG是等腰直角三角形，∵在直線BD上存在唯一的點(diǎn)Q，∴圓R與直線BD相切，切點(diǎn)為Q，設(shè)P（﹣1，2m），∵RP＝HR＝HG＝m，∴R（﹣1+m，m），∴S△BEG＝S△BER+S△GER+S△BGR＝×BR×m+BG×m+EG×m＝m×（BE+BG+EG）＝GE×BG，∵B（1，0），E（﹣1，2），G（﹣1，0），∴BE＝2，GB＝2，GE＝2，∴m×（4+2）＝2×2，解得m＝2﹣，∴P（﹣1，4﹣2）；當(dāng)P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，∠PQG＝45°，∴P（﹣1，2）；當(dāng)P點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，P（﹣1，﹣2）；Q點(diǎn)與直線BD與y軸的交點(diǎn)（0，1）重合時(shí)，∠PQG＝45°，∴P（﹣1，1）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4﹣2）或（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形外接圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?通州區(qū)校級(jí)月考）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2+2m+2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．（1）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，求拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)P（0，m﹣1）作直線l⊥y軸，拋物線的頂點(diǎn)A在直線l與x軸之間（不包含點(diǎn)A在直線l上），求m的范圍；（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線l相交于點(diǎn)B，求△ABO的面積最大時(shí)m的值．【分析】（1）將m＝﹣2代入y＝x2﹣2mx+m2+2m+2中，令y＝0可得結(jié)論；（2）先根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可知Δ＞0，根據(jù)配方法可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，并根據(jù)已知列不等式可得結(jié)論；（3）根據(jù)三角形面積公式并結(jié)合配方法可得結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，y＝x2+4x+4﹣4+2＝x2+4x+2，當(dāng)y＝0時(shí)，x2+4x+2＝0，解得：x＝﹣2，∴拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2+，0）和（﹣2﹣，0）；（2）如圖1，∵拋物線y＝x2﹣2mx+m2+2m+2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝4m2﹣4×1×（m2+2m+2）＞0，∴m＜﹣1，∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2m+2），∵過(guò)點(diǎn)P（0，m﹣1）作直線l⊥y軸，拋物線的頂點(diǎn)A在直線l與x軸之間（不包含點(diǎn)A在直線l上），∴2m+2＞m﹣1，∴m＞﹣3，∴m的范圍是：﹣3＜m＜﹣1；（3）如圖2，∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2m+2），P（0，m﹣1），∴AB＝2m+2﹣（m﹣1）＝m+3，∵△ABO的面積＝?AB?PB＝?（m+3）?（﹣m）＝﹣（m+）2+，當(dāng)m＝﹣時(shí)，△ABO的面積有最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，配方法的應(yīng)用，根的判別式，最大值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，并結(jié)合配方法解決最大值問(wèn)題．15．（2022秋?通州區(qū)校級(jí)月考）定義：若兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于某一點(diǎn)Q中心對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)Q互為“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關(guān)于原點(diǎn)O互為“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”．（1）函數(shù)y＝﹣x+1關(guān)于原點(diǎn)O的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝x﹣1，函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1關(guān)于原點(diǎn)O的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2﹣1；（2）已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關(guān)于點(diǎn)Q（0，1）互為“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”，若函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而減小，求x的取值范圍；（3）已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（4，1），點(diǎn)C（2，0），二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），與函數(shù)N關(guān)于點(diǎn)C互為“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出a的取值范圍．【分析】（1）結(jié)合新定義利用待定系數(shù)法解答即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的方法結(jié)合圖象，利用新定義的規(guī)定解得即可；（3）利用分類(lèi)討論的方法分三種情況解答：①當(dāng)“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的頂點(diǎn)在AB上時(shí)，求得函數(shù)N的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱(chēng)性求得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；②當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)在AB上時(shí)，利用兩函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求函數(shù)N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③當(dāng)“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，將坐標(biāo)代入函數(shù)N的解析式即可確定a的取值范圍．【解答】解：（1）∵兩個(gè)函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)O的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”，∴兩個(gè)函數(shù)的點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，設(shè)函數(shù)y＝x+1上的任一點(diǎn)為（x，y），則它的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（﹣x，﹣y），將（﹣x，﹣y）代入函數(shù)y＝x+1得：﹣y＝﹣x+1，∴y＝x﹣1．函數(shù)y＝x+1關(guān)于原點(diǎn)O的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝x﹣1；同理可得，函數(shù)y＝（x﹣2）2+1關(guān)于原點(diǎn)O的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的函數(shù)解析式為y＝﹣（x+2）2﹣1，故答案為：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；（2）函數(shù)G的解析式為y＝﹣（x+1）2+3，如圖，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而減小，∵“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”的開(kāi)口方向向下，∴在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)y隨自變量x的增大而減小，函數(shù)y＝x2﹣2x在對(duì)稱(chēng)軸的左邊y隨自變量x的增大而減小，∴函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而減小，自變量x的取值范圍為﹣1＜x＜1；（3）①當(dāng)“伴隨函數(shù)”的頂點(diǎn)在AB上時(shí)，如圖，∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，∵點(diǎn)C（2，0）為對(duì)稱(chēng)中心，∴函數(shù)N的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝3，∴函數(shù)N的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），∵（3，1）關(guān)于點(diǎn)C（2，0）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（1，﹣1），∴將（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：a﹣2a﹣3a＝﹣1，∴a＝；②當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)在AB上時(shí)，如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0）和（3，0），∵點(diǎn)C（2，0）為對(duì)稱(chēng)中心，∴函數(shù)N與x軸的交點(diǎn)為（5，0）和（1，0），∴函數(shù)N的解析式為y＝﹣ax2+6ax﹣5a，當(dāng)y＝1時(shí)，，解得：a＝；③當(dāng)“伴隨函數(shù)”經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如圖，∵點(diǎn)B（4，1），∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，解得：a＝．綜上，圖形W與線段AB恰有2個(gè)公共點(diǎn)，a的取值范圍為a＝或a＝或a＞．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，本題是新定義型題目，理解新定義并熟練應(yīng)用以及熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022?天寧區(qū)校級(jí)二模）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c，點(diǎn)A（4，﹣3），對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝2．頂點(diǎn)為D．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A、C兩點(diǎn)重合）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若直線DE將四邊形OBAC分成面積比為1：3的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，連接BE，作矩形BEFG，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F也恰好落在拋物線上？若存在，求出此時(shí)AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用對(duì)稱(chēng)軸公式求出b＝﹣2，再將點(diǎn)A（4，﹣3）代入y＝x2﹣x+c，即可求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)E（t，﹣3），求出直線DE的解析式，設(shè)直線ED與x軸的交點(diǎn)為F，則F（4t﹣6，0），分兩種情況討論：當(dāng)S梯形OCEF＝S矩形OCAB時(shí)，E（，﹣3）；當(dāng)S梯形OCEF＝S矩形OCAB時(shí)，E（，﹣3）；（3）過(guò)點(diǎn)F作MN∥y軸，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥MN交于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MN交于N，設(shè)E（t，﹣3），分別證明△MGF≌△AEB（AAS），△MFG∽△NEF，從而求出F（t﹣4，），再將F代入拋物線的解析式即可求t＝，再求AE的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，∴﹣＝2，解得b＝﹣1，∴y＝x2﹣x+c，將點(diǎn)A（4，﹣3）代入y＝x2﹣x+c，∴4﹣4+c＝﹣3，解得c＝﹣3，∴y＝x2﹣x﹣3，∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣2）2﹣4，∴頂點(diǎn)D（2，﹣4）；（2）令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵AB⊥x軸，∴B（4，0），設(shè)E（t，﹣3），設(shè)直線DE的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+，設(shè)直線ED與x軸的交點(diǎn)為F，則F（4t﹣6，0），當(dāng)S梯形OCEF＝S矩形OCAB時(shí)，∴×（4t﹣6+t）×3＝3×4×，解得t＝，∴E（，﹣3）；當(dāng)S梯形OCEF＝S矩形OCAB時(shí)，∴×（4t﹣6+t）×3＝3×4×，解得t＝，∴E（，﹣3）；綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣3）或（，﹣3）；（3）存在點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F也恰好落在拋物線上，理由如下：過(guò)點(diǎn)F作MN∥y軸，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥MN交于M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MN交于N，∵四邊形BEFG是矩形，∴∠GFE＝∠FEB＝90°，∴∠MFG+∠NFE＝90°，∠MGF+∠MFG＝90°，∴∠MGF＝∠NFE，∵∠FEN+∠BEA＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠BEA＝∠EFN，∴∠MGF＝∠BEA，∵FG＝BE，∴△MGF≌△AEB（AAS），∴MG＝AE，MF＝AB，設(shè)E（t，﹣3），∴AE＝4﹣t＝MG，AB＝3＝MF，∵△MFG∽△NEF，∴＝，即＝，∴FN＝，∴F（t﹣4，），∵F在拋物線上，∴（t﹣4）2﹣（t﹣4）﹣3＝，解得t＝4或t＝，∴點(diǎn)E不與A、C兩點(diǎn)重合，∴t＝，∴AE＝4﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·江蘇省天一中學(xué)三模）為了減少空氣污染，國(guó)家要求限制塑料玩具生產(chǎn)，這樣有時(shí)企業(yè)會(huì)被迫停產(chǎn)，經(jīng)過(guò)調(diào)研預(yù)測(cè)，某塑料玩具生產(chǎn)公司一年中每月獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）和月份n之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣n2+14n﹣24，則沒(méi)有盈利的月份為（）A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月【答案】D【分析】根據(jù)題意可知沒(méi)有盈利時(shí)，利潤(rùn)為0和小于0的月份都不合適，從而可以解答本題．【詳解】解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12且n為整數(shù)，∴當(dāng)y=0時(shí)，n=2或n=12，當(dāng)y＜0時(shí)，n=1，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．2．（2021·江蘇·吳江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，、、、分別是、、、上的點(diǎn)，且．設(shè)、兩點(diǎn)間的距離為，四邊形的面積為，則與的函數(shù)圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，先判定圖中的四個(gè)小直角三角形全等，再用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，得函數(shù)y的表達(dá)式，結(jié)合選項(xiàng)的圖象可得答案．【詳解】解：∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，AE=BF=CG=DH

∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG

∴y=4×4-x（4-x）×4

=16-8x+2x2

=2（x-2）2+8

∴y是x的二次函數(shù)，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8），開(kāi)口向上，

從4個(gè)選項(xiàng)來(lái)看，開(kāi)口向上的只有A和B，C和D圖象開(kāi)口向下，不符合題意；

但是B的頂點(diǎn)在x軸上，故B不符合題意，只有A符合題意．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，正確地寫(xiě)出函數(shù)解析式并數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇·蘇州市振華中學(xué)校九年級(jí)月考）蘇州市“東方之門(mén)”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門(mén)”的造型是東方之門(mén)的立意基礎(chǔ)，“門(mén)”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖1，兩棟建筑第八層由一條長(zhǎng)60m的連橋連接，在該拋物線兩側(cè)距連橋150m處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為30m，如圖2，則此拋物線頂端O到連橋AB距離為（）A．180m B．200m C．220m D．240m【答案】B【分析】以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，則可知頂點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得此拋物線頂端到連橋距離．【詳解】解：以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系：，，，設(shè)拋物線的解析式為，將代入，得：，解得：，，拋物線頂端的坐標(biāo)為，此拋物線頂端到連橋距離為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇吳中·二模）用一段長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，設(shè)菜園的對(duì)角線長(zhǎng)為xm，面積為ym2，則y與x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為am，寬為bm，可得a+b＝10（m），由菜園的對(duì)角線長(zhǎng)為xm，根據(jù)勾股定理a2+b2＝x2，由三角形成立條件與兩數(shù)差平方非負(fù)性可得，由公式配方可得即可．【詳解】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為am，寬為bm，根據(jù)題意，得a+b＝20÷2＝10（m），∵菜園的對(duì)角線長(zhǎng)為xm，∴a2+b2＝x2，∵x，，∴x2=a2+b2≥,僅當(dāng)取等號(hào)，∴x2≥2×5×5，∴x≥，，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴102＝x2+2ab，∴，∴0≤y＜25，且x＝時(shí)，y＝25，∴y與x函數(shù)圖象是二次函數(shù)的圖象，即開(kāi)口方向向下的拋物線．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查列二次函數(shù)解析式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積，掌握列二次函數(shù)解析式，自變量取值范圍，完全平方公式，矩形面積是解題關(guān)鍵．5．（2021·江蘇吳江·二模）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，設(shè)菜園的對(duì)角線長(zhǎng)為，面積為，則y與x的函數(shù)圖像大致是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為am，寬為bm，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得a+b=10，根據(jù)勾股定理可得a、b、x的關(guān)系，從而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為am，寬為bm，由題意得：，∵菜園的對(duì)角線長(zhǎng)為，∴，∴a2+（10-a）2=x2，

整理，得2a2-20a+100=x2，

易得≤x＜10，

∵（a+b）2=a2+2ab+b2，

∴102=x2+2ab，∴，∴0≤y＜25，且x=時(shí)，y=25，∴y與x函數(shù)圖象是二次函數(shù)的圖象，即開(kāi)口向下的拋物線；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇昆山·九年級(jí)期中）如圖①，“東方之門(mén)”通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門(mén)”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長(zhǎng)）為（）A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【答案】A【分析】以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得外側(cè)拋物線的解析式，則可知點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，從而可得的長(zhǎng)．【詳解】解：以底部所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系：，，設(shè)拋物線的解析式為，將代入，得：，解得：，拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，，，，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇海安·九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿A→D→C的路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

A． B．

C．D．【答案】C【分析】分0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤7三種情況，分別畫(huà)出圖形，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可求解．【詳解】解：如圖1，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；如圖2，當(dāng)3＜x≤4時(shí)，作QE⊥AB于E，，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；如圖3，當(dāng)4＜x≤7時(shí)，，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不合題意．故選：C【點(diǎn)睛】本題為根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)確定函數(shù)圖象，考查了分類(lèi)討論、列函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象、勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，根據(jù)題意分類(lèi)討論，列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．二、填空題8．（2017·江蘇·創(chuàng)新外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)月考）某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元（，且x為整數(shù)）出售，可賣(mài)出件，若使利潤(rùn)最大，則每件商品的售價(jià)應(yīng)為_(kāi)______元．【答案】25【分析】本題是營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題，基本等量關(guān)系：利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，每件利潤(rùn)=每件售價(jià)-每件進(jìn)價(jià)．再根據(jù)所列二次函數(shù)求最大值．【詳解】解：設(shè)利潤(rùn)為w元，則w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，∵20≤x≤30，∴當(dāng)x=25時(shí)，二次函數(shù)有最大值25，故答案是：25．【點(diǎn)睛】本題考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．9．（2021·江蘇昆山·九年級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)為9cm，寬為6cm的大矩形被分割為7個(gè)小矩形，除矩形A，B（陰影部分）外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小矩形則矩形A與矩形B面積和的最小值是____．【答案】【分析】設(shè)其余5塊形狀、大小完全相同的小矩形的短邊為x，根據(jù)圖形表示出矩形A與矩形B面積，求出面積和的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)其余5塊形狀、大小完全相同的小矩形的短邊為x，根據(jù)圖中各邊關(guān)系可得：，，∴，當(dāng)時(shí)，，符合題意，∴矩形A與矩形B面積和的最小值為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查了矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用及最值問(wèn)題，理解題意，表示出兩個(gè)矩形的面積是解題關(guān)鍵．10．（2021·江蘇昆山·一模）如圖，矩形中AB＝2，AD＝5，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AD向終點(diǎn)D移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．連接PC，以PC為一邊作正方形PCEF，連接DE、DF，則面積最小值為_(kāi)________．【答案】【分析】由題意得：AP=t，PD=5-t，可求得，由正方形的性質(zhì)得到，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：由題意得：AP=t，PD=5-t，∴，∵四邊形PCEF是正方形，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)t=4時(shí)，△DEF的面積最小，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合利用相關(guān)知識(shí)解題．11．（2021·江蘇邗江·二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)x<0時(shí)，點(diǎn)P的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為．拋物線與x軸交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），頂點(diǎn)為E，點(diǎn)P在該拋物線上．若點(diǎn)P的變換點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且四邊形ECP′D是菱形，則滿足該條件所有n值的和為_(kāi)_______．【答案】-13【分析】根據(jù)四邊形ECP′D是菱形,點(diǎn)E與點(diǎn)P′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，可求P′（2，-n）,根據(jù)變換當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)，P（-2，-n）,當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，P（-n,-2），點(diǎn)P在上，或解方程即可．【詳解】解：∵四邊形ECP′D是菱形,點(diǎn)E與點(diǎn)P′關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∵E（2，n）,∴P′（2，-n）,當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)，,P的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為；∴P（-2，-n）,∵點(diǎn)P在上，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，,P的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴P（-n,-2），∵點(diǎn)P在上，∴，整理得，因式分解得，解得；∴n=-8或-2或-3．∴-8-2-3=-13，故答案為-13．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的變換，二次函數(shù)性質(zhì)，菱形性質(zhì)，掌握點(diǎn)的變換特征，二次函數(shù)性質(zhì)，菱形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2021·江蘇海安·九年級(jí)期中）如圖，小球從長(zhǎng)度為8m的斜面頂端由靜止開(kāi)始沿斜面滾下，速度每秒增加1m/s，則下列說(shuō)法：①小球每秒滾動(dòng)1米；②由靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)1秒，小球滾動(dòng)了0.5米；③小球滾動(dòng)到斜面底端時(shí)需要4秒；④小球滾動(dòng)的距離S與經(jīng)過(guò)的時(shí)間t的關(guān)系為；其中說(shuō)法正確的是__________．（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】②③④【分析】根據(jù)題意表示出平均速度，根據(jù)滾動(dòng)距離=平均速度乘以時(shí)間得出關(guān)系式，解答即可．【詳解】解：∵速度每秒增加1m/s，∴秒后小車(chē)的速度為m/s，平均速度為：m/s，∴小球滾動(dòng)的距離S與經(jīng)過(guò)的時(shí)間t的關(guān)系為：，故④正確；∴小球由靜止開(kāi)始第秒滾動(dòng)的距離為：米，故①錯(cuò)誤，②正確；小球滾動(dòng)到斜面底端：，解得：（舍），故③正確，故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出小球滾動(dòng)的距離S與經(jīng)過(guò)的時(shí)間t的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2021·江蘇昆山·九年級(jí)期中）某數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)小組為學(xué)校制作了一個(gè)如圖所示的三棱錐模型P﹣ABC，已知三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且棱PB與PC的和為6米，PB＝2PA．現(xiàn)要給該模型的三個(gè)側(cè)面（即Rt△PAB，Rt△PBC，Rt△PAC）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的單價(jià)為60元/升．（1）設(shè)PA的長(zhǎng)為x米，三個(gè)側(cè)面的面積之和為y平方米，試求y（平方米）關(guān)于x（米）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若油漆工的工時(shí)費(fèi)為10元/平方米，該實(shí)驗(yàn)小組預(yù)算總費(fèi)用為410元（即油漆費(fèi)和工時(shí)費(fèi)）．試通過(guò)計(jì)算判斷完成該模型的油漆工作是否會(huì)超出預(yù)算？【答案】（1）y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x2+9x；（2）完成該模型的油漆工作不會(huì)超出預(yù)算．【分析】（1）先根據(jù)PA的長(zhǎng)為x米，PB=2PA，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根據(jù)三棱錐的側(cè)面積等于三個(gè)直角三角形面積公之和列出函數(shù)解析式即可；（2）由（1）解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大面積，然后根據(jù)總費(fèi)用=油漆費(fèi)和工時(shí)費(fèi)算出最大費(fèi)用，然后與410比較即可．【詳解】解：（1）∵PA=x米，PB=2PA，PB+PC=6米，∴PB=2x米，PC=（6-2x）米，由題意，得：y=PA?PB+PA?PC+PB?PC=x?2x+x（6-2x）+×2x（6-2x）=x2+3x-x2+6x-2x2=-2x2+9x，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x2+9x；（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-）2+，∵-2＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，最大值，當(dāng)y取得最大值時(shí)，需要總費(fèi)用為：×（0.5×60+10）=405（元），∵405＜410，∴完成該模型的油漆工作不會(huì)超出預(yù)算．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式．14．（2021·江蘇新北·九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是lcm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，Rt△CPQ的面積Scm2．（1）用含t的代數(shù)式表示S．（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，Rt△CPQ的面積等于5cm2？【答案】（1）；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)1或5秒時(shí)，Rt△CPQ的面積等于5cm2【分析】（1）先表示出AP=2t，CP=12-2t，再利用三角形面積公式即可求解；（2）把S=5代入，即可求解．【詳解】解：（1）由題意得：AP=2t，CQ=t，CP=12-2t，∴S=，即：；（2）當(dāng)S=5時(shí)，，解得：t=1或5，答：當(dāng)運(yùn)動(dòng)1或5秒時(shí)，Rt△CPQ的面積等于5cm2．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及解一元二次方程，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇·揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)九年級(jí)月考）為滿足市場(chǎng)需求，某超市在端午節(jié)的前夕購(gòu)進(jìn)價(jià)格為3元/個(gè)的粽子，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該品牌粽子每個(gè)售價(jià)4元時(shí)，每天能出售500個(gè)，并且售價(jià)每上漲0.1元，其銷(xiāo)售量將減少10個(gè)，為了維護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該品牌粽子的售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的.（1）該品牌粽子定價(jià)為多少元時(shí)，該超市每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為800元.（2）該超市每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)能否達(dá)到1000元，若能，請(qǐng)求出該品牌每個(gè)粽子的售價(jià)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）5元；（2）不能，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)每個(gè)粽子的定價(jià)為x元時(shí)，由于每天的利潤(rùn)為800元，根據(jù)利潤(rùn)=（定價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量，列出方程求解即可．（2）設(shè)每個(gè)粽子的定價(jià)為m元，則每天的利潤(rùn)為w，根據(jù)題意寫(xiě)出w關(guān)于m的二次函數(shù)，通過(guò)配方寫(xiě)成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）設(shè)每個(gè)粽子的定價(jià)為x元時(shí)，每天的利潤(rùn)為800元，根據(jù)題意得，(x?3)(500?10×)＝800，解得x1=7，x2=5，∵售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的200%，∴x≤3×200%，即x≤6，∴x=5，∴定價(jià)為5元時(shí)，每天的利潤(rùn)為800元．（2）不能．設(shè)每個(gè)粽子的定價(jià)為m元，則每天的利潤(rùn)為w，則有：w=（m-3）（500-10×）=（m-3）（500-100m+400）=-100（m-3）（m-9）=-100（m2-12m+27）=-100[（m-6）2-9]=-100（m-6）2+900∵二次項(xiàng)系數(shù)為-100＜0，m≤6，∴∴當(dāng)定價(jià)為6元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，最大的利潤(rùn)是900元，不能達(dá)到1000元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系正確列式是解題的關(guān)鍵．16．（2021·江蘇·南通田家炳中學(xué)九年級(jí)月考）年受疫情的影響，人們就業(yè)困難，為此政府大力支持創(chuàng)業(yè)，地?cái)偽幕L(fēng)大街小巷．大學(xué)畢業(yè)生李強(qiáng)在政府的扶持下投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件元的學(xué)生護(hù)眼燈．銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷(xiāo)售量（件）與銷(xiāo)售單價(jià)（元）之間的關(guān)系可近似的看作次函數(shù)：．（1）小明每月獲得的利潤(rùn)為（元），試問(wèn)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（2）如果小明想要每月獲得元的利潤(rùn)，那么銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】（1）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為50元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是4000元；（2）小明想要每月獲得元的利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為40元或60元．【分析】（1）根據(jù)總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×件數(shù)，列函數(shù)關(guān)系式，將其配方變?yōu)轫旤c(diǎn)式w，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由w=3000元，建立一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：（1）每月銷(xiāo)售量（件）與銷(xiāo)售單價(jià)（元）之間的關(guān)系為：．∴w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=，∴w，∵a=-10＜0，函數(shù)開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，當(dāng)x=50時(shí)，w最大=4000元，∴當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為50元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是4000元；（2）∵w=3000元，∴w，∴，∴，∴，，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，且都是原方程的解．∴小明想要每月獲得元的利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為40元或60元．【點(diǎn)睛】本題考查列二次函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值，一元二次方程的解法，掌握列二次函數(shù)解析式，會(huì)用配方法化為頂點(diǎn)式求最值，會(huì)一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．17．（2021·江蘇射陽(yáng)·九年級(jí)月考）國(guó)慶期間，某商場(chǎng)銷(xiāo)售一種商品，進(jìn)貨價(jià)為20元/件，當(dāng)售價(jià)為24元/件時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為200件，在銷(xiāo)售的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)量就減少10件．設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x（元/件）（x≥24），每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為y（元）．（1）直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）若要使每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為1400元，求此時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)；（3）若每件小商品的售價(jià)不超過(guò)36元，求該商場(chǎng)每天銷(xiāo)售此商品的最大利潤(rùn)．【答案】（1）；（2）此時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)為30元或34元；（3）該商場(chǎng)每天銷(xiāo)售此商品的最大利潤(rùn)為1440元．【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）由（1）及題意可得，進(jìn)而求解方程即可；（3）由可得該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）由題意得：y與x的函數(shù)關(guān)系式為：；故答案為；（2）由題意得：，解得：；答：此時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)為30元或34元．（3）由可得，∴該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵每件小商品的售價(jià)不超過(guò)36元，∴當(dāng)時(shí)，該商場(chǎng)每天銷(xiāo)售此商品的利潤(rùn)為最大，最大值為1440；答：該商場(chǎng)每天銷(xiāo)售此商品的最大利潤(rùn)為1440元．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及一元二次方程的求解是解題的關(guān)鍵．18．（2021·江蘇·宜興市樹(shù)人中學(xué)九年級(jí)期中）某商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品的銷(xiāo)售單價(jià)每降低2元，其日銷(xiāo)量可增加16件．設(shè)該商品每件降價(jià)x元，商場(chǎng)一天可通過(guò)A商品獲利潤(rùn)y元．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式（要展開(kāi)化簡(jiǎn)，不必寫(xiě)出自變量x的取值范圍）．（2）A商品銷(xiāo)售單價(jià)為多少時(shí)，該商場(chǎng)每天通過(guò)A商品所獲的利潤(rùn)最大？【答案】（1）y＝﹣8x2＋32x＋2560；（2）98元【分析】（1）商品每件降價(jià)x元時(shí)單價(jià)為（100﹣x）元，銷(xiāo)售量為（128＋8x）件，列出函數(shù)解析式，即可；（2）把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）由題意得，商品每