浙江省瑞安八校2024年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省瑞安八校2024年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，設(shè)為內(nèi)一點，且，則與的面積之比為A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則的最大值為()A． B． C． D．3．已知集合，，，則的子集共有（）A．個 B．個 C．個 D．個4．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．5．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交6．已知雙曲線的一個焦點為，點是的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點，以為直徑的圓過且交的左支于兩點，若，的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．7．函數(shù)的對稱軸不可能為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為，將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度后得到函數(shù)圖象，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．9．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．210．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．在等差數(shù)列中，若為前項和，，則的值是（）A．156 B．124 C．136 D．18012．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.14．展開式中項系數(shù)為160，則的值為______.15．設(shè)為正實數(shù)，若則的取值范圍是__________．16．已知向量，，且，則實數(shù)m的值是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年入冬時節(jié)，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會，增強身體素質(zhì)，積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項目中隨機選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機構(gòu)對他們的鍛煉成果進(jìn)行評估打分（滿分為100分）并且認(rèn)為評分不低于80分的參與者擅長冰上運動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運動進(jìn)行統(tǒng)計，請將下列列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運動與性別有關(guān)系？擅長不擅長合計男性30女性50合計1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）18．（12分）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！保?Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕剩?Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?！钡娜藬?shù),求的分布列及．19．（12分）已知函數(shù)，設(shè)的最小值為m.（1）求m的值；（2）是否存在實數(shù)a，b，使得，？并說明理由.20．（12分）某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險，現(xiàn)從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數(shù)時的最小值；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元，如果參保，保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲，若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元；若沒有購買該項保險，針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購買此項保險是否劃算？21．（12分）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）22．（10分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點.（1）當(dāng)時，求M點的極坐標(biāo)；（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點N，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

作交于點，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.2、C【解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù)，對應(yīng)的兩點間的距離，由兩點間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，所以，其中，故選C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)的幾何意義，將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對應(yīng)點的距離求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.3、B【解析】

根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以集合則所以的子集共有故選：B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算，當(dāng)集合中有元素時，集合子集的個數(shù)為，真子集個數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．6、B【解析】

由雙曲線的對稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點為，由雙曲線的對稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與計算能力，屬于中檔題.7、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【詳解】對于函數(shù)，令，解得，當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，，.故選：D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式，結(jié)合為函數(shù)的一條對稱軸可求得，代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換，即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】函數(shù)，由輔助角公式化簡可得，因為為函數(shù)圖象的一條對稱軸，代入可得，即，化簡可解得，即，所以將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度可得，則，故選：C.【點睛】本題考查了輔助角化簡三角函數(shù)式的應(yīng)用，三角函數(shù)對稱軸的應(yīng)用，三角函數(shù)圖像平移變換的應(yīng)用，屬于中檔題.9、D【解析】

在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力.10、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時，，之后將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時，，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.11、A【解析】

因為，可得，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案.【詳解】，，.故選：A.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和，解題關(guān)鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得，然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，考驗計算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)雙曲線方程為，代入點，計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為，則設(shè)雙曲線方程為：，代入點，則.故雙曲線方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線，設(shè)雙曲線方程為是解題的關(guān)鍵.14、-2【解析】

表示該二項式的展開式的第r+1項，令其指數(shù)為3，再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項式的展開式的第r+1項為令，所以，則故答案為：【點睛】本題考查由二項式指定項的系數(shù)求參數(shù)，屬于簡單題.15、【解析】

根據(jù)，可得，進(jìn)而，有，而，令，得到，再用導(dǎo)數(shù)法求解，【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，令，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以當(dāng)時，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值，還考查了運算求解的能力，屬于難題，16、1【解析】

根據(jù)即可得出，從而求出m的值．【詳解】解：∵；∴；∴m＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）填表見解析；不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運動與性別有關(guān)系【解析】

（1）利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為列方程，解方程求得的值.（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運動與性別有關(guān)系.【詳解】（1）由題意，解得.（2）由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運動的人數(shù)為.完善列聯(lián)表如下：擅長不擅長合計男性203050女性104050合計3070100，對照表格可知，，不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運動與性別有關(guān)系.【點睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計算小長方形的高，考查列聯(lián)表獨立性檢驗，屬于基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先計算其逆事件，即人都認(rèn)為不很幸福的概率，再用減去人都認(rèn)為不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機變量，列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?！钡模瑒t表示人都認(rèn)為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意，隨機變量，的可能的取值為；；；所以隨機變量的分布列為：所以的期望【點睛】本題考查了離散型隨機變量的概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，概率分布中的二項分布問題，屬于常規(guī)題型．19、（1）（2）不存在；詳見解析【解析】

（1）將函數(shù)去絕對值化為分段函數(shù)的形式，從而可求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得m.（2）由，利用基本不等式即可求出.【詳解】（1）；（2），若，同號，，不成立；或，異號，，不成立；故不存在實數(shù)，，使得，.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）30；（2），比較劃算.【解析】

（1）由頻率和為1求出，根據(jù)的值求出保費的平均值，然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果，最后取近似值即可；（2）分別計算參保與不參保時的期望，，比較大小即可.【詳解】解:（1）由，解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本，則，即解得∴.（2）①若該老人購買了此項保險，則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險，